Fracciones Parciales 4 Casos
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Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
Corresponde a cada Factor Lineal ( )b ax + , del Denominador habrá una Fracción
Parcial
bax
A
+ Donde A , es constante
con Denominadores Lineales Repetidos
Corresponde a cada Factor Lineal Repetido ( )b ax +n
del Denominador habrá una
Fracción Parcial
( ) ( )bax
A
bax
A
bax
An
n
+++
++
+....
2
21 Donde A1, A2,…,An son constantes y An ≠ 0
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Si cbxax ++2 , es un Factor del Denominador que no es Producto de 2 Factores
Lineales Reales, entonces corresponde a este un Factor Cuadrático, habrá una Fracción Parcial
cbxax
BAx
++
+2
Donde A y B , son constantes
con Denominadores Cuadráticos Repetidos.
Si cbxax ++2 , no es el Producto de 2 Factores Lineales Reales, entonces
correspondiente al Factor Repetido ( )cbxaxn
++2 , del Denominador habrá n ,
Fracciones Parciales
( ) ( )cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxAn
nn
++
++
++
++
++
+
2....
22
22
2
11
Donde A1, B1, A2, B2, …., An, Bn, donde An y Bn no son nulas simultáneamente
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
6
2
2
.1−+ xx
x
En esta fracción tenemos una Fracción Impropia, pues los exponentes del Numerador y el Denominador, son iguales (2) tenemos que dividir. Para encontrar la Parte Entera y la Parte Fraccionaria, equivalentes de la fracción
6 - x 0
-----------
6-
006
1
2
22
+
−+
++−+
xx
xxxx
Por lo tanto
)2)(3(
61
6
62 −+
+−+=
−+
−
xx
x
xx
x
Aplicamos Factorización en el Denominador
)2)(3(
6
6
62 −+
+−=
−+
+−
xx
x
xx
x
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales
)2()3()2)(3(
6
−+
+=
−+
+−
x
B
x
A
xx
x
Factores Lineales Diferentes
Existen 2 Método para Resolver Fracciones Parciales � Sustitución � Igualación de Coeficientes
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores
arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor
)2()3(6
62 −
++
=−+
+−
x
B
x
A
xx
x
x = - 3 x = 2
Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a
evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por 62 −+ xx
( )[ ] [ ] [ ])2(
6
)3(
6
6
66 22
2
2
−
−++
+
−+=
−+
−++−
x
xxB
x
xxA
xx
xxx
6)3()2( +−=++− xxBxA
Con x = - 3
(2) 5
9
95
9)0()5(
63)33()23(
6)3()2(
−=
−=−
=+−
+=+−+−−
+−=++−
A
A
BA
BA
xxBxA
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
Con x = 2
(3) 5
4
45
4)5()0(
62)32()22(
6)3()2(
=
=
=+
+−=++−
+−=++−
B
B
BA
BA
xxBxA
Sustituimos (2) y (3) en (1)
)3(5
9
)2(5
4
6
6
)2(5
4
)3(5
9
6
6
)2(
5
4
)3(
5
9
6
6
)2()3(6
6
2
2
2
2
+−
−=
−+
−
−+
+
−=
−+
−
−+
+
−
=−+
−
−+
+=
−+
−
xxxx
x
xxxx
x
xxxx
x
x
B
x
A
xx
x
Solución: )3(5
9
)2(5
4
6
62 +
−−
=−+
−
xxxx
x
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
4
252
2.−
−
x
x
Aplicamos Factorización en el Denominador
)2)(2(
25
4
252 +−
−=
−
−
xx
x
x
x
Factores Lineales Diferentes
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales
)2()2(4
252 +
+−
=−
−
x
B
x
A
x
x
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despejando (x) de cada Factor
)2()2(4
252 +
+−
=−
−
x
B
x
A
x
x
x = 2 x = - 2
Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a
evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por 42 −x
( )[ ] [ ] [ ])2(
4
)2(
4
4
425 22
2
2
+
−+
−
−=
−
−−
x
xB
x
xA
x
xx
25)2()2( −=−++ xxBxA
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
Con x = 2
(2) 2
84
8)0()4(
2)2(5)22()22(
25)2()2(
=
=
=+
−=−++
−=−++
A
A
BA
BA
xxBxA
Con x = - 2
(3) 3
124
12)4()0(
2)2(5)22()22(
25)2()2(
=
−=−
−=−+
−−=−−++−
−=−++
B
B
BA
BA
xxBxA
Sustituimos (2) y (3) en (1)
)2(
3
)2(
2
4
25
)2()2(4
25
2
2(1)
++
−=
−
−
++
−=
−
−
xxx
x
x
B
x
A
x
x
Solución: )2(
3
)2(
2
4
252 +
+−
=−
−
xxx
x
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
xxx
x
2
2423
3.−−
−
Aplicamos Factorización en el Denominador
)1)(2(
24
2
2423 +−
−=
−−
−
xxx
x
xxx
x
Factores Lineales Diferentes
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales
)1()2()1)(2(
24
++
−+=
+−
−
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Utilizaremos el Método de Sustitución que consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despeando (x) de cada Factor
)1()2()1)(2(
24
++
−+=
+−
−
x
C
x
B
x
A
xxx
x
x = 0 x = 2 x = -1
Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a
evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por [ ])1)(2( +− xxx
( )[ ] [ ] [ ] [ ])1(
)1)(2(
)2(
)1)(2()1)(2(
)1)(2(
)1)(2(24
+
+−+
−
+−+
+−=
+−
+−−
x
xxxC
x
xxxB
x
xxxA
xxx
xxxx
24)2()1()1)(2( −=−++++− xxCxxBxxxA
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
Con x = 0
(2) 1
22
2)0(4)0()0())2(
2)0(4)20)(0()10)(0()10)(20(
24)2()1()1)(2(
=
−=−
−=++−
−=−++++−
−=−++++−
A
A
CBA
CBA
xxCxxBxxxA
Con x = 2
(3) 1
66
28)0()6()0(
2)2(4)22)(2()12)(2()12)(22(
24)2()1()1)(2(
=
=
−=++
−=−++++−
−=−++++−
B
B
CBA
CBA
xxCxxBxxxA
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Diferentes.
Con x = - 1
(4) 2
63
6)3()0()0(
2)1(4)21)(1()11)(1()11)(21(
24)2()1()1)(2(
−=
−=
−=++
−−=−−−++−−++−−−
−=−++++−
C
C
CBA
CBA
xxCxxBxxxA
Sustituimos (2), (3) y (4) en (1)
)1(
2
)2(
11
)1)(2(
24
)1()2()1)(2(
24 (1)
+−
−+=
+−
−
++
−+=
+−
−
xxxxxx
x
x
C
x
B
x
A
xxx
x
Solución: )1(
2
)2(
11
)1)(2(
24
+−
−+=
+−
−
xxxxxx
x
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Repetidos
( )( )23
1342
2
1.−+
−
xx
xx
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales
( )( ) ( )(1)
2)2()3(23
13422
2
−+
−+
+=
−+
−
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Repetidos
Factores Lineales
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despejando (x) de cada Factor
( )( ) ( )2)2()3(23
13422
2
−+
−+
+=
−+
−
x
C
x
B
x
A
xx
xx
x = -3 x = 2
con Denominadores Lineales Repetidos
Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a
evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por ( )( )232
−+ xx
( ) ( )( )[ ]( )( )
( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ]( )
2
23
)2(
23
)3(
23
23
231342
222
2
22
−
−++
−
−++
+
−+=
−+
−+−
x
xxC
x
xxB
x
xxA
xx
xxxx
( ) ( ) ( ) xxxCxxBxA 13433)2(2 22−=+++−+−
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
Con x = - 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(2) 3
25
75
393625
39)9(400)5(5
)3(13343333)23(23
13433)2(2
2
22
22
=
=
+=
+=+−+−
−−−=+−++−−−+−−
−=+++−+−
A
A
A
CBA
CBA
xxxCxxBxA
con Denominadores Lineales Repetidos
Con x = 2
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(3) 2
5
10
26.165
26)4(455)0(0
)2(13243232)22(22
13433)2(2
2
22
22
−=
−=
−=
−=++
−=+++−+−
−=+++−+−
C
C
C
CBA
CBA
xxxCxxBxA
Con x = 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] [ ]
(4) 1
6
6
1266
06612
023534
0364
033)2(2
)0(13043030)20(20
13433)2(2
2
22
22
=
−
−=
−=−
=−−
=−+−
=+−
=+−+−
−=+++−+−
−=+++−+−
B
B
B
B
B
CBA
CBA
CBA
xxxCxxBxA
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Lineales Repetidos
Sustituimos (2), (3) y (4) en (1)
( )( ) ( )
( )( ) ( )2
2
)2(
1
)3(
3
23
134
2)2()3(23
134
22
2
22
2
(1)
−−
−+
+=
−+
−
−+
−+
+=
−+
−
xxxxx
xx
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Solución: ( )( ) ( )2
2
)2(
1
)3(
3
23
13422
2
−−
−+
+=
−+
−
xxxxx
xx
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales
)5()2()5)(2(
1.322
2
+
++
−=
+−
−+
x
CBx
x
A
xx
xx
Existen 2 Método para Resolver Fracciones Parciales � Sustitución � Igualación de Coeficientes
En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 2), por lo cual, nos
ayudaremos con los 2 métodos
El Método de Sustitución, nos ayudara a encontrar el valor de (A), así resolveremos mas fácil el sistema de ecuaciones.
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor
)5()2()5)(2(
1.322
2
+
++
−=
+−
−+
x
CBx
x
A
xx
xx
x = 2
)5)(2(
1.3
2
2
+−
−+
xx
xx 1.
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Con x = 2
(2)
(1)
1
9
9
1109
164)0)(()54(
1]2[3]2[)2]2)([()5]2[(
13)2)(()5(
)5()2()5)(2(
1.3
22
22
22
2
=
=
−=
−+=+++
−+=−+++
−+=−+++
+
++
−=
+−
−+
A
A
A
CBxA
CBxA
xxxCBxxA
x
CBx
x
A
xx
xx
Ahora realizamos las Multiplicaciones
1.3225
1.3)2)(()5(
222
22
−+=−+−++
−+=−+++
xxCCxBxxBAxA
xxxCBxxA
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
Reordenamos Términos
1.3252 222 −+=−++−+ xxCACxBxxBxA
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sistema de Ecuaciones:
3125
232
11 2
Ecc. - C A -
Ecc. C B -x
Ecc. B A x
=
=+
=+
En Ecuación [1], sustituimos valor de [A = 1], para encontrar el valor de [B].
[ ]
(3)0
11
11
1
B
B
B
B A
=
−=
=+
=+
En Ecuación [2], sustituimos valor de [B = 0], para encontrar el valor de [C].
[ ]
(4)3
302
32
C
C -
C B -
=
=+
=+
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sustituimos [2, 3, 4], en (1).
[ ]
)5(
1
)2(
1
)5)(2(
1.3
)5(
10
)2(
1
)5)(2(
1.3
)5()2()5)(2(
1.3
22
2
22
2
22
2
(1)
++
−=
+−
−+
+
++
−=
+−
−+
+
++
−=
+−
−+
xxxx
xx
x
x
xxx
xx
x
CBx
x
A
xx
xx
Solución: )5(
1
)2(
1
)5)(2(
1.322
2
++
−=
+−
−+
xxxx
xx
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
)1)(2(
5852
2
2.+−−
+−
xxx
xx
Expresamos el Integrando como una Suma de Fracciones Parciales
)1()2()1)(2(
58522
2
+−
++
−=
+−−
+−
xx
CBx
x
A
xxx
xx
En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 2), nos ayudaremos con los 2 métodos
El Método de Sustitución, nos ayudara a encontrar el valor de (A), así resolveremos mas fácil el sistema de ecuaciones.
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor
)1()2()1)(2(
58522
2
+−
++
−=
+−−
+−
xx
CBx
x
A
xxx
xx
x = 2
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Con x = 2
(2)
(1)
3
3
9
93
51620)0)(()124(
5]2[8]2[5)2]2)([()1]2[]2[(
585)2)(()1(
)1()2()1)(2(
585
22
22
22
2
=
=
=
+−=+++−
+−=−+++−
+−=−+++−
+−
++
−=
+−−
+−
A
A
A
CBxA
CBxA
xxxCBxxxA
xx
CBx
x
A
xxx
xx
Ahora realizamos las Multiplicaciones
58522
585)2)(()1(
222
22
+−=−+−++−
+−=−+++−
xxCCxBxxBAAxxA
xxxCBxxxA
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
Reordenamos Términos
58522 222 +−=−++−−+ xxCACxBxAxxBxA
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sistema de Ecuaciones:
3522
282
15 2
Ecc. C B -
Ecc. C B-A x
Ecc. B A x
=−
−=+−
=+
En Ecuación [1], sustituimos valor de [A = 3], para encontrar el valor de [B].
[ ]
(3)2
35
53
5
B
B
B
B A
=
−=
=+
=+
En Ecuación [2], sustituimos valor de [A = 3], para encontrar el valor de [C].
(4)1
78
8 ]2[23
8
C
C
C -
C B-A
−=
+−=
−=+−
−=+−
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sustituimos [2, 3, 4], en (1).
)1(
12
)2(
3
)1)(2(
585
)1()2()1)(2(
585
22
2
22
2
(1)
+−
−+
−=
+−−
+−
+−
++
−=
+−−
+−
xx
x
xxxx
xx
xx
CBx
x
A
xxx
xx
Solución: )1(
12
)2(
3
)1)(2(
585
22
2
+−
−+
−=
+−−
+−
xx
x
xxxx
xx
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
)232)(1(
61172
2
3.+−−
+−
xxx
xx
Expresamos el Integrando como una Suma de Fracciones Parciales
)232()1()232)(1(
611722
2
+−
++
−=
+−−
+−
xx
CBx
x
A
xxx
xx
En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 1), nos ayudaremos con los 2 métodos
El Método de Sustitución, nos ayudara a encontrar el valor de (A), así resolveremos mas fácil el sistema de ecuaciones.
Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor
)232()1()232)(1(
611722
2
+−
++
−=
+−−
+−
xx
CBx
x
A
xxx
xx
x = 1
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Con x = 1
(2)
(1)
2
6117)0)(()232(
6]1[11]1[7)1]1)([]1[()2]1[3]1[2(
6117)1)(()232(
)232()1()232)(1(
6117
22
22
22
2
=
+−=+++−
+−=−+++−
+−=−+++−
+−
++
−=
+−−
+−
A
CBA
CBA
xxxCBxxxA
xx
CBx
x
A
xxx
xx
Ahora realizamos las Multiplicaciones
6117232
6117)1)(()232(
222
22
+−=−+−++−
+−=−+++−
xxCCxBxxBAAxxA
xxxCBxxxA
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
Reordenamos Términos
6117232 222 +−=−++−−+ xxCACxBxAxxBxA
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sistema de Ecuaciones:
3 62
211 3
1 72 2
Ecc. A - C
Ecc. C BA -x
Ecc. B A x
=
−=+−
=+
En Ecuación [1], sustituimos valor de [A = 23], para encontrar el valor de [B].
[ ]
(3)3
47
722
72
B
B
B
B A
=
−=
=+
=+
En Ecuación [3], sustituimos valor de [A = 2], para encontrar el valor de [C].
(4)2
2
46
6]2[2
62
C
C
C
C
C A
=
=−
−=−
=−
=−
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sustituimos [2, 3, 4], en (1).
)232(
23
)1(
2
)232)(1(
6117
)232()1()232)(1(
6117
22
2
22
2
(1)
+−
−+
−=
+−−
+−
+−
++
−=
+−−
+−
xx
x
xxxx
xx
xx
CBx
x
A
xxx
xx
Solución: )232(
23
)1(
2
)232)(1(
611722
2
+−
−+
−=
+−−
+−
xx
x
xxxx
xx
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Repetidos..
( )32
5.94
22
23
+−
−+−
xx
xxx 1.
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales
( ) ( ) ( )(1)
323232
5.94
2222
2
23
+−
++
+−
+=
+−
−+−
xx
DCx
xx
BAx
xx
xxx
Factores Cuadráticos Repetidos
Existen 2 Método para Resolver Fracciones Parciales � Sustitución � Igualación de Coeficientes
Para eliminar los denominadores, multiplicamos todos los numeradores, por
( )3222
+− xx
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
5943232
594)()32)((
32
32)(
32
32)(
32
32)5.94(
323232
5.94
23223
232
22
22
2
22
22
22
23
2222
2
23
−+−=+++−++−
−+−=+++−+
+−
+−++
+−
+−+=
+−
+−−+−
+−
++
+−
+=
+−
−+−
xxxDCxBBxxBAxxAxA
xxxDCxxxBAx
xx
xxDCx
xx
xxBAx
xx
xxxxx
xx
DCx
xx
BAx
xx
xxx
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Repetidos.
Organizamos Términos
5943232 23223 −+−=+++−++− xxxDBCxBxAxxBxAxA
Sistema de Ecuaciones:
4 53
392 - 3
2 4 2
1 1
2
3
Ecc. - D B
Ecc. C B Ax
Ecc. B A - x
Ecc. A x
=+
=+
−=+
=
Valor de [A]:
(2) 1=A
En Ecuación [2], sustituimos valor de [A = 1], para encontrar el valor de [B].
[ ]
(3)2
24
412
42
B
B
B
B A
−=
+−=
−=+−
−=+−
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Repetidos.
En Ecuación [3], sustituimos valor de [A =1] y [B = -2], para encontrar el valor de [C].
(4)2
79
94 3
9]2[2 ]1[3
92 3
C
C
C
C -
C B -A
=
−=
=++
=+−
=+
En Ecuación [4], sustituimos valor de [B = -2], para encontrar el valor de [D].
(5)1
6 5
56-
53[-2]
53
D
D
D
D
D B
=
+−=
−=+
−=+
−=+
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Repetidos.
Sustituimos [2, 3, 4, 5], en (1).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
32
12
32
2
32
5.94
323232
5.94
2222
2
23
2222
2
23
(1)
+−
++
+−
−=
+−
−+−
+−
++
+−
+=
+−
−+−
xx
x
xx
x
xx
xxx
xx
DCx
xx
BAx
xx
xxx
Solución: ( ) ( ) ( )
32
12
32
2
32
5.94
2222
2
23
+−
++
+−
−=
+−
−+−
xx
x
xx
x
xx
xxx
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Repetidos.
( )22
2.763
22
23
+−
−+−
xx
xxx 2.
Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales
( ) ( ) ( )(1)
222222
2.763
2222
2
23
+−
++
+−
+=
+−
−+−
xx
DCx
xx
BAx
xx
xxx
Factores Cuadráticos Repetidos
Para eliminar los denominadores, multiplicamos todos los numeradores, por
( )2222
+− xx
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2.763 2222
)(22)()2.763(
22
22)(
22
22)(
22
22)2.763(
222222
2.763
23223
22
23
22
22
2
22
22
22
23
2222
2
23
−+−=+++−++−
+++−+=−+−
+−
+−++
+−
+−+=
+−
+−−+−
+−
++
+−
+=
+−
−+−
xxxDCxBBxxBAxxAxA
DCxxxBAxxxx
xx
xxDCx
xx
xxBAx
xx
xxxxx
xx
DCx
xx
BAx
xx
xxx
Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Repetidos.
Organizamos Términos
2.763 2222 23223 −+−=+++−++− xxxDBCxBxAxxBxAxA
Sistema de Ecuaciones:
4 22
372 - 2
2 6 2
1 3
2
3
Ecc. - D B
Ecc. C B Ax
Ecc. B A - x
Ecc. A x
=+
=+
−=+
=
Valor de [A]
(2) 3=A
En Ecuación [2], sustituimos valor de [A = 3], para encontrar el valor de [B].
[ ]
(3)0
66
632
62
B
B
B
B A
=
+−=
−=+−
−=+−
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Repetidos.
En Ecuación [3], sustituimos valor de [A = 3] y [B = 0], para encontrar el valor de [C].
(4)1
67
70 6
7]0[2 ]3[2
72 2
C
C
C
C -
C B -A
=
−=
=++
=+
=+
En Ecuación [4], sustituimos valor de [B = 0], para encontrar el valor de [D].
(5)2
0 2
26-
23[0]
23
D
D
D
D
D B
−=
+−=
−=+
−=+
−=+
Fracciones Parciales
[email protected][email protected][email protected][email protected]
con Denominadores Cuadráticos Diferentes
Sustituimos [2, 3, 4, 5], en (1).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
2
22
3
22
2.763
222222
2.763
2222
2
23
2222
2
23
(1)
+−
−+
+−=
+−
−+−
+−
++
+−
+=
+−
−+−
xx
x
xx
x
xx
xxx
xx
DCx
xx
BAx
xx
xxx
Solución: ( ) ( ) ( )
22
2
22
3
22
2.763
2222
2
23
+−
−+
+−=
+−
−+−
xx
x
xx
x
xx
xxx