Formas e Modelos Geométricos - Universidade de...
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Formas e Modelos Geométricos
Antonio L. BajuelosDepartamento de Matemática
Universidade de Aveiro
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Representação Tridimensional IntroduçãoIntrodução
Os factos: Os objectos do mundo físico possuem formas altamente
diversificadas. Seria impossível criar um programa gráfico que contivesse cada
uma destas possíveis formas. O que podemos fazer:
Desenvolver recursos que permitam a construção de um objecto qualquer a partir de primitivas e propriedades comuns entre os objectos.
Um par de exemplos: A geração de polígonos permite representar uma série de
objectos com forma euclidiana, que vão desde esferas, elipsóides e toros até pirâmides e edifícios.
Objectos naturais como montanhas, nuvens, árvores, folhas, flores e relva podem ser modelados através de fractais.
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Representação Tridimensional Introdução (cont…)Introdução (cont…)
Mas como? A representação tridimensional pode ainda ser realizada
de duas maneiras distintas: através da representação de fronteira –
os objectos são descritos como um conjunto de superfícies que separam seu interior do meio-ambiente (exterior);
através da representação de subdivisão de espaço – os objectos são representados através das propriedades de
cada ponto no seu interior. Este tipo de representação é utilizado quando deseja-se
analisar o interior de objectos, como por exemplo o corpo humano.
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Representação TridimensionalSuperfícies poligonais A forma mais comum de representação tridimensional é
através de um conjunto de superfícies poligonais que delimitam o interior de um objecto.
O software gráfico geralmente traduz a descrição do objecto em termos de superfícies poligonais.
Motivação: Polígonos são peças de aproximação de curvas reais Numa superfície curva quanto mais aproximações tivermos, mais
perfeita é a modelação da superfície real Pequenos segmentos (curvos ou rectos) aproximam da curva real
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Representação TridimensionalSuperfícies poligonais Vantagem fundamental da utilização das superfícies
poligonais para a representação de curvas: A vantagem deste método é que as superfícies planas formadas
permitem um tratamento através de equações lineares, o que acelera o cálculo.
Exemplo: Um poliedro pode ser facilmente representado por superfícies
poligonais como por exemplo o cubo, o icosaedro, o tetraedro.
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Representação TridimensionalSuperfícies poligonais (cont…) Um polígono pertencente a um dado objecto é caracterizado pelo
conjunto de vértices que o constitui e pelos atributos da sua superfície, como por exemplo a reflectividade, a transparência, etc.
Uma das formas mais utilizadas na representação de superfícies poligonais é através de 3 tabelas, contendo respectivamente
uma lista de vértices
uma lista de arestas
uma lista de polígonos
A lista de arestas faz referência à tabela de vértices para definir todas as arestas do objecto.
De forma análoga, a tabela de superfície de polígonos utiliza a tabela de arestas para formar os elementos poligonais do objecto.
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Representação TridimensionalSuperfícies poligonais (cont…) Exemplo:
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Representação TridimensionalSuperfícies poligonais (cont…)
Observações: Uma outra forma de armazenar estas informações seria com somente
duas tabelas: a de vértices e a de polígonos. Neste caso, contudo, algumas arestas podem ser traçadas duas vezes.
Outra alternativa é manter apenas a tabela de polígonos, mas além de inviabilizar a apresentação da estrutura de arame, também aumenta a necessidade de memória pois cada vértice pode aparecer em vários polígonos.
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Representação TridimensionalAproximação vs Interpolação A aproximação e interpolação de curvas através de uma
série de pontos dados constitui uma das mais poderosas ferramentas da computação gráfica.
Compromisso: Os pontos de uma superfície curva são discretos, então a
representação destas superfícies pode ficar comprometida pois a restituição da imagem apresenta geralmente as junções (picos) entre os polígonos que a constituem
Por outro lado, a redução do intervalo entre os pontos acarreta, além de um maior tempo de processamento da imagem, também uma dificuldade maior na armazenagem e na colecta dos pontos da superfície.
A determinação de tais superfícies constitui o processo denominado de aproximação e interpolação
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Representação TridimensionalAproximação vs Interpolação (cont…) Quando a curva obtida passa obrigatoriamente por todos os pontos
dados, tem-se a interpolação (curve fitting), isto é:
pode-se obter as coordenadas de pontos intermediários entre dois
pontos quaisquer interpolando-se a curva neste intervalo.
Por outro lado, quando a curva “suaviza a rugosidade” dos pontos
sem necessariamente passar por nenhum deles (excepto, talvez, os
pontos das extremidades), então tem-se a aproximação (curve
fairing)
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Representação TridimensionalAproximação vs Interpolação (cont…) Para assegurar a transição da curva entre os pontos,
utiliza-se de critérios de continuidade. Um critério de ordem zero estabelece que as curvas devem
encontrar-se num ponto. Um critério de primeira ordem garante que, além das curvas
encontrarem-se no ponto, as derivadas de ambos os segmento são também iguais neste ponto.
Um critério de segunda ordem faz com que também as segundas derivadas sejam iguais,
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Representação TridimensionalAproximação vs Interpolação (cont…) Uma curva que ajusta (fit) –
A curva obtida passa por todos os pontos. Uma técnica usual de ajuste de curvas são os splines
cúbicas, uma estratégia de aproximação polinomial por partes.
No processo de aproximação - A curva obtida pode não passar por nenhum dos pontos
dados pelo que se diz que a curva aproxima (fair) os dados
Para esse caso, técnicas usuais são as representações de Bézier e B-Splines
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Representação TridimensionalRepresentações não paramétricas Explicita:
Para uma curva plana, a forma não paramétrica explicita é dada por a seguinte equação: y = f(x)
Exemplo:
A equação de uma recta é dada por y = mx + b
Atenção: Curvas fechadas, ou com valores múltiplos, como um círculo, não podem ser representadas explicitamente.
Essa limitação não existe no caso de representações Implícitas, na forma f(x, y) = 0
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Representação TridimensionalRepresentações não paramétricas (cont…) A equação implícita de segundo grau genérica:
ax2 + 2bxy +cy2 +2dx +2ey + f = 0
Engloba uma variedade de curvas bi-dimensionais denominadas secções cónicas.
Os três tipos de secções cónicas são: a parábola, a hipérbole e a elipse (um círculo é um caso especial de uma elipse).
Dependendo dos valores a, b, c, d, e e f, diferentes tipos de secções cónicas são produzidas.
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Representação Tridimensional
Representações não paramétricas (cont…) Limitações desta representação:
Ambas (explícita e implícita) são dependentes do sistema de coordenadas.
Pontos em uma curva calculados a partir de incrementos uniformes em x ou y não estão distribuídos uniformemente ao longo da curva o que afecta a qualidade e precisão da representação gráfica.
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Representação TridimensionalRepresentações Paramétricas (cont…) Na forma paramétrica, cada coordenada de um ponto em
uma curva é representada como uma função de um único parâmetro, sendo que a posição de um ponto na curva é fixada pelo valor do parâmetro.
Por exemplo: para uma curva 2D que usa t como parâmetro, as coordenadas
cartesianas de um ponto na curva são: x = x(t) e y = y(t) O vector que define a posição de um ponto na curva é portanto
dados por P(t) = [ x(t), y(t) ] A derivada, ou vector tangente da curva é dada por
P’(t) = [ x´(t), y’(t)] A inclinação da curva é dada por
/ '( )
/ '( )
dy dy dt y t
dx dx dt x t= =
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Representação TridimensionalRepresentações Paramétricas (cont…) Observações gerais:
A forma paramétrica é usada para representar curvas fechadas e com valores múltiplos.
Uma vez que um ponto na curva é especificado por um único valor de parâmetro, a forma paramétrica é independente do sistema de coordenadas.
Os extremos e o cumprimento da curva são fixos pelo intervalo de variação do parâmetro, frequentemente normalizado para 0≤ t ≤ 1, por conveniência.
Como as curvas são independentes do sistema de coordenadas, elas são facilmente manipuladas utilizando as transformações geométricas afins.
Determinar um ponto em uma curva dado x é trivial no caso da representação explícita. No caso da paramétrica, é necessário obter o valor do parâmetro t a partir de x, e a seguir usar este valor para obter y.
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Representação TridimensionalRepresentações Paramétricas (cont…) Exemplos:
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Representação TridimensionalRepresentações Paramétricas (cont…) Exemplos:
“Pontos em uma curva calculados a partir de incrementos uniformes em x ou y não estão distribuídos uniformemente ao longo da curva o que afecta a qualidade e precisão da representação gráfica”
Representação Não Paramétrica vs Paramétrica (primeiro quadrante de uma circunferência)
y x x= − ≤ ≤1 0 12 ,
( ) ( )[ ]cos / ,sen / ,π πt t t2 2 0 1 ≤ ≤
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Representação TridimensionalRepresentações Paramétricas (cont…) Atenção!
Não existe uma única representação paramétrica de uma curva.
Exemplo: as seguintes representações descrevem o primeiro quadrante de uma circunferência:
Para a mesma curva pode ser escolhida a representação paramétrica mais conveniente em função de
custo computacional facilidade de armazenamento uniformidade do passo
( ) ( )[ ]cos / ,sen /
, ,
π πt t
t
t
t
t
2 2
1
1
2
1
2
2 2
e
−+ +
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Representação TridimensionalCurvas cúbicas paramétricas As curvas cúbicas paramétricas podem ser obtidas com
base em polinomiais de grau 3 Na forma algébrica (em função do parâmetro u):
x(u) = axu3 + bxu2 + cxu + dx
y(u) = ayu3 + byu2 + cyu + dy
z(u) = azu3 + bzu2 + czu + dz
Na forma vectorial:
P(u) = [au3+bu2+cu+d] com u ∈ [0,1]
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Representação TridimensionalCurvas cúbicas paramétricas (cont…) Exemplo:
x = 2u2 + 1;
y = u3 + u2;
z = 3u - 2P(0) = [1, 0, -2]
P[0.5] = [1.25, 0.375, -0.5]
P[0.8] = [2.024, 1.152, 0.4]
P[1] = [3, 2, 1]
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Representação TridimensionalCurvas cúbicas paramétricas (cont…) Forma Geométrica vs Forma Algébrica
Dizemos que uma curva cúbica paramétrica está na forma geométrica se ela é “controlada” pelos pontos fronteira P(0) e P(1) e os vectores tangentes nestes pontos.
Estas curvas são também denominadas Curvas Hermite
Em geral a forma geométrica é mais conveniente para controlar a construção da curva e a sua compreensão, comparando com a forma algébrica
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Representação TridimensionalCurvas cúbicas paramétricas (cont…) Como podemos obter a forma Geométrica?
Tomando P(u) = au3 + bu2 + cu + d e u ∈ [0,1] Logo P(u)u = 3au2 + 2bu + c (derivada em u) Podemos obter que
P0 = d;
P0u = c;
P1 = a + b + c + d;
P1u = 3a + 2b +c
Resolvendo para a, b, c, d
a = 2P0 – 2P1 + P0u + P1
u;
b = -3P0 + 3P1 – 2P0u – P1
u;
c = P0u;
d = P0 ;
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Representação TridimensionalCurvas cúbicas paramétricas (cont…) Como podemos obter a forma Geométrica?
Assim
P(u) = (2u3 - 3u2 +1)P0 + (-2u3 + 3u2)P1 + (u3 – 2u2 + u)P0u + (u3 – u2)P1
u e
u ∈ [0,1]
Se F1 = (2u3 - 3u2 +1); F2 = (-2u3 + 3u2);
F3 = (u3 – 2u2 + u); F4 = (u3 – u2);
Fs são designados por Polinómios Hermite base
Finalmente podemos obter que:
p = F1 P0 + F2P1 + F3P0u + F4P 1
u
Se B = [P0 P1 P0u P1
u] então
p = FB
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Curvas de Bézier Introdução
Curvas implementadas em paralelo por Piérre Bézier e por Paul de Casteljau enquanto trabalhavam na Renault e na Citroen, respectivamente.
Receberam o nome de Bézier por este ter sido o primeiro a referir-se a elas num trabalho escrito. Em 1970 no livro “Emploi des Machines a Commande Numerique” as curvas apareceram formuladas como hoje as conhecemos.
Casteljau criou um algoritmo matematicamente estável que pode ser usado para as implementar.
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Curvas de Bézier Definição informal
Uma curva de Bézier é definida por vários pontos (pontos de controlo), sendo que o primeiro e o último pertencem à curva.
A curva de Bézier está sempre contida no invólucro convexo definido pelos seus pontos de controlo a que se dá o nome de Polígono de Bézier.
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Curvas de Bézier Introdução
A questão fundamental:
Como criar uma curva que começa num ponto, termina noutro ponto e a sua forma está dependente de um certo número de pontos de controlo, que irão “puxar” ou “afastar” a curva de si?
Uma possível resposta:
Temos de construir uma função que estabeleça o “peso” que cada ponto de controlo estabelece em cada momento, ao longo da curva.
Uma das funções mais utilizadas para esse efeito são os Polinómios de Bernstein.
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Curvas de Bézier Polinómio de Bernstein
O polinómio de Bernstein de grau n:
onde i representa o índice do ponto de controlo, o parâmetro t ∈ [0,1]
O parâmetro t move-se ao longo da curva, que apresenta o mesmo grau que o polinómio, e determina em cada instante o peso do ponto i
( ) ( ) ( ) ( ),
!1 1
! !
n i n ii ii n
n nB t t t t t
i i n i
− − = − = − ÷ −
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Curvas de Bézier As curvas de Bézier são definidas pela seguinte equação
paramétrica:
onde
são os polinómios de Bernstein de grau n, definindo 00=1, e os pontos Pi por pontos de controlo.
( ) ( ) [ ],0
, 0,1n
i i ni
C t P B t t=
= ∈∑
( ) ( ), 1 , 0,...,n ii
i n
nB t t t i n
i−
= − = ÷
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Curvas de Bézier Curvas de Bézier Lineares
n = 1
Dois pontos de controlo: P0 e P1
A curva é dada pela equação:
Temos que: uma curva de Bézier linear é o segmento de recta que une os dois pontos de controlo.
( ) ( ) [ ]0 11 , 0,1C t t P tP t= − + ∈
P0
P1
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Curvas de Bézier Curvas de Bézier Quadráticas
n = 2
Três pontos de controlo: P0, P1 e P2
A curva é dada pela equação:
P0
P1
( ) ( ) ( ) [ ]2 20 1 21 2 1 , 0,1C t t P t t P t P t= − + − + ∈
P2
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33
Curvas de Bézier Curvas de Bézier Cúbicas
n = 3
Quatro pontos de controlo: P0, P1, P2 e P3
A curva é dada pela equação:
P0
P1
P2
( ) ( ) ( ) [ ]3 2 2 30 1 2 3( ) 1 3 1 3 1 , 0,1C t t P t t P t t P t P t= − + − + − + ∈
P3
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34
Curvas de Bézier Curvas de Bézier Cúbicas
n = 3
Quatro pontos de controlo: P0, P1, P2 e P3
A curva é dada pela equação:
O grau mais utilizado para as curvas de Bezier é o terceiro.
P0
P1
P2
( ) ( ) ( ) [ ]3 2 2 30 1 2 3( ) 1 3 1 3 1 , 0,1C t t P t t P t t P t P t= − + − + − + ∈
P3
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35
Curvas de Bézier Demo
http://www.doc.ic.ac.uk/~dfg/AndysSplineTutorial/Beziers.html
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36
Superficies de Bézier As superfícies de Bézier são generalizações das curvas
de Bézier a dimensões de ordem superior.
Uma superfície de Bézier de ordem (n,m) pode ser definida em termos de um conjunto de (n+1) x (m+1) pontos de controlo Kij com índices inteiros i=0,…,n e j=0,…, m.
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37
Superficies de Bézier Uma superfície de Bézier com estes pontos de controlo
pode ser descrita como uma função do quadrado unitário em R2, (u,v) ∈ [0,1]2, no espaço afim dos pontos de controlo da seguinte forma:
onde
( ) ( ) ( )0 0
,n m
n mi j i j
i j
p u v B u B v K= =
= ∑∑
( ) ( )1n in i
i
nB u u u
i−
= − ÷