Forkunnskaper Geometri og design · 48 Maimum 10 Lærerens bok Muntlige ferdigheter Geometri...

Maximum 10 Lærerens bok48

Muntlige ferdigheterGeometri inneholder mange fagbe-greper. Det er viktig at elevene øver på å bruke disse begrepene riktig. Bruk matematiske begreper i samtale om fagtekster, eksempler og oppgaver.

Digitale ferdigheterVi bruker et dynamisk geometripro-gram til å utforske geometriske sammenhenger. Oftest kan slike programmer bare verifisere en sammenheng, ikke bevise. Det er viktig at læreren fremhever forskjellen på dette.

Skriftlige ferdigheterI tillegg til å kunne presentere utregninger med riktig bruk av formler, symboler og enheter, og utføre presise konstruksjoner med passer og linjal, skal elevene lære å tegne skisser og illustrasjoner. Elevene skal lære ulike teknikker for å utføre en skriftlig transformasjon fra en tredimensjonal gjenstand til et todimensjonalt papirark.

ger eller illustrasjoner der målestokk inngår, er ett eksempel, å beregne avstander, areal og volum et annet. Vi knytter Pytagoras’ læresetning til «snekkertrekanten», formlikhet til geografisk oppmåling og det gylne snitt til kunst og arkitektur. Slik viser vi at matematikken er en tilstedevæ-rende del av den verden vi lever i, og umulig å løsrive seg fra.

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheterI dette kapitlet legger vi spesielt vekt på å kunne lese informasjon ut av en figur, et kart, en tegning eller et bilde. Denne typen informasjon vil elevene møte i sammensatte tekster langt utenfor det matematikkfaglige. Elevene trenger slike leseferdigheter for å kunne orientere seg i en by eller et landskap, for å skru sammen et flatpakket møbel, for å få godt utbytte av en tur på et kunstmuseum og for å tolke tekster med matema-tisk innhold.

Geometri og designDirekte oversatt betyr ordet geometri «å måle jorda». Opprinnelig var det også dette geometri ble brukt til: måling og beregning av avstander og vinkler knyttet til landskap og byggverk.

2

Geometri og design

Dette kapitlet bygger videre på Maximum 9, kapitlene 3 og 4. Elevene skal lære å bruke geome-triske sammenhenger i beregninger, tegning og konstruksjon. Deler av kapitlet er knyttet til ulike bruksom-råder som målestokk, arkitektur og design. Elevene møter tradisjonelle oppgaver, men utfordres også på å være kreative, og etter hvert blir det nødvendig å beherske mer sammen-satte problemstillinger. Elevene skal også kunne vise at en sammenheng er sann, eller at et resultat er riktig. Da er det viktig å forklare elevene forskjellen på et bevis og en verifisering.

Forkunnskaper• Ulike typer vinkler og trekanter• Vinkelsummen i en trekant• Konstruksjon av vinkler, normaler

og paralleller• Tales’ setning• Kvadratrot• Omgjøring av lengdemål• Forholdsregning

Gjennomfør den digitale førtesten i Smart Vurdering. Testen kartlegger hvilke ferdigheter eleven har i forkant av arbeidet med kapitlet. Resultatene kan brukes til å plan-legge læringsarbeidet med klassen din. (Se generell del side VII.) Prøvene kartlegger hvilke forkunnskaper elevene har for innlæringen av stoffet i dette kapitlet.

Faglige sammenhengerGeometri er en klassisk del av matematikken, med lange tradisjoner og direkte forbindelser til andre fagområder som astronomi, geografi, arkitektur, byggeteknikk og kunst. I dette kapitlet samles kunnskap fra 8. og 9. trinn til mer sammensatte problemstillinger, samtidig som vi ønsker at elevene skal være faglig forberedt på å møte trigonometri i sitt 11. skoleår. Perspektivtegning er nær knyttet til faget Kunst og håndverk.

Praktisk anvendelseGeometri er et fagområde de fleste får bruk for i en eller annen form. Å lese og tolke kart og arbeidstegnin-

Kapittel 2 • Geometri og design 49

ord går igjen hos flere elever. Dersom enkeltelever har en helt urealistisk egenvurdering, kan det være nødven-dig med en fagsamtale.

Utforskende oppgaveDet er ikke meningen at elevene skal jobbe selvstendig med denne oppgaven. Ideen går igjen i oppgaver senere i kapitlet, i tilknytning til formlikhet og målestokk. La elevene jobbe i par eller i grupper med først å tegne situasjonen med flaggstang og meterstokk – og skyggene av begge. La elevene diskutere fremgangsmå-ten. Her er ideen at Ola har nøyaktig 1,0 m å sammenlikne med. Hvis 1,0 m kaster en skygge på for eksempel 1,5 m, vet vi at skyggen blir 1,5 ganger så lang som gjenstanden. Med det utgangspunktet kan vi måle skyggen av flaggstangen, dele på 1,5 og dermed vite hvor høy flaggstan-gen er. Hvis det er solskinn og dere har tilgang til en flaggstang, må dere gjerne gå ut og gjennomføre aktivite-ten i praksis. Bruk anledningen til å repetere litt om måleusikkerhet.

ForenklingFor elever som ikke klarer å tenke generelt og prinsipielt, må tegningen deres målsettes. Meterstokken er 1,0 m, meterstokkens skygge er 1,5 m, og flaggstangens skygge er 12 m.

Mer utfordring / Flere aktiviteterVelg flere høye gjenstander (trær, bygninger, statuer, siloer osv.) som dere kan finne høyden til. La elevene jobbe i par eller i grupper på tre og be dem tippe høyden før målingen gjennomføres. Aktiviteten kan gjennomføres som en konkurranse med en liten premie til gruppa som har lavest gjennomsnittlig avvik mellom tippet og målt verdi.

En muntlig utfordringSe beskrivelse side 98.

ordene i kategorier. Bruk for eksempel konstruksjon, formler, beregning, enheter, regler og sammenhenger. Det viktigste er ikke at elevene husker absolutt alt, men å bevisstgjøre dem på at dette er et fagområde de har mye kunnskap om fra før, og gjøre denne kunnskapen aktiv igjen.

MatematikkordTa utgangspunkt i tankekartet. Er det noen av matematikkordene dere allerede kjenner innholdet i? Hvilke ord er kjent fra dagligtalen, og hvilke ord er helt ukjente? La elevene skrive egne ordforklaringer til et utvalg av ordene. La dem bytte ordforklaringer og diskutere om forklaringen er korrekt, presis og forståelig.

Bruk egenvurderingsskjemaet E.10.2. La elevene kommentere læringsmå-lene og sortere ut hvilke mål de må fokusere på i læringsarbeidet. La elevene også markere ukjente eller vanskelige ord som inngår i lærings-målene. Saml inn og ta vare på skjemaene. Legg merke til om noen

RegneferdigheterElevene får øvd regneferdigheter gjennom trekantberegninger, forholdsregning og regning med formler og målenheter.

Faglig innhold• Introduksjon til temaet geometri

og design• Målestokk og forhold

KommentarerTankekartElevene er kjent med geometri fra 8. og 9. trinn. Trekk frem gammel kunnskap før dere starter på kapitlet. Bruk IGP-metoden (individ-gruppe-plenum) til å lage et tankekart.

Geometri

Ved presentasjon i plenum kan elevgruppene komme med to stikkord hver. Etter hvert som elevene leverer stikkord, kan det være lurt å sortere

KatetHypotenusPytagoras’ læresetningFormlikForholdMålestokkPerspektivForsvinningspunktA-formatGyllent snitt

Matematikkord

«Må jeg klatre opp i flaggstangen for å måle hvor høy den er?» spør Ola mens han klør seg i hodet med meterstokken. Han får svaret: «I hvert fall ikke så lenge sola skinner og meterstokken og flaggstangen kaster skygge!»

Hva kan være forklaringen på det svaret?

?

I kapitlet ser vi på sentrale geometriske sammenhenger og beregninger som brukes i tekniske fag, arkitektur, geografi og kunst.


Mål

60° 60°

60°

40°50°

90°

30° 30°

120°

45°

45°90°

Maximum 1050

Trekantberegning

HER SKAL DU LÆRE Å

• regne ut ukjente sidekanter i rettvinklede trekanter• regne ut sidekanter i noen spesialtilfeller av trekanter• begrunne formlikhet• regne ut sidekanter på formlike figurer

Trekanten er den mangekanten som har færrest sider. Alle andre mangekanter kan deles opp i trekanter. Derfor er trekanten en viktig grunnfigur i geometrien. Når vi kan gjøre beregninger på trekanter, kan vi også gjøre beregninger på mange andre figurer.

2.1 Hvilke type trekanter er dette?

a

b

c

d

Trekanter med ulike egenskaper har forskjellige navn:

Likesidet Likebeint Rettvinklet Stumpvinklet Spissvinklet

Alle sidene er like lange.

To sider er like lange.

Én av vinklene er 90°.

Én av vinklene er større enn 90°.

Alle vinkler er mindre enn 90°.

De to korteste sidene i en rettvinklet trekant kalles katet, og den lengste siden kalles hypotenus.

Katet

Kate

t

Hypotenus

katet i en rettvinklet trekant kalles de to korteste sidene for katet. De er sidene i trekanten som utgjør vinkelbeina til den rette vinkelen

hypotenus i en rettvinklet trekant kalles den lengste siden for hypotenus. Dette er motstående side til den rette vinkelen

du har svært få elever, anbefaler vi at hver elev lager to ulike figurer.

Arealet av de tre kvadratene på figurene kan finnes ved opptelling, selv om de fleste elevene forhåpent-ligvis synes multiplikasjon er nyttig for å finne kvadratene på katetene. Når det gjelder kvadratet på hypote-nusen, trengs det likevel litt opptel-ling. De blå linjene er hjelpelinjer og viser at det store røde kvadratet består av fire rettvinklede trekanter og et lite kvadrat i midten. To av trekantene er til sammen like store som ett av rektanglene, og rektan-glene lar seg telle. For figuren i boka blir opptellingen av arealet i det store kvadratet slik:

2.1Oppgaven kan gjøres muntlig i samlet klasse. Benytt anledningen til å repetere vinkelsummen i en trekant. La elevene kontrollere at måltallene på figurene stemmer med 180°.

Aktivitet – Utforske en rettvinklet trekant 1Målet med aktiviteten på side 51 er at elevene selv skal oppdage sammenhengen i Pytagoras’ læreset-ning, og at de skal knytte sammen-hengen til kvadratene på sidekan-tene. Aktiviteten går derfor ikke så langt at vi regner ut lengden av hypotenusen. For å få frem poenget i aktiviteten er det vesentlig at det forekommer et utvalg av ulike rettvinklede trekanter i gruppa. Hvis

KommentarerBruk gjerne egenvurderingsskjemaet E.10.2 til kapitlet og la elevene notere stikkord om hva de kan, og hva de skal lære til det første delkapitlet. Samtal om læringsmå-lene. Her kan vi anta at alle lærings-målene representerer nytt lærestoff for alle elevene. Spesialtilfellet med 30–60–90-trekanten er nevnt på 9. trinn, så det kan være enkeltelever som husker dette.

Legg vekt på begrepene. En vanlig misoppfatning er å kalle den lengste siden i en trekant for hypotenus, uansett form på trekanten. Det er derfor viktig at elevene allerede nå får forståelsen for at begrepene katet og hypotenus bare kan knyttes til rettvinklede trekanter.

Faglig innhold• Repetisjon av navn på

ulike trekanter• Å oppdage Pytagoras’

læresetning

Utstyr• Egenvurderingsskjemaet

E.10.2• Kopioriginal K.10.2.1• Kopioriginal K.10.2.2• Kopioriginal K.10.2.3• Linjaler• Vinkelhaker eller

gradskiver


Oppgavebok

2.29

2.1, 2.2


Aktivitet

Utforske en rettvinklet trekant 1Dere trenger• ruteark, 1 · 1 cm• linjal• vinkelhake eller gradskive

FremgangsmåteBruk linjene på rutearket til å tegne en rettvinklet trekant midt på arket. Du velger selv målene, men bruk hele ruter.

La hver side i trekanten være en av sidene i et kvadrat og tegn de tre kvadratene ut fra trekanten. Bruk vinkelhake eller gradskive for å få nøyaktig 90° i vinkler der du ikke kan bruke rutene. Finn arealet av de tre kvadratene ved å telle rutene.

For å få nøyaktig areal på kvadratet på hypotenusen kan du se på hver side som diagonalen i et rektangel, slik de blå linjene på figuren viser.

Før resultatene fra alle i klassen inn i en tabell.

Elev Areal minste kvadrat

Areal mellomste kvadrat

Areal største kvadrat

Studer tallene i tabellen.

Hva slags sammenheng finner du mellom de tre arealene for hver av trekantene?

Mer utfordring / Flere aktiviteterAktiviteten på side 51 er nær knyttet til aktiviteten på side 52.

Bruk eventuelt kopioriginal K.10.2.2 for elever som trenger repetisjon eller mer trening i tilknytning til vinkelsummen i en trekant.

VinkelmysterietBruk kopioriginal K.10.2.3 til å øve på utregning av ukjente vinkler i mangekanter.

ForenklingTil aktiviteten kan du lage ferdig noen tegninger til elever som av motoriske årsaker bruker lang tid på å tegne. Fokuset må være på de matematiske oppdagelsene som skal gjøres, og ikke på å tegne rett og pent. Vis elevene hvordan de kan bruke rutenettet til å plassere hjørnene i kvadratene (også på hypotenusen). Hvis linjestykket som utgjør hypotenusen, tegner fire enheter mot høyre og to enheter ned (som her), vil normalene på den tegne to enheter mot høyre og fire enheter opp. For noen er dette lettere enn å bruke vinkelhake eller gradskive.

Fire trekanter = to rektangler = 2 ⋅ 2 ⋅ 4 = 16Et lite kvadrat: 2 ⋅ 2 = 4Sum: 20

Grunnleggende ferdigheterMuntlige ferdigheter / skriftlige ferdigheterOppslaget fokuserer i stor grad på muntlige ferdigheter siden både oppgave 2.1 og aktiviteten er avhengig av matematikkfaglig samtale og diskusjon, og fokus på begreper. Å systematisere data i en tabell slik vi gjør i aktiviteten, er derimot en skriftlig ferdighet som er nyttig i matematikkfaget, og som brukes i mange sammenhenger.


Maximum 1052

Aktivitet

Utforske en rettvinklet trekant 2Bruk dynamisk geometri til å tegne en rettvinklet trekant.

Dere trenger• PC med dynamisk geometri

Fremgangsmåte• Tegn en rett linje.• Bruk verktøyet «Normal» til å lage en vinkel på 90°.• Sett av et punkt på hver av de kryssende linjene.• Trekk opp en trekant mellom toppunktet til vinkelen på 90° og de to punktene.

Skjul deretter de lange linjene.

Bruk verktøyet «Regulær mangekant» til å feste et kvadrat på hver av sidene i trekanten.

Bruk verktøyet «Areal» til å måle arealet av de tre kvadratene.

Regn ut summen av de to minste arealene. Hva ser du?

Endre form og størrelse ved å trekke i hjørnene til trekanten. Legg merke til hva som skjer med arealene.

b

D

EA

C

I

H

B

F

G

a

c

KommentarerAktivitet – Utforske en rettvinklet trekant 2I aktiviteten på side 51 oppdaget elevene at Pytagoras’ læresetning gjelder for et utvalg eksempler med hele tall. Når vi bruker dynamisk geometri, kan vi teste hypotesen for et mye større utvalg av trekanter. I GeoGebra kan vi få frem summen av de to minste arealene ved å bruke denne kommandoen i inntastingsfel-tet: Areal[Mangekant2]+Areal[Mangekant3]. Svaret vises som et tall i algebrafeltet. For ordens skyld kan vi skifte navn på tallet til sum. Ved å trekke verdiene fra algebrafeltet ut i grafikkfeltet og lage en oppstilling som vist på figuren, er det lett å følge med på verdiene etter hvert som vi endrer på figuren.

Faglig innhold• Pytagoras’ læresetning

Utstyr• PC med dynamisk

geometriprogram


Oppgavebok

Eksempel 1

53

Pytagoras’ læresetning

I aktiviteten på forrige side så du en sammenheng som er knyttet til matematikeren og filosofen Pytagoras av Samos (ca. år 550 f.Kr.). Sammenhengen kalles Pytagoras’ læresetning og brukes når vi kjenner lengdene av to sider i en rettvinklet trekant og skal regne ut lengden av den tredje siden.

Pytagoras’ læresetning

I en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på de to katetene alltid lik kvadratet på hypotenusen:

hypotenus2 = katet12 + katet2

2

Setningen gjelder også motsatt vei. Hvis summen av kvadratene på de to korteste sidene er lik kvadratet på den lengste siden, er trekanten rettvinklet.

I en rettvinklet trekant er de to katetene 2 cm og 5 cm lange. Finn lengden av hypotenusen.

Løsningsforslag 1

Vi tegner opp og bruker kvadratmetoden.

Vi tegner en hjelpefigur og setter på de kjente målene. Deretter regner vi ut arealene av kvadratene på de kjente sidene.

Løsningsforslag 2

Vi løser med likning: hypotenus2 = katet12 + katet2

2

h2 = 22 + 52

h2 = 4 + 25

h2 = 29

h = 29

h ≈ 5,4

Vi bruker vanligvis ikke benevning i en

likning.

HK1

K2

2 cm

5 cm

25 cm2

4 cm2

Pytagoras’ læresetning hypotenus2 = katet1

2 + katet22

Arealet av kvadratet på hypotenusen: (4 + 25) cm2 = 29 cm2

Når vi kjenner arealet av kvadratet, finner vi sidekanten ved å ta kvadratroten av arealet:

29 ≈ 5,4

Hypotenusen er omtrent 5,4 cm lang

Hypotenusen er omtrent 5,4 cm lang

laster ned. Etterpå foretar elevene bare måling og utforsking.

Mer utfordring / Flere aktiviteterOppgavegenerator med terningerElevene bruker to terninger, enten vanlige eller D10. Resultatet gir sidelengden til katetene i en rettvinklet trekant. Elevene skal tegne trekanten, regne ut lengden av hypotenusen og kontrollmåle at resultatet stemmer.

fremgangsmåten, siden den er mest effektiv. Likevel er det løsningsfor-slag 1 som gir dypest forståelse av hva vi gjør for å finne den ukjente siden, og mange elever får god hjelp av illustrasjonen.

Grunnleggende ferdigheterAktiviteten på side 52 øver på digitale ferdigheter samtidig som den gir et grunnlag for å utvikle regnefer-digheter. Å kunne gjøre utregninger ved hjelp av Pytagoras’ læresetning er en sentral ferdighet knyttet til trekantberegning og geometrisk forståelse.

ForenklingLa eventuelt være å bruke tid på selve konstruksjonen. Lag en halvferdig figur i en fil som elevene

Det er viktig å være klar over at ingen av de to aktivitetene på sidene 51 og 52 er noe bevis for Pytagoras’ læresetning, bare en verifisering. Beviset kommer på side 58.

Side 53Det kan være lurt å repetere begre-pet kvadratrot før gjennomgangen av eksempel 1. Vurder dette ut fra resultatene på førtesten.

Eksempel 1Eksemplet viser to løsningsforslag. Siden elevene har lært hovedprinsip-pene for likninger i Maximum 8, kapittel 5, kan det tradisjonelle likningsoppsettet være et riktig alternativ for høytpresterende elever. Det er også et mål at alle elevene etter hvert skal bruke denne


Eksempel 2

I en rettvinklet trekant er hypotenusen 7 cm og en av katetene 3 cm. Hvor lang er den andre kateten?

Løsningsforslag 1

Vi tegner opp og bruker kvadratmetoden.

Vi tegner en hjelpefigur og setter på de kjente målene. Deretter regner vi ut arealene av kvadratene på de kjente sidene.

Arealet av kvadratet på den andre kateten: (49 – 9) cm2 = 40 cm2

Når vi kjenner arealet av kvadratet, finner vi sidekanten ved å ta kvadratroten av arealet:

40 ≈ 6,3

Kateten er omtrent 6,3 cm lang

Løsningsforslag 2

Vi løser med likning: hypotenus2 = katet12 + katet2

2

72 = k2 + 32

72 − 32 = k2

k2 = 49 − 9

k2 = 40

k = 40

k ≈ 6,3

Kateten er omtrent 6,3 cm lang

2.2 Finn lengden av den siste siden i trekantene.

a b c

2.3 Bruk linjal og mål lengden og bredden av pulten din. Regn ut lengden av diagonalen. Sjekk svaret ditt ved å måle diagonalen på pulten.

9 cm2

49 cm2

3 cm 7 cm

8 cm

5 cm

13 cm

12 cm

4 cm

6 cm

2.6Oppgaven viser praktisk bruk av matematikk. Målet 60, 80, 100 er anvendelig for innendørs måling. Ved utendørs måling er det like vanlig å bruke 300, 400, 500 (cm). Dette kalles noen ganger for «snekkertre-kanten». Se også kommentar til oppgave 2.78 side 96.

2.7Det er oppgitt at garasjen har rektangulær grunnflate. Minn elevene på hva det forteller om vinklene.

2.8For å løse denne oppgaven må elevene huske Tales’ setning fra Maximum 9, side 209. Hvis elevene

eleven på betydningen av regneart fra starten av.

2.3Sjekk hvordan elevene fører. Det er fort gjort å misbruke likhetstegnet i slike oppgaver hvis de setter inn tallene direkte i setningen. Elevene bør beregne summen av kvadratene på de to korteste sidene, deretter sammenlikne dette med kvadratet av den lengste siden.

2.5Notasjonen for kvadratrot kan variere for ulike regneark, men =rot(tall) eller =sqrt(tall) er de vanligste. Vis også elevene hvordan de runder av tall til et passe antall desimaler.

KommentarerEksempel 2Dette eksemplet kan sammenliknes med eksempel 1 foran. En av årsakene til at det kan være en fordel å bruke løsningsforslag 1, er at elevene lettere ser om de skal finne summen av eller differansen mellom de to kjente arealene. Uansett er det viktig at elevene læres opp til å kontrollere rimeligheten av svaret. Hvis elevene regner helt mekanisk, er det fort gjort å bruke feil regneart og dermed ende opp med feil svar.

2.2Allerede her blander vi figurer der eleven må vurdere om det er en hypotenus eller en katet som er den ukjente siden. Dette skal bevisstgjøre

Faglig innhold• Pytagoras’ læresetning


Oppgavebok

2.30, 2.31

2.19—2.22

2.3—2.12


2.4 Finn ut om trekantene er rettvinklede når lengdene av sidene er

a 5 cm, 7 cm, 9 cm

b 8 m, 15 m, 17 m

c 1,8 cm, 2,5 cm, 3,0 cm

d 2,0 cm, 2,1 cm, 2,9 cm

2.5 Bruk regneark og regn ut lengdene av de sidene som mangler i de rettvinklede trekantene.

Katet 1 Katet 2 Hypotenus

Trekant 1 12 9

Trekant 2 9,5 10,7

Trekant 3 13,0 14,8

2.6 Snekkere og tømrere trenger ofte rette vinkler når de lager møbler og bygger hus. Det pytagoreiske trippelet 60, 80, 100 er mye brukt til å kontrollere om for eksempel et innvendig hjørne i et rom er rett. Mål 60 cm fra hjørnet langs den ene veggen og 80 cm langs den andre veggen. Mellom de to merkene skal det være nøyaktig 1 meter (akkurat plass til meterstokken) hvis vinkelen er 90°.

a Undersøk om et hjørne i klasserommet eller hjemme er 90° ved å bruke metoden med det pytagoreiske trippelet 60, 80, 100.

b Finn tre andre tripler som du kan bruke til å sjekke om en vinkel er rett.

2.7 Olsens garasje har rektangulær grunnflate med bredde 4 m og lengde 6 m.

Hvor lang er diagonalen?

2.8 Diameteren AB i en sirkel er 12 cm. Det finnes et punkt C på sirkelbuen slik at AC er 4 cm.

Hvor lang er BC?

2.9 En pyramide har kvadratisk grunnflate med side lik 8 m. Høyden i pyramiden er 10 m.

Finn arealet av en av de trekantede sideflatene.

80 cm

60 c

m

100 cm

BA

C

Et pytagoreisk trippel er en gruppe

av tre naturlige tall som passer inn i Pytagoras'

læresetning.

Finn så mange pytagoreiske tripler du kan, lag en plakat, skriv dem ned og vis at de er pytagoreiske tripler.

Matematikeren Diofantos ville løse problemet med å finne alle såkalte primitive pytagoreiske tripler. Primitive tripler betyr at alle tre tallene i trippelet har 1 som største felles faktor, for eksempel 3, 4, 5. Han fant at ved å velge passende verdier for p og q i likningen finner en alle primitive tripler:

(p2 – q2)2 + (2pq)2 = (p2 + q2)2

Finner du passende verdier for p og q slik at dette stemmer, har du funnet et primitivt pytagoreisk trippel.

ForenklingLa elevene arbeide sammen to og to. La dem lese eksemplet høyt og diskutere de to løsningsforslagene. La dem forklare for hverandre hva de har forstått. Deretter kan de samar-beide om å løse de første oppgavene.

Mer utfordring / Flere aktiviteterPytagoreiske triplerOppgave 2.6 med snakkeboblen introduserer pytagoreiske tripler. Elevene kan finne noen flere pytagoreiske tripler ved å bruke formelen

(m2 – 1)2 + (2m)2 = (m2 + 1)2, der m > 1

har behov for å repetere stoffet, finner de Tales’ setning på side 57.

2.9Siden grunnflaten er kvadratisk, er avstanden fra sentrum av grunnfla-ten til sidekanten halvparten av sidekantens lengde, altså 4 cm. Ved hjelp av dette målet og pyramidens høyde finner vi høyden på trekanten som utgjør sideflaten. Dermed kan arealet av sideflaten regnes ut.

Grunnleggende ferdigheterOppslaget fokuserer i hovedsak på regneferdigheter, men også kombi-nert med digitale ferdigheter (se oppgave 2.5). Det er visuell støtte til en del av oppgavene. Å lese en oppgave handler derfor om å tolke både tekst og figur.


Eksempel 3

Maximum 1056

Spesialtilfeller med Pytagoras

I rettvinklede trekanter med bestemte mål på de spisse vinklene kan vi bruke Pytagoras' læresetning i kombinasjon med andre egenskaper.

2.10 Studer figuren til venstre. Den loddrette linja deler den store trekanten i to like deler.

a Hva slags trekant er den store trekanten?

b Hva slags trekant er den blå trekanten?

c Hvor lang er den korteste kateten i den blå trekanten når sidekanten i den store trekanten er 10 cm?

d Hvor lang er sidekanten i den store trekanten når den korteste kateten i den blå trekanten er 7 cm?

e Regn ut høyden til trekantene i c og i d.

I en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.

Regn ut lengdene av de ukjente sidene i trekanten.

Løsningsforslag

Siden dette er en trekant med vinkler på 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.

Vi kaller den minste kateten x. Da blir hypotenusen 2x.

Pytagoras’ læresetning gir:

hypotenus2 = katet12 + katet2

2

(2x)2 = 92 + x2

4x2 − x2 = 92

3x2 = 81

x2 = 81 ___ 3

x2 = 27

x = 27

x ≈ 5,2

2x ≈ 10,4

Den minste kateten er omtrent 5,2 m, og hypotenusen

er omtrent 10,4 m

30°

60°

30°

60°

9 m

C. 7,1 ≠ 7, og dermed er det figuren som er upresis, ikke utregningen. Det kan derfor ikke stemme at trekanten er rettvinklet. Utsagn A må forkastes, men utsagn B er riktig. 7,1 gir en marginalt lengre grunnlinje enn figuren viser. Med de andre målene intakt blir ∠ A spiss, ikke stump. Utsagn D kan forkastes, og B står igjen som eneste sanne utsagn.

Resonnement 2Figuren og målene 5 og 7 er opprin-nelige. Da har A rett og B feil. Måltallet 8,7 er mer nøyaktig enn tallene 5 og 7. Måltallet 7 kan representere mål i intervallet [6,5, 7,5>. 7,1 er innenfor dette intervallet. Utregningen er riktig, men avrundingen er for presis i forhold til målingene som er gjort. I

Eksempel 3I en sammensatt problemstilling som dette er bruk av likning den mest nærliggende løsningsstrategien. Poengter at (2x)2 = 4x 2

2.15Elevene må kombinere kunnskapen om likebeinte trekanter med Pytagoras’ læresetning.

2.16Det viktigste er ikke hvilket svar dere kommer frem til, men den refleksjo-nen samtalen rundt problemstillingen gir. Oppgaven gir i tillegg anledning til å snakke om måleusikkerhet og beregninger.

Resonnement 1Kontrollregning viser at utregningen i boblen er riktig. Vi forkaster utsagn

KommentarerI dette oppslaget gjennomgår vi hvordan Pytagoras’ læresetning kan brukes sammen med andre opplys-ninger. Å gjenkjenne slike situasjoner krever høyere kompetanse enn bare å bruke læresetningen. Læreren må vurdere om alle elevene vil ha utbytte av å arbeide med disse sidene. Det er imidlertid viktig å utvikle elevenes evne til problemløs-ning.

2.10Denne oppgaven er primært ikke tenkt som hjemmearbeid. La elevene jobbe to og to med oppgaven før dere drøfter resultatene i plenum. Setningen om 30–60–90-trekanten er introdusert tidligere (Maximum 8, side 110).

Faglig innhold• Spesialtilfeller med

Pytagoras

Utstyr• Kortstokk


Oppgavebok

2.32—2.34

2.23—2.25

2.13—2.16

A B

C

8,72 – 52 = 75,69 – 25 = 50,69

50,69 ≈ 7,1

Trekanten er rettvinklet. Trekanten er

ikke rettvinklet.

A

B

C

Vinkel A er stump.

Utregningen er ikke riktig.

D

7

58,7

C

AB

2.11 I en trekant med vinkler på 30°, 60°og 90° er den lengste kateten 14 cm.

Hvor lange er de to andre sidene?

2.12 I tabellen har alle trekantene vinkler på 30°, 60° og 90°.

Finn målene som mangler.

Thales' setningABC er en trekant der AB er diameter i en sirkel. Hvis ∠C = 90°, ligger C på sirkelperiferien. Og omvendt, hvis C ligger på sirkelperiferien, er ∠C 90°.

2.13 En trekant ABC har vinkler på 30°, 60° og 90°. Hypotenusen er 10 cm.

a Bruk Thales’ setning til å konstruere trekanten.

b Finn arealet av trekanten.

2.14 I en trekant er hypotenusen tre ganger så lang som den korteste kateten. Den lengste kateten er 7 m. Lag figur og finn lengdene av de ukjente sidene.

2.15 I en rettvinklet, likebeint trekant er hypotenusen 12 cm.

a Tegn figur. Hvor store er vinklene i trekanten?

b Finn lengdene av katetene.

2.16 Hvem av elevene har rett?

Kort katet Lang katet Hypotenus

Trekant 1 6

Trekant 2 12

Trekant 3 16

Mange elever vil først finne sidekan-ten i kvadratet ved å regne ut en avrundet verdi for √ 

___ 10 Figuren viser

at dette bare gir en unødig avrun-dingsfeil. Arealet på katetene må nødvendigvis også være 10. Da er kvadratet på hypotenusen 20, og lengden av den er √

___ 20 = √

_____ 4 · 5 = 2 √ 

__ 5

Studer en likesidet trekantEn likesidet trekant har omkretsen 24 cm. Hva er arealet av trekanten vi får når vi drar linja mellom de tre

midtpunktene på de tre sidekan-tene i den store trekanten? Bruk nøyaktige verdier i utregningen.

8 cm

senterer den høyeste verdien hypotenusen og den laveste verdien en av katetene i en rettvinklet trekant. Eleven skal så regne ut lengden av den andre kateten. De andre gangene (eller hvis kortene har samme verdi) representerer de lengden av hver av de to katetene, og eleven skal regne ut lengden av hypotenusen.

Mer utfordring / Flere aktiviteterRegn med nøyaktige verdierGi elevene trening i å regne med nøyaktige verdier.– Finn diagonalen i

et kvadrat der arealet er 10.

10

10

20

denne tolkningen er A riktig og de andre gale. Det finnes trolig flere mulige resonnementer.

Grunnleggende ferdigheterBåde oppgaver og eksempel gir rom for muntlig aktivitet. Ha fokus på å uttrykke deg presist. I tillegg til regneferdigheter bør du fokusere på skriftlige ferdigheter – både hvordan en utregning skal presenteres, og hvordan en figur skal tegnes.

ForenklingOppgavegenerator med kortstokkElever som trenger å regne flere oppgaver der bare bruk av Pytagoras’ læresetning inngår, kan gjøre følgende: Stokk en kortstokk og del den i to bunker. Trekk et kort fra hver bunke. I annenhver oppgave repre-


Aktivitet

Bevis for Pytagoras’ læresetningMetode 1 – Geometrisk reorganisering

Dere trenger• ruteark – farget og hvitt med like store ruter• saks• linjal

Fremgangsmåte

Klipp ut to like store kvadrater, et hvitt og et farget.1 Marker et punkt et tilfeldig sted på den

ene sidekanten av det fargede kvadratet. Roter kvadratet 90° og sett av et merke på tilsvarende sted på neste sidekant. Gjenta til du har merker på alle sidekantene.

2 Tegn opp kvadratet som har hjørnene i de fire merkene.

3 Klipp ut de fire trekantene som dannes i hjørnene, og legg dem oppå det hvite kvadratet som på figuren.

4 Kall katetene i en trekant for a og b og hypotenusen for c.

5 Finn et bokstavuttrykk for det hvite arealet i midten.

6 Flytt de fargede trekantene slik at du får to gule rektangler oppå det hvite kvadratet.

7 Hvordan kan du nå finne et bokstavuttrykk for det hvite arealet?

Metode 2 – Algebraisk

Studer figuren. Alle trekantene er rettvinklede og like store. Kall korteste katet for a, lengste katet for b og hypotenusen for c.1 Skriv et bokstavuttrykk for arealet av

det store kvadratet.

2 Skriv et bokstavuttrykk for arealet av de fire trekantene.

3 Skriv et bokstavuttrykk for arealet av det lille kvadratet.

4 Finn summen av svarene i 2 og 3, og forenkle mest mulig.

5 Hva er sammenhengen mellom svaret i 1 og svaret i 4?

b cc a

a cc b

a b

b a

beviset i tilknytning til algebra i kapittel 3.1 c2

2 4 · ab

___ 2

= 2ab

3 (b – a)2 = (b – a)(b – a) = a2 – 2ab + b2

NB: Elevene har ikke lært kvadratset-ningene, men kan multiplisere ut parentesuttrykkene.4 a2 + b2

5 Hele kvadratet er like stort enten vi regner arealet som en stor flate eller som summen av fem flater. Det vil si at a2 + b2 = c2.

2.17Oppgaven skal forberede elevene på å føre bevis for formlikhet. Begre-

Alternativ 2:

I begge alternativene ser vi at det hvite arealet, som først kunne beskrives som c2, nå er fordelt på to kvadrater med arealene a2 og b2. Siden ingen lengdemål er endret, kan vi konkludere med at a2 + b2 = c2.

Metode 2Det er en stund siden elevene arbeidet med bokstavregning. Derfor kan metode 2 regnes for noe mer krevende enn metode 1. Dere kan eventuelt velge å gå tilbake til dette

a

a

b b

KommentarerAktivitet – Bevis for Pytagoras’ læresetningDet finnes flere bevis for Pytagoras’ læresetning. Vi har valgt å ta med to.

Metode 1Når de fargede trekantene skal reorganiseres, kan det gjøres på ulike måter, men uansett er det lurt å legge to og to trekanter sammen til rektangler.

Alternativ 1:

a

a

b b

Faglig innhold• Bevis for Pytagoras’

læresetning• Parvis like store vinkler

Utstyr• Kopioriginal K.10.2.4


Oppgavebok


Å vise formlikhet

De to ikonene til høyre er formlike fordi de har samme form, det er bare størrelsen som er forskjellig. På samme måte er de to trekantene formlike. Selv om den ene er større og dreid litt i forhold til den andre, er formen til trekantene helt lik. Formen til en trekant er bestemt av vinklene.

Når vi skal vise formlikhet, tar vi utgangspunkt i vinklene. Vi kan ikke måle vinklene, men forklare ut fra oppgitte mål og matematiske sammenhenger hvorfor vinklene er like.

To trekanter er formlike dersom de har parvis like store vinkler.

2.17 Studer figurene. Forklar hvorfor de to markerte vinklene er like store.

a

c

b

d

To vinkler er like store hvis

• de er oppgitt med samme vinkelmål

• vi kan regne ut at de har samme vinkelmål

• de er sammenfallende (på samme sted)

• de er toppvinkler

• de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer

• vinkelbeina står parvis vinkelrett på hverandre

l ‖ m betyr at l og m er

parallelle linjer.

40° 30°

40°

30°

lm

l ||m

øverst på side 58, slik at de kan bruke malen til beviset. De klipper ut både de gule trekantene og det store hvite kvadratet som trekantene skal legges oppå.

Mer utfordring / Flere aktiviteterFlere Pytagoras-bevisSøk etter «Pytagoras-bevis» / «Pythagoras proof» på Internett og finn flere måter å bevise Pytagoras’ læresetning på. La elevene gå sammen i grupper på tre og tre og velge seg ett bevis som de skal arbeide med. Elevene jobber sammen for å forstå beviset. La elevene presentere beviset for en annen gruppe i klassen eller eventuelt for hele klassen.

Grunnleggende ferdigheterMuntlige ferdigheter / skriftlige ferdigheterLa elevene forklare hverandre muntlig hvorfor det første beviset er mulig. Elevene må forstå beviset godt for å kunne forklare det til en annen. I tillegg styrkes kunnskapen når de selv må sette egne ord på det de har forstått. I bevis nr. 2 må elevene bruke symboler og skrive for å bevise Pytagoras’ læresetning. La elevene forklare hverandre hvordan de tenker, og hva de har forstått.

ForenklingElevene samarbeider og studerer det første av de to bevisene for Pytago-ras’ læresetning ved å flytte på figurene. La elevene få bruke K.10.2.4. Klipp ut en mal av figurene

pene toppvinkler, nabovinkler og samsvarende vinkler ble behandlet i Maximum 8, kapittel 2. Vurder i hvilken grad begrepene må repete-res.

RegelrammeLa elevene arbeide seg gjennom lista i den nederste regelrammen. Her er det ulike forhold som kan gjøre at to vinkler er like store. La dem diskutere hva ordene betyr, slik at de forstår alle begrepene som brukes i regel-rammen. Sjekk om de forstår begreper som vinkelmål, sammenfal-lende, toppvinkler, samsvarende osv. Illustrer gjerne med en liten tegning til enkelte av kulepunktene for å styrke forståelsen.


Eksempel 4

A BD

C

A

D

B

C

E

Maximum 1060

Vis at ∆ABC ~ ∆DBE.

Løsningsforslag

Vi finner parvis like store vinkler:

∠CAB = ∠EDB = 90°

∠ABC = ∠DBE, fordi det er en felles vinkel.

Da blir ∠ACB = ∠DEB, fordi vinkelsummen i en trekant er 180°.

Trekantene har parvis like store vinkler, derfor er ∆ABC ~ ∆DBE.

2.18 a Vis at ∆ABC ~ ∆DBC.

b Vis at ∆ADC ~ ∆BCD.

2.19 DE ‖ BC. Vis at ∆ABC ~ ∆ADE.

Symbolet ~ betyr «er formlik med».

AD

B

E

C

kommando, «Forhold mellom to objekter»,

Ved å klikke på to antatt parallelle linjestykker, her a og e, vil GeoGebra analysere forholdene mellom dem i et eget vindu.

?a = b

F

ED

A B

C

b a

c

f

e d

GeoGebra - For... x

OK

a har ikke samme lengde som e(sjekket numerisk)

a og e er ikke like(sjekket numerisk)

a og e er parallelle(alltid sant)

KommentarerI et bevis for formlikhet argumente-rer vi punktvis for at trekantene har parvis like store vinkler. Det skal føres tre argumenter, selv om det tredje argumentet alltid kan føres med utgangspunkt i de to første og vinkelsummen i en trekant. Elevene må også huske på å konkludere etter at de tre punktene er ført. For å finne argumenter for like vinkler kan eleven ta utgangspunkt i lista i blå ramme nederst på side 59.

2.22Oppgaven egner seg for utforsking med et dynamisk geometriprogram. Alle figurer tegnet etter denne anvisningen vil inneholde fem formlike trekanter, derav fire kongruente. I GeoGebra finnes en

Faglig innhold• Formlikhetsbevis


Oppgavebok

2.35

2.26

2.17

Jeg tror alle trekantene

på figuren er formlike.

Jeg tror det finnes tre par med formlike trekanter.

Jeg tror det finnes to par med formlike

trekanter.

Jeg ser seks trekanter som alle er formlike med

hverandre.

A

BC

D

2.20 AC ‖ DE. Vis at ∆ABC ~ ∆BDE.

2.21 Finn eksempler på formlike trekanter på figuren. Forklar hvorfor de er formlike.

2.22 Forsøk både med en spissvinklet og en stumpvinklet trekant. Tegn en irregulær trekant ABC. Finn midtpunktet på hver side og kall punktene for D, E og F. Tegn opp trekant DEF.

a Hvor mange formlike trekanter har du til sammen på figuren du har tegnet? Forklar.

b Vil svaret i a gjelde for alle mulige trekanter? Begrunn svaret.

2.23 Hvilke av elevene nedenfor sier noe sant?

A

BD

E

C

AB

C

D

E

F

På figuren er BD midtnormalen til AC.

B

D

EA C

Mer utfordring / Flere aktiviteterTegn formlike trekanter med dynamisk geometriprogramTa utgangspunkt i punktlista på side 61. Be elevene tegne egne eksem-pler på formlike, ikke kongruente trekanter som er slik at argumentene i punktlista gjelder. Bruk tegningene til å lage en collage som viser alle de ulike variantene.

  �≅ betyr «er kongurent med». To figurer er kongurente når de både har samme form og samme areal, altså at figurene kan dekke hverandre. Speilvendte figurer regnes som kongurente.

de er formlike bare parvis, ikke på tvers av parene.

Grunnleggende ferdigheterÅ føre et formlikhetsbevis på en ryddig, oversiktlig og logisk måte fordrer at elevene har skriftlige ferdigheter. Muntlige ferdigheter øves gjennom samarbeid, og er spesielt nødvendig i oppgave 2.23.

ForenklingBruk kulepunktene fra regelrammen på side 59 og la elevene samarbeide to og to om å finne parvis like store vinkler i trekantene i eksempel 4 og i oppgavene 2.17–2.21.

2.23Be elevene studere figuren nøye og først lete etter hvor mange trekanter som finnes på figuren (8). I uttalel-sene brukes begrepet formlikhet. I tilknytning til denne oppgaven kan vi også bruke begrepet kongruent. Kongruente figurer er like både i form og areal, det vil si at de dekker hverandre nøyaktig.A Utsagnet er feil. Vi ser blant

annet at Δ ACD ikke er formlik med sin egen halvdel, Δ AED.

B Utsagnet er riktig: Δ AED ≅ ΔCDE, Δ ABE ≅ Δ BCE, Δ ABD ≅ Δ BCD.

C Det er riktig at det finnes to par, men det er ikke presist fordi det finnes flere enn to.

D Utsagnet er ikke riktig. Det finnes tre par, altså seks trekanter, men


1

0

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6

Her fikk jeg beskjed å lage en forløpning

7 8 9 10 11 12 13 140

y-akse

x-akse

Gul trekant 4 2 42 = 2

Grønn trekant 7 3,5 73,5 = 2

Rød trekant 10 5 105 = 2

Blå trekant 12 6 126 = 2

Lengste katet Minste katet Lengste katetminste katet

Gul trekant

Grønn trekant

Rød trekant

Blå trekant

Hypotenus Minste katet Hypotenusminste katet

Den gule trekanten ligger oppå den

grønne trekanten. Den grønne trekanten ligger oppå den røde

trekanten osv.

Maximum 1062

Beregne lengder ut fra formlikhet

Figuren viser fire formlike trekanter som ligger oppå hverandre. Tabellen viser forholdet mellom de to katetene i hver av trekantene.

2.24 Bruk de fire trekantene på figuren ovenfor.

a Regn ut lengdene av de fire hypotenusene.

b Lag en tilsvarende tabell og fyll ut.

c Lag en tilsvarende tabell som i b og finn forholdet mellom hypotenusen og den lengste kateten i hver trekant.

d Velg to av trekantene. Kall den ene trekant 1 og den andre trekant 2. Regn ut disse forholdene:

Minste katet 1minste katet 2

Lengste katet 1lengste katet 2

Hypotenus 1hypotenus 2

e Forklar med egne ord hva resultatene i d betyr.

– Hvis vi lager en ny trekant på samme figur der korteste katet er 10, hva må lengste katet være? (20)

2.24Oppgaven følger opp fagteksten øverst på siden og bør gjøres på en måte som gir elevene anledning til å diskutere resultatene. Faktaruta øverst på side 65 oppsummerer det som er vist i fagteksten og oppgave 2.26. Legg merke til at det er flere mulige forhold som kan beskrives.

Eksempel 5Her er det gjort et valg om ikke å innføre kryssmultiplikasjon. Begrun-nelsen er for det første at kryssmulti-plikasjon er en mekanisk tilnærming til likningsløsning, for det andre at en

kan festes til koordinatsystemet, for eksempel med «lærertyggis».

Samtal om figuren øverst på side 62 og forviss deg om at elevene har forstått hva den viser. I tabellen midt på samme side vises avleste verdier for katetene og utregnet forhold mellom katetene. La elevene kommentere hva tabellen viser. Still tilleggsspørsmål:– Hvordan kan vi vite at trekantene

er formlike? (alle har en felles vinkel med toppunkt i origo, alle har en rett vinkel, da må tredje vinkel også være lik)

– Hvis vi lager en større trekant på samme figur der lengste katet er 16, hva blir korteste katet i trekanten? (8)

Faglig innhold• Forholdsregning med

utgangspunkt i formlikhet

Utstyr• Kopioriginal K.10.2.5

KommentarerFor å forstå fagtekst og oppgaver riktig er det vesentlig at elevene ser figuren øverst på side 62 som fire formlike trekanter som ligger oppå hverandre. Det kan være lurt å lage en modell i papir, der trekantene faktisk ligger lagvis og kan studeres hver for seg. Koordinatsystemet er lagt under for at det skal være enkelt å lese av lengden på katetene. Trekantene finnes i kopioriginal K.10.2.5. Skriv gjerne ut i et forstør-ret format og laminer. Trekantene


Oppgavebok

A B D E

C

F

Eksempel 5


For to formlike trekanter er forholdet mellom de samsvarende sidene likt.

∆ABC ~ ∆DEF. Da gjelder:

ABDE

= ACDF

= BCEF

DEAB

= DFAC

= EFBC

ABAC

= DEDF

∆ABC ~ ∆ADE. AB = 7 cm, AD = 4 cm og DE = 3 cm.

Regn ut lengden av BC.

Løsningsforslag

Siden ∆ABC ~ ∆ADE, er forholdet mellom de samsvarende sidene likt.

BCDE =

ABAD

BC3 =

74

3 · BC3 =

74 · 3

BC = 214

BC = 5,25

Lengden av BC er 5,25 cm

A

D

B

C

E

Når det er oppgitt at trekantene er

formlike, trenger vi ikke bevise det.

illustrasjonen viser. La dem legge de ulike trekantene oppå hverandre for å lage illustrasjonen selv.

Mer utfordring / Flere aktiviteterPresentasjon av formlike trekanterLa to eller tre elever samarbeide om å lage en læringsstøttende plakat om beregning av lengder i formlike trekanter. La dem velge seg en problemstilling ut fra en figur der de kan bruke formlikhet til å regne ut ukjente sidekanter. La elevene muntlig presentere problemstilling, strategi og beregninger de gjorde for å løse problemet. Heng eventuelt opp plakatene på veggen. La elevene presentere plakatene de har laget for hverandre.

slik strategi bare vil gi en ekstra linje i løsningen. En lur strategi er å sette opp forholdet slik at vi har den ukjente lengden i telleren i den venstre brøken. Da blir likningen alltid lett å løse.

Grunnleggende ferdigheterHer brukes formlikhet til å regne ut lengder i ulike trekanter. Elevene leser eksempel 5 og studerer føringen av løsningsforslaget. Eksemplet viser en eksemplarisk føring ved å bruke likninger til å regne ut ukjente sider i formlike trekanter.

ForenklingBruk kopioriginal K.10.2.5 og klipp ut alle de fire formlike trekantene slik at det blir veldig tydelig for elevene hva

Bruk forhold til å sjekke om trekanter er formlikePå side 60 og 62 førte elevene formlikhetsbevis ved å se på vinklene. Formlikhet kan også vises ved å sjekke forhold mellom samsva-rende sider. Sider i original: 3,0 – 6,0 – 7,0– Hvilken av trekantene A–C er

formlik med originalen?

A 5,0 – 7,0 – 9,0B 4,5 – 9,0 – 10,5C 6,0 – 12,0 – 15,0

La elevene lage tilsvarende oppgaver til hverandre. Utfordre dem til å bruke både forstørring og forminskning.


2 cm

3 cm

3 cm

4,5 cm

2 cm

4,5 cm

A

E

DCB

4

2 12

Eksempel 6

A

B

C

Maximum 1064

2.25 Petter måler skyggen av en flaggstang til 15 m. Etterpå setter han meterstokken vinkelrett mot bakken og måler skyggen av den til 1,25 m.

a Lag en tegning av situasjonen og sett mål på tegningen.

b Hvor høy er flaggstangen?

2.26 Camilla har en lekestue som er 2,75 m bred, 3,85 m lang og har en mønehøyde på 2,20 m.

Farfar skal snekre et hundehus som er formlikt med lekestua. Hva blir lengden og bredden av hundehuset når mønehøyden skal være 80 cm?

2.27 a Vis at ∆ABC ~ ∆CDE.

b Finn lengdene av sidene DE, CE og AC.

c Regn ut avstanden fra A til E.

d Er ∆ACE formlik med ∆ABC og ∆CDE? Begrunn svaret.

For trekanter vet vi at de er formlike hvis to og to vinkler er like store. Det gjelder ikke for andre mangekanter.

Vi ser her tre rektangler, og vi vet at alle vinklene er 90°. Likevel ser vi at ikke alle rektanglene er formlike.

Vis ved regning hvilke av rektanglene til venstre som er formlike.

Løsningsforslag

Hvis rektanglene er formlike, er forholdet mellom lengden og bredden det samme.

A: lengdebredde =

32 = 1,5

B: lengdebredde =

4,53 = 1,5

C: lengdebredde =

4,52 = 2,25

Vi ser at forholdet er det samme for rektanglene A og B.

Rektanglene A og B er formlike

lengdebredde

sere problemstillingene. Vis elevene hvordan disse er nyttige å lage selv om de ikke er en del av problemstil-lingen.

ForenklingFormlike figurer med tangram:Bruk tangram fra kopioriginal K.10.2.6 eller tangrambrikker.

Sorter først brikkene, og bli enige om hva de enkelte figurene heter.

Eksempel 6I eksemplet viser vi hvordan vi bruker forholdet mellom lengdene til å forklare om to rektangler er formlike eller ikke. Elevene må forstå at vi kan gjøre dette fordi vi i utgangspunktet vet at alle vinklene er parvis like store. Vi vil også vise at regelen om at parvis like store vinkler beviser formlikhet, ikke er tilstrekkelig når figuren har mer enn tre kanter.

Grunnleggende ferdigheterElevene blir utfordret til å diskutere to og to for å finne egenskaper ved ulike figurer i oppgave 2.30. Denne metoden kan også brukes til å forstå andre oppgaver og for å avklare metode som kan brukes til å løse andre problemstillinger. Illustrasjo-nene i margen er laget for å konkreti-

Kommentarer2.25Denne oppgaven kan sammenliknes med den utforskende oppgaven på side 49. Dersom den oppgaven ikke ble gjort, kan dere gå tilbake og bruke oppgaven i tilknytning til 2.25.

2.26Begrepet mønehøyde kan være fremmed. Se illustrasjonen i margen.

2.27Her kan vi bruke argumentet om at vinkelbein står parvis vinkelrett på hverandre. Sammenlikn ∠ ACB med ∠CED, først de høyre vinkelbeina, dernest vinkelbeina til venstre.

Faglig innhold• Forholdsregning med

utgangspunkt i formlikhet

Utstyr• Kopioriginal K.10.2.6• Målebånd eller målehjul• Pinner, flagg eller noe

annet å sikte etter


Oppgavebok

2.36—2.38

2.27, 2.38

2.18


2.28 Et rektangel har bredde lik 7 m og lengde lik 12 m. Et formlikt rektangel skal være 18 m langt.

Hva blir bredden i rektanglet?

2.29 To elevgrupper gjør målinger for å regne ut bredden av hver sin elv.

a Regn ut bredden av elva til gruppe A.

b Regn ut bredden av elva til gruppe B.

2.30 Diskuter to og to.

a Hva kaller vi figurene A–D?

b Hvilken egenskap er felles for disse figurene? Er figurene formlike?

c Er deler av figurene formlike?

2.31 En trekant ABC har grunnlinje 4,0 cm og høyde 5,5 cm.

a Hva er arealet av ∆ABC?

b Hvor lang er AC hvis høyden treffer AB 3,0 cm fra A?

c Trekanten DEF er formlik med trekanten ABC. Hva må høyden i trekanten DEF være når grunnlinja er 8,0 cm?

d Hva er arealet av ∆DEF?

2.32 I en regulær sekskant er den lange diagonalen AD = 8 cm. Hvor lang er den korte diagonalen AE?

2.33 I en pyramide med kvadratisk grunnflate er bredden a = 35 m og høyden h = 30 m.

a Hvor lang er sidekanten s?

b Hvor stor er overflaten av pyramiden?

A B C D

3 6 2,55

4

4 4

30°

F E

A D

CB

h

a

s

Gruppe A

48 m

36 m

18 m

Gruppe B

72 m

56 m

45 m

gjerne begge metodene og sammen-likn resultatet.

Hvor bred er elva?La elevene få gjøre oppgave 2.29 i virkeligheten. Del elevene i to grupper. De bruker de to fremgangs-måtene til å beregne bredden av en elv ved hjelp av formlikhet. Marker en «tenkt» elv med ukjent bredde på fotballbanen. La elevene gjøre målinger ved elva slik at de kan beregne bredden av elva på begge måtene.

– Hvor mange ulike størrelser kan lages av hver figur? (tre kvadrater og tre parallellogrammer)

Mer utfordring / Flere aktiviteterFlaggstangmåling med speilMetoden til å måle høyder basert på skygger og formlikhet har sine begrensninger og fungerer ikke når sola ikke skinner. En alternativ fremgangsmåte er å bruke et speil som du legger på bakken i en gitt avstand fra flaggstangen. Følg den rette linja fra foten av flaggstangen gjennom speilet videre til du ser kula på flaggstangen i speilet. Mål din egen øyehøyde og avstanden din til speilet. Gjør så en beregning av høyden til flaggstangen med forholdsregning. Det er mulig siden vi vet at ved refleksjon er alltid utfallsvinkel lik innfallsvinkel. Bruk

Begynn med å sammenlikne de tre ulike trekantstørrelsene. Sammenlikn sidekanter og areal.– Hva er forholdet mellom

arealene? (1 : 2 og 1 : 4)– Er forholdet mellom sidekantene

det samme? (nei)

Sett sammen flere brikker for å lage nye trekanter som også er formlike med de første. Tegn rundt trekan-tene for å dokumentere størrelsen, og sorter dem fra minst til størst.– Hvor mange ulike størrelser er

det mulig å bygge med brikker fra et tangramsett? (5)

– Finn to trekanter der forholdet mellom sidene er 1 : 2. Hva er da forholdet mellom arealene? (1 : 4)

Se på henholdsvis kvadratet og parallellogrammet. Bruk flere brikker til å lage formlike figurer med dem.


Mål

Maximum 1066

Kart og målestokk


• finne målestokk som forholdet mellom avbildning og original• bruke målestokk til å beregne avstander på kart• lage og bruke arbeidstegninger

Både barn og voksne kan le av Pippi som ikke skjønner at hun må forminske hesten når hun skal tegne hesten på et papirark.

Vi kan tenke oss at Pippis hest er 175 cm høy og 180 cm lang.

For at tegningen skal bli realistisk, må høyden og lengden forminskes i samme forhold for å få plass på arket.

2.34 Et A4-ark er omtrent 21 cm · 29 cm stort.Foreslå høyde og lengde på Pippis hestetegning slik at den får plass på et A4-ark.

FRA «PIPPI BEGYNNER PÅ SKOLEN»

Frøken syntes nok at hun var et vanskelig barn, og så satte hun alle sammen til å tegne. Pippi kom nok til å sitte rolig da, tenkte frøken. Hun fant fram papir og blyanter, som hun delte ut til alle barna.

Dere kan få lov til å tegne hva dere vil, sa hun, og så satte hun seg ved kateteret og begynte å rette skrivebøker. Da det var gått en stund, løftet hun hodet for å se hvordan det gikk. Da satt alle barna og så på Pippi, som lå på gulvet og tegnet av hjertens lyst.

Men Pippi, sa frøken, – hvorfor tegner du ikke på papiret?

Å, det har jeg da tegnet fullt for lenge siden, og hele hesten min får da ikke plass på den papirlappen, sa Pippi. – Akkurat nå holder jeg på med forbeina, men når jeg kommer til halen, må jeg nok gå ut på gangen.

Astrid Lindgren

forhold mellom samsvarende sider er likt i to formlike figurer

skal kunne forklare hvordan vi praktisk kan forminske tegningen av en hest slik at den har riktige forhold mellom for eksempel høyde og lengde. De skal bruke forhold mellom størrelser til å kunne beregne formlike, forminskede figurer. La elevene videre lese fagtekst og regelramme på side 67. Be dem forklare sin egen forståelse av begrepene avbildning, forminskning og målestokk.

Forenkling2.35–2.36Bruk en dobbel tallinje for å finne målestokken. Vi setter målet på avbildningen øverst og målet i virkeligheten nederst.

0

0

?

1 cm

324 m = 32 400 cm

3 cm

forstørrelse og forminskning (mer om dette i oppgave 2.43, side 71).

Eksempel 7I eksemplet viser vi hvordan vi finner målestokken ved å sammenlikne bildet med virkeligheten. Tydeliggjør for elevene at det første tallet alltid stammer fra avbildningen, og at det siste tallet stammer fra virkeligheten. Tallene skal ha samme enhet, men enheten inngår ikke når vi uttrykker målestokken. Vi forkorter så mye som mulig, likevel ikke mer enn at vi stadig opererer med hele tall på begge sider. En målestokk på 2 : 5 skal ikke forkortes til 1 : 2,5.

Grunnleggende ferdigheterElevene leser og diskuterer utdraget fra «Pippi begynner på skolen». De

KommentarerSide 66Dette er en samtaleside. Start med læringsmålene. La elevene bruke egenvurderingsskjema og kommen-ter hva de vet om kart, målestokk og arbeidstegninger fra før. Hvilke ord er ukjente? Finn ut om noen har spesiell erfaring knyttet til temaet, for eksempel som orienteringsløper. Trekk linjer til andre fag dersom elevene selv ikke kommer på at de bruker målestokk i geografidelen av samfunnsfag og i orientering i kroppsøving. I arbeidet med arbeids-tegninger i kunst og håndverk brukes også målestokk, men da gjerne som forstørringer av små ting og ikke forminskninger som et kart utgjør i forhold til terrenget. Vi minner om at det i oppslaget snakkes om lineær

Faglig innhold• Målestokk


E.10.2• Kopioriginal K.10.2.7• Kopioriginal K.10.2.8


Oppgavebok

2.50

2.39

Eksempel 7

Vi sier at målestokken

er 1 til 82.


Finne og bruke målestokk

På bildet ser vi Kari, som i virkeligheten er 164 cm høy. Hun står foran en dumper på Norsk vegmuseum. Vi sier at bildet er en avbildning av virkeligheten. I dette tilfellet er avbildningen en forminskning.

Målestokk er forholdet mellom en lengde på avbildningen og tilsvarende lengde på originalen.

Målestokken 1 : 100 vil si at 1 enhet på avbildningen svarer til 100 enheter på originalen.

Bruk bildet og opplysningene i teksten ovenfor til å finne høyden på dumperen.

Løsningsforslag

På bildet er Kari 2,0 cm. I virkeligheten er Kari 164 cm høy.

Målestokk:

2 : 164 Vi forkorter begge tallene med 2.1 : 82

Vi måler høyden på dumperen til 8,4 cm på bildet.

Målestokken forteller oss at 1 cm på bildet svarer til 82 cm i virkeligheten.

8,4 cm · 82 = 688,8 cm ≈ 6,9 m

Dumperen er omtrent 6,9 m høy

2.35 Eiffeltårnet er 324 m høyt. I en suvenirbutikk selger de små nøkkelringkopier av tårnet som er 3 cm høye.

Hvilken målestokk er kopiene laget i?

2.36 Oslo rådhus er på sitt høyeste 66 m. På et postkort er den tilsvarende høyden 7,5 cm. Hva slags målestokk har bildet på postkortet?

avbildning hvert punkt på bildet har et tilsvarende punkt i originalen

Mer utfordring / Flere aktiviteterTegn avbildningenBruk kopioriginal K.10.2.7. Velg om elevene skal tegne avbildningen i målestokk 2 : 1 eller 3 : 1.

Krymp kattaBruk kopioriginal K.10.2.8 og en linjal med centimetermål. Bruk punktet P som projiseringspunkt. Tegn hjelpe-linjer mellom P og katta og finn et projisert punkt til hvert punkt på katta i halv avstand fra P. Finn så målestokken på avbildningen.

0

0

?

1,0 cm

66 m = 6 600 cm

9,9 cm


Eksempel 8

Maximum 1068

Bildet er en forstørrelse av en voksen hodelus. I virkeligheten er lusa 2,5 mm lang.

Finn målestokken på bildet.

Løsningsforslag

Vi måler lengden av lusa på bildet til 50 mm.

50 : 2,5 = 20 : 1

Målestokken på bildet er 20 : 1

Målestokken viser forminskning eller forstørring.

Mindre tall : større tall → viser at avbildningen er en forminskning.

Større tall : mindre tall → viser at avbildningen er en forstørring.

2.37 a Bruk disse målestokkene. Forkort hvis mulig.1 : 25 000 50 000 : 5 2,5 : 1 000 000 700 : 10

b Avgjør om målestokkene i a viser en forstørring eller en forminskning.

c Du måler lengden på en avbildning til 5 cm. Hvor langt er det i virkeligheten for hver av målestokkene i a?

2.38 En statue er 15 m høy i virkeligheten. På et bilde er den samme statuen 2,5 cm.

Hva er målestokken på bildet?

2.39 Bildet viser et farget elektronmikroskopbilde av multiresistente gule stafylokokker, en fryktet sykehusbakterie. I virkeligheten er diameteren til en slik bakterie ca. 1,5 µm. 1 µm = 1

1000 mm.

Ta nødvendige mål og finn målestokken på bildet.

Kolon leses «til».

1 µm = 1 mikrometer = 1

1000 mm = 0,001 mm. Den greske

bokstaven µ uttales «my».

Vi deler begge tallene med 2,5.

skal planlegge og gjennomføre egne reiser. Å tolke opplysninger på et kart innebærer å ha leseferdigheter. Å bruke informasjonen til å vurdere avstander krever regneferdigheter. Visualisering gjennom bruk av figurer er knyttet til både leseferdigheter og skriftlige ferdigheter. Elevene må kjenne til forskjellene i krav til en skisse, en tegning og en konstruk-sjon. En konstruksjon utføres ved bruk av passer og linjal, der rette linjer, sirkelbuer og skjæringspunkter leder frem til en helt presis figur. En tegning skal være presis, men her er det tillatt å bruke målinger med linjal eller gradskive. En skisse antyder formen på en figur, men trenger ikke å være helt presis. I en skisse er det lov med øyemål og omtrentlighet, men den må likevel ikke være så

Eksempel 9I eksemplet knytter vi målestokk til bruk av kart. Bruksaspektet blir tydeliggjort ved å knytte det til strekning–fart–tid. Regning med strekning, fart og tid ble behandlet i Maximum 9, kapittel 3. Dersom elevene ikke husker dette, er det her fin anledning til en liten repetisjon. Det er vanskelig å bruke linjal til å måle nøyaktig strekning langs en vei som svinger på et kart. En trådstump er mer hensiktsmessig. Hvis elevene synes også dette er vanskelig, kan det lønne seg å samarbeide slik at flere fingrer er tilgjengelige for å holde fast tråden.

Grunnleggende ferdigheterÅ kunne anslå, vurdere og regne med avstander er grunnleggende når vi

KommentarerEksempel 8Bruk en dobbel tallinje for å illustrere en annen metode til å finne måle-stokken. Vi setter da målet på avbildningen øverst og målet i virkeligheten nederst.

Her kan vi se at 50 mm på bildet svarer til 2,5 mm i virkeligheten. Begge disse tallene er delelige med 5. Vi deler derfor tallinja i fem deler og finner hvor langt 1 mm i virkelig-heten er på bildet. Målestokken her er 20 : 1.

0 mm

0 mm

1 mm

? mm

2,5 mm

50 mm

Faglig innhold• Målestokk• Kart

Utstyr• Tynn hyssing eller tråd

som ikke er elastisk


Oppgavebok

Mer utfordring / Flere aktiviteterTegn skisser i målestokkLa elevene arbeide sammen to og to. Velg noen litt store, enkle gjenstan-der fra klasserommet. Det kan være et vindu, døra, et bilde eller tavla. Mål gjenstandene og tegn en skisse av dem i målestokkene 1 : 10 og 1 : 20. Velg så noen små gjenstander fra sekken eller klasse-rommet. Det kan være en tegnestift, et viskelær, en mynt eller en ring/smykke. Mål gjenstandene og tegn en skisse av dem i målestokkene 2 : 1 og 5 : 1.

Eksempel 9


Sogneprest Knutsen må kjøre fra Våler kirke til Såner kirke og lurer på om han kan rekke det på 15 minutter.

Bruk kartet til å beregne avstanden og vurdere om det er mulig.

Løsningsforslag

Vi legger en tråd langs veien fra Våler kirke til Såner kirke. Tråden måler 9,6 cm.

Målestokken viser at 1 cm på kartet svarer til 100 000 cm i terrenget.

100 000 cm = 1000 m = 1 km

9,6 cm på kartet svarer til 9,6 km i terrenget.

15 minutter = 0,25 time

Gjennomsnittsfart:

v = st = 9,6 km

0,25 h = 38,4 km/h

38,4 km/h er en lav gjennomsnittsfart

Sognepresten rekker fint frem på 15 minutter

2.40 Asbjørn bor på Kåbøl. Han sykler rundturen via Strøm, Høyås og Gylder.

Hvor langt sykler Asbjørn?

Målestokk 1 : 100 000

Høyås

Gylder

Kure

Strøm

KåbølVåler Kirkebygda

Veidal

Skjellfoss

Såner

Hølen

Sonsveien

Grefsrød

Målestokk 1 : 100 000

Høyås

Gylder

Kure

Strøm

KåbølVåler Kirkebygda

Veidal

Skjellfoss

Såner

Hølen

Sonsveien

Grefsrød

2.39Stafylokokkene på bildet har litt ulik størrelse. Målestokken blir derfor forskjellig etter om vi tar utgangs-punkt i de største eller i de minste stafylokokkene på bildet. Også her kan doble tallinjer være avklarende når det gjelder å forstå sammenhen-gen mellom avstand på bildet og avstand i virkeligheten.

Målestokken blir med disse målene ca. 6000 : 1. Det vil si at bildet fra elektronmikroskopet er om lag 6000 ganger forstørret.

0 μm

0 mm

1,5 μm

9 mm

1 μm

6 mm = 6000 μm

upresis at den ikke lenger likner på den egentlige figuren.

ForenklingLa elevene tegne doble tallinjer som støtte for å løse problemstillinger med målestokk.

2.38Her har vi en forminskning. Vi lurer på hva 1 cm på tegningen svarer til i virkeligheten, og ser at vi kan dele tallinja i fem deler. 1 cm svarer da til 6 m, altså 600 cm. Målestokken er dermed 1 : 600.

0 cm

0 cm

? mm

1 mm

15 m = 1500 cm

2,5 cm


Maximum 1070

Aktivitet

Hvor langt?Dere trenger• diverse kart med ulik

målestokk• linjal, snor, tau, målebånd• lapper med navn på byer og

steder

Fremgangsmåte1 Trekk to lapper.

2 Finn et egnet kart til å måle avstandene mellom stedene.

3 Hva er målestokken på kartet du velger?

4 Hva er avstandene i luftlinje?

5 Hva er reiseavstandene?

6 Sjekk avstandene på Internett. Hvor stort avvik er det mellom resultatet ditt og opplysningene på Internett?

7 Et fly har en gjennomsnittsfart på 800 km/h. Hvor lang er flytiden mellom byene?

BergenTromsø Kairo

Tokyo

UstaosetLondon

Moskva Monte- v ideo

La elevene komme med egne regler i f. Velg to–tre gode formuleringer og drøft videre hvilken regel elevene synes er aller best. Utfordre elevene til å bruke matematikkspråket og lage generelle sammenhenger, for eksempel:– Når forholdet mellom lengdene er

1 : n– er forholdet mellom arealene

1 : n2

– og forholdet mellom volumene 1 : n3

Grunnleggende ferdigheterÅ kunne lese kart, tolke målestokker og gjøre beregninger om avstander er viktig på mange områder. Det grunnleggende er å kunne lese orienteringskart, turkart, bykart eller større veikart og bruke opplysning-

ut gjennomsnittlig avvik i prosent for gruppa. Gruppa med lavest tallverdi i svaret kåres til vinner.

2.43I denne oppgaven skal elevene oppdage at målestokk, slik den normalt brukes, bare gjelder lengde-enheter og ikke kan overføres direkte til areal eller volum. Det er viktig at oppgaven blir gjennomgått slik at eventuelle misoppfatninger kan justeres. Til d og e kan det være fint å ha tilgang til centikuber.

KommentarerAktivitet – Hvor langt?Velg ut byer og tettsteder ut fra hvor dere holder til, og hvilke kart dere har tilgang til. Velg noen steder nær hjemstedet og noen langt unna. Det er en fordel om dere har flere ulike kart: orienteringskart, vanlige turkart, veikart over Norge og store klasse-romskart. En viktig del av oppgaven er å velge et hensiktsmessig kart i forhold til avstanden som skal måles.

Alternativt kan aktiviteten gjøres om til en gruppekonkurranse. Lag en tabell med bestemte avstander elevene skal kontrollere, og la alle grupper finne de samme avstandene (de kan jobbe i ulik rekkefølge). Finn prosentvis avvik mellom oppgitt og målt verdi for hver avstand og regn

Faglig innhold• Kart og målestokk

Utstyr• Centikuber• Atlas eller andre ikke-

digitale kart


Oppgavebok

2.64—2.66

2.55—2.59

2.44—2.46


2.41 Tegningen viser fasaden til en hytte. Mønehøyden på hytta er 5,1 m.

a Ta mål og finn ut hvilken målestokk som er brukt.

b Ta mål og regn ut hvor bred hytta er i virkeligheten.

2.42 Avstanden Paris–Dakar er i luftlinje 4200 km. I et atlas måler vi avstanden til 8,4 cm.

a Hva er målestokken til kartet?

b På det samme kartet måler vi avstanden Tromsø–Mogadishu til 15,5 cm.

Hvor lang er denne avstanden i virkeligheten?

2.43 Tegn linjestykket og kvadratet i målestokkene 2 : 1 og 1 : 4.

a Finn lengden av linjestykket og arealet av kvadratet på de nye tegningene.

b Er lengdene forstørret eller forminsket?

c Hva er forholdet mellom arealene av kvadratene? Er de forstørret eller forminsket?

d Tenk deg at du har en kube med sider lik 2 cm. Du skal bygge en ny kube i målestokk 2 : 1. Finn lengden av sidekantene, arealet av sideflatene og volumet av den nye kuben. Hva er forholdet mellom volumene?

e Den samme kuben skal også lages i målestokk 1 : 4. Finn lengden av sidekantene, arealet av sideflatene og volumet av den nye kuben. Hva er forholdet mellom volumene?

f Lag en regel for sammenhengen mellom arealene og volumene av figurer som blir forminsket og forstørret i en bestemt målestokk.

2 cm

2 cm2 cm

2 cm

2 cm2 cm

ningen og avhenger av hvordan det aktuelle kartet er laget, og hvilken kartprojeksjon som er brukt.

alle innbyrdes avstander mellom de valgte hovedstedene. Når tabellen er fullført, kan elevene søke etter de samme avstandene på Internett og sammenlikne eget resultat med oppgitte avstander. Hvor presist greide elevene å finne avstandene ved hjelp av kart? Regn ut prosentvis avvik for hvert mål. Er det noen sammenheng mellom faktisk avstand og prosentvis avvik? Hvordan kan i så fall det forklares?

Teoretisk forventer vi at prosentvis avvik øker jo lengre avstanden er. Det kommer av at en stor målestokk på kartet gir større måleusikkerhet. Likevel kan vi oppleve at prosentvis avvik også får store utslag for avstander mellom steder langt nord eller langt sør. Det skyldes jordkrum-

ene på kartet til å planlegge turer. La elevene forklare for hverandre hvordan de beregner avstander.

ForenklingLa elevene samarbeide to og to. La dem bruke centikuber til å forstå hvordan forholdet mellom lengder gir andre forhold mellom volum (oppgave 2.43 d og e).

Mer utfordring / Flere aktiviteterSamarbeidsoppgave med geografiBruk atlas eller andre ikke-digitale kart. Velg fem hovedsteder i hver av verdensdelene Asia, Afrika, Amerika, Europa og Australia. Lag en tabell der alle hovedstedene er listet opp både vannrett og loddrett. Bruk kartene og den oppgitte målestokken til å finne


Maximum 1072

Arbeidstegninger

Når noe skal lages, bygges eller produseres, er det nødvendig å planlegge arbeidet ved hjelp av arbeidstegninger. Noen ganger bruker vi arbeidstegninger andre har laget, andre ganger må vi lage arbeidstegningen selv.En arbeidstegning kan tegnes med ulike teknikker. Arbeidstegningen må tilfredsstille ett eller flere av disse punktene:

• inneholde mål på det som skal lages

• beskrive fremgangsmåten for å lage gjenstanden

• beskrive utseendet til det ferdige produktet

2.44 Tegningen viser mønsteret til et forkle. Forkleet kan lages i voksenstørrelse (ca. 170 cm) og i barnestørrelse (ca. 8 år). For å lage forkleet må målene overføres til stoffet.

• Voksenstørrelse: Hver rute svarer til 10 cm.

• Barnestørrelse: Hver rute svarer til 7,5 cm.

a Hva blir lengden av et ferdig voksenforkle?

b Hva blir lengden av et ferdig barneforkle?

Ida skal sy ett forkle i voksenstørrelse og to i barnestørrelse. Hun kjøper stoff fra en rull som er 140 cm bred.

c Hvor mye stoff trenger hun?

Mathias vil sy et forkle til lillesøsteren sin på 4 år. Lillesøsteren er 105 cm høy.

d Hvor mange centimeter kan Mathias la hver rute tilsvare for at forkleet skal passe?

Bre

tt s

to�

et

√ Brett stoffet på midten.

√ Klipp ut mønsterdelene.

√ Sy på kantebånd i halsåpningen og rundt forkleet.

√ Sy sammen bak nakken.

√ Sett i en rynketråd øverst på hver lomme og trekk sammen.

√ Kant lommene med kantebånd og sy dem på forkleet.

√ Brett knytebåndene med vranga inn og sy en lang søm.

√ Vreng knytebåndene, sy til i endene og fest dem til forkleet.

Grunnleggende ferdigheterLeseferdigheterÅ lese, tolke og bruke en arbeidsteg-ning handler om grunnleggende leseferdigheter. Før eller senere vil alle stifte bekjentskap med arbeids-tegninger i en eller annen form, enten de skal montere et flatpakket møbel, sy et klesplagg eller ta stilling til plassering og utnytting av boligareal. Arbeidstegninger fore-kommer i de fleste yrker, og du møter dem både i offentlige og private sammenhenger.

ForenklingSamarbeid og diskuter problemstil-lingene to og to.

2.45Materialene er markert med symbolet for tommer: ʺ (1 tomme = 2,54 cm).

2ʺ × 2ʺ (to toms to, dvs. to tommer ganger to tommer)1ʺ × 6ʺ (1 tomme tykk og 6 tommer bred)

Oppgaven er relativt åpen, og det er rimelig at elevene gjør overslag. Materiallista kan oppgis som ferdigkappete enheter eller som hele meter av de to materialtypene. Dersom eleven oppgir materiallista i hele meter, bør det legges til noe svinn i avkapp (5 % er naturlig).

2.46–2.47Maskindeler må produseres svært nøyaktig. Det er derfor vanlig å oppgi målene i millimeter.

KommentarerVi må forholde oss til arbeidstegnin-ger i et utall sammenhenger. Arbeidstegninger er heller ikke noe presist begrep, de kan foreligge i svært ulike former og med forskjellig presisjonsnivå. Uansett skal en arbeidstegning være en plan som forteller noe om et produkt som skal lages. Det kan være naturlig å samarbeide med Kunst og håndverk om dette kompetansemålet.

2.44Dette er et klassisk mønster fra 70-tallet og ble den gang kalt Ingrid Espelid-forkleet. Mønsteret er reelt og kan fint brukes i praksis.

Faglig innhold• Arbeidstegninger


Oppgavebok

2.67, 2.68

2.60

2.47

4 egg4 ts kanel½ ts kardemomme½ ts pepper½ ts ingefær½ ts nellik½ ts anis2 ts bakepulver1 kg hvetemel

I ovnen: 175°C – ca. 15 min på midterste rille.

Smelt sirup, sukker og smør. Avkjøl og rør inn ett egg om gangen. Tilsett krydderet, blandet med 2/3 av melet. Elt deigen godt og sett kjølig minste ett døgn før den brukes. Resten av melet brukes til utbaking. Kilde: Matglede, Gyldendal Norsk forlag


2.45 Bruk arbeidstegningen av kompostbingene til å lage en materialliste.

2.46 En arbeidstegning av en maskindel er i målestokken 5 : 1.

a Hva betyr det at målestokken er 5 : 1?

b Et mål på tegningen er 120 mm. Hvor mange millimeter blir det i virkeligheten?

c Maskindelen har en lengde på 32 mm. Hva blir dette målet på tegningen?

2.47 Tegningene viser to ulike maskindeler. Den ene er sett ovenfra og den andre fra siden.

a Den øverste tegningen er i målestokk 2 : 1. Hva er de egentlige målene på maskindelen?

b Maskindelen vist ovenfor stemples ut av stålplater som er 800 · 600 mm store. Hvor mange maskindeler kan stemples ut av en plate?

c Den nederste tegningen viser et tverrsnitt av en rund maskindel som er symmetrisk om en gjennomgående akse.

1 Gjør et overslag over volumet til maskindelen.

2 Maskindelen støpes i aluminium som har massetetthet 2,7 g/cm3. Hvor mye stål går med til 250 slike maskindeler?

Murstein Planker

0,75 m

1,5 m

0,75 m

0,75 m

2” x 2”

1” x 6”

0,50 m

Murstein Planker

0,75 m

1,5 m

0,75 m

0,75 m

2” x 2”

1” x 6”

0,50 m

Murstein Planker

0,75 m

1,5 m

0,75 m

0,75 m

2” x 2”

1” x 6”

0,50 m

10

?

?

R5

ø 25

ø 15

ø 35

ø 40

15

5

ø ?

10

?

?

R5

ø 25

ø 15

ø 35

ø 40

15

5

ø ?

Vi bruker diametersymbolet

Ø når det ikke fremgår av tegningen

at måltallet er en diameter.

stokk 1 : 1. Bygg huset først i stiv papp, slik at dere ser at det er mulig. Bruk limpistol. Regn ut hvor stor overflate huset deres har. Til pepperkakehuset kjevles deigen om lag 0,5 cm tykk. Finn volumet av deigen dere trenger, og sammenlikn med oppskriften for å få omtrent passe mengde deig. Deretter bruker dere malene, skjærer ut, baker alle delene og setter alt sammen (gjerne også her med limpistol). Lag en juleutstilling av byggverket.

Pepperkakehusdeig(ikke egnet til spise-kaker)(Nok til ca. 3—4 hus med mål omkring 20 ∙ 16 ∙ 20 cm)400 g sirup200 g sukker100 g meierismør

Mer utfordring / Flere aktiviteterArbeidstegning for pepperkakehusDette er et tverrfaglig samarbeid mellom Kunst og håndverk, Mat og helse og Matematikk. Arbeid i små grupper. Lag en arbeidstegning av et pepperkakehus dere vil bygge. Det kan enten være et kjent bygg, en av skolebygningene eller et kreativt oppdiktet drømmehus. Hvis du skal lage en arbeidstegning av et virkelig bygg, måler du opp og tegner det virkelige huset i målestokk 1 : 50 eller 1 : 100, sett fra alle fire sider og ovenfra. Eventuelt kan dere velge en annen felles målestokk.

Lag deretter maler for pepperkake-huset. Malene må da være i måle-


Maximum 1074

2.48 Du skal bygge et hundehus til en stor hund. Hunden er 60 cm høy og veier rundt 25 kg. Tegn arbeidstegninger i målestokk 1 : 10.

a Tegn en plantegning (sett ovenfra).

b Tegn en fasadetegning sett forfra og en sett fra siden.

2.49 Tegningen nedenfor viser et bad. Alle målene er i millimeter.

a Hva er målenheten til tallene på tegningen?

b Hvor stort brutto gulvareal har badet?

c Hvilken målestokk er omtrent brukt på tegningen?

d Omtrent hvor mange prosent av gulvarealet dekkes av inventaret? Gjør et overslag.

e Bruk samme målestokk og lag en tilsvarende tegning som fremstiller et bad du bruker.

bruttoareal samlet areal før noe går vekk til inventar

900

900

280

1560 300 600 300 100

1500 30060 600 300 100

2860

995

515

570

2080

980

685

415

2080

900 150 600 310 400 400 100

2410450

2860

tegne og få et inntrykk av hvordan nytt inventar vil se ut.

Grunnleggende ferdigheterElevene må her ha stort fokus på å lese og tolke tall og tegninger. De trenger øving i å lese plantegninger og bør kunne forklare det til andre. Å tegne på isometrisk prikkark krever også øving.

ForenklingBruk isometriske ark med likesidede trekanter i stedet for prikker. Da er det lettere å følge linjene for å lage isometriske tegninger (kopioriginal K.10.2.10).

isometriske tegninger og plantegnin-ger. Når elevene skal tegne selv, kan de velge å bruke dynamisk geometri-program. I GeoGebra kan vi for eksempel velge rutenett i innstillin-gen i grafikkfeltet og endre den til isometrisk. Da blir det vist isometrisk bakgrunn, altså likesidede trekanter. Isometriske prikkark viser prikkene der hjørnene i de likesidede trekan-tene er.

Isometri må ikke forveksles med perspektiv. På isometriske tegninger beholdes all parallellitet. Isometri brukes blant annet i en del datagra-fikk og er derfor kjent av mange som driver med dataspill. Enkelte tilby-dere av inventar som kjøkken og liknende tilbyr Java-applikasjoner på sine hjemmesider, der kunden kan

Kommentarer2.48Et hundehus på denne størrelsen er 90 cm langt, 70 cm høyt og 60 cm bredt. La elevene søke opp bilder av hundehus på Internett for å la seg inspirere og gjerne for å finne omtrentlig størrelse.

2.49La elevene studere tegningen av badet to og to. La dem finne ut hva alle målene langs sidekantene er. Alle mål på arkitekttegninger av hus og rom bruker målenheten millimeter (mm), for det må være svært nøyaktig.

Side 75Det kan være utfordrende for enkelte å se sammenhengen mellom

Faglig innhold• Arbeidstegninger• Isometriske tegninger

Utstyr• Kopioriginal K.10.2.1• Kopioriginal K.10.2.9• Kopioriginal K.10.2.10• Kopioriginal K.10.2.11• Centikuber


Oppgavebok

2.69, 2.70

2.61

2.48, 2.49Eksempel 10


Tegningen viser utsnitt av en plantegning til en leilighet der kjøkkenkroken er plassert.

Bruk et isometrisk prikkark og lag en tegning som viser det samme kjøkkenet.

Løsningsforslag

Vi bruker et isometrisk prikkark til å lage tegningen.

De fleste kjøkkenmoduler er 60 cm brede, 60 cm dype og 90 cm høye. Da er det praktisk å la en «prikkavstand» svare til 30 cm i virkeligheten.

2.50 Tegn ditt eget drømmekjøkken.

a Lag en plantegning med mål.

b Bruk et isometrisk prikkark og lag en tegning.

2.51 Tegn rommet ditt.

a Lag en plantegning.

b Velg å stå i et av hjørnene. Bruk et isometrisk prikkark og lag en tegning som beskriver det du ser fra dette hjørnet.

isometrisk ark i et isometrisk ark er prikkene plassert som hjørnene i likesidede trekanter

Noen elever vil ha god nytte av å bygge med centikuber som støtte i denne oppgaven, men elevene bør også utfordres i å klare dette uten konkreter i hånden, for å øve opp evnen til visuell transformasjon. La også elevene lage liknende utfordrin-ger til hverandre. Da er det lurt at den som lager oppgaven, bygger figuren i 3D med centikuber. Figuren kan brukes som «fasit».

Isometri i dataspillLa elevene finne eksempler på at grafikken i dataspill er isometrisk. Ta en skjermdump og importer bildet til et dynamisk geometriprogram. Vis ved hjelp av parallelle linjer at bildet er isometrisk bygd opp.

Resultat av oppgavens første del:

Resultat av oppgavens andre del:

Forfra Bakfra

Fra venstre Fra høyre

Mer utfordring / Flere aktiviteterKlossebyggBruk oppgaven i kopioriginal K.10.2.11. Oppgaven viser et klossebygg sett ovenfra. Tallene i rutene viser hvor mange klosser det er i høyden. Vi antar at alle klosse-stabler starter fra grunnflaten og ikke midt i lufta. Med utgangspunkt i oppgaven skal elevene først tegne bygget slik det ser ut fra hver av de fire sidene. Deretter skal elevene tegne klossebygget isometrisk fra minst en vinkel.

Slik er oppgaven gitt:Bak

Foran

Vens

tre H

øyre

12

1


Mål

Egyptisk veggmaleri, ca. 1400 f.Kr.

Høyde

LengdeBred

de

Maximum 1076

Perspektivtegning


• kjenne igjen og beskrive ulik bruk av perspektiv på bilder og tegninger• tegne skisser med ett eller flere forsvinningspunkter

Verden omkring oss er tredimensjonal. Både innen kunst og vitenskap er det aktuelt å lage avbildninger av denne virkeligheten på papir. Det gir noen utfordringer å få frem dybde i slike bilder siden papiret bare har to dimensjoner.I det gamle Egypt, i oldtiden, laget de bilder uten dybde.

Det finnes flere ulike teknikker til å få frem dybde i bilder. Perspektivtegning er en av dem. Ved å overføre tredimensjonale objekter til planet kan vi også få til såkalte umulige figurer.

perspektiv måte å fremstille tredimensjonale gjenstander på en todimensjonal flate, slik at bildet får dybdevirkning

tredimensjonal gjenstand som måles langs tre akser, som står vinkelrett på hverandre

dimensjoner. Elevene bør selv komme frem til forklaringer på hva som skjer. I flere av eksemplene kobles linjer som i virkeligheten ligger i bakgrun-nen, med linjer i forgrunnen.

2.52Det er bare to mulige figurer i oppgaven: B er et dodekaeder, og F er et møbiusbånd.

2.53Søk på Internett etter flere liknende kunstverk som elevene kan studere. Søkeord kan være «umulige figurer»/«impossible figures»/ M.C. Escher.

Grunnleggende ferdigheterHer arbeider vi med å lese og tolke hvordan figurer og tegninger er bygd opp. Be elevene tenke, diskutere og

«Brudeferden i Hardanger» (Tidemand og Gude, 1848) er et eksempel.

Egyptiske veggmalerier bruker et «verdiperspektiv». Det kjennetegnes ved at viktige personer opptrer som vesentlig større enn andre, og at personer og gjenstander fremstilles på sin mest fremtredende måte. I dette oppslaget fokuserer vi også på umulige figurer. Det er figurer som kan tegnes i to dimensjoner, men som ikke kan transformeres til tre

KommentarerEt flatt bilde kan aldri gi en 100 % riktig gjengivelse av et tredimensjo-nalt rom. Ved hjelp av varierte teknik-ker kan en likevel gi et optisk dybdeinntrykk. I en matematikkfaglig sammenheng er det bruken av perspektivtegninger som er mest interessant. Perspektivteknikkene i dette kapitlet viser hvordan plasse-ring av og størrelse på objekter har betydning for dybdevirkningen.

Andre virkemidler kan være• personer eller gjenstander

plassert overlappende• mørke farger i forgrunnen og

lysere farger i bakgrunnen

Faglig innhold• Overgang mellom 2D og

3D• Umulige figurer

Utstyr• Papir• Lim• Saks


Oppgavebok

2.75

2.71


2.52 Hvilke(n) av disse figurene er det mulig å lage i tre dimensjoner?

A C E

B D F

2.53 Studer kunstverkene. Forklar for en medelev hva som gjør dem til umulige figurer.

2.54 a Søk på Internett etter umulige figurer / impossible figures og finn ulike teknikker for å tegne slike.

b Tegn egne umulige figurer.

Sandro del Prete: «Chessboard» M. C. Escher: «Waterfall»

Utforsk videre med å gjenta delin-gen. La elevene lage liknende bånd og føre resultatet inn i en tabell. Husk å ta med et bånd uten vridnin-ger også.

Antall vridninger

Antall sider

Antall deler etter en klipping

Antall deler etter to klippinger

0

1

2

3

Spørsmål som kan stilles til elevene:– Hva slags mønster ser du i antall

vridninger og antall deler?– Lag en hypotese om hva som

skjer når du lager en remse med fire vridninger.

– Test hypotesen.

ring. Før du limer sammen endene, vrir du en av dem 180°. Når du har laget båndet, bruker du en blyant og følger den ene siden ved å tegne en kontinuerlig kurve. Legg merke til at du ikke tar igjen din egen blyantstrek før du har tegnet sammenhengende på begge sider. Gjør det samme med å følge sidekanten.

Lag et møbiusbånd med en midtlinje. Klipp forsiktig langs midtlinja slik at båndet blir delt i to på langs. Studer resultatet. – Hvor mange bånd har du, og hvor

mange vridninger er det nå?

komme med eksempler på malerier de kjenner som bruker perspektiv for å gi dybdevirkning. Elevene blir utfordret på at noen av tegningene er «umulige» å bygge i virkeligheten. I diskusjoner skal elevene sette ord på hva som gjør tegningene umulige.

ForenklingHer er det viktig at elever får snakke sammen, argumentere for egne meninger og høre andres tanker og argumenter. La elevene derfor samarbeide mest mulig.

Mer utfordring / Flere aktiviteterMøbiusbåndetEt møbiusbånd er en remse med bare en side og en sidekant. Du lager et møbiusbånd ved å klippe en papir-remse som du limer sammen i en


Aktivitet

Egenskaper i perspektivDere trenger

• bilder av «flyinteriør» og «bygate» i A4-format (kopioriginal)• linjal, blyant, viskelær• papir eller kopioriginal, med kvadrater

Del 1 – Finne ut1 Tegn inn de to linjene som er vist med rødt på «flyinteriør».

2 Fortsett å tegne linjer i samme bilde. Tegn linjer som er vannrette og går i flykroppens retning. Finn minst seks linjer.

3 Finn på samme måte minst seks linjer som er vannrette i bygatas lengderetning.

4 Hva er spesielt med de linjene du har tegnet?

5 Hva tror du ordet forsvinningspunkt viser til?

6 Finn en annen farge og tegn en linje gjennom det du mener er et forsvinningspunkt. Linja skal være parallell med bildets bunnlinje.

7 Forklar med egne ord hva du mener en horisontlinje kan være.

Del 2 – Tegne selv

Målet er å tegne tre klosser som svever i rommet. Bruk linjal og blyant når du tegner. Figuren viser hva du starter med.

1 Tegn en kloss om gangen. Kvadratet viser forsiden. Start med å trekke hjelpelinjer fra hvert hjørne til punkt A.

2 Marker baksiden av klossen ved å tegne linjestykker mellom hjelpelinjene. Pass på at linjene blir parallelle med sidekanten i kvadratet.

3 Trekk opp alle sidene av klossen tydelig, og visk ut resten av hjelpelinjene.

4 Hva kaller vi punkt A?

5 Hva kaller vi den stiplede linja?

A

absolutt. Særlig mot slutten kan rekkefølgen på hva en tegner, variere etter både motiv og tegner. Forklar at det er lurt å bruke en myk blyant og et lett trykk når en tegner hjelpelin-jer, for det gjør det enkelt å viske dem ut igjen når tegningen skal ferdigstilles.

Grunnleggende ferdigheterLæreplanen bruker begrepene tolke og tegne. Å tolke en tegning knyttes til leseferdigheter og muntlige ferdigheter. Tegneprosessen knyttes til skriveferdigheter. Det er viktig å presisere for elevene at innenfor matematikkfaget er det ikke de kunstneriske ferdighetene som blir vurdert, men at eleven har forstått prinsippene og kan forklare muntlig og skriftlig hvordan overgangen

tid på, og hva de ulike elevene er best tjent med.

Begrepene punkt, linje og parallellitet er sentrale i perspektivtegning. Foku-ser særlig på hvordan vi tegner linjer som i virkeligheten er parallelle med hverandre. La også elevene beskrive hva som skjer med de tre retningene lengde, bredde og høyde. I ettpunkts-perspektiv beholdes parallelliteten mellom rette linjer i høyderetning og i bredderetning, mens parallelle linjer i lengderetningen samles i ett forsvinningspunkt. Innfør også begrepet horisontlinje.

Side 79Her vises en trinnvis oppbygging av en tegning i ettpunktsperspektiv. Denne oppskriften er på ingen måte

KommentarerAktivitet – Egenskaper i perspektivHensikten med aktiviteten er at elevene skal oppdage at linjene samler seg i ett punkt. Perspektiv-tegning med ett forsvinningspunkt er et av kompetansemålene for 7. trinn (L13). Det er derfor rimelig å anta at elevene har erfaringer med perspektivtegning som de kan bygge på.

Kopioriginalene K.10.2.12 og K.10.2.13 brukes i arbeidet med del 1 av aktiviteten. K.10.2.14 inneholder figuren vist i del 2. Det gir mer variasjon i elevarbeidet om elevene får tegne starten på tegningen selv. Her må en vurdere hva en vil bruke

Faglig innhold• Perspektivtegning med

ett forsvinningspunkt

Utstyr• Kopioriginal K.10.2.12• Kopioriginal K.10.2.13• Kopioriginal K.10.2.14• Linjaler


Oppgavebok

2.76, 2.77

2.72forsvinnings-punkt det punktet der to eller flere parallelle linjer ser ut til å møte hverandre uendelig langt borte fra den som ser på

ettpunkts-perspektiv har en horisontlinje og ett forsvinningspunkt


I ettpunktsperspektiv bruker vi en horisontlinje med ett forsvinningspunkt. Alle vannrette linjer i lengderetningen trekker vi til forsvinningspunktet, mens alle loddrette linjer er parallelle.

Tegn et enkelt gatebilde i ettpunktsperspektiv. Bruk blyant.

Trinn Beskrivelse Figur

1 Tegn en horisontlinje og sett av et forsvinnings punkt på linja.

2 Tegn alle kantlinjer på gata nedenfra og inn i forsvinningspunktet. (Kantlinjene skal vise bunnen av trærne, fortauet og veikanten.)

3 Tegn hjelpelinjer ovenfra og inn i forsvinnings punktet. Hjelpelinjene skal markere toppen av bygninger, lyktestolper, trær osv.

4 Sett inn alle loddrette linjer der du skal tegne hus, trær o.l.

5 Fullfør tegningen og visk ut overflødige hjelpelinjer.

finne ut hva slags perspektiv som er brukt. Eksempler på bilder:• «Idealstaten» av Piero della

Francesca• «Skolen i Aten» av Rafael• «Bryllupet i Kana» av Paolo

Veronese• «Nattverden» av Leonardo da

Vinci• «Himmelrikets nøkler» av Pietro

Perugino

La elevene selv lage tegninger i ettpunktsperspektiv av et rom som du står og ser inn i. La dem tegne for hånd eller ved hjelp av dynamisk geometri.

mellom to og tre dimensjoner blir gjort, og knytte det til begrepene nevnt ovenfor.

Forenkling La elevene gjøre ferdig halvferdige tegninger. Se kopioriginal K.10.2.14. Dette er en oppgavetype som også er blitt brukt til eksamen.

Mer utfordring / Flere aktiviteterSamarbeidsprosjekt med kunst- og håndverksfagetLa elevene studere eventuelle perspektiv i kjente malerier. La dem redigere og sette inn bilder fra filer eller fra utklippstavla. Når de har importert disse bildene, kan de legge på linjer for å studere bildene og


Maximum 1080

2.55 Velg ett av motivene nedenfor og tegn det i ettpunktsperspektiv.

• en skoeske

• en korridor

• rommet ditt

• et landskap

2.56 Bruk dynamisk geometri.

a Tegn en kloss i ettpunktsperspektiv.• Tegn en vannrett horisontlinje.• Sett av et forsvinningspunkt F midt på horisontlinja.• Tegn en regulær firkant ABCD nedenfor horisontlinja.• Tegn stråler fra hvert hjørne av firkanten gjennom

forsvinningspunktet.• Sett av et punkt P på strålen øverst til venstre som utgangspunkt

for å tegne dybden i klossen.• Tegn paralleller til øvre og venstre sidekant, gjennom P.• Finn skjæringspunktene mellom parallellene og de andre strålene,

og fortsett med paralleller til «bakveggen» er tegnet.• Trekk opp alle linjestykker som definerer klossen, før du skjuler

stråler og hjelpelinjer.

b Endre på plasseringen av forsvinningspunktet og horisontlinja og studer hvordan inntrykket av klossen endrer seg.

1 Hvor er horisontlinja hvis du ser klossen ovenfra? 2 Hvor er horisontlinja hvis du ser klossen nedenfra?

Forsvinningspunktet kan ligge utenfor bildet.

Edvard Munch: «Skrik», 1893

din holdt som en O gjøre samme nytte.

2.59Dersom dere bruker GeoGebra, er det lett å importere bilder i programmet og deretter tegne inn linjer og finne forsvinningspunkter. Sørg for at bildet er lagret lokalt. Bruk verktøyet «Sett inn bilde».

ABC

ABC Tekst

a = 2

Sett inn bilde

Horisontlinja og forsvinningspunktet kan lett identifiseres og står høyt i bildet, over hodene på bandmedlem-mene. Søk og finn bildet på Internett. Still elevene spørsmål som for eksempel:– Hvor må fotografen ha stått da

han tok bildet? (høyere enn personene på bildet, for eksempel på et lasteplan eller i en kran)

– Hvor ville horisontlinja havnet dersom fotografen hadde stått på gateplan? (omtrent i høyde med skulderen/ansiktet til de fire mennene)

2.58a gir inntrykk av å være nær esken, c gir inntrykk av å være langt unna. Prøv selv med en eske. I mangel av eske kan en dorullkjerne eller hånden

Kommentarer2.56Oppgave a gir en punktvis beskri-velse av å tegne en kloss i ettpunkts-perspektiv. Beskrivelsen baserer seg på programvaren GeoGebra. Dersom skolen bruker annen programvare, kan det være at oppgaven må justeres noe. I oppgave b vil vi at elevene skal resonnere seg frem til at horisontlinja kommer høyt når vi ser klossen ovenfra, og lavt når vi ser klossen nedenfra.

Et klassisk eksempel på et bilde der fotografen befinner seg høyere enn objektene, er covermotivet på albumet «Abbey Road» av The Beatles. Motivet er et ettpunktsper-spektiv av et gatebilde med de fire bandmedlemmene i forgrunnen.


ett forsvinningspunkt

Utstyr• PC med dynamisk

geometriprogram• En eske som er åpen i

begge ender


Oppgavebok

2.78

2.73


2.57 Linjer som viser perspektiv, kan brukes til å skape synsbedrag.

a Hvilken dame er høyest? Mål og sjekk.

b Hvordan må tegningen endres for å få rett perspektiv?

2.58

A B C

Figurene viser den samme åpne esken tegnet i ettpunktsperspektiv, på tre ulike måter.

På hvilken figur opplever du å stå nærmest esken?

2.59 Studer fotografier og malerier du har hjemme eller på skolen. Bruk eventuelt Internett. Finn eksempler på bruk av ettpunktsperspektiv.

a Finn horisontlinja og forsvinningspunktet.

b Finn ut hvor fotografen eller kunstneren er plassert i forhold til motivet.

Sett en eske foran deg og juster

avstanden.

ForenklingLa elevene samarbeide to og to når de løser oppgave 2.58 med dynamisk geometri. Da får elevene sette ord på hva de tenker for at den andre skal kunne forstå.

Mer utfordring / Flere aktiviteterVideoforklaring av ettpunktsperspektivLag en videoforklaring til hvordan du tegner en kloss i ettpunktsperspektiv. Bruk dynamisk geometriprogram og et program for skjermopptak med lyd. Forklar underveis hva dere gjør, og lever gjerne fila inn på læringsplatt-formen.

Det kan også brukes et tegnepro-gram til dette, men der har en ikke samme mulighet til å sørge for absolutt parallellitet.

Grunnleggende ferdigheterDigitale ferdigheterEn side av digitale ferdigheter er de som knyttes direkte til matematikk-forståelsen. En annen del av digitale ferdigheter som elevene stadig trenger trening i, er knyttet til generell filbehandling. Her får elevene begge deler.

Klikk på grafikkfeltet, hent bildet fra filarkivet og sett inn. Linjestykket AB definerer nedre bildekant, og bildets plassering og størrelse kan justeres etter at det er satt inn. I dialogbok-sen for innstillinger kan bildet blant annet låses i posisjon eller legges som bakgrunnsbilde, altså bak rutenettet.

a6

5

4

3

2

1

0

–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Linjea: 1.2x – 0.5y = 0.37

PunktA = (0, 0)B = (8, 0)C = (1.46, 2.76)D = (0.96, 1.56)

Algebrafelt GrafikkfeltX X

AA

DD

CC

B

din holdt som en O gjøre samme nytte.

2.59Dersom dere bruker GeoGebra, er det lett å importere bilder i programmet og deretter tegne inn linjer og finne forsvinningspunkter. Sørg for at bildet er lagret lokalt. Bruk verktøyet «Sett inn bilde».

ABC

ABC Tekst

a = 2

Sett inn bilde


Bygning fotografert i trepunkts-perspektiv, der det tredje

Bygning fotografert i topunktsperspektiv.Kan du forklare hvorfor horisontlinja ligger så lavt i bildet?

Bygning fotografert i trepunktsperspektiv, der det tredje forsvinningspunktet er plassert over horisontlinja.Kalles også froskeperspektiv.

forsvinnings-punktet er plassert under horisontlinja. Kalles også fugleperspektiv.

Maximum 1082

Flere forsvinningspunkter

Hvis vi skyver forsvinningspunktet på en tegning i ettpunktsperspektiv langt ut til en kant, blir tegningen lite troverdig. For å få frem dybde i bildet på en annen måte bruker vi i stedet to eller tre forsvinningspunkter.

I topunktsperspektiv bruker vi en horisontlinje med to forsvinningspunkter. Et hjørne vender mot leseren. Alle vannrette linjer trekkes til forsvinningspunktene, og alle loddrette linjer er parallelle.

I trepunktsperspektiv bruker vi en horisontlinje med to forsvinningspunkter og et tredje forsvinningspunkt over eller under horisontlinja. Alle vannrette linjer trekkes til forsvinningspunktene på horisontlinja, og alle loddrette linjer trekkes til det tredje forsvinningspunktet.

Innvendig hjørne:

Når vi skal lage en tegning i tre-punktsperspektiv, må vi først bestemme oss for om det tredje forsvinningspunktet skal ligge over horisontlinja (froskeperspektiv) eller under (fugleperspektiv). Også i trepunktsperspektiv er det naturlig å ta utgangspunkt i en loddrett linje eller et hjørne som til en viss grad vender mot deg.

A BA B

Vi ser at summen av antall parallelle retninger og antall forsvinningspunk-ter alltid er 3, noe som selvsagt er knyttet til de tre retningene i rommet: lengde, bredde og dybde.

Når vi skal lage en tegning i topunkt-sperspektiv, er det lurt å starte med den loddrette linja som beskriver hjørnet som vender mot deg (eventu-elt fra deg hvis du tegner et innven-dig rom). Deretter plasserer vi horisontlinja og legger to forsvin-ningspunkter på den. Fortsatt er alle loddrette linjer parallelle.

Utvendig hjørne:A B

KommentarerFiguren øverst på side 82 er karikert med hensikt. Hvis dette er et rett prisme og vi ser så mye av langsiden (dybdelinjer), ser vi ikke lenger prismet forfra, og det blir feil at breddelinjene er tegnet parallelle. Bildene nederst på siden viser hvordan to- og trepunktsperspektiv har færre parallelle linjer og flere forsvinningspunkter. Sammenhengen er slik:

Antall parallelle retninger på tegningen

Antall forsvinningspunkter på tegningen

2 1

1 2

0 3


flere forsvinningspunkter

Utstyr• Kopioriginal K.10.2.15• Kopioriginal K.10.2.16• Kopioriginal K.10.2.17


Oppgavebok

2.82—2.84

2.79—2.81

2.74


2.60 Tegn en melkekartong i topunktsperspektiv og i trepunktsperspektiv.

2.61 Studer tegningene og bildene og avgjør hva slags perspektiv som eventuelt er brukt.

a

b

c

d

2.62 Bruk et dynamisk geometriprogram.

a Tegn en kloss i topunktsperspektiv.

b Skyv horisontlinja over klossen. Hvilke deler av klossen vises?

c Skyv horisontlinja under klossen. Hvilke deler av klossen vises?

d Flytt på forsvinningspunktene og legg merke til hvordan du opplever å være plassert i forhold til klossen.

2.63 Ta tre bilder av skolen din eller en annen bygning i nærheten. Ett bilde skal vise ettpunktsperspektiv, et annet skal vise topunktsperspektiv, og et tredje skal vise trepunktsperspektiv.

Ta utskrift eller bruk et digitalt tegneverktøy. Legg inn linjer som viser horisontlinje og forsvinningspunkter på bildene dine.

topunkts-perspektiv har en horisontlinje med to forsvinningspunkter. Et hjørne vender mot leseren

trepunkts-perspektiv har en horisontlinje med to forsvinningspunkter og et tredje forsvinningspunkt over eller under horisontlinja

Mer utfordring / Flere aktiviteterTrekolonnenotatLa elevene lage et trekolonnenotat der de illustrerer og skriver forklarin-ger til begrepene ettpunktsperspek-tiv, topunktsperspektiv, trepunkts-perspektiv, horisontlinje, forsvinningspunkt.

Begrep Illustrasjon Forklaring

2.63Se kommentarer til oppgave 2.59 (side 81) når det gjelder bruk av bilder i GeoGebra.

Grunnleggende ferdigheterElevene studerer, tolker og tegner for å finne og uttrykke dybdevirkning i bilder. De bruker digitale hjelpemidler til å utforske flerpunktsperspektiv. La elevene lese fagtekst og regelram-mer og diskutere hva de forstår med begrepene topunktsperspektiv, trepunktsperspektiv, horisontlinje, forsvinningspunkt, loddrette, vannrette og parallelle linjer.

ForenklingLa elevene gjøre ferdig halvferdige tegninger. Se kopioriginalene K.10.2.15, K.10.2.16 og K.10.2.17.


Mål

i

o

i = inntrinn i mmo = opptrinn i mm

Maximum 1084

Teknologi, kunst og arkitektur


• beskrive noen byggetekniske prinsipper• bruke viktige egenskaper ved trekanter• forklare egenskapene til det gylne snitt

Når noe skal bygges, enten det er bygninger, broer, trapper, hager eller noe helt annet, må vi passe på at byggverket blir sikkert, solid og hensiktsmessig. I tillegg bør det helst ikke være stygt eller på annen måte ødeleggende for miljøet.

Politikerne lager reguleringsplaner for å hindre at bygging skjer tilfeldig. Alle som skal bygge noe, må søke byggetillatelse. Forvaltningen passer på at det bare blir gitt tillatelse når lover, forskrifter og reguleringsplaner er fulgt.

Når du skal bygge en trapp, vil du at et trinn i trappen skal føles som et naturlig skritt, ikke for langt og ikke for kort. Det finnes en standard (formel) for hvordan sammenhengen mellom inntrinn og opptrinn i en trapp må være for at trappen skal bli god å gå i.

Trappeformel:

i + 2o = (620 ± 20) mm,

der i er inntrinn, o er opptrinn (begge målt i millimeter).

2.64 Finn fire forskjellige trapper. To innvendig og to utvendig. Ta mål av inntrinn og opptrinn i trappene, og finn ut om disse oppfyller kravene i trappeformelen.

leseferdigheter. Å forstå den komplekse illustrasjonen for stigning i trapper krever god leseferdighet. Elevene kan utfordres på å studere dette spesielt og kunne forklare det til andre på en lettfattelig måte.

ForenklingElevene kan arbeide med trappefor-melen uten å ta hensyn til stignings-vinkelen. Det gjør beregningene enklere, og det er lettere å vite om trapper de måler, ligger innenfor trappeformelens krav.

Mer utfordring / Flere aktiviteterSjekk rekkverket på trappeneRegelverket sier at alle trapper som har en total høydeforskjell over 50 cm, skal ha rekkverk. Avstanden

operasjonalisere og konkretisere ved hjelp av andre eksempler også.

Trappeformelen er et eksempel på hvordan matematiske sammenhen-ger og variable størrelser kommer til anvendelse i en praktisk sammen-heng. Gjennom dette eksemplet viser vi også en sammenheng mellom geometri og algebra.

Side 84Fagteksten henviser til Norsk Standard. Opplysninger om standardi-seringsregler i Norge finnes på hjemmesidene til Standard Norge, https://www.standard.no/.

Grunnleggende ferdigheterÅ lese, tolke og bruke arbeidstegnin-ger handler om grunnleggende

KommentarerBegynn med læringsmålene. La elevene bruke egenvurderingsskjema og kommentere hva de vet om byggetekniske prinsipper, trekanters egenskaper og det gylne snitt fra før. Hvilke ord er ukjente? Finn ut om noen har spesiell erfaring knyttet til temaet, for eksempel fra byggepro-sesser eller fra studier av bildekunst i kunst- og håndverksfaget.

Trappeformelen er ikke spesifisert i kompetansemålene, og det er heller ikke de andre temaene i dette delkapitlet. Vi har gjort et utvalg av noen geometriske sammenhenger som har særlig betydning i tilknyt-ning til teknologi, kunst og arkitek-tur. Kompetansemålet er nokså åpent formulert, og det lar seg trolig

Faglig innhold• Trappeformelen


E.10.2• Ulike innvendige og

utvendige trapper• Vindeltrapp• Linjal


Oppgavebok

2.85

Bygg en modelltrapp i målestokk 1 : 10La elevene velge eller trekke ulike helningsvinkler. Bruk kartong eller papp. La elevene lage en modell av en trapp med fire trinn som har den valgte helningsvinkelen og som tilfredsstiller kravene etter Norsk Standard.

Hvor mange trinn?Normal høydeforskjell mellom to etasjer i et bolighus er 2,70 m. La elevene finne ut hvor mange trinn de vil ha i en trapp mellom etasjene når trappen skal tilfredsstille Norsk Standard. – Hva blir målene på inntrinn,

opptrinn og helningsvinkel?

140

26

0

27

0

28

0

Inntrinn i ganglinja (mm)

Opp

trin

n (m

m)

29

0

30

0

31

0

32

0

25

0

150

160

170

180

190

25°26°27°28°29°30°31°

32°33°

34°35°

36°37°

Utvendigetrapper

Innvendigetrapper


Trappenormen, Norsk Standard 3932, forteller at i tillegg til å følge trappeformelen skal stigningsvinkelen på innvendige trapper være mellom 30° og 36° og på utvendige trapper 30° eller mindre. Diagrammet viser sammenhengen mellom de tre størrelsene inntrinn, opptrinn og stigningsvinkel. Hvis trappen følger trappenormen, skal målene ligge innenfor grått felt.

Avlesning på figuren viser at et opptrinn på 175 mm og et inntrinn på 270 mm gir oss en trapp med stigningsvinkel på 33°.

2.65 Bruk tabellen over inntrinn, opptrinn og stigningsvinkel.

a Finn stigningsvinkelen til trappene du målte i oppgave 2.64. Har disse trappene anbefalt stigningsvinkel for inne- eller utetrapp?

b Du skal planlegge en trapp med 30° stigning og et inntrinn på 285 mm. Hvor høyt må opptrinnet være?

c En trapp har et inntrinn på 275 mm og et opptrinn på 158 mm. Er trappen godkjent etter Norsk Standard?

d En utvendig trapp skal ha helningsvinkel på 28°. Du skal unngå å bruke slingringsmonnet i trappeformelen. Hva må du velge som inntrinn og opptrinn?

2.66 En vindeltrapp er en spiral formet trapp, og den kan ikke tilfredsstille trappeformelen for hele trinnbredden. Finn en vindeltrapp. Ta mål. Finn ut hvor i trappebredden målene tilfredsstiller kravene mellom ytterpunktene i trappeformelen.

mellom overkanten av rekkverket og forkanten av trinnet skal være minst 90 cm. De loddrette ribbene i gelenderet skal ikke ha større avstand enn 10 cm for å hindre at barn får hodet mellom dem. I offentlige bygg skal det være et rekkverk på hver side av trappen i to høyder, det ene ca. 90 cm over trinnet og det andre ca. 70 cm over trinnet.

Gjør målinger og sjekk de trappene dere undersøkte i oppgave 2.65. – Er rekkverket i samsvar med

regelverket? Om det ikke er rekkverk, hvordan skulle det vært etter regelverket?


Maximum 1086

Aktivitet

Trekant eller firkant?Dere trenger• sugerør• piperensere

FremgangsmåteTre piperenserne inn i sugerørene slik at litt av piperenseren stikker ut i hver ende. Alle sugerørene skal være like lange. Bind hver enhet sammen ved å tvinne endene av piperenserne sammen.

1 Lag en trekant og en firkant hver for seg.

a Vurder hvilken av figurene som virker mest stabil.

b Hva kan du si om vinklene på de to figurene?

2 Bygg videre på trekanten slik at du lager en trekantet pyramide (tetraeder). Bygg også videre på firkanten slik at du lager en kube.

a Vurder hvilken av figurene som holder formen best hvis den utsettes for krefter.

b Hvilken av de to figurene egner seg best som utgangspunkt for å lage større konstruksjoner? Forklar hvorfor.

3 Prøv å bruke den samme teknikken som i oppgave 2 til å lage et

• oktaeder: et romlegeme sammensatt av 8 likesidede, kongruente trekanter• ikosaeder: et romlegeme sammensatt av 20 likesidede,

kongruente trekanter • dodekaeder: et romlegeme sammensatt av 12 likesidede,

kongruente femkanter

Er enkelte av figurene lettere å lage enn andre? I så fall hvilke og hvorfor?

2.68A Selv om påstanden er sann, er

den ikke noe spesielt godt argument i forhold til problemstil-lingen.

B Usann påstand. To formlike trekanter har parvis like vinkler, men lengden på sidekantene kan være ukjent.

C Påstanden er sann. Selv om elevene på ungdomstrinnet ikke har verktøy til å regne ut vinklene, er vinklene bestemt og kan ikke endres.

D Sann påstand, men den er irrelevant i sammenhengen.

E Påstanden er i slekt med påstand C, men ikke like presist og matematisk formulert. Når sidene er bestemt, er det riktig at det bare finnes en trekant (og

KommentarerAktivitet – Trekant eller firkant?Hensikten med aktiviteten er at elevene skal oppdage hvor stabil en trekant er i forhold til andre mange-kanter. Svært mange bygninger har firkantet grunnflate, firkantede vegger, vinduer osv. Vi kan da komme til å tro at firkanten er en slags grunnenhet i ulike byggverk. Dette er ikke tilfellet. For å gjøre firkanter stabile settes det inn diagonaler som deler firkantene inn i trekanter og stiver av bygget. I punktene 2 og 3 blir elevene oppfordret til å bygge de platonske legemene som er avbildet nederst på siden. Dette er de fem eneste romlegemene som er satt sammen av en type regulære mangekanter (oppdaget av Platon, 427–347 f.Kr.).

Faglig innhold• Egenskaper ved

trekanter

Utstyr• Sugerør• Piperensere• Tørre spagettipinner• Mini-marshmallows• Kopipapir• 3 mm maskinskruer med

tilhørende muttere (alternativt splittbinders)

• Kraftig hullemaskin• Limstifter• Underlagspapir for liming


Oppgavebok

2.86—2.89

oppnå, men vi kan antyde inntil 30 minutter total arbeidstid. Sett av tid til planlegging i grupper før byggin-gen begynner. Elevene har ikke lov til å begynne før det blir gitt signal. Byggingen skal også avsluttes på signal. Mål høyden av byggene. For at høyden skal bli godkjent, må byggverket vise at det blir stående i minst 5 minutter etter at byggingen er avsluttet.

Bygg en bro – trygg og billigSe beskrivelsen side 97.

Det finnes bare én trekant

der sidene er bestemt.

Fordi vinkelsummen alltid er 180°.

A

Vi kjenner alle lengdene når

vinklene er bestemt.

B

Vi kjenner alle vinklene når

lengdene er bestemt.

C

Fordi en trekant alltid er halvparten

av en firkant.

D

E

2.67 Hvor finner du trekanter på disse bildene, og hvilken funksjon har de?

a Bindingsverkshus b Takstol

c Høyspentmast d Akashi Kaikyo bridge, Kobe, Japan

2.68 Er du enig i argumentene? Begrunn.

Hvorfor er trekanten en stabil konstruksjon?

Mer utfordring / Flere aktiviteterBegge aktivitetene beskrevet nedenfor kan gjerne gjøres i samar-beid med Kunst og håndverk og kompetansemålet om å kunne bygge og teste bærende konstruksjoner i ulike materialer (L13).

Høyeste tårnOppgaven skal øve i samarbeid, planlegging og forståelse for både geometri og mekanikk. Del klassen inn i grupper og fordel utstyr i form av tørre spagettipinner (ca. 50 g) og mini-marshmallows (ca. 25 g). Det er et poeng at mengden byggemateria-ler er begrenset. Oppgaven går ut på å bygge høyest tårn i løpet av en gitt tid. Hvor mye tid elevene skal få, er noe avhengig av hva du ønsker å

selvsagt kongruente avbildninger av den) som passer til målene.

Grunnleggende ferdigheterI oppslaget skal elevene sammen-likne egenskapene til trekant- og firkantformer. Å prøve ut, diskutere og lage forklaringer er viktig for å forstå forskjellene mellom egenska-pene til de ulike figurene. Videre skal elevene argumentere muntlig for hvorfor trekanten er en stabil konstruksjon.

ForenklingLa elevene samarbeide og diskutere med andre elever.


Maximum 1088

Aktivitet

A-formatetDere trenger• A4-ark• linjal

Fremgangsmåte1 Bruk et A4-ark og brett først av det størst mulige kvadratet.

2 Brett deretter diagonalen i kvadratet inn mot A4-arkets langside. Hva ser du?

3 Mål bredden av arket med linjal.

4 Bruk Pytagoras’ læresetning til å regne ut lengden av diagonalen i det store kvadratet.

5 Kontroller med linjal at dette stemmer.

Hvis rektanglet er formlikt med A4-arket, sier vi at det har A-format.

6 Bredden av et rektangel er 1. Hva må nøyaktig lengde være for at rektanglet skal være i A-format?

7 Bruk passer og linjal til å konstruere et rektangel med A-format der bredden er 4 cm.

8 Ta mål og regn ut. Hvilken digital enhet nedenfor har en skjerm som er nærmest et A-format?

9 Mål bredden og lengden av rektangler rundt deg: vinduer, dører, boksider osv. Sjekk om noen av rektanglene har A-format.

Navigasjonssystem i bil (GPS) Mobiltelefon Nettbrett

A-format standard papirformatserie der forholdet mellom den lange og den korte siden er kvadratroten av 2

boler, selv om vi tar i bruk rottegn og brøkstreker aldri så mye. π kan derimot uttrykkes nøyaktig med tall. Vi kan regne ut π ved å bruke forholdet, men det krever at vi kan løse andregradslikninger. Derfor viser vi ikke det i grunnboka.

2.69I denne oppgaven er det til synela-tende brukt uforholdsmessig mange desimaler og en nøyaktighet på tidels millimeter. Dette er imidlertid gjort med hensikt for at resultatet skal komme så nær π som mulig. Snakk med elevene om de tror fruktfatet egentlig kan være plassert med en slik grad av nøyaktighet, og hvilken grad av nøyaktighet en kan forvente dersom en skal sjekke om et øyemål plasserer det gylne snitt.

mellom kortside og langside på en annen måte og viste at forholdet er det samme i A3-arket og i A5-arket. Aktiviteten her skiller seg fra den på 9. trinn ved at vi bruker Pytagoras til å regne ut diagonalen i kvadratet og en annen teknikk enn måling til å vise at langside = √

__ 2 · kortside. Ved

å lete etter A-formater i rektangler rundt seg, bevisstgjøres elevene på at formatet dreier seg om forholdet 1 : √

__ 2 og ikke bare er knyttet til de

standardiserte papirformatene.

Side 89Det er ikke noe nytt for elevene å bruke en gresk bokstav som symbol for et irrasjonalt tall. π er et slikt tall. En forskjell mellom π og φ er likevel at vi ikke kan uttrykke π på noen nøyaktig måte ved hjelp av tallsym-

KommentarerDet finnes noen irrasjonale tall som har stor betydning som forholdstall. Tidligere har dere jobbet med forholdstallet π. På disse sidene behandler vi de to forholdstallene √

__ 2

og φ. Likheten mellom de tre tallene er at de beskriver forhold mellom to lengder, og at dette forholdet er av geometrisk betydning og mye brukt.

Aktivitet – A-formatetNår elevene er kommet til punkt 6, er det viktig å presisere at den nøyak-tige verdien er √

__ 2 . Den avrundede

verdien 1,4142 … er nettopp det – avrundet.

I Maximum 9, side 194, står aktivite-ten «A4-arkets hemmelighet». Her arbeidet elevene med forholdet

Faglig innhold• A-format• Det gylne snitt, φ

Utstyr• A4-ark• Linjal• Målebånd• Kopioriginal K.10.2.18• Kopioriginal K.10.2.19


Oppgavebok

2.102

2.95

2.90, 2.91


Det gylne snitt

Hos familien Olsen pleier de å ha et fruktfat på kjøkkenbordet, men de er uenige om hvor fatet skal stå. Noen vil ha det midt på bordet, mens andre synes det er penere hvis det står litt til den ene siden.

«Sånn vil jeg ha det», sier mor bestemt og plasserer fatet slik figuren viser.

2.69 På bordet, som er vist over, er a = 1,4833 m og b = 0,9167 m.

Regn ut forholdene a __

b og

a + b ______ a . Hva viser utregningen?

Det gylne snitt er en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen.

Dette forholdet er: = 1 + √ __

5 _______ 2

≈ 1,618

Det gylne snitt forekommer flere steder i naturen og er ofte brukt i kunst og arkitektur.

2.70 Bildet viser fronten til Parthenon-templet på Akropolis.

a Mål lengden og bredden av rektanglet rundt Parthenon.

b Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hva viser forholdet?

ba

gyllent snitt deling av et linjestykke slik at den korteste delen forholder seg til den lengste som denne til hele linjestykket. Forholdet ≈ 1,618

er en gresk bokstav som kalles fi.

hvordan elementene spiller sammen og støtter teksten.

ForenklingLa elevene måle og undersøke de praktiske situasjonene i oppslaget både når det gjelder A-format og det gylne snitt. Elever som får gjøre slike målinger selv, husker det lettere og lærer derfor bedre.

Mer utfordring / Flere aktiviteterFlere bygninger med gylne rektanglerEn annen historisk bygning som er fin å bruke til å utforske gylne rektangler, er Taj Mahal. Se kopiorigi-nal K.10.2.19.

Normalt vil en tilnærmet verdi på 1,8 være tilstrekkelig.

2.70Bildet av Panthenon finnes som kopioriginal K.10.2.18. Figuren viser hvilke rektangelformer dere kan undersøke.

Grunnleggende ferdigheterElevene skal gjøre målinger og gjennomføre beregninger for å studere forhold som A-formatet og det gylne snitt. Å lese sammensatt tekst med illustrasjoner, bilder, regelrammer og snakkebobler krever god leseferdighet. Elevene kan bli guidet inn i lesingen slik at de kan benytte seg av de ulike elementene i teksten for å få best mulig forstå-else. Elevene kan gjerne diskutere


Maximum 1090

Et gyllent rektangel er et rektangel der forholdet mellom lengden og bredden er lik det gylne snitt, det vil si omtrent 1,618.

Slik kan du konstruere et gyllent rektangel

Trinn Beskrivelse Figur

1 Sett av en grunnlinje og konstruer et kvadrat ABCD.

2 Del kvadratet i to like rektangler ved hjelp av en midtnormal. Kall fotpunktet til normalen for S.

3 Mål linjestykket SC med passer og sett av tilsvarende lengde fra S langs grunnlinja. Marker skjæringspunktet som E.

4 Fullfør rektanglet med en normal fra E på forlengelsen av DC, og finn F.

ESA B

D C

F

ESA B

D C

A B

D C

SA B

D C

– Hvor lang er diagonalen i et rektangel der forholdet mellom sidene er √

__ 3 ? (2 ∙ bredden)

2.74Se kopioriginal K.10.2.20 for stor versjon av bildet.

Grunnleggende ferdigheterÅ kunne konstruere med passer og linjal er en del av å ha skriftlige ferdigheter i matematikk. Elevene blir videre utfordret på å måle og beregne ulike formater på illustrasjo-nen av funkishuset og bildet av Notre-Dame. Elevene skal kunne forklare hvordan Fibonaccis tallfølge er bygd opp, og vurdere hva som skjer med forholdet mellom etterføl-gende tall når vi går lenger ut i tallfølgen.

hus av mer moderne type eller hus bygd i funkisstil. Forholdet fremkom-mer ved å ta utgangspunkt i et rektangel med A-format. Trekk diagonalen, som vil ha lengden √

__ 3 .

Bruk denne lengden som sidekant i et nytt rektangel der bredden er den samme.

I en del litteratur er dette rektangel-formatet kalt «Den navnløse skjønnhet».

Spørsmål til elevene:

KommentarerSide 90Her vises algoritmen for konstruk-sjon av et gyllent rektangel trinn for trinn.

2.72Her er det meningen å ta utgangs-punkt i konstruksjonsalgoritmen på side 90. La elevene regne på diagonaler og sidekanter for å vise at konstruksjonsoppskriften faktisk er riktig.

2.73Her oppgis fire forhold. De tre første er kjent som kvadrat, A-format og gyllent rektangel. Det siste formatet, 1 : √

__ 3 , er ikke spesifikt behandlet i

kapitlet. Det er imidlertid også et mye brukt rektangelformat, særlig i

Faglig innhold• Gyllent rektangel• Fibonaccis tallrekke

Utstyr• Passer• Linjal• PC med regneark• Kopioriginal K.10.2.20


Oppgavebok

2.103—2.107

2.96—2.101

2.92, 2.93


6165

3810

2700

2700 1910

4660

1200700

1901 2640

1800

2640

7001700

4590

19421942 1200

1040

Målestokk Tegn. nr. Rev.

Fase

Prosjekt

Prosjekt nr.

Tegn. nr. Rev.

se arkitektur asWernersholmveien 49, 5232 PARADISTlf: 55 98 70 20e-post: [email protected] www.se-arkitektur.no

Tegning

Tegnet av:

Kontr. av:

Dato

Gnr./Bnr.:

A1-501:100/A3

---

MAXIMUM

A1-50

SKISSE

Fasade

Approver

A.H

28.01.2015

Rev Dato Tekst Tegn. Kontr.

1 : 100

Fasade med mål

1 : 100

Fasade uten mål

2.71 Velg tre ulike mål på kortsiden og konstruer tre ulike gylne rektangler.

2.72 Et gyllent rektangel har bredde lik 1. Vis ved regning at lengden er 1 + √ __

5 _______ 2

.

2.73

Bildet viser en fasadetegning av et hus i funkisstil.

a Ta mål og undersøk om du finner rektangelformer som har forholdene

1 : 1 1 : 2 1 : 1 + √ __

5 _____

2 1 : √ 

__ 3

b Tegn selv forslag til en husfasade der du bruker rektangelformatene i a.

2.74 Bildet til høyre viser frontveggen til katedralen Notre–Dame i Paris. Gjør målinger på bildet og finn forhold i bygningen som svarer til det gylne snitt.

2.75 Begynnelsen på Fibonaccis tallfølge er slik:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …

a Studer mønsteret i tallfølgen og finn de tre neste tallene.

b Forklar med egne ord hvordan tallfølgen er bygd opp.

c Bruk regneark til å finne de 30 første tallene i fibonaccifølgen.

Vi lar Tn være tall nr. n i fibonaccifølgen.

d Bruk regnearket og regn ut forholdet mellom to etterfølgende tall, Tn : Tn - 1, for alle tall fra og med T2 til og med T30.

e Rund av alle forholdstallene til tre desimaler. Hvilket tall nærmer forholdstallene seg når n blir større?

Leonardo Fibonacci, italiensk matematiker (ca. 1170–1220)

Tegn et skjema som viser forgreiningen, og finn ut hvor mange greiner det er i hver av ukene 1–8.

– Hva viser tallmønsteret? (antall grener øker som i Fibonaccis tallrekke)

PlanteforgreiningEn plante spirer og forgreiner seg etter følgende regler:

Uke 1: Planten deler seg i to greiner.Uke 2: En av dem forgreiner seg på nytt, mens den andre greinen hviler en uke.Uke 3 og videre: Alle greiner som har hvilt, forgreiner seg. Av alle slike nye greinpar vil den ene greinen forgreine seg på nytt, mens den andre hviler.

ForenklingBruk maler som beskrevet nedenfor under arbeid med oppgave 2.74b.

Mer utfordring / Flere aktiviteterPå jakt etter rektangelformerLa elevene lage et sett med maler i kartong. Bruk forholdene

1 : 1, 1 : √ __

2 , 1 : 1 + √ __

5 ________ 2

og √ __

3

Ved å holde en slik mal mellom seg og rektanglet som skal analyseres, for så å justere avstanden mellom øynene og malen, kan elevene prøve å få malen til å dekke nøyaktig det rektanglet som skal kontrolleres. Får de til dette, er de to rektanglene formlike, og vi kjenner dermed formatet til analyseobjektet.

Forgrening Hvile

Klar tilforgrening

Hvile3 gren

2 gren

1 gren


Maximum 1092

Aktivitet

Fibonacci og spiralerDere trenger• ruteark• passer og linjal• ananas, grankongle og/eller furukongle• bilde av en solsikke• sprittusj (alternativt mange tegnestifter)

Fremgangsmåte

Del 11 Start med å tegne et lite kvadrat med sidekant 1.

Sett passerspissen i det ene hjørnet og tegn en bue over diagonalen i kvadratet.

2 Tegn et like stort kvadrat ved siden av det første, slik at du kan fortsette den påbegynte sirkelbuen over diagonalen i dette kvadratet også.

3 Nå har du et rektangel. Bygg på med et kvadrat som har sidekant 2, slik at du får et nytt rektangel, og fortsett buen.

4 Fortsett med å tegne kvadrater på langsiden av rektanglet, og tegn inn buer.

5 Skriv opp sidekanten i hvert kvadrat etter som du tegner. Hva observerer du?

Del 2Bildet viser hvordan skjellene på en ananas er plassert i spiraler. Vi kan følge spiralene mot venstre eller mot høyre. Finn frem en ananas, bruk sprittusj og marker en venstredreid spiral. La spiralen være utgangspunkt for å telle antall venstredreide spiraler rundt ananasen. Gjør det samme med de høyredreide spiralene.

Prøv det samme på en kongle og på bildet av en solsikke.

Hva oppdager du?

Grunnleggende ferdigheterElevene samarbeider og setter ord på det de observerer og oppdager. De teller, noterer og tegner for å utforske og finne ut av problemstil-lingene.

Mer utfordring / Flere aktiviteterStuder fibonaccifølgen i regnearkSett inn de to første fibonaccitallene i kolonne A i et regneark. Finn deretter de neste ved å summere de to foregående. Legg inn forholdet mellom to etterfølgende fibonaccitall i kolonne B (for eksempel det tredje tallet i forhold til det andre osv.).– Hva skjer med forholdet etter

hvert som vi kommer lenger og lenger ut i fibonaccifølgen?

Fibonaccitall1A

1Forholdet mellom to Fibonaccitall

B

=A3/A221 =A4/A33=A2+A3 =A5/A44=A3+A4 =A6/A55=A4+A5 =A7/A66=A5+A6 =A8/A77=A6+A7 =A9/A88=A7+A8 =A10/A99=A8+A9 =A11/A1010=A9+A10 =A12/A1111

KommentarerAktivitet – Fibonacci og spiralerDel gjerne elevgruppa i mindre grupper der de samarbeider om deler av oppgaven. Deretter kan elevene bytte aktivitet, eller de kan vise hverandre og presentere muntlig det de har funnet. La gjerne en gruppe arbeide med passer og linjal, en gruppe med grankongler, en gruppe med furukongler, en gruppe med ananas og en gruppe med et bilde av solsikker (K.10.2.21).

ForenklingLa elevene konkret studere kongler eller ananaser. La dem samarbeide i små grupper og forklare hverandre det de gjør, og hva de ser.

Faglig innhold• Fibonacci og spiraler

Utstyr• Ruteark• Passer• Ananas• Grankongle og

furukongle• Bilde av solsikke• Sprittusj eller mange

tegnestifter• Kopioriginal K.10.2.21

Fibonaccitall1A

1Forholdet mellom to Fibonaccitall

B

121 232 1,543 1,66665666755 1,568 1,6257

13 1,615384615821 1,619047619934 1,6176470591055 1,61818181811


Oppgavebok

2.94


Kort sagt

Du skal kunne Eksempel Løsningsforslag

regne ut ukjente sidekanter i rettvinklede trekanter

a Hva sier Pytagoras’ læresetning?

b Finn lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant der katetene er 5 m og 8 m.

c Finn lengden av den andre kateten i en rettvinklet trekant der hypotenusen er 13 cm og den ene kateten er 5 cm.

a I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på de to katetene.

b h2 = k12 + k2

2 h2 = 52 + 82

h2 = 25 + 64 h2 = 89 h = √ 

___ 89

h ≈ 9,4 Hypotenusen er omtrent 9,4 m

c h2 = k12 + k2

2

132 = 52 + k22

k22 = 169 − 25

k22 = 144

k2 = √ _____

144

k2 = 12

Den andre kateten er 12 cm

regne ut sidekanter i noen spesialtilfeller av trekanter

I en trekant med vinkler på 30°, 60° og 90° er den lengste kateten 6 cm.

Hvor lange er de andre sidene?

I en trekant med vinkler på 30°, 60° og 90° er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten.

h2 = k12 + k2

2

(2x)2 = x2 + 62

4x2 − x2 = 36

3x2 = 36

x2 = 12

x = √ ___

12

x ≈ 3,5

Den minste kateten er omtrent 3,5 cm

Hypotenusen er ca. 2 · 3,5 cm = 7 cm

x2x

6

k1 k2

H

kapittel 2. Testen er ikke der for å sette karakterer. Resultatene kan gi en pekepinn på hvordan siste del av kapitlet skal behandles. Er det spesielle områder som bør få mer oppmerksomhet i det videre arbeidet, kan det gjøres et utvalg fra Bli bedre-sidene i kapittel 2.

(Fortsettelse på neste side.)

vanskelig, eller som de har lyst til å arbeide mer med gjennom Bli bedre. Gjennomfør egenvurderingen E.10.2, eller ta frem igjen egenvurderingen som elevene har arbeidet med gjennom kapitlet. La elevene nå gjøre seg opp en mening om hvor de står i forhold til læringsmålene for kapitlet. Dette kan hjelpe dem med å struktu-rere arbeidet i den siste delen av kapitlet.

Gjennomfør midttesten i Smart Vurdering. Testen kartlegger hvilke ferdigheter elevene har etter å ha arbeidet en stund med Maximum 10, kapittel 2.

Resultatene viser hva hver enkelt elev behersker, og hva de særlig trenger å arbeide mer med i

Spiraler i naturenBruk Internett og søk opp fibonaccis-piraler («Fibonacci spiral»), gylne spiraler («Golden spiral»), eller logaritmiske spiraler («Logarithmic spiral»). Lag en collage med bilder fra naturen der vi ser ulike typer spiraler. Tegn inn spiralene med tusj slik at de blir tydelige. Tips også elevene om ulike typer planter, sneglehus, galakser, skysystemer osv.

Kommentarer side 93Oppsummering av læringsmål, eksempler og løsningsforslag i Kort sagt kan arbeides med på ulike måter. La elevene lese gjennom hvert læringsmål knyttet til et eksempel og et løsningsforslag. La dem diskutere begreper og notere seg om det er noe de synes er


gjøre valg for videre arbeid i Bli bedre eller andre oppgaver og aktiviteter ut fra resultatene på midttesten.

Like etter gjennomført kartlegging sendes resultatene til Vokal og lagres der. Elevene plasseres i tre ulike nivåer ut fra hvordan de scorer på prøven. På nivå 1 (rødt nivå, bekym-ringsgrense) finner du elever som scorer blant de svakeste 20 % på prøven. Disse elevene bør følges opp litt ekstra. Nivå 2 (gult nivå) er de påfølgende 20–50 % av elevene, mens nivå 3 (grønt nivå) er elevene som scorer over middelverdien, de 50 % av elevene som scorer best.

I Vokal kan du ta ut rapporter om grupper og enkeltelever for å lage en oversikt over hvordan slutten av kapitlet bør legges opp. Tilbakemel-dingene til elevene på midttesten gir råd om hva elevene kan gjøre for å nå målene for kapitlet. Elevene kan selv

Maximum 1094


begrunne formlikhet a Hva vet vi om formlike trekanter?

b Når vet vi at to vinkler er like store?

a Vinklene er parvis like store, og forholdet mellom samsvarende sider er likt.

b To vinkler er like store hvis• de er oppgitt med samme

vinkelmål• vi kan regne ut at de har samme

vinkelmål• de er sammenfallende

(på samme sted)• de er toppvinkler• de er samsvarende vinkler ved

parallelle linjer• vinkelbeina står parvis vinkelrett

på hverandre

regne ut sidekanter på formlike figurer

De to trekantene er formlike. Regn ut lengden av den ukjente siden x.

Forholdet mellom samsvarende sider er likt:

BC

____ EF

= AB

____ DF

x ___

4 =

10 ____

6

4 · x ___ 4 =

10 ____ 6 · 4

x = 40

____ 6

x ≈ 6,7

BC ≈ 6,7 cm

finne målestokk som viser forholdet mellom avbildning og original

a Et hus er 12 m høyt. På et bilde er høyden 6 cm. Hva er målestokken?

b En arbeidstegning har målestokk 5 : 1. På tegningen er en skrue 4 cm lang. Hvor lang er skruen i virkeligheten?

a 12 m = 1200 cm Avbildning : original = 6 : 1200 = 1 : 200

Målestokken er 1 : 200

b 4 cm = 40 mm 40 mm : 5 = 8 mm Skruen er 8 mm lang

x

10

6

4

B

C

A

F

E

D


Oppgavebok



bruke målestokk til å regne ut avstander på kart

Hva er avstanden mellom to byer A og B når avstanden på et kart i målestokk 1 : 2 500 000 er 5 cm?

5 · 2 500 000 cm = 12 500 000 cm = 125 000 m = 125 km

Avstanden er 125 km

lage og bruke arbeidstegninger

a Tegn plantegning og fasadetegning av en garasje.

b Hvilken type arbeidstegning er dette?

a Plantegning:

Fasade front:

Fasade side:

b Arbeidstegningen er en isometrisk tegning.

kjenne igjen og beskrive ulik bruk av perspektiv på bilder og tegninger

a Hva er en horisontlinje og et forsvinningspunkt?

b Hvilken type perspektiv er brukt på tegningen?

a Horisontlinja viser horisonten på tegningen. Et forsvinningspunkt samler linjer som i virkeligheten er parallelle, i ett punkt på tegningen.

b Det er brukt trepunktsperspektiv fordi det finnes tre forsvinningspunkter på tegningen.

5600

100

840900

500

100

4600500

6500 500

5600

100

840900

500

100

4600 500

6500

50

0

500


Maximum 1096


tegne skisser med ett eller flere forsvinningspunkter

Tegn en bygning i topunktsperspektiv.

beskrive noen byggetekniske prinsipper

Hvorfor foretrekkes ofte trekantformen fremfor firkantformen som grunnfigur i byggetekniske konstruksjoner?

Trekanten foretrekkes fordi den er stabil. Når sidekantene er bestemt, er også vinklene bestemt. I en firkant vil vinklene kunne endres selv om sidekantene er bestemt. Å bruke bare firkanter kan føre til at bygget blir skjevt eller lettere gir etter for påvirkning av ytre krefter.

bruke viktige egenskaper ved trekanter

a Hva vet vi om vinkelsummen i en trekant?

b Hvilke opplysninger trenger du for å kunne konstruere en bestemt trekant?

a I alle trekanter er vinkelsummen 180°.

b Vi må enten kjenne alle sidekantene eller to vinkler og en side. Vi kan også kjenne to sider og en vinkel hvis den kjente vinkelen er motstående til en av de kjente sidene.

forklare egenskapene til det gylne snitt

a Hva er nøyaktig og tilnærmet verdi for det gylne snitt?

b Hva beskriver det gylne snitt?

c Konstruerer et gyllent rektangel.

a = 1 + 52

≈ 1,618

b Det gylne snitt er et forholdstall som deler et linjestykke i to deler slik at forholdet mellom lengden av hele linjestykket og den lengste delen er lik forholdet mellom den lengste delen og den korteste delen.

cF

ESA B

D C

a b

Mer utfordring / Flere aktiviteterBygg en bro – trygg og billigOppgaven likner litt på tårnoppgaven på side 87, men inneholder flere aspekter og bruker et annet mate-riale. Tidsbruken er mer omfattende, vi anbefaler tre–fire skoletimer.

Utstyr: Kopipapir (gjerne i ulike farger til hver elevgruppe), 3 mm maskin-skruer med tilhørende muttere (alternativt splittbinders), kraftig hullemaskin, limstifter, gråblyanter og underlagspapir for liming.

Byggematerialet er papirrør, som lages ved å rulle kopipapir rundt en gråblyant. Rull slik at bredden på arket blir lengden av rullen, og rull så stramt som mulig. Stryk lim på enden

oppgavene kan egne hjelpetegninger være nyttige for å forstå problemet og for å sjekke om svaret virker rimelig.

2.78Denne oppgaven kan også gjøres som en aktivitet. Knytt knuter på et tau og lag tauet som en ring slik at det er totalt tolv knuter med lik avstand imellom. Studer tauet og forklar hvorfor det kan brukes til å sjekke rette vinkler.

KommentarerSide 97–101Med utgangspunkt i resultatene på midttesten skal elevene kunne velge oppgaver fra Bli bedre-sidene som er passende å arbeide med for å nå målene for kapitlet. Lag en plan sammen med elevene for hva de trenger å arbeide spesielt med. La hver elev lage en plan for arbeidet og identifisere hvilke mål de særlig trenger å arbeide mot.

Elevene må lese og tolke oppgave-teksten. Å skrive notater og lage hjelpetegninger er en viktig ferdighet som støtte til beregningene som må gjøres for å løse problemet. La elevene alltid tegne hjelpetegninger når de skal regne ut vinkler i trekan-ter eller konstruere. I flere av


Oppgavebok

97

Bli bedreTrekantberegning

2.76 I en trekant er to av vinklene 63° og 48°. Hvor stor er den tredje vinkelen?

2.77 Regn ut de ukjente sidene.

a b

2.78 Et tau med tolv knuter fordelt med jevne mellomrom er knyttet sammen til en ring. Forklar hvordan du kan bruke tauringen til å lage en trekant som du kan bruke til å sjekke at en vinkel er rett.

2.79 a Regn ut lengdene av linjestykkene AC, CD og AE.

b Finn arealet av ∆ACE.

2.80 I en rettvinklet trekant ABC er ∠A = 90°, AB = 5 cm og AC = 7 cm. Finn ut om ∠B er lik, større eller mindre enn 60°.

2.81 Diagonalen i et kvadrat er 9,9 cm. Finn lengden av sidekantene.

2.82 I de to trekantene er to og to sidekanter like lange.

Hvor stor er ∠x?

6 cm

x3

cm

x

6 cm

5 cm

A

B D

E

C

2 cm

5 cm

6 cm

6 cm

4 cm 81°

45°

4 cm

x

45°

4 cm 81°

45°

4 cm

x

45°

Oppgaven går ut på å bygge en bro som kan dekke et spenn på 80 cm. Broa vil bli belastet med vekt og må tåle så mye som mulig. Samtidig er det et mål å bruke så lite byggemate-rialer i form av papirrør og skruer som mulig.

Noter hvor mange gram hver bro kan belastes med. Gi poeng ut fra formelen g

_____ p + 0,5s

, der g er belastning i gram, p er antall papirrør og s er antall skruer.

av arket og lim rullen sammen. Bruk en annen blyant til å presse ut den innvendige blyanten. Nå har du et papirrør. Klem papirrørene forsiktig sammen i endene, slik at de kan få et hull i hver ende. Monter sammen papirrullene ved hjelp av maskin-skruer.

Bilde kommer


Maximum 1098

2.83 Et tre knekker 1,5 m over bakken. Toppen av treet treffer bakken 10 m fra nederste del av treet, målt langs bakken.

Hvor høyt var treet?

2.84 Hanne og Eivind bygger en terrasse som skal ha rette vinkler i hjørnene. De måler den ene sidekanten til 5,3 m og diagonalen til 9,2 m.

Hvor lang er den siste sidekanten av terrassen?

2.85 Vi forutsetter at pyramidene på bildet er formlike. Den største pyramiden vi ser, heter Keopspyramiden. Den er 147 m høy og har kvadratisk grunnflate med sidekant lik 230 m.

a Den nest største pyramiden, Kefrenpyramiden, har en grunnflate med sidekant lik 215 m.

Hvor høy er denne pyramiden?

b Den minste av de tre store pyramidene, Menkaurapyramiden, hadde opprinnelig en høyde på 65,5 m.

Hvor bred er grunnflaten?

2.86 AB || DE.

a Forklar hvorfor ∆ABC ~ ∆CDE

b AB = 7,0, BC = 3,0 og DE = 13,0. Hvor lang er BE?

E

A

B

C

D

2.87Elevene kan her bruke doble tallinjer for å sammenlikne kopi/bilde og størrelsen i virkeligheten.

2.88—2.89Også her kan elevene bruke doble tallinjer for å sammenlikne kopi/bilde og størrelsen i virkeligheten.

Mer utfordring / Flere aktiviteterEn muntlig utfordringOla gjennomfører høydemålingen av flaggstangen kl. 13.00. Når klokken er blitt 19.00, kommer han på at han også vil finne høyden til en statue. Han måler skyggen av statuen til

0

0

7,5 cm

1 cm

75 cm

10 cm

Kommentarer2.83—2.85Lag illustrasjoner eller hjelpetegnin-ger til oppgavene ved behov.

2.86Elevene skal lese og tolke tekst og symboler. I oppgaven brukes mange av symbolene med rent matematikk-språk. Det blir kort og greit, men noen elever må kanskje repetere hva de ulike symbolene betyr, og hvordan de kan lese slik kompakt matema-tikktekst. Be elevene to og to forklare hverandre hva symbolene ||, ~ og Δ betyr.

13 m og bruker ellers målene han gjorde kl. 12.00. – Hva slags feilkilde oppstår for

Ola? (solas høyde på himmelen, og dermed lengden av skyggene, endrer seg fra kl. 13.00 til kl. 19.00. De to skyggemålingene må gjøres på samme tidspunkt)


Oppgavebok


Kart og målestokk

2.87 «Sinnataggen» er en skulptur laget av Gustav Vigeland. Den er 75 cm høy. I en suvenirbutikk ved Vigelands parken selges en kopi av statuen som er 10 cm høy.

Hvilken målestokk er kopien laget i?

2.88 Bruk bildet av marihøna. I virkeligheten er marihøna 5 mm lang.

Hva er målestokken på bildet?

2.89 Avstanden mellom Kristiansand og Tromsø er 1385 km. Et kart viser den samme avstanden som 55,4 cm.

Hvilken målestokk har kartet?

2.90 Pollenkornet på bildet er 0,05 mm bredt i virkeligheten.

Mål pollenkornet og finn målestokken.

2.91 Kartet over Australia er i målestokk 1 : 60 000 000, og viser hvor de største byene ligger.

Finn avstandene mellom

a Perth og Brisbane

b Sydney og Brisbane

c Melbourne og Hobart

d Hobart og Darwin

Darwin

Broome

PerthAdelaide

Melbourne

Hobart

Sydney

Brisbane

Albany

Esperance

Kalbarri

ExmouthAlice Springs

KununurraKatherine

Cobber Pedy

Canberra

Kalgoorlie

Goldfields


Maximum 10100

2.92 Tegningen nedenfor viser et universelt utformet toalett.

a Gjør målinger og finn målestokken.

b Forstørr tegningen og tegn badet i målestokk 1 : 25.

2.93 Tegningene A–C viser samme figur sett fra tre ulike kanter.

a Hvilke av de isometriske figurene 1–4 passer til tegningene A, B og C samtidig?

b Velg en av figurene 1–4 og tegn den på isometrisk papir, sett fra minst to andre vinkler.

1,6

m

0,6

m

0,4

m0

,9 m

0,9

m

0,9

m

0,85 m0,55 m

0,9 m

Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4

Universell utforming vil si

at det er tilpasset alle brukere på en

likestilt måte.

A B C

rullestolbrukere enkelt skal kunne ha adgang til toalettet.

2.93La gjerne elevene bruke klosser til å bygge figurene. Da kan de konkret studere klossene fra ulike sider.

2.96Når horisontlinja er i høyde med hodet, får vi inntrykk av at mennes-kene står bak hverandre. Når horisontlinja er i høyde med føttene, får vi inntrykk av at personene står ved siden av hverandre.

KommentarerHer skal arbeidstegninger, isome-triske tegninger og perspektivteg-ninger leses og tolkes. Det krever en del øving å se ting fra ulike vinkler. Å lese plantegninger eller kunne se en figur fra ulike kanter kan være utfordrende.

2.92Begrepet universelt utformet betyr at samfunnet skal være utformet slik at flest mulig kan delta aktivt uavhengig av funksjonsevnen. Målet er at universelt utformede løsninger skal kunne brukes av alle, slik at spesialløsninger unngås. Sirkelen midt på gulvet viser den plassen som er avsatt for at en rullestol skal kunne snu inne på toalettet. Døråp-ningen er også stor nok til at


Oppgavebok


Perspektivtegning

2.94 a Hva kalles punktet A på tegningen?

b Hva kalles linja L på tegningen?

2.95 Hvilke perspektiver er brukt på de ulike bildene?

a

b

c

d

2.96 Forklar hva personenes plassering i forhold til horisontlinja gjør med inntrykket av tegningen.

A L

• ettpunktsperspektiv• topunktsperspektiv• trepunktsperspektiv


Maximum 10102

Teknologi, kunst og arkitektur

2.97 Mål inntrinn (i) og opptrinn (o) på to ulike trapper i nærheten. Gjør beregninger og avgjør om trappen følger Norsk Standard.

i + 2o = (620 ± 20) mm

2.98 Et rektangel med A-format har kortside lik 5 cm. Konstruer rektanglet med passer og linjal.

2.99 Du har mange like rektangler i et A-format. Du skal legge flere slike oppå hverandre, og figuren viser starten. Plasser ark 3 på ark 2 slik ark 2 er plassert på ark 1.

a Hvor mange ark bruker du før neste ark vil overlappe ark 1?

b Tegn en skisse av en slik figur med maksimalt antall ark. Tenk at kortsiden av arket har lengden 1. Hvor stort areal dekker arkene?

2.100 Størrelsen på et vanlig kredittkort har form som et gyllent rektangel.

Hvor langt er kredittkortet når bredden er 5,4 cm?

2.101 Bruk et dynamisk geometriprogram.

a Tegn en regulær femkant og trekk diagonalene slik figuren viser.

b Mål lengdene AB, AC og AD.

c Regn ut forholdene AB : AC og AD : AB. Hva observerer du?

A B

C

D

2.102Tenk deg at bøkene står i hylla. Hvis de står i rekkefølge, vil bind 1 stå lengst til venstre i hylla og bind 5 lengst til høyre. Samtidig vil side 1 i første bind være lengst til høyre og siste side i femte bind lengst til venstre i samme bok.

2.103Elevene må erkjenne at summen av de to korteste sidene må være større enn lengden av den lengste. Elevene kan enten prøve seg frem ved hjelp av grillpinner, sugerør eller liknende som er klipt opp i de aktuelle

1 2 3 4 5

Larven eter seggjennom 12 cm

lingene. Å samarbeide og snakke med andre gir større motivasjon og øving i å uttrykke seg og tolke hva andre sier, og hvordan de oppfatter ulike begreper. Det er derfor svært nyttig å samarbeide faglig om problemstillingene.

2.97På side 84 står en forklarende tegning om hva inntrinn og opptrinn er.

2.99Oppgaven kan gjøres som en aktivitet med A4-ark.

2.100La elevene bruke egne kort, gjøre målinger og sjekke om kortet har form som et gyllent rektangel.

KommentarerElevene leser og tolker oppgavetek-ster. Noen ganger er det begreper som er utfordrende. Sjekk at elevene har gode strategier for å finne betydningen av ord og begreper som de ikke forstår. De kan bruke ordbiblioteket bak i boka, de kan slå opp ordet på Internett, spørre en medelev, spørre foreldre eller læreren. Å velge å bruke disse strategiene i møte med nye og vanskelige ord gir bedre forståelse og god læring. Vi må oppmuntre elevene til selv å innarbeide dette som naturlige strategier i lærings-arbeidet.

La elever som har behov for det, tegne til problemstillingene og bruke konkrete materialer som ark, klosser og staver til å utforske problemstil-


Oppgavebok


Tren tanken

2.102 En larve eter seg gjennom et fem binds leksikon som står i bokhylla. Den eter seg fra første side i bind 1 til siste side i bind 5. Hver av bøkene er 4 cm tykke.

Hvor mange centimeter eter larven seg gjennom?

2.103 Du har seks staver som har lengdene 1, 2, 3, 4, 5 og 6.

a Hvor mange ulike trekanter kan du lage ved å bruke tre av stavene som sidekanter?

b Hvor mange av trekantene i a er rettvinklede?

2.104 En maur starter i A og vandrer mellom to bokstaver gjennom tunellene som tegningen viser. Mauren må alltid bevege seg i retning fra venstre mot høyre, aldri motsatt. Ellers kan den velge hvilken vei den vil.

a På hvor mange måter kan mauren bevege seg fra A til B?

b På hvor mange måter kan mauren bevege seg fra A til C?

c På hvor mange måter kan mauren bevege seg fra A til D?

d På hvor mange måter kan mauren bevege seg fra A til E?

e Lag en hypotese over hvordan antall muligheter øker når avstanden øker. Test hypotesen ved å telle hvor mange måter mauren kan bevege seg fra A til F på.

f Finn ut, uten å telle, på hvor mange måter mauren kan bevege seg fra A til Å.

A C E G I Æ Å

B D F H J Ø

KapittelprøveNå kan elevene ta kapittelprøven. Kapittelprøven vurderes med karakter. Karakteren og tilbakemel-dingen her er en del av underveisvur-deringen av elevens ståsted i dette temaet.

lengdene, og/eller lage en systema-tisk tabell.

Når de tre første kolonnene er fylt ut, kan eleven teste talltrippelet i Pytagoras’ læresetning for å finne ut om trekanten er rettvinklet.

2.104Figuren til oppgaven viser et trekantmønster. Dette mønsteret kan overføres til en tallfølge. Oppgaven repeterer innhold fra Maximum 8, kapittel 5. Deloppgave f, løses enklest ved bruk av regneark. Se løsningsforslag i Ressursbanken.

Langside Kortside 1 Kortside 2 Rettvinklet,

ja/nei6 4 16 3 2

Forkunnskaper Geometri og design · 48 Maimum 10 Lærerens bok Muntlige ferdigheter Geometri...

Documents

Transcript of Forkunnskaper Geometri og design · 48 Maimum 10 Lærerens bok Muntlige ferdigheter Geometri...