Fraktale zrób to sam
Transcript of Fraktale zrób to sam
![Page 1: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/1.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Fraktale – zrób to sam
Jędrzej Garnek
Po indeks z Pitagorasem,
Poznań, 13 czerwca 2017 r.
http://jgarnek.faculty.wmi.amu.edu.pl/fraktale.pdf
![Page 2: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/2.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja (nieformalna)
Fraktal –
zbiór, który jest samopodobny (można go
podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości)
oraz ma skomplikowaną strukturę.
![Page 3: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/3.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja (nieformalna)
Fraktal – zbiór, który jest samopodobny (można go
podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości)
oraz ma skomplikowaną strukturę.
![Page 4: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/4.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja (nieformalna)
Fraktal – zbiór, który jest samopodobny (można go
podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości)
oraz ma skomplikowaną strukturę.
![Page 5: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/5.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja (nieformalna)
Fraktal – zbiór, który jest samopodobny (można go
podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości)
oraz ma skomplikowaną strukturę.
![Page 6: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/6.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady
Trójkąt Sierpińskiego
![Page 7: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/7.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady
Dywan Sierpińskiego
![Page 8: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/8.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady
Śnieżynka Kocha
![Page 9: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/9.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady
Paproć Barnsley’a
![Page 10: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/10.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady
Zbiór Mandelbrota
![Page 11: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/11.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady
Zbiór Julii
![Page 12: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/12.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Wacław Sierpiński
Wacław Sierpiński (1882 - 1969)
warszawska szkoła matematyczna,
teoria liczb, analiza matematyczna, teoria miary,
„badacz nieskończoności”.
![Page 13: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/13.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Wacław Sierpiński
Wacław Sierpiński (1882 - 1969)
warszawska szkoła matematyczna,
teoria liczb, analiza matematyczna, teoria miary,
„badacz nieskończoności”.
![Page 14: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/14.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Wacław Sierpiński
Wacław Sierpiński (1882 - 1969)
warszawska szkoła matematyczna,
teoria liczb, analiza matematyczna, teoria miary,
„badacz nieskończoności”.
![Page 15: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/15.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Wacław Sierpiński
Wacław Sierpiński (1882 - 1969)
warszawska szkoła matematyczna,
teoria liczb, analiza matematyczna, teoria miary,
„badacz nieskończoności”.
![Page 16: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/16.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
T1 =
![Page 17: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/17.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
T2 =
![Page 18: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/18.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
T3 =
![Page 19: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/19.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
T4 =
![Page 20: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/20.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
T5 =
![Page 21: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/21.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
T =∞⋂n=1
Tn
ma tyle elementów, co R, ale pole = 0,
jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego
w skali 1/2.
![Page 22: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/22.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
T =∞⋂n=1
Tn
ma tyle elementów, co R, ale pole = 0,
jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego
w skali 1/2.
![Page 23: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/23.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
T =∞⋂n=1
Tn
ma tyle elementów, co R, ale pole = 0,
jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego
w skali 1/2.
![Page 24: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/24.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?
![Page 25: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/25.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?
![Page 26: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/26.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f1(x , y) = (x/2, y/2) –
jednokładność o środku w A i skali 12 ,
![Page 27: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/27.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f2(x , y) = ((x + 1)/2, y/2) –
jednokładność o środku w B i skali 12 ,
![Page 28: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/28.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f3(x , y) = (2x+14 ,
2y+√3
4 ) –
jednokładność o środku w C i skali 12 ,
![Page 29: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/29.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ f3(A) dla A ⊂ R2
![Page 30: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/30.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 31: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/31.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 32: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/32.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 33: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/33.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 34: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/34.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 35: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/35.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 36: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/36.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 37: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/37.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 38: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/38.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 39: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/39.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 40: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/40.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 41: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/41.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 42: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/42.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 43: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/43.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 44: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/44.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 45: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/45.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 46: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/46.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 47: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/47.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 48: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/48.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 49: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/49.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 50: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/50.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 51: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/51.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 52: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/52.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 53: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/53.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 54: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/54.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 55: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/55.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 56: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/56.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 57: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/57.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 58: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/58.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 59: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/59.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 60: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/60.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 61: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/61.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 62: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/62.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 63: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/63.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 64: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/64.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 65: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/65.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 66: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/66.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 67: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/67.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 68: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/68.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 69: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/69.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 70: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/70.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 71: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/71.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 72: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/72.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
T =
f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )
![Page 73: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/73.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
T = f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )
![Page 74: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/74.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
SPOSTRZEŻENIE:za każdym razem „graniczny” rysunek jest fraktalem!
PYTANIA:(1) dla jakich zbiorów można powtórzyć „sztuczkę”?
(2) dla jakich fraktali można powtórzyć „sztuczkę”?
(3) jak formalnie zrozumieć „sztuczkę”?
![Page 75: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/75.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
SPOSTRZEŻENIE:za każdym razem „graniczny” rysunek jest fraktalem!
PYTANIA:
(1) dla jakich zbiorów można powtórzyć „sztuczkę”?
(2) dla jakich fraktali można powtórzyć „sztuczkę”?
(3) jak formalnie zrozumieć „sztuczkę”?
![Page 76: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/76.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
SPOSTRZEŻENIE:za każdym razem „graniczny” rysunek jest fraktalem!
PYTANIA:(1) dla jakich zbiorów można powtórzyć „sztuczkę”?
(2) dla jakich fraktali można powtórzyć „sztuczkę”?
(3) jak formalnie zrozumieć „sztuczkę”?
![Page 77: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/77.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
SPOSTRZEŻENIE:za każdym razem „graniczny” rysunek jest fraktalem!
PYTANIA:(1) dla jakich zbiorów można powtórzyć „sztuczkę”?
(2) dla jakich fraktali można powtórzyć „sztuczkę”?
(3) jak formalnie zrozumieć „sztuczkę”?
![Page 78: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/78.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
SPOSTRZEŻENIE:za każdym razem „graniczny” rysunek jest fraktalem!
PYTANIA:(1) dla jakich zbiorów można powtórzyć „sztuczkę”?
(2) dla jakich fraktali można powtórzyć „sztuczkę”?
(3) jak formalnie zrozumieć „sztuczkę”?
![Page 79: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/79.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Metryka – funkcja d : X × X → R+ ∪ {0} spełniająca:
(rozróżnianie) d(x , y) = 0 ⇔x = y
Różne elementy są w dodatniej odległości!
(symetria) d(x , y) = d(y , x)
Odległość z A do B = Odległość z B do A
(nierówność trójkąta) d(x , y) ¬ d(x , z) + d(z , y)
„Bezpośrednia” droga jest najkrótsza...
![Page 80: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/80.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Metryka – funkcja d : X × X → R+ ∪ {0} spełniająca:
(rozróżnianie) d(x , y) = 0 ⇔x = y
Różne elementy są w dodatniej odległości!
(symetria) d(x , y) = d(y , x)
Odległość z A do B = Odległość z B do A
(nierówność trójkąta) d(x , y) ¬ d(x , z) + d(z , y)
„Bezpośrednia” droga jest najkrótsza...
![Page 81: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/81.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Metryka – funkcja d : X × X → R+ ∪ {0} spełniająca:
(rozróżnianie) d(x , y) = 0 ⇔x = y
Różne elementy są w dodatniej odległości!
(symetria) d(x , y) = d(y , x)
Odległość z A do B = Odległość z B do A
(nierówność trójkąta) d(x , y) ¬ d(x , z) + d(z , y)
„Bezpośrednia” droga jest najkrótsza...
![Page 82: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/82.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Metryka – funkcja d : X × X → R+ ∪ {0} spełniająca:
(rozróżnianie) d(x , y) = 0 ⇔x = y
Różne elementy są w dodatniej odległości!
(symetria) d(x , y) = d(y , x)
Odległość z A do B = Odległość z B do A
(nierówność trójkąta) d(x , y) ¬ d(x , z) + d(z , y)
„Bezpośrednia” droga jest najkrótsza...
![Page 83: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/83.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Metryka – funkcja d : X × X → R+ ∪ {0} spełniająca:
(rozróżnianie) d(x , y) = 0 ⇔x = y
Różne elementy są w dodatniej odległości!
(symetria) d(x , y) = d(y , x)
Odległość z A do B = Odległość z B do A
(nierówność trójkąta) d(x , y) ¬ d(x , z) + d(z , y)
„Bezpośrednia” droga jest najkrótsza...
![Page 84: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/84.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Metryka – funkcja d : X × X → R+ ∪ {0} spełniająca:
(rozróżnianie) d(x , y) = 0 ⇔x = y
Różne elementy są w dodatniej odległości!
(symetria) d(x , y) = d(y , x)
Odległość z A do B = Odległość z B do A
(nierówność trójkąta) d(x , y) ¬ d(x , z) + d(z , y)
„Bezpośrednia” droga jest najkrótsza...
![Page 85: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/85.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Metryka – funkcja d : X × X → R+ ∪ {0} spełniająca:
(rozróżnianie) d(x , y) = 0 ⇔x = y
Różne elementy są w dodatniej odległości!
(symetria) d(x , y) = d(y , x)
Odległość z A do B = Odległość z B do A
(nierówność trójkąta) d(x , y) ¬ d(x , z) + d(z , y)
„Bezpośrednia” droga jest najkrótsza...
![Page 86: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/86.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady metryk na R2:
metryka Euklidesowa:
d((x , y), (a, b)
)=√(x − a)2 + (y − b)2
metryka taksówkowa: d((x , y), (a, b)
)= |x − a|+ |y − b|
metryka maksimum: d((x , y), (a, b)
)= max{|x − a|, |y − b|}
![Page 87: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/87.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady metryk na R2:
metryka Euklidesowa:
d((x , y), (a, b)
)=√(x − a)2 + (y − b)2
metryka taksówkowa: d((x , y), (a, b)
)= |x − a|+ |y − b|
metryka maksimum: d((x , y), (a, b)
)= max{|x − a|, |y − b|}
![Page 88: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/88.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady metryk na R2:
metryka Euklidesowa:
d((x , y), (a, b)
)=√(x − a)2 + (y − b)2
metryka taksówkowa: d((x , y), (a, b)
)= |x − a|+ |y − b|
metryka maksimum: d((x , y), (a, b)
)= max{|x − a|, |y − b|}
![Page 89: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/89.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykłady metryk na R2:
metryka Euklidesowa:
d((x , y), (a, b)
)=√(x − a)2 + (y − b)2
metryka taksówkowa: d((x , y), (a, b)
)= |x − a|+ |y − b|
metryka maksimum: d((x , y), (a, b)
)= max{|x − a|, |y − b|}
![Page 90: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/90.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Przykład metryki na dowolnym zbiorze:
Metryka dyskretna:
d(x , y) =
0, dla x = y
1, dla x 6= y
![Page 91: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/91.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Kula o środku w P i promieniu r ∈ R+:
B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}
Przykład:
![Page 92: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/92.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Kula o środku w P i promieniu r ∈ R+:
B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}
Przykład:kula jednostkowa B
((0, 0), 1
)w metryce Euklidesowej:
![Page 93: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/93.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Kula o środku w P i promieniu r ∈ R+:
B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}
Przykład:kula jednostkowa B
((0, 0), 1
)w metryce taksówkowej:
![Page 94: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/94.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Kula o środku w P i promieniu r ∈ R+:
B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}
Przykład:kula jednostkowa B
((0, 0), 1
)w metryce taksówkowej:
![Page 95: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/95.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Kula o środku w P i promieniu r ∈ R+:
B(P , r) := {Q ∈ X : d(P ,Q) ¬ r}
Przykład:kula jednostkowa B
((0, 0), 1
)w metryce maksimum:
![Page 96: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/96.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Element g nazywamy granicą ciągu (xn) przestrzeni
metrycznej (X , d), jeżeli każda kula o środku w g zawiera
prawie wszystkie elementy tego ciągu.
![Page 97: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/97.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Element g nazywamy granicą ciągu (xn) przestrzeni
metrycznej (X , d), jeżeli każda kula o środku w g zawiera
prawie wszystkie elementy tego ciągu.
![Page 98: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/98.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Element g nazywamy granicą ciągu (xn) przestrzeni
metrycznej (X , d), jeżeli każda kula o środku w g zawiera
prawie wszystkie elementy tego ciągu.
![Page 99: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/99.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 100: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/100.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 101: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/101.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 102: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/102.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 103: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/103.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 104: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/104.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 105: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/105.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 106: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/106.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 107: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/107.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ R2 : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Złe” zbiory:
„Dobre” zbiory:
![Page 108: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/108.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
ε – otoczenie zbioru A ⊂ R2:Aε := {P ∈ R2 : ∃Q∈A d(P ,Q) ¬ ε}
![Page 109: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/109.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
ε – otoczenie zbioru A ⊂ R2:Aε := {P ∈ R2 : ∃Q∈A d(P ,Q) ¬ ε}
![Page 110: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/110.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
ε – otoczenie zbioru A ⊂ R2:Aε := {P ∈ R2 : ∃Q∈A d(P ,Q) ¬ ε}
![Page 111: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/111.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:
dH(A,B) = min{ε > 0 : A ⊂ Bε oraz B ⊂ Aε}
![Page 112: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/112.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:
dH(A,B) = min{ε > 0 : A ⊂ Bε oraz B ⊂ Aε}
![Page 113: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/113.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
nieślubny syn praczki,
„największe odkrycie” Hugona Steinhausa,
dzieło Banacha „Theorie des operations lineaires”
zapoczątkowało rozwój analizy funkcjonalnej,
doktor bez studiów,
![Page 114: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/114.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
nieślubny syn praczki,
„największe odkrycie” Hugona Steinhausa,
dzieło Banacha „Theorie des operations lineaires”
zapoczątkowało rozwój analizy funkcjonalnej,
doktor bez studiów,
![Page 115: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/115.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
nieślubny syn praczki,
„największe odkrycie” Hugona Steinhausa,
dzieło Banacha „Theorie des operations lineaires”
zapoczątkowało rozwój analizy funkcjonalnej,
doktor bez studiów,
![Page 116: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/116.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
nieślubny syn praczki,
„największe odkrycie” Hugona Steinhausa,
dzieło Banacha „Theorie des operations lineaires”
zapoczątkowało rozwój analizy funkcjonalnej,
doktor bez studiów,
![Page 117: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/117.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
nieślubny syn praczki,
„największe odkrycie” Hugona Steinhausa,
dzieło Banacha „Theorie des operations lineaires”
zapoczątkowało rozwój analizy funkcjonalnej,
doktor bez studiów,
![Page 118: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/118.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
spotkania w kawiarni Szkockiej i „Księga Szkocka”,
„Po ostatnim mazurze docent spieszył na pierwszy wykład...”
w czasie wojny – karmiciel wszy,
zmarł na raka płuc tuż po wojnie.
![Page 119: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/119.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
spotkania w kawiarni Szkockiej i „Księga Szkocka”,
„Po ostatnim mazurze docent spieszył na pierwszy wykład...”
w czasie wojny – karmiciel wszy,
zmarł na raka płuc tuż po wojnie.
![Page 120: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/120.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
spotkania w kawiarni Szkockiej i „Księga Szkocka”,
„Po ostatnim mazurze docent spieszył na pierwszy wykład...”
w czasie wojny – karmiciel wszy,
zmarł na raka płuc tuż po wojnie.
![Page 121: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/121.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
spotkania w kawiarni Szkockiej i „Księga Szkocka”,
„Po ostatnim mazurze docent spieszył na pierwszy wykład...”
w czasie wojny – karmiciel wszy,
zmarł na raka płuc tuż po wojnie.
![Page 122: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/122.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Stefan Banach (1892 - 1945)
spotkania w kawiarni Szkockiej i „Księga Szkocka”,
„Po ostatnim mazurze docent spieszył na pierwszy wykład...”
w czasie wojny – karmiciel wszy,
zmarł na raka płuc tuż po wojnie.
![Page 123: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/123.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 124: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/124.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład:
![Page 125: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/125.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład: f – jednokładność o skali 12 i środku w X :
![Page 126: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/126.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład: f – jednokładność o skali 12 i środku w X :
![Page 127: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/127.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład: d(f (A), f (B)) = 12d(A,B)
![Page 128: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/128.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład:
![Page 129: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/129.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład:
![Page 130: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/130.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład:
![Page 131: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/131.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład:Ciąg: P , f (P), f (f (P)), f (f (f (P))), . . . , dąży do punktu X , ...
![Page 132: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/132.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Funkcję f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Przykład:...który jest (jedynym) punktem stałym f : f (X ) = X !
![Page 133: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/133.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –
kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:
f (x) = x ma dokładnie jedno rozwiązanie x0 ∈ X
(punkt stały),
dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:
x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . .
dąży do x0.
![Page 134: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/134.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –
kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:
f (x) = x ma dokładnie jedno rozwiązanie x0 ∈ X
(punkt stały),
dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:
x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . .
dąży do x0.
![Page 135: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/135.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –
kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:
f (x) = x ma dokładnie jedno rozwiązanie x0 ∈ X
(punkt stały),
dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:
x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . .
dąży do x0.
![Page 136: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/136.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –
kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:
f (x) = x ma dokładnie jedno rozwiązanie x0 ∈ X
(punkt stały),
dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:
x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . .
dąży do x0.
![Page 137: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/137.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 138: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/138.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Twierdzenie Hutchinsona–Barnsley’a
Jeżeli f1, . . . , fk : R2 → R2 są kontrakcjami o skali c < 1, to
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X → X
jest również kontrakcją o skali c .
Wniosek
Jeżeli f1, . . . , fk : R2 → R2 są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X → X
ma dokładnie jeden punkt stały X0 ∈ X
(tzw. atraktor – jest
to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do X0.
![Page 139: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/139.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Twierdzenie Hutchinsona–Barnsley’a
Jeżeli f1, . . . , fk : R2 → R2 są kontrakcjami o skali c < 1, to
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X → X
jest również kontrakcją o skali c .
Wniosek
Jeżeli f1, . . . , fk : R2 → R2 są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X → X
ma dokładnie jeden punkt stały X0 ∈ X (tzw. atraktor – jestto nasz fraktal)
oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do X0.
![Page 140: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/140.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Twierdzenie Hutchinsona–Barnsley’a
Jeżeli f1, . . . , fk : R2 → R2 są kontrakcjami o skali c < 1, to
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X → X
jest również kontrakcją o skali c .
Wniosek
Jeżeli f1, . . . , fk : R2 → R2 są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X → X
ma dokładnie jeden punkt stały X0 ∈ X (tzw. atraktor – jestto nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do X0.
![Page 141: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/141.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Uwagi:
(1) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze
skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z
układem kontrakcji fi : R2 → R2.
trójkąt Sierpińskiego 7→(( x2 ,
y2 ), (
x+12 ,
y2 ), (
2x+14 ,
2y+√3
4 )
)
(2) twierdzenie to nie będzie dotyczyło bardziej złożonych
fraktali – zbioru Julii lub też zbioru Mandelbrota.
![Page 142: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/142.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Uwagi:
(1) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze
skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z
układem kontrakcji fi : R2 → R2.
trójkąt Sierpińskiego 7→(( x2 ,
y2 ), (
x+12 ,
y2 ), (
2x+14 ,
2y+√3
4 )
)
(2) twierdzenie to nie będzie dotyczyło bardziej złożonych
fraktali – zbioru Julii lub też zbioru Mandelbrota.
![Page 143: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/143.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Uwagi:
(1) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze
skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z
układem kontrakcji fi : R2 → R2.
trójkąt Sierpińskiego 7→(( x2 ,
y2 ), (
x+12 ,
y2 ), (
2x+14 ,
2y+√3
4 )
)
(2) twierdzenie to nie będzie dotyczyło bardziej złożonych
fraktali – zbioru Julii lub też zbioru Mandelbrota.
![Page 144: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/144.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Uwagi:
(1) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze
skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z
układem kontrakcji fi : R2 → R2.
trójkąt Sierpińskiego 7→(( x2 ,
y2 ), (
x+12 ,
y2 ), (
2x+14 ,
2y+√3
4 )
)
(2) twierdzenie to nie będzie dotyczyło bardziej złożonych
fraktali – zbioru Julii lub też zbioru Mandelbrota.
![Page 145: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/145.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 146: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/146.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 147: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/147.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 148: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/148.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
![Page 149: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/149.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Benoit Mandelbrot (1924 – 2010)
francuski matematyk, urodzony w rodzinie litewskich Żydów
mieszkających w Polsce,
ojciec geometrii fraktalnej, twórca słowa „fraktal”,
„Przez wiele lat słyszałem, że fraktale tworzą piękne obrazki,
ale są bezużyteczne. Irytowało mnie to, bo zastosowania
zawsze przychodzą po pewnym czasie. Dla fraktali czas ten
nadszedł całkiem szybko.”
![Page 150: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/150.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Benoit Mandelbrot (1924 – 2010)
francuski matematyk, urodzony w rodzinie litewskich Żydów
mieszkających w Polsce,
ojciec geometrii fraktalnej, twórca słowa „fraktal”,
„Przez wiele lat słyszałem, że fraktale tworzą piękne obrazki,
ale są bezużyteczne. Irytowało mnie to, bo zastosowania
zawsze przychodzą po pewnym czasie. Dla fraktali czas ten
nadszedł całkiem szybko.”
![Page 151: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/151.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Benoit Mandelbrot (1924 – 2010)
francuski matematyk, urodzony w rodzinie litewskich Żydów
mieszkających w Polsce,
ojciec geometrii fraktalnej, twórca słowa „fraktal”,
„Przez wiele lat słyszałem, że fraktale tworzą piękne obrazki,
ale są bezużyteczne. Irytowało mnie to, bo zastosowania
zawsze przychodzą po pewnym czasie. Dla fraktali czas ten
nadszedł całkiem szybko.”
![Page 152: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/152.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Benoit Mandelbrot (1924 – 2010)
francuski matematyk, urodzony w rodzinie litewskich Żydów
mieszkających w Polsce,
ojciec geometrii fraktalnej, twórca słowa „fraktal”,
„Przez wiele lat słyszałem, że fraktale tworzą piękne obrazki,
ale są bezużyteczne. Irytowało mnie to, bo zastosowania
zawsze przychodzą po pewnym czasie. Dla fraktali czas ten
nadszedł całkiem szybko.”
![Page 153: Fraktale zrób to sam](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022012507/6182ffe46edadf54034bac88/html5/thumbnails/153.jpg)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Metryki Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Dziękuję za uwagę!