Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

13
Forward kinematics of the general 6±6 Stewart platform using algebraic elimination Tae-Young Lee, Jae-Kyung Shim * Department of Mechanical Engineering, Korea University, 5-Ka Anam-Dong Sungbuk-Ku, Seoul, 136-701, South Korea Received 19 June 2000; accepted 23 February 2001 Abstract It is known that the number of solutions of the forward kinematics of the general 6±6 Stewart platform is up to 40 in the complex domain. Finding all the solutions is necessary when all the possible postures are of interest or a unique actual posture is to be determined by choosing the correct one out of the solutions. In such cases, algebraic elimination method can be a powerful tool. In this article, an elimination procedure for the forward kinematics of the general 6±6 Stewart platform is presented, which leads to a 40th-degree univariate equation without factoring out or deriving the greatest common divisor. In addition, the pro- posed method, when implemented in a computer language, requires less computation time than the existing algorithms do mainly because the size of the ®nal Sylvester's matrix is relatively small. The algorithm is demonstrated by two numerical examples. Ó 2001 Published by Elsevier Science Ltd. 1. Introduction The Stewart platform is a fully parallel mechanism that generally consists of two rigid bodies connected to each other through six legs. Depending on the arrangement of the legs, the platform can be divided into dierent types such as the 3±3, 5±4, 6±5, and 6±6. Particularly, the general 6±6 Stewart platform has distinctly and arbitrarily located joints in its base and moving platform. This fact makes its forward kinematics the most challenging one among all the types of Stewart platforms. It is known that the number of solutions of the problem is up to 40 in the complex domain. When all the possible postures are of interest or a unique actual posture is to be de- termined by choosing the correct one out of the obtained solutions, a method to ®nd all the solutions is necessary. As is known, algebraic elimination can be a good solution method for such Mechanism and Machine Theory 36 2001) 1073±1085 www.elsevier.com/locate/mechmt * Corresponding author. Fax: +82-2-926-9290. E-mail address: [email protected] J.-K. Shim). 0094-114X/01/$ - see front matter Ó 2001 Published by Elsevier Science Ltd. PII:S0094-114X01)00034-9

Transcript of Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

Page 1: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

������� ������ � �� �� ���� ��� ������ �������� ����������� ��������

������� �� ���� �� ���� !

���������� ��� ������ ������������ ���� ����������� ���� �������� ����������� ����� � !�"#�� ��� ����

" �#� $% �� &'''( � ��� &) ������ &''$

��������

*� �� ��� ���� �� ���� �� �������� �� �� ������� ������ � �� �� ���� ��� ������ �������� ���� �� +' � �� ����, �����- ����� ��� �� �������� �� ���� �� ��� �� ������� ������� �� ������� �� � ��.� � ���� ������ �� �� � ������ � ������ �� ��� � � ��� �� �� ��������- *�� � ���� ������� �������� ����� � � � ������� ����- * ���� ���� �� � �������� ��� ������ �� ������� ������ � �� �� ���� ��� ������ �������� �� ������ ��� � ���� �� � +'��������#����� .����� ������� �� ����� ��� �� ���#�� �� ������ ���� ��#����- * �������� �� �������� ������ �� ������� � � ������ ������� �.���� ��� ��������� ��� ��� �� ,��������������� �� ���� � ��� �� ��/ �� �� 0�� � �#���1� �����, �� �����#� �����- �� ��������� ����������� � ��� ���� �� ,�����- � &''$ 2������� � 3��#�� � � ���-

� ���� ������

�� ������ �������� �� � ���� ������� � ����� ���� ����� ������ �� ��� ����� ����� � �� �� � � ���� ������� ��, ���- 4���� � �� ������� �� �� ���� �� �������� � � ��#��� ��� ��5�� � �� �� � �� �� )�)� 6�+� ��6� �� ���- 2���� ����� � �� ���� ��������� �������� ��� ����� �� �� ���������� �� ��� 7���� � ��� ��� �� ��#�� ��������- ������ � ���� ��� ������� ������ � �� ���� ������� � ���� ��� �� � �� �� ���������������- *� �� ��� ���� �� ���� �� �������� �� �� ������ �� �� �� +' � �� ����,�����- 8� ��� �� ������� ������� �� �� ����� �� � ��.� � ���� ������ �� �� � ������� � ������ �� ��� � � ��� �� �� ������ ��������� � ����� �� 0� ��� ���������� �� ���� - 9� �� ���� ������� �������� � � � ���� ������� ����� ��� �� �

: ����� �� :� �� ���� )� ;&''$< $'=)�$'>6���-��#��- ��?�� ��?� ���

!@��������� ������- ��,A B>&�&�%&��%&%'-

������ �$$����% 7�����C����-� -�� ;�-��- ����<-

''%+�$$+D?'$?E � � ���� ����� � &''$ 2������� � 3��#�� � � ���-

2**A �''%+�$$+D;'$<''')+�%

Page 2: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

���- *� ������ ���� �� ������ ��� ���#�� � ��#����� ��� ����� .����� ����� ��� �� � ����� ��� �� ����� ������� ��� ,��� #������ F �� ���������� �� ����� �#������-

�� �� ,��� �� +' �0�������� �� �� ���� ��� ������ �������� ��� � 0������������ ���� ��� � "����#� G$H� �� ���� ��� ��# ������ �������� ����� ��0� ��� �� �������� �� �� ������- I��� G&H ����� � � +'������ ��#����� .����� � 0��� �� ������ ���� ��#���� �� �� �������� ��� ������ �� ��� )&'� ���� *�� �� G)H ���#� �� ���� �� ��� 6������� ��#����� .������ ���� �� ������ ���� ���� ��# +6� +6 ����� �- 4����� � ��- G+H ��� �� J������� �#��� � ���� ����� �� ������ +'������ ��� ����� ���� �� �>� �> � �#���1� �����, ����� � �> .������ �� �� ������ J�����������-

���� ���� ����� � ������� �������� ����� ��� �� ������� ������ � �� �� ������� ������ ��������� ��� � ��� �� ���� �� � +'������ ��#����� .����� ���� � ������ �� &>� &> � �#���1� �����, ������� �� ����� ��� �� ���#�� �� ������ ���� ��#����-�� ������� ��������� ��� � ��������� � @BB �� ���� � ,��� ���� � � �� )' �����0 �� ������ ��� ����� �� ����- ��� ���� �� ,����� �� ���#��� �� �������� ���#���� ���������-

� ��������� ���������� ���������

���- $ ����� � ������ ���� �� �� ���� ��� ������ ��������- �� ��, ����� ���� ���� ��� �� ������� �� �������� �� �� ��#�� �������� �� �� �� ����� ������� � � ��������� 7���- �� ������ �� �� ����� ��� �� �� ����� �� ��� �� ��� ���� �� ��� ����� �$ �� �$� ��� ��#� - �� � ��� �� ������� # ��� � � ��� �� ����� � ��� ��������� # ��� � � �����- �� ������� # ��� � ��� ��� �� �� ���� �� �� ����� �� ����� ������� � �� ��� ��- 8��� ��# �� ������ �� ������ ������� .������ ��������� �� �� ������� �� ����� ���� �� � � �� �� �� �������A

��� �� � ������ �� � �� � & � � &� � � � � � �$�

��� � &$� �&�

��� �� �� �� �� ���� �� � �� � ��������� �����,- K��� @� � 1� ������� G6H� � � �,����� ��

� � �� ���$�� ��� �)���� �� �� )� ) ����� �����, �� � �� � �������� )� ) ��� � ����� �����, ���� �������� ��������� ���� � �

� �' ��) �&�) ' ��$��& �$ '

��

��� �+�

����������� 3.- ;+< ��� 3.- ;)< ����

$'=+ &'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0�

Page 3: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

� � ��$$� �&$ � �&& � �&) &��$�& � �)� &��)�$ � �&�&��$�& � �)� $� �&$ � �&& � �&) &��&�) � �$�&��)�$ � �&� &��&�) � �$� $� �&$ � �&& � �&)

��

��� �6�

��� � � $� �&$ � �&& � �&)- 8��� �� ������ ;&<� 3.- ;$< � � ,���� ��

&�� ���� &�� �� &�� �� � �� � � �� � � &

� &$ � '� � &� � � � � �� ���

9������� �� ��������� �������� ��� �� # ��� � � ��$� �&� �)��� �� ��, 3.�- ;&< �� ;�< ���� �� ���� ��������� # ��� � �� �� # ��� �- ��� #������� ������ � ������ ������� �� ������� �� �� ��#�� �������� ��� ��# ��,��� �����-

� �������� ����� ���

��� ��� F �� ������� ��� ���� ����� ��������� # ��� � � � ������ � �� �������G)��H

� � ���� �=�9 ������ 3.- ;�< � � ������ �� ������� ���� ��#��� � ���

�� �� �� �� �� �� �$

&�� �� � �� � � &

� &$

� � '� � &� � � � � �� �>�

���- $- �� ���� ��� ������ ��������-

&'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0� $'=6

Page 4: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

���� 3.�- ;)< �� ;=<� � ����� �� �������� .�����

�� ���� �� ��� � �� �%�*� � �� � � ���� ��� ���� �� � � � �� �� ���� 3.�- ;>< �� ;%< � � ������ � �����, ���� ���������

�� �

�&$ �&& �&) ��&$ ��&& ��&) �&�)$ �)& �)) ��)$ ��)& ��)) �)�+$ �+& �+) ��+$ ��+& ��+) �+�6$ �6& �6) ��6$ ��6& ��6) �6��$ ��& ��) ���$ ���& ���) ��$ ��) �& �$ ��) �& '�) $ ��$ �) �$ ��$ '��& �$ $ ��& �$ �$ '

������������

������������

� � �������$

����������

����������� �� �$'�

���

� � ��� �� �$

&�� �� � �� � � &

� &$

�� � &� � � � � � �$$�

�� �� �� �� ; � &� � � � � �� � � $� &� )< �� �� ��� ������ �� # ���� � �� �-

'�' 1�������� ��������� �� ��� �-� ��$ � ���

�� ��������� �������� � �� � � 3.�- ;&< �� ;$'< � � ������� ��#�� �� ��� ������� � �$� �&� �� �) �� � ��� � �� �� ��� ��� ���#�� � ��#����� .����� ���� � ��#���1� ����� G=H- L ��� �� ��/ �� �� 0�� � �#���1� �����, �� ����� ���� � �������� � �� �.���� �� ���# � ���� �� ���������� �������� ��� ������ ���� �� �� ���������� �� ����� � �� �����,- I������ �� ���# �������� ��� ������ ����� �� ��������� ��/� � �#���1� �����, ��� �� �� ���� �� �� ������ �-

'�'�' & ��� ��������� � , � �� -� . $����� 2@������� 3.- ;$'< �� � ���� � ��� � ��, ����� �� � � �� ��� ��� �� �� �� ��������

�� =� = ����� �� �� >� = �����, � ������ � /�� ��� �� ,��� �� � �������- *� � ���� ���� ������ �� �� ��� �.��� ����� � ����� � ���#�� ���� =��� �� >�� ���� � � ����� � �� 3.- ;$'<� �� �������� ��� ��� ������ � �$� �&� �� �) �� ������ ���� ���������/����-

�$��$� �&� �)�

�'�����+� ����'�����)����� +

�$����$��&�

�) �

�'�����+� ��'�����)

��� +

�$���$��& � '� �$&�

�&��$� �&� �)�

���'�����)� ��'�����+����� +

�&����$��&�

�) �

�'�����)� ��'�����+

��� +

�&���$��& � '� �$)�

�)��$� �&� �)�

���'�����)� ��'�����+����� +

�)����$��&�

�) �

���'�����)

��� )

�)���$��& � '� �$+�

$'=� &'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0�

Page 5: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

��� ����� �� � $� &� )� �� ��� ������ ����� � ���� ���� �� � �� �� �F ������� �� � $� &� )� �� �� ������ .������ ���� ��� � �� �$ �� �& �� ������� �� ����� �� �)-9� �� �� 3.�- ;$&<�;$+< �� ��� +������ ��� ������ � �$� �&� �� �)� ��� ��� �� � +������ ���� ���� ��� � �� �$ �� �& � 3.- ;$+<-

'�'-' ��3 ��������� � , � �� � � � � !. $����� !* ������� �� 3.�- ;$&<�;$+<� ��� ������ � � �� ��� ��� ������ ���� �M � 3.- ;&<- *� �

�� � � �� �� ���� ) ���� �� � �� 3.- ;$'< � ���� ������ ���� �� 0��� 6 ����� ��� ����� ���� ������� �� �� = �F �� �����, �� � ����� � � ������ ���� �� �#�� ������� ���� � ��� ;$'<- 3� � �� ���� ����������� ���#��� � �� �� � ����� ������� ��� �� � � ���� �� �$� �&� �� �)- ����������� �� ��� ��# �������� �� � ��� 3.- ;&< ���� �� ���������� ��� ��� ������ �� ��� � � �$� �&� �� �) ���� ��������/����-

�$��$� �&� �)�

�'�����+� ����'����������� �

�$����$��&�

�) �

�'�����+� ��'������

��� �

�$���$��& � '� �$6�

�&��$� �&� �)�

���'������� ��'�����+����� �

�&����$��&�

�) �

�'������� ��'�����+

��� �

�&���$��& � '� �$��

�)��$� �&� �)�

���'������� ��'�����+����� �

�)����$��&�

�) �

���'������

��� �

�)���$��& � '� �$=�

* ���� �� �� ����� ��� ��� ������� � � �� �� �������� .������ ����� �� 3.- ;%<

$ $ '

$ ' $

' $ $

���

��� � � ���� �� ���� � �� �$>�

�� �� ���� ) ���� �� �� �F �� �����, � �� 3.- ;$'< �� ���� � �

$� �) $� �) �& � �$ �$� �) �$� �) �& � �$ '

$� �& �$ � �) $� �& �$� �& �$ � �) �$� �& '

�) � �& $� �$ $� �$ �) � �& �$� �$ �$� �$ '

���

���� �$%�

���� �� ���� �����,� � � ����� �� �������� ��� ������ � �� ��� �� �� � ��� ���3.�- ;$6<�;$=<-

����$� �&� �)�

�����'����������� �

������$��&�

�) �

���'������

��� �

�����$��& � '� � � +� 6� �� �&'�

��� ����� �� � $� � � � � �� � 3.�- ;$6<�;$=< �� ;&'< �� ��� ������ ����� � ���� ������ � �� �� �F ��� ���� �� � $� � � � � �� �� �� ������ .������ �� ������� �� ����� ���)-

&'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0� $'==

Page 6: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

'�' ' & ��� ��������� � , � �� -� . $�����$ �� � , � �� -� . ��$ � , � �� -.���� 3.�- ;$&<�;$+<� �� �������� ��� .������ � � ���#�

��$��$��&��)��&��)�)'��)��&�)'�

�'�$�&� ����'�����+

�����+

��$����$�

�&�

�)�

�'�$�&� ��'�����+

���+

��$���

$�

�&�'� �&$�

��&��$��&��)��$��)�')��)��$�')�

���'�����+� ��'�$�&

�����+

��&����$�

�&�

�)�

�'�����+� ��'�$�&

���+

��&���

$�

�&�'� �&&�

��� ������ �� � $� &� �� ��� ������� �� ����� �� � $� &� �� ������� �� ������ �� �)-

8��� �� ����� �� ���#�� �� 0# ������� ���� �$���& � � '� � � � � +� ���� 3.- ;$6<� �

����� �& � �$�& � �& � �&&� ��$ � �&$� �

�$ � �$�&� ��

$ � �&&� �� �$ ������ � �� �������� �����,����

�$�$ �

��& � �$�& �&�)$ �&�&& �&�$) �&�'+ '��& � �&& ' �&�)$ �&�&& �&�$) �&�'+

���$ � �&$ ��

$�&& ��$�$) ��

$�'+ ' '���

$ � �$�& ' ��$�&& ��

$�$) ��$�'+ '

���$ � �&& ' ' ��

$�&& ��$�$) ��

$�'+

��$ �$�+& �$�)) �$�&+ �$�$6 �$�'�

�����������

�����������

$�+$�

&&

�)$�)&

�&$�+&

�$�6&��&

��������

��������� �� �&)�

���

��& �

���'�����)��� )

�&���$��&�

���$ �

�'�$�&� ��'�����)

��� )

��$���

$�

�&�

��$ �

�'�����+� ��'�����6��� 6

�$���$��&� �&+�

�������� � � ���� �� .������ �$ � �&$� �$ � �$�&� ��& � �&$� �

�& � �$�&� ��

& � �&&� �� �& � ���������� �����, ���� � ���� �� ���# �� 0# ������� ���� �$�

��& � � &� � � � � �� ���� 3.-

;$�<

�&�& �

��$ � �&$ �$�+' �$�)$ �$�&& �$�$) '��$ � �$�& ' �$�+' �$�)$ �$�&& �$�$)

���& � �&$ ��

&�+' ��&�)$ ��

&�&& ' '���

& � �$�& ' ��&�+' ��

&�)$ ��&�&& '

���& � �&& ' ' ��

&�+' ��&�)$ ��

&�&&

��& �&��' �&�6$ �&�+& �&�)) �&�&+

�����������

�����������

$��$�6$�&�+$�

&&

�)$�)&

�&$�+&

��������

��������� �� �&6�

���

��$ �

���'�����)��� )

�$���$��&�

���& �

�'�����)� ��'�$�&

��� )

��&���

$�

�&�

��& �

�'�����6� ��'�����+��� 6

�&���$��&� �&��

��� �� ,��� �� � ������� �� �� ��� ��# ���� � ���� ;&)< �� ;&6<� ���� �� ���������� �� �F �� ����� � �$ �� �& ������ � /��� ��� � ���� �� ��� ��� ������ �� ���������� ����

$'=> &'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0�

Page 7: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

�$��$� �&� �)� ����$� �

�'�����+� ��'�����6� ��'��������� 6� ����� �

��$����$�

�&�

�) �

�'�����+� ��'�����6

��� 6

� �$���

$�

�& � '� �&=�

�&��$� �&� �)� ����&� �

�'�����6� ��'�����+� ��'��������� 6� ����� �

��&����$�

�&�

�) �

�'�����6� ��'�����+

��� 6

� �&���

$�

�& � '� �&>�

��� ������ �� � $� &� �� ��� ������� �� � ���� �� � $� &� �� ������� �� ������ �� �)- 9� ��

�� ���� �� ��� ������ ;&=< �� ;&>< �� 6������ ���� ��� � �� �$ �� �&-L ���� �� .������ �$� �&� �

�$� �� ��

&� �� 6������ ���� �$�6�& � � '� � � � � +� �� �$ �

� ���#�- *� � ���� �� .�������$ � �$��& � �&���$ � �$���

$ � �&���& � �$���

& � �&� ���$

� ���� �� �������� ���� � ��� � � ������

�)�) �

��$ � �$ �$�+' �$�)$ �$�&& �$�$) ' '��& � �& ' ' �&�)$ �&�&& �&�$) �&�'+

���$ � �$ ' ' ��

$�&& ��$�$) ��

$�'+ '���

$ � �& ' ' ' ��$�&& ��

$�$) ��$�'+

���& � �$ ��

&�+' ��&�)$ ��

&�&& ' ' '���

& � �& ' ��&�+' ��

&�)$ ��&�&& ' '

��$ ' � �$�+$ � �

$�)& � �$�&) � �

$�$+ � �$�'6

�����������

�����������

$�6$�+$�&�)$�

&&

�&$�)&

�$�+&�6&

����������

����������� �� �&%�

���

��$ �

�'�����+� ��'�����+��� +

� �$���

$�

�& � '� �)'�

�� ������ ��� �� ,��� �� � ������� �� 3.- ;&%< ���� �� �������� ��� ����� �� ���+ ���� ��� � �� �$ �� �&

�)��$� �&� �)� ����)� �

���'�����+� ��'����������� �

��)����$�

�&�

�) �

���'�����+

��� +

� �)���

$�

�& � '� �)$�

��� ��)��� �� ��� ������� �� � �)�� �� ������� �� ��)��� �� �)-

'-' �������� � ���������� �������� �� �

* ���� �� ���# � ��#����� ��� ����� � �) ���� �� ���# .������ � � � $� &� )��� � � $� � � � � ��� �� � � � $� &� )�� � �� �.���� �� ����� � � � �#���1� �����, �������) �� - ��� ���� ������� �� ���� ����� �� �$�

�& � �� ���# .������� �� ������ �� ����

�����- ��� � ������ ����� ��������� ���� .������ � ������� �� �� ���# �� � ���������� ���� ����� �� �� �$ �� �&� �� ���� ��� ,��� �� �� ����� �����.������ �� ���� ����� G=H- ���� $ ����� �� ���� ����� �� � ��� � �� ��� ��#.������ ��������� �� ��� &> .������- �� #���� �)�)'$ �� �)�&$$ �� �� .������)�)'$�& � �$ � �)�&$$�& � �& � ���� $ �� �� ��� �F ��� �� �)$�) �� �&$�&�) �� �� .������) � 3.- ;$+<- �� ���� ����� �� ���� &> .������ �� �� &> ���� ����� �� ����

&'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0� $'=%

Page 8: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

���� �� ���� ��� �� .��� �� � ���� ��� � �� �$ �� �&- * �����, ����� ��� �� .������ �� ����� ��

� � �� �)&���� � �� �� &>� &> �F �� �����, ������ �� � ���� �)� �� �� �� &> ���# ��� �� ��� �� ���� ����� �� �$�

�& ; � '� � � � � �� � � '� � � � � �� � �� �<-

*� � � � �� ���� �� .������ �� ���� ����� ;���� ����� ��< �� 3.- ;)&<� ��������� � ���� ��� ��� ���� � ��� �� ��# � �������- ������� �� �������� ���������� � �����0�-

����� � '� �))�N��� �� ������ ;))< ��� �� ���� �� � +'������ ��#����� .����� �� �������

+'�'

��) � '� �)+�

��� � � � '� � � � � +'� �� ��� ������ ����� � ���� ���� �� - ���#�� 3.- ;)+< ��#� +'����� �� �) � �� ����, �����-

* �� ���� �& � �$ �� �& � �& �� ��� ����� �� �)�)'$�& � �$ � �)�&$$�& � �&� �� 0�� ���#����� ��� ������ ��� ��� ��# ��� �� +$������ �� �� ���� � �� ���� ��

��$ � �)�&$$�)�+'�'

��) � '� �)6�

��& � �)�)'$�)�+'�'

��) � '� �)��

��� � � � $� &� �� � � � '� � � � � +'� �� ��� ������- @������� �� �������� �� �������� �� �� �� ���� ����� �� 3.�- ;)6< �� ;)�<� �� �� ,� ���� ���� �� ��� � � ������� +' �� �������� � ���� �� .����� �)�)'$�& � �$ � �)�&$$�& � �&

���� $

2������ &> .������ ��������� &>� &> � �#���1� �����,

3.;�< 4��� �� ��� ������ ���� ��� � �� �$ �� �& ����

��������� ��� ��# #�������

N����

�� 3.�-

)�� +�� 6�� ���

�$� $ �$ �&$� �&& +

�&� $ �$� �& �&$� �&& 6

�)� $ �$� �& �&$� �$�&� �&& �&$�&� �$�

&&� �

)& %

�� � $� � � � � ��� $ �

�$� �$� �& &

��)�)'$�& � �$ � �)�&$$�& � �&�� $ $

�)� �$�& $

����� &>

$'>' &'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0�

Page 9: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

�)�)'$��$

� �)�&$$�)�+'�'

��)

�� �)�&$$��&

� �)�)'$�)�+'�'

��)

� ��)�)'$�$ � �)�&$$�&�+'�'

��) �+'�'

��) � '� �)=�

��� � � ��)�)'$�$ � �)�&$$�&��-

' ' 4��� �����������

L ���#�� � � ��� ���� �� �����, � � 3.- ;)&<� � � ��� �� ���� � ��� ������� �� &=� &> �F �� �����, �� &> ���� ����� ��- �� �'$�

'&�� $� �� ���� ��

� ��� � � ������ �� ���� .������ �� &= �����- ������� ��� �� +' ����� �� �) ���� ��#����� .����� ;)+<� � � ����� �� ��������� #���� �� �$ �� �& � ���#�� ����� ��# ���� � ����- ��� �� � ��������� �� #���� �� �$� �&� �� �) ��� �� ���� � ��������� � ���#�� � & ���� ���� � �� 3.- ;$'<� ��� �� #���� �� � �� ������- 8�����$� �&� �� � �� ��� �� ������� �� ���� ���� � ���� �� �)-

! �������� ��������������

�� ��������� ��� � �� ����� � � ����� ���� ������� :9�I3:9�*@9 G>H� ������������� � � ������ ������- * ���� ������� � � �� ���� ���� �����0� ������ ����0 �� ������� ��� � ������� @?@BB ������ �� ��,���� ���� �� ������ �� ����� $6� 2@ ���- I ����� ������ � ���� G%H �� )' ������ �� ������ �� �� ������� ������5�����-

�� � ����� �� ������ �� ������� ��� 3.- ;)+< � � ���� � ���� ���� �� ,������� �� ��� ����� �F ��� G)�$'H- L ���� �� �������� �� ����� � ����� � ������������ +$ ���������� �� �� #���� ��� �) � �� &>� &> � �#���1� �����, � 3.- ;)&<� � �� �� +$���� .������ �� ���#� ���� �� ����� �� �� +$ �F ��� �� �� ��#����� ��� �����-N��� ���#�� �� � ��� ���#��� �� #���� �� ��� �� �F ���� � ��� � � � ��# ���������� ��� � ���� ��� � ���� � �������� �#�� �� �� +$� +$ �F �� �����, �� ��

���� &

*��� ���� ��� 3,���� $

�� ��

$ G'� '� 'H G'� '� 'H $+

& G6� '� 'H G+� '� 'H $&

) G$&� �$6� 'H G>� ��� 'H $=

+ G$>� ��� )H G$)� �)� �6H $6

6 G&'� $� �)H G$+� 6� &H &)

� G$'� >� 6H G�� $'� )H $%

&'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0� $'>$

Page 10: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

���� )

�������� ��� 3,���� $

����- "�������� �������� � ����������� �������� �

�$ �& �) �� �� ��

$ �'-'6>' �'-%$6> �'-'&'$ �&-&'>$ �$-)�6> �$)-=6=$& $-+)6= �$-='�> �'-�=$� �-)==% '-=)&> �$&-++$)) �)-==�$ &-%=>) '-+>6) &-$'=� )-)+=& $)-+&%�

+ �'-)%=% '-+)'= '-6>'� �&-6%>$ �&->%== $)-++>&

6 '-�+&' '-$�+) '-=&== >-)6%� ��-+666 %-$>%)

� �'-6�'' �'-%>&& '-�'$� '-==&6 �$)-=&�' &-�+6=

= '-$>$= '-'+6+ �$-'��+ �->6=$ '-&>&$ $&-&'&6

> �-'+$% �+-�=$% &-%>$� $)-$')= �'-%%=$ +->&='

%�$' '-&+6> '-)&6&� �'-��%%�'-'$$%� '-$''% '-''=6� �)-+$6>�'-=&&'� +-$='$ '-6�)+� �$&-%6>+ '-)=$��

$$�$& '-)&='�$-'>&�� '-&�%+ '-&&66� '-')&6 '-$=>>� &%-+&6% +)-=)>'� $�-�'=& ))-'%+6� 6�-'$6$�)&-=>>+�

$)�$+ '-�&�%�'-&��+� '-&>=6�'-$$%+� '-'$==�'-$%'6� �&-�6=)�&=-6$++� $'-&$$+�&-)%$'� &%-$6>6�$-�='$�

$6�$� '-&+%� '->�)+� '-$+$&�'-)+6'� �'-$%&+�'-'='%� $)-6+&= &=-')&>� &%-=�$+�$>-&$6%� $=-$�+= $'-&666�

$=�$> '-'6$&�'-+%$=� �'-6'&��'-$='>� '-$+&> '-&$%&� $'-%+)) $=-$$%�� $+-%&++�%-�=%&� �$6-=)>+ &-=&6'�

$%�&' '-&$)=�'-$$'6� '-+6+)�'-&+>�� '-'+&��'-&%>+� $$-%>'+ &>-�=6+� $>-))$� 6-&&�>� &6-�=)+ %-�+%&�

&$�&& �'-&%�&�'-==%%� �'-%)++�$-'%$6� '->%=>�'-���+� $&-+>=��$-$)>6� �-%'+6 $-%'$'� '-�&$$ $-=6=$�

&)�&+ �'-'&)6�'-=%>%� '-$'$$�'-=>$+� �$-'')$�'-$$$=� &=-'+=��'-6))6� )=-$>'��)-$=$+� �)-'&&%�+)-=>'%�

&6�&� �'-$%>) $-'&'+� �'-+>='�'->%&=� '-'6%'�'-)'+%� %+-%'&+ 6)-%''+� >-=+=6 &%-$&=>� �6>-$>&% %&-&%6>�

&=�&> '-&)=��'->&$'� �'-$$'& '-6$6'� �'-�>$&�'-$=6%� �$&->$=��+-+�)6� $%->&&$�&-=+%'� �'-$+%' $>-&�>>�

&%�)' '-)=>��'-=+''� �'-&++& '-=%>+� '->6+'�'-'$=6� $�-&%6%�+-&6)%� �$$-+&>��$+->$>>� �$'-%=%& %-$$$6�

)$�)& �'-$%6%�$-'$+=� �'-'%+&�$-')+>� �$-'>=+�'-&')%� �'-=�)'�&-$>�%� �$6-&'�'�)&-6&=&� �)6-')=+ $+-$�+&�

))�)+ '-&6$+�'-��%$� �'-&&�=�$-'$$=� $-'6$%�'-&$&=� �$-&'6��&-)�6)� �&�-$'+= +-)=6�� �6-'+)��&&-'>$>�

)6�)� �'-++&&�'-$$)�� �'-&&>=�'-$&)%� �$-$�)%�'-'$)�� $&-&'�) '-��)+� '-$6&'�'-+$&+� �-%%)%�$-$+>>�

)=�)> �'-6$)> '-==6>� '-6=''�'->6)$� '->&%) '-&)6>� �+-$$=>�'-)>)=� +-=$=+�$6-$6$>� $%-%�%$ )-6''&�

)%�+' '-'+=��$-='&)� '-+>%' $-+6)+� �'-6%%$ '-%&'+� $&-%=)+ '-6+)$� �+-)6'=�&-'%+6� �+-%&$> )-&>)&�

$'>&

&'�(

')���

*'��

'� ��

+���

�����

��$��� ���& ���

!,-##�.�#" /�#0�

Page 11: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

���� ��- ��� ���#�� � ��#����� ��� ������ � �� ��� � @��� :��� ������ G$$H �� ������� � ����� ���� ������� �� ���� � ��� -

" ��������� �#������

�'�' 5�������� �3����� �

��� �� �� �� �� ����� �� ������ �� �������� �� �� ��� ������ �������� ���� ����� &� �� +' �������� � �� ����, ����� �� �� �����- I��#�� �� � ���� ���� ��������� �� �������� � ��# �� >� �� ��� �� �� +' �������� �� > �� �� ��� �� ���� ����� )-

�'-' 5�������� �3����� -

4������1� ���� �� ���� ���� ������� +' ��� ������� G$&H �� ��� ��� �� � �� ,����-K��� � ���� �� ����� �� � ��� �� ���� �� ��� ������� �� �� ���� ��� ��������������� � ������ �� ���� � ���� +- 9� �� ,� ��� � ������ �� +' ��� �������� ����� ���� 6-

�� ����� �.���� ��� �� ����� ��� �� �������� � �� ������� ��������� �� ����� '-&6� � � 2@ ;2����***��'' :I/< �� ������ ������ ��������� ��� �� ������� �#�#������ ,�����-

$ ����������

���� ���� ����� � ������� �������� ����� ��� �� ������� ������ � �� �� ������� ������ ��������� ��� � ��� �� ���#� � +'������ ��#����� ��� ������ ��#�� �,������ �� ���� ���� �� &>� &> � �#���1� �����,- �� �� ����� �.���� ������� �� ������ �� ������ �.��� ����� �� �� ��������� ��� �� ����� ��� � ������ �� ��,����� ����������- * ���� ����� �� ��� � ������� � @BB ������ ���� �� ������ ����� �� )' ����0 �� ������ � ���� ���� �� �������� ��# ���� � ��� - :�� �� ��� ��������� ��� �� ,� �� �� �� �� ������� � ���� ������ #����� ���� ���� ��� �������� $��� � �� ���� ����-

���� +

*��� ���� ��� 3,���� &

�� ��

$ G'� '� 'H G'� '� 'H $

& G$-$'=%$6� '� 'H G'-6+&>'6� '� 'H '-�+6&=6

) G'-6+%'%+� '-=6�'�)� 'H G'-%6�%$%� �'-6&>%$6� 'H $-'>�&>+

+ G'-=)6'==� �'-&&)%)6� '-6&6%%$H G'-��6>>6� �'-)6)+>&� $-+'&6)>H $-6')+)%

6 G'-6$+$>>� �'-6&�'�)� �'-)�>+$>H G'-+=>)6%� $-$6>=+&� '-$'=�=&H $-&>$%))

� G'-6%'+=)� '-'%+=))� �'-&'6'$>H G�'-$)='>=� �'-&)6$&$� '-)6)%$)H '-==$'=$

&'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0� $'>)

Page 12: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

��%�������

G$H :- "����#�� 9�:3 �- : �- 4�- $$6 ;$%%)< &==�&>&-

G&H :-�- I��� � : �- :� �- ���� )$ ;$%%�< )�6�)>'-

G)H @- *� ��� �A 2�� ���� �� 9�:3 43�@%>? :3@I�6>%+� $%%>-

���� 6

�������� ��� 3,���� &

����- "�������� �������� � ����������� �������� �

�$ �& �) �� �� ��

$ �&-=�&%)$$ �'->&$%+6> �'-'>+>'�> '-+>+�$$� �'->=)%)+= �'-')=&==%& �$-�))�+%% �'-=66=$+$ �'-+%=�&)= '-++&$%>= �'-=$)+%+) �'-6+)+%+6) )-)>�)>)& �$-)+66=>) '-$&'6'+� '-6&$>+== '->$'=&'& '-&�6)++�

+ +-&=&+%=+ �$-$'''))= �'-)$'%+%6 '-6)%>+>+ '-�=>>+'� '-+%==)+)

6 �$-))�>6)' �'-+$=$+%> '-)''�+6) '-+==>%$6 �'-=>$'%>> �'-+'$>=�$� $-)6>'%>& �'-+%=$'+& '-))'%6'= '-+>%$&&& '-�%�&)'' �'-6&6)=%&= �$-)='�>�' �'-=))+=6' �'-�)&'6>6 '-++)')=6 �'-66>�&$6 �'-='$$>+�> �$-$�$)�>= �'-=$&%'�) �'-=6>$'$$ '-+6>=)++ �'-)=)+>'% �'->'�&=&$% �$-$&%++=% �$-$66�6>% '-=&�=>+) '-%$===>$ �'-$$$$=�& '-)>$&$&>

$' �$-%))%&%& �$-)%)%+=$ �'->�6+%$6 '-6)6�&%= �'-=6'')'& �'-)>�=$6>$$ �'-6'6%%)) �'-)$&>=$6 '->6%)&'> '-%>%$)&) '-$$��=$) '-'>%+=$)

$& �$-%)=$%�6 �$-++)%�%$ '-+�6&+6� '->')&�=> �'-&%�''=$ '-6$�>6�6

$) �$-''=$$&' �'-�%>6�++ �'->�%=�&� '-+>6+>'> �'-&''>$>' �'->6'>='6$+ $-&%�%$�' �'-'$=&6') �$-'��='�$ '-�)�$=%6 '-==$6)=& '-'$6)='%

$6 �'-)>�$+'6 �'-$)�=)$= '-%'$&>'$ '-%%)=&6> '-$$$=>6% '-'')�$&=

$� �'-=$'>+$) �'-�>$>)6> �$-$+%>%=% '-6>6%$'� '-$�$+%>) �'-=%+$&')$= �'-&6�=+>> '-'&&)&+) '-%+='$�& '-%%)6==) '-'=%��66 �'-'>')6%&$> �'-6')&=+� �'-�>=%&%= �$-)%))6$' '-�=%=%�) '-)+>'�'= �'-�+66+�%$% $-$=>>�)= �'-&&)6�+& $-)�>++>6 '-%�>'%+) '-&)�==)+ �'-'>&'+==&' �$-+6�%$�% $-��'+)$' �$-+&6)$�) '-�>%+$>) '-6%)�66> �'-+$6'�')&$ '-'%6&')' '-&>&&��+ $-''=&'�) '-%66>�>' �'-'+�%%6� �'-&%''$))&& '->6+��)+ &-�$=+$�� �&-6&$$=&) '-%%>%'$& �'-'+$6�+) �'-'&$�6$=&) '-+$>$�>= �&-6'%=+$� $-�%)'))> '->%$)=+% �'-'=%>&=' �'-++�$>&$&+ �'->+'6%&) �'-�>�)=%) �$-'$6++'6 '-6)+'')+ '-''�$=+' �'->+6+6%>&6 $-'��+$)� �&-$%>6>'+ $-6)+&+=6 '-=>$$''+ '-'�>=%>& �'-�&'�')=&� �'-)+)))�+ $-+'++')' $-%>&6>%= '-%')$=+$ �'-+$>++6+ '-'%6>$&'

&= �)-�6&+$>+ 6-')&='&& �&-='&>>&' '-='=%�)' '-�>6>�>+ �'-$�>++&=&> �$-%$>%)'' &-�+&$>%6 �$-=>'>�6$ '-=$%$)$& '-�))>>&6 �'-&>+�>'%&% '-66�'>)% '-&$+$6&� '-%$>$')� '->�))&6� '-''6�++) �'-6'+�$6')' '-=$%+'%% +-)'�)$66 �)-&=�+6)) '-%%%�&=6 '-'&�$=6> �'-''==&)=)$ �$+-�$''+)' $=-=$$=%6' �=-%+�$)'' '-��=6)$> '-=)>)$>' �'-'%�)===)& �>-''')%%% +->>�)=>% $$-')=6>%$ '->)&&>+= �'-&>&=6$> '-+=�>$�&

)) &)-&&)6'+� �>-)>=%$)) �&%-$6%6&=) '->&6'>'& �'-)$>%&6= '-+��+''&

)+ �$-+�%>+&� �%-$>%%+)+ 6-'>6%�>6 '-%%6)�=� �'-'6$$%%) '-'>$)=6�

)6 +-%)6&&'% �'->'''+%) ��-6)=$%)� '->66=�6� �'-))+�=%& '-)%+6)$6

)� $-)%=%&'6 $$-)$�%+$= �=-$>$++&> '-%%>6&=' '-')$&$=+ '-'++6'>>

)= �&-�>%=%&% &-+6$�&6) +-+&$=6&% '->6+)=�& �'-&%+&')' '-+&>)6&6

)> �+->'%%='' �'-&'�=�&& �=-$)=%)=& '-%%$�)&% �'-$&�%$%6 '-'&)%6�>

)% $�-)6�'&>6 �$-+>>�+=> $>-'%>+>)� '->=''==6 �'-+6$$&&' �'-$%>�)'6+' �+$-='>=)�6 $-+�6=&�% �6)-%''%))� '-%6>'%>& �'-&>+')>= �'-')='$$�

$'>+ &'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0�

Page 13: Forward kinematics of the general 6–6 Stewart platform using algebraic elimination

G+H 9- 4������ 9- 9������ 4- ������ �A 2�� ���� �� 9�:3 43�@%>? :3@I�6%�%� $%%>-

G6H O- L������ L- "���� ������ �� ������ �� N�����I������ N� ����� ��- %�$$-

G�H 4- ��/���� @����������� ������ �� ����� 9 ���� 2��������� 4���� ��� $%%)� ��- $=6�$>$-

G=H :- "����#�� L- "���� 9�:3 �- : �- 4�- ;�� ��� 6'�� 9�#���� 4��� *���< $$= ;$%%6< =$�=%-

G>H �- 8������� �� :������� � L���� ����� �-� 8������ :���� @������� K�#���� 2���� @�������� $%%�-

G%H �-:- L������ ���������� ������ � ����A??���-����-��- ��?����?�������&?����������-����-

G$'H 9-J- 3���� ;3�-<� :��� ������ �A 4#������ � �� ���� ���� ����� 8�� � N� ����� ��- +6$�+='-

G$$H �-�- :������ @��� :��� ������ � ����A??����--�����-�?������ ?��,-����-

G$&H 2- 4������� 9�#� � � "���� ������ � =�$�� ����� 9 ���� 2��������� 4���� ��� $%%>-

&'�(' )��� *'��' � �� + ��� ����� ��$ ��� ��� & ��� ! ,-##�. �#" /�#0� $'>6