Mobile Robot Kinematics

Mobile Robot Kinematics

قیداری شیری سعید دکتر

کتاب 3فصل

Amirkabir University of TechnologyComputer Engineering & Information Technology Department

سینماتیک

Kinematics

درس استاندارد شروع نقطه سینماتیک مطالعه معموال. است روباتیک

نظیر علوم سایر در روباتیک بر عالوه سینماتیک. دارد کاربرد نیز انیمیشن و گرافیک

سینماتیک: روبات حرکت هندسه تحلیلی مطالعه از است :عبارت

ثابت مختصات محور یک به نسبت حرکت باعث که گشتاوری یا و ها نیرو به نسبت

میشوند

سینماتیک

Forward kinematics

Given joint variables

End-effector position and orientation, -Formula?

),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq

),,,,,( TAOzyxY x

y

z

روباتهای برای سینماتیک بحثصنعتی

روباتهای برای سینماتیک بحثصنعتی

مستقیم سینماتیک بحث درارائه روشی صنعتی روباتهای

ها لینک جهت و موقعیت که میشوداز تابعی بصورت را روبات ابزار و

به نسبت ها مفصل متغیرهای. میکند محاسبه مرجع محور

به مختصاتی فریمهای اینکار برایوصل روبات مکانیزم از بخش هر

این بین ارتباط سپس و شده. میشود بیان محورها

A 3-DOF Manipulator Arm

Given a desired position (P) & orientation (R) of the end-effector

Find the joint variables which can bring the robot the desired configuration

),,( 21 nqqqq

x

y

z

برای معکوس سینماتیک بحثصنعتی روباتهای

Inverse Kinematics

(1 … n) (x,y,z,x,y,z)

K-1

است مستقیم سینماتیک از تر سختزیرا:

و بوده خطی غیر حاصله معادالتحل راه همیشه اینرو از

آنها حل برای سیستماتیکی.closed formبصورت ندارد وجود

. نیست بفرد منحصر حل راه مشخصات به بستگی حل راه

دارد !solutions 2روبات


Forward and Inverse Kinematics

xw

Joint 1

Joint 2

Joint 3

Link 1z1

World (Base) Coordinate Frame

Tool Coordinate Frame

Joint 1

Joint 2

Joint 3

Link 1z1

World (Base) Coordinate Frame

Tool Coordinate Frame

1

2

zw

yt

zt

Link Space

n variables (1 … n)

Tool Space

6 variables (x,y,z,x,y,z)

Forward K

Inverse K

متحرک روباتهای سینماتیک

زمینه دو در متحرک روباتهای سینماتیک مطالعه: است الزم

نظر مورد عمل انجام برای روبات مناسب طراحی شده ساخته روبات کنترلی افزار نرم نوشتن

صنعتی روبات و متحرک روبات بین مهم اختالف یک . در صنعتی روبات است موقعیت گیری اندازه در

نسبت آنرا موقعیت میتوان لذا است ثابت نقطه یک. گرفت اندازه ثابت نقطه این به

روبات یک موقعیت کنترل

موارد تا است الزم روبات یک موقعیت کنترل برای: بدانیم را زیر

/ روبات دینامیکی سینماتیکی مدل زمین و چرخ بین تعامل مدل: نیاز مورد حرکت از تعریفی

- موقعیت کنترل سرعت کنترل. میکند برآورده را الزم نیازمندیهای که کنترلی قانون

مختصات تبدیل

عالقمند معموال روبات یک موقعیت بررسی هنگاممحور یک به نسبت آنرا موقعیت که هستیم

. بسنجیم مرجع مختصات ،چرخها نظیر روبوت یک اجزای حرکت حالیکه در

و سنسورها، گرفتن قرار بدنه غمحل به نسبت یره . میشوند گیری اندازه روبات

اهداف ویا روبات موقعیت تا است الزم اینرو ازگیری اندازه روبات موقعیت به نسبت که را دیگر

. نمود بیان مرجه مختصات محور به نسبت میشوند بود خواهد مختصات تبدیل به نیاز اینکار برای

Let and be arbitrary vectors in and be the angle from to , then

Where is the angle between the vectors and is the norm.

X.Y=0 if X is perpendicular to Y.

3R

cosyxyx

x yx y

x

y

x

خارجی ضرب

Mutually perpendicular

Unit vectors

Properties of orthonormal coordinate frame

0

0

0

jk

ki

ji

1||

1||

1||

k

j

i

i

jk

O

خارجی ضرب

Point represented in OXYZ:

zyx kji zyxxyz pppP

Tzyxxyz pppP ],,[

Vector represented in OXYZ:

x

y

z

P

O, O’i

jk

بردار و نقطه نمایش

Reference coordinate frame OXYZ

Body-attached frame O’uvw

wvu kji wvuuvw pppP

x

y

z

P

u

vw

O, O’

zwyvxu pppppp

Point represented in O’uvw:

Two frames coincide ==>


باشیم داشته دوران فقط که حالتی

wvu kji wvuuvw pppP

x

y

zP

zyx kji zyxxyz pppP

uvwxyz RPP u

vw


داد؟ ربط هم به را مختصات محور ایندو نقاط مختصات میتوان چگونه

Px , Py , and Pz represent the projections of P onto OX, OY, OZ axes, respectively

Since

wvux pppPp wxvxuxx kijiiii

wvuy pppPp wyvyuyy kjjjijj

wvuz pppPp wzvzuzz kkjkikk

wvu kji wvu pppP

ساده دوران حالت

Basic Rotation Matrix

Rotation about x-axis with

w

v

u

z

y

x

p

p

p

p

p

p

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

kkjkik

kjjjij

kijiii

x

z

y

v

wP

u

CS

SCxRot

0

0

001

),(


Rotation about x axis with

cossin

sincos

cossin0

sincos0

001

wvz

wvy

ux

w

v

u

z

y

x

ppp

ppp

pp

p

p

p

p

p

p

x

z

y

v

wP

u

Basic Rotation Matrices

Rotation about x-axis with

Rotation about y-axis with

Rotation about z-axis with

uvwxyz RPP

CS

SCxRot

0

0

001

),(

0

010

0

),(

CS

SC

yRot

100

0

0

),(

CS

SC

zRot


Obtain the coordinate of from the coordinate of

uvwxyz RPP

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

kkjkik

kjjjij

kijiii

R

xyzuvw QPP

TRRQ 1

31 IRRRRQR T

uvwPxyzP

<== 3X3 identity matrix

z

y

x

w

v

u

p

p

p

p

p

p

zwywxw

zvyvxv

zuyuxu

kkjkik

kjjjij

kijiii

Dot products are commutative!

Example

A point is attached to a rotating frame, the frame rotates 60 degree about the OZ axis of the reference frame. Find the coordinates of the point relative to the reference frame after the rotation.

)2,3,4(uvwa

2

964.4

598.0

2

3

4

100

05.0866.0

0866.05.0

)60,( uvwxyz azRota

Composite Rotation MatrixA sequence of finite rotations

Matrix multiplications do not commute

Rules:If rotating coordinate O-U-V-W is rotating about principal axis of OXYZ frame, then pre-multiply the previous (resultant) rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix

If rotating coordinate OUVW is rotating about its own principal axes, then post-multiply the previous (resultant) rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix

Example

Find the rotation matrix for the following operations:

Post-multiply if rotate about the OUVW axes

Pre-multiply if rotate about the OXYZ axes

...

axis OUabout Rotation

axisOW about Rotation

axis OYabout Rotation

Answer

SSSCCSCCSSCS

SCCCS

CSSSCCSCSSCC

CS

SCCS

SC

uRotwRotIyRotR

0

0

001

100

0

0

C0S-

010

S0C

),(),(),( 3

Coordinate Transformations• position vector of P in {B} is transformed to position vector of P in {A}

• description of {B} as seen from an observer in {A}

Rotation of {B} with respect to {A}

Translation of the origin of {B} with respect to origin of {A}

Coordinate Transformations

Two special cases

1 .Translation onlyAxes of {B} and {A} are

parallel

2 .Rotation onlyOrigins of {B} and {A} are

coincident

1BAR

'oAPBB

APA rrRr

0' oAr

Homogeneous Representation• Coordinate transformation from {B} to {A}

• Homogeneous transformation matrix

'oAPBB

APA rrRr

1101 31

' PBoAB

APA rrRr

10101333

31

' PRrRT

oAB

A

BA

Position vector

Rotation matrix

Scaling

Homogeneous Transformation

Special cases1 .Translation

2 .Rotation

10

0

31

13BA

BA RT

10 31

'33

oA

BA rIT

Example

Translation along z-axis with h:

1000

100

0010

0001

),(h

hzTrans

111000

100

0010

0001

1

hp

p

p

p

p

p

hz

y

x

w

v

u

w

v

u

x

y

z P

u

vw

O, O’

hx

y

z

P

u

vw

O, O’

Example

Rotation about the x-axis by

1000

00

00

0001

),(

CS

SCxRot

x

z

y

v

wP

u

11000

00

00

0001

1w

v

u

p

p

p

CS

SC

z

y

x

Example Find the homogeneous transformation matrix (T)

for the following operation:

:

axis OZabout ofRotation

axis OZ along d ofn Translatio

axis OX along a ofn Translatio

axis OXabout Rotation

Answer

44,,,, ITTTTT xaxdzz

1000

00

00

0001

1000

0100

0010

001

1000

100

0010

0001

1000

0100

00

00

CS

SC

a

d

CS

SC

Homogeneous Representation

A frame in space (geometric interpretation)

x

y

z

n

sa

1000zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

F

),,( zyx pppP

101333 PR

F

Principal axis n w.r.t. the reference coordinate system


Translation

y

z

n

sa n

sa

1000

10001000

100

010

001

zzzzz

yyyyy

xxxxx

zzzz

yyyy

xxxx

z

y

x

new

dpasn

dpasn

dpasn

pasn

pasn

pasn

d

d

d

F

oldzyxnew FdddTransF ),,(


21

10

20 AAA

Composite Homogeneous Transformation Matrix

0x

0z

0y

10 A

21A

1x

1z

1y 2x

2z2y

?i

i A1 Transformation matrix for adjacent coordinate frames

Chain product of successive coordinate transformation matrices

Homogeneous Transformations

With respect to the universal frame , the position of is:

Homogeneous Transformations

This equation can be reduced in a very handsome way by introducing homogenous coordinates and transformation .

Minimal Representation of Orientation

101333 PR

F

متحرک روباتهای سینماتیک :منظور به روبات مکانیکی عملکرد توصیف و طراحیهدف

کنترل این با است صنعتی روباتهای به شبیه متحرک رواتهای سینماتیک

. نماید حرکت محیط در آزادانه میتواند متحرک روبات که تفاوت روبات موقعیت گیری یاندازه برا مستقیمی روش آن بر عالوه

از گیری انتگرال با زمان طول در باید را موفعیت و نیست. آورد بدست شده انجام های حرکت

. شد خواهد گیری اندازه در خطا ایجاد به منجر اینکار متحرک های روبات در جدی ازمباحث یکی مسئله این با مقابله

میباشد. سر بر چرخها که محدودیتهائی از باید روبات حرکت فهم برای

. نمود شروع میکنند ایجاد حرکت راه

روبات موقعیت دادن نشان

که باشد صلب جسم یک روبات که میشود فرضصفحه یک روی بر و گرفته قرار چرخها روی

. میکند حرکت متغیر دو با میتوان را روبات صفحه x,yموقعیت در

متغیر یک مشخص و آن جهت دادن نشان براینمود

y

x


: میشود استفاده مختصات فریم دو از اینکار برای و مرجع مختصات فریم یکی دارد قرار روبات روی بر که محلی فریم دیگری

میشود دادن نشان زیر بصورت مرجع فریم

میشود داده نشان زیر بصورت روبات فریم

},{: YX IIO

},{ YX RR


مرجع فریم و روبات فریم بین زاویه اختالف اگربا روبات (برابر فریم مبدا و x,yدرنقطه) Pبوده

در باشد داشته قرار مرجع فریم به نسبتمرجع فریم به نسبت روبات فریم اینصورت

. میشود داده نشان بصورتزیر

y

x

I


در حرکت تا است الزم روبات حرکت توصیف برایروبات فریم در حرکت به مرجع فریم راستای

. زیر دوران ماتریس از اینکار برای شود نگاشت. میشود استفاده

داریم قبل شکل حالت برای مثال برای

100

0

0

)(

CS

SC

Rot

100

001

010

)( 2Rot

IR R )(

مستقیم سینماتیک مدل

:هندسی ابعاد و روبات چرخهای سرعت اگر هدفخواهد چگونه روبات حرکت باشیم داشته را آنرا

شعاع بود؟ با یک هر چرخ دو دارای زیذ شکل باندازه rروبات و نقطه lبوده بین Pاز وسط در که . با برابر چرخها سرعت دارد فاصله دارد قرار چرخ . q1,q2دو مدل اینصورت در میباشد

: بود خواهد زیر بصورت روبات مستقیم سینماتیک

مثال

مستقیم سینماتیک محاسبه

هر تاثیر میتوان مرجع فریم در روبات حرکت محاسبه برایبه را نتیجه و کرده محاسبه را روبات فریم در چرخها از یک

. مینمائیم منتقل مرجع فریم محور جهت در روبات که کنیم فرض باشد Xاگر حرکت در

نقطه حرکت چرخها Pسرعت از یک هر چرخش بازا: بود خواهد زیر بصورت

با را مولفه ایندو میتوان دیفرانسیلی درایو با روبات یک درنمود جمع هم

22

.

11

.

)2/1()2/1( rrrr xx


مولفهy. بود خواهد صفر حرکت این مولفه محاسبه چرخ tبرای فقط اگر باشید داشته نطر در

در چرخش به چپ چرخ حول روبات کند دوران راست . نقطه ای زاویه سرعت آمد :Pخواهد با بود خواهد برابر

داریم چپ چرخ برای ترتیب همین بهl

r

21

1

l

r

22

2

l

r

l

r

rr

RI

22

022

)(

21

21

1

مدل روابط این ترکیب بابصورت روبات سینماتیکی

بود خواهد زیر


زیر رابطه از دوران ماتریس مقدار رابطه این در. میاید بدست

مجبور روبات حرکت توصیف برای کلی حالت دربر چرخ هر که را هائی محدودیت تا بود خواهیم

. بگیریم نظر در نیز را میکند اعمل حرکت

100

0

0

)( 1

CS

SC

Rot

Mobile Robot Kinematics

Documents

Transcript of Mobile Robot Kinematics