FONKSİYONLARyildizlaranadolu.com/wp-content/uploads/2019/04/23... · 2019-04-08 · 1 2 f(x) x...
Transcript of FONKSİYONLARyildizlaranadolu.com/wp-content/uploads/2019/04/23... · 2019-04-08 · 1 2 f(x) x...
1
FONKSİYONLAR
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A dan B ye bir f bağıntısı bağıntısı tanımlansın. f bağıntısı, A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına eşliyor ise f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir ve
BA:f şeklinde gösterilir.
A kümesine tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir. A kümesinin elemanlarının B kümesindeki eşleştiği elemanlardan oluşan kümeye fonksiyonun görüntü kümesi
denir ve )A(f ile gösterilir.
Örnek:
A kümesindeki her elemanın B kümesinde yalnız bir tane görüntüsü vardır. f bağıntısı fonksiyondur. Tanım kümesi
d,c,b,aA ve değer
kümesi 5,4,3,2,1B tir.
Görüntü kümesi 4,3,2)A(f tür.
B)A(f dir.
Örnek:
4 ,3 ,2 ,1A ve d ,c ,b ,aB için
)d,4(),b,3(),b,2(),a,1(f bağıntısı A dan B ye ise f nin
fonksiyon olup olmadığını belirtiniz. Çözüm: A kümesinin her elemanı f bağıntısına göre yalnız bir görüntüsü vardır. A kümesinin bir elemanı B de birden fazla elemanla eşelenmemiştir. f fonksiyondur.
Not:
A kümesindeki elemanları kişiler B kümesindeki elemanları evler olarak düşünelim. Bağıntının fonksiyon olması için her kişi bir eve gidecek ve bir kimse iki eve gitmeyecek ayrıca evsiz kimse kalmayacak.
Örnek:
6,4,2A ve 9,7,3,1B olmak üzere BA:f için
)1,6(),3,4(),7,2(f bağıntısı fonksiyon mudur?
Çözüm: f bağıntısına göre, A daki her elemanın bir görüntüsü vardır ve A da tanımsız eleman yoktur. fonksiyondur. Uyarı
BA:f fonksiyon ve f)y,x( ise yx:f veya
y)x(f şeklinde gösterilir ve “ x in f altındaki görüntüsü y
dir” denir. Örnek:
8,6,4,2A ve 11,9,7,3B olmak üzere BA:f için
)3,4(),7,2(f bağıntısı fonksiyon mudur?
Çözüm:
f bağıntısına göre A6 ve A8 olmasına rağmen )6(f
ve )8(f tanımlı değildir. Hem B)6(f hem de B)8(f
olduğundan f fonksiyon değildir. Örnek:
6,4,2A ve 11,9,7,3B olmak üzere BA:f için
)7,6(),7,4(),7,2(f bağıntısı fonksiyon mudur?
Çözüm: f bağıntısına göre A nın her elemanının bir tek görüntüsü var ve A da tanımsız eleman yoktur. Buna göre f fonksiyondur.
Örnek:
Ry ,Rx ,5x3y:)y,x(f bağıntısı fonksiyon
mudur? Çözüm:
Her Rx için R 5x3y olduğundan f bağıntısı bir
fonksiyondur.
2
Örnek:
6 ,4 ,2A ve 11 ,9 ,7 ,3B olmak üzere BA:f için
)9,6( ),7,4( ),3,2(f ise ),2(f ),4(f )6(f nedir?
Çözüm: f bağıntısındaki
)3 ,2( sıralı ikilisi ,3)2(f
)7 ,4( sıralı ikilisi ,7)4(f
)9 ,6( sıralı ikilisi ise 9)6(f anlamında olduğundan
,3)2(f 7)4(f ve 9)6(f bulunur.
Örnek:
4,3,2A , 8,6,5,4,1B , BA:f ve
)6,4(),1,3(),1,2(f olduğuna göre )4(f)3(f)2(f
kaçtır? Çözüm:
f)1,2( olduğundan 1)2(f dir.
f)1,3( olduğundan 1)3(f dir.
f)6,4( olduğundan 6)4(f dır.
Buna göre, 8611)4(f)3(f)2(f dir.
Örnek:
1,0,1A , 1,0B , BA:f , 2
x)x(f olduğuna
göre, )1(f)0(f in değerini bulunuz.
Çözüm:
0x için 02
0)0(f dır.
1x için 12
1)1(f dir.
Buna göre, 110)1(f)0(f dir.
Örnek:
1,0,1,2A , 5,4,3,2,1B kümeleri veriliyor. A dan B
ye f fonksiyonu 12xy )y,x(f biçiminde
tanımlansın. Bu fonksiyonu inceleyelim. Çözüm:
12
x)x(f ise,
2x için 512
)2()2(f tir.
1x için 212
)1()1(f dir.
0x için 112
0)0(f dir.
1x için 212
1)1(f dir.
Bu fonksiyonun liste yöntemiyle gösterimi
)2,1(),1,0(),2,1(),5,2(f dir.
Bu fonksiyonun şema ile gösterimi yanda verilmiştir. f fonksiyonunun tanım
kümesi 1,0,1,2A
dir.
Değer kümesi 5,4,3,2,1B dir.
Görüntü kümesi 5,2,1)A(f tir.
Sonuç A kümesinden B kümesine tanımlanan f bağıntısının fonksiyon olabilmesi için, Tanım kümesinde ( A da ) görüntüsü olmayan (açıkta)
eleman kalmamalı. Fakat değer kümesinde ( B de ) açıkta ( eşlenmeyen) eleman kalabilir.
Tanım kümesindeki ( A daki ) her elemanın birden fazla
görüntüsü olmamalıdır.
3
Örnek:
4,3,2A , d,c,b,aB , BA:f ,
d,4(),c,3(),b,2(),a,2(f bağıntısını inceleyelim.
Bu bağıntı fonksiyon değildir. Çünkü a)2(f ve b)2(f
olmak üzere )2(f iki ayrı değer almıştır.
Örnek:
4,3,2A , d,c,b,aB , BA:f ,
)d,4(),a,3(),c,2(f bağıntısını inceleyelim.
Bu bağıntı fonksiyondur. Yukarıdaki sonuçta verilen her iki koşulu da sağlamaktadır. Örnek:
4,3,2A , d,c,b,aB , BA:f ,
)c,4(),c,3(),c,2(f bağıntısını inceleyelim.
Bu bağıntı fonksiyondur. Yukarıdaki sonuçta verilen her iki koşulu da sağlamaktadır. Örnek:
RRf olmak üzere
42x
12xy ve Ry x ,)y,x(f
bağıntısını inceleyelim.
42
x
12xy
bağıntısında 2x ve 2x için payda
tanımsız olur. Yani tanım kümesindeki -2 ve 2 elemanları değer kümesindeki bir eleman ile eşlenmediği için (tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için) f bağıntısı fonksiyon değildir. Örnek:
RRf olmak üzere 32xy ve Ry x ,)y,x(f
bağıntısını inceleyelim.
32
xy bağıntısında tanım kümesindeki her elemanın
iki görüntüsü vardır. 1x için 4y ve 4y gibi. Bu
durumda f bağıntısı fonksiyon değildir.
Örnek:
NNf olmak üzere 5xy ve Ny x ,)y,x(f
bağıntısını inceleyelim.
5xy bağıntısında tanım kümesindeki 0,1,2,3,4
elemanlarının görüntüsü yoktur. Örneğin 1x için
N451y dir. Bu durumda f bağıntısı fonksiyon
değildir. Örnek:
ZZf olmak üzere
3
12xy ve Zy x ,)y,x(f bağıntısını
inceleyelim.
3
12xy
bağıntısında tanım kümesindeki bazı
elemanların görüntüsü yoktur. Örneğin 2x için
Z3
5
3
12.2y
dir. Bu durumda f bağıntısı fonksiyon
değildir. Örnek:
d,c,b,aA , AAf
olmak üzere f bağıntısının grafiği yanda verilmiştir. Bu bağıntının fonksiyon olup olmadığını inceleyelim. Bu f bağıntısını liste yöntemiyle gösterelim.
)c,d(),c,c(),c,b(),b,b(),b,a(f
olur, f bağıntısında tanım kümesindeki b elemanının b ve c gibi farklı iki görüntüsü vardır. Bu durumda, f bağıntısı fonksiyon değildir. Örnek:
BA:f 2x3)x(f fonksiyonunun görüntü kümesi
7,5,3B olduğuna göre tanım kümesini bulunuz.
4
Çözüm:
BA:f fonksiyonun da, tanım kümesinin elemanlarına
karşılık gelecek görüntüleri verildiğinden, 2x3)x(f
fonksiyonu görüntü kümesinin elemanlarıyla tek tek eşitleyerek tanım kümesi elde edilecektir. Görüntü kümesinin elemanları 3, 5, 7 ye eşitleme yapılırsa:
3
1x1x332x3
1x3x352x3
3
5x5x372x3
olduğundan tanım kümesi
3
5 ,1 ,
3
1A olacaktır.
Fonksiyon Sayısı
A ve B kümeleri verildiğinde, m)A(s ve n)B(s ise A
dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısım
n dir.. Örnek:
c,b,aA ve 2,1B kümeleri üzerinden
tanımlanabilecek fonksiyon olmayan bağıntı sayısını bulunuz.
Çözüm: A dan B ye tanımlanabilecek bağıntı sayısı
642.3
2)BA(s
2
tür.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı
83
2)A(s
)B(s dir.
Buna göre A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntı sayısı, 64 – 8 = 56 dır. Örnek:
4 ,3 ,2 ,1A ve 14 ,13 ,12 ,11 ,10B kümeleri
üzerinden tanımlanabilecek fonksiyon sayısını bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyon BA ye tanımlanacak ise 4)A(s ve
5)B(s için fonksiyon sayısı 6254
5 olacaktır.
Fonksiyon AB ye tanımlanacak ise 4)A(s ve
5)B(s için fonksiyon sayısı 10245
4 olacaktır.
Fonksiyon Çeşitleri
11. Bire Bir ( 1 – 1 ) Fonksiyon
BA:f bir fonksiyon olsun. A nın her elemanının
görüntüsü farklı ise f bire bir (1-1) fonksiyondur. Yani Her
A2
x,1
x için 2
x1
x iken )2
x(f)1
x(f veya
)2
x(f)1
x(f iken 2
x1
x oluyorsa f fonksiyonuna bire
bir (1-1) fonksiyon denir. Örnek:
Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonunda, A nın her elemanının görüntüsü farklıdır. Bu durumda f fonksiyonu bire birdir.
Örnek:
Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonunda, A nın her elemanının görüntüsü farklıdır. Bu durumda f fonksiyonu bire birdir.
Örnek:
Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonunda, A nın her elemanının görüntüsü farklı olmadığından f fonksiyonu bire bir değildir.
5
Örnek:
RRf olmak üzere 12
x)x(f fonksiyonunu
inceleyelim.
21112
1)1(f
21112
)1()1(f dir.
)1(f)1(f olduğundan f fonksiyonu bire bir değildir.
Örnek:
5,3,1A ve 8,4,0,4B kümeleri için ,BA:f
6x2)x(f fonksiyonu bire bir
(1-1) fonksiyon mudur? Çözüm:
Tanım kümesi 5,3,1A için değerleri bulunursa
462612)1(f1x
066632)3(f3x
4610652)5(f5x
Farklı elemanların görüntüleri de farklı olduğundan
)y(f)x(f yx için Ay,x f fonksiyonu bire bir
(1-1) fonksiyondur. Örten Fonksiyon
BA:f fonksiyonu için B)A(f ise f fonksiyonuna
örten fonksiyon denir. Başka bir deyişle B değer kümesinde boşta eleman kalmıyorsa f örten fonksiyondur. Örnek:
1,0,1A ve 1,1,3B kümeleri için BA:f
1x2)x(f fonksiyonu örten fonksiyon mudur?
Çözüm:
Tanım kümesi 1,0,1A için değerleri bulunursa
3121)1(2)1(f1x
1101)0(2)0(f0x
1121)1(2)1(f1x
1,1,3)A(f dir. B)A(f
olduğundan f fonksiyonu örten fonksiyondur.
Örnek:
Yandaki şekilde verilmiş olan f fonksiyonu örtendir. Çünkü değer kümesinde (B de) eşlenmemiş (açıkta kalmış) eleman yoktur. Diğer bir ifade ile değer
kümesi görüntü kümesine eşit olduğu için f fonksiyonu örtendir. Örnek:
NN:f , 3x2)x(f olmak üzere, f fonksiyonu örten
değildir. Çünkü değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. Örneğin, x yerine hangi doğal sayı yazılırsa yazılsın sonuç sıfır olamaz. Bu durumda değer kümesinde bulunan 0 sayısı eşlenmemiştir. Bu fonksiyon bire birdir. Örnek:
ZZ:f , 3x)x(f olmak üzere, f fonksiyonu örtendir.
Çünkü açıkta eleman yoktur. Bu fonksiyon bire birdir. İçine Fonksiyon
BA:f fonksiyonu için B)A(f ise f fonksiyonuna içine
fonksiyon denir.
Başka bir deyişle, değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalırsa f fonksiyonuna içine fonksiyon denir.
6
Örnek:
2,1,0,1A ve 3,2,1,0,1,2B kümeleri için
BA:f 12
x)x(f fonksiyonu içine fonksiyon
mudur?
Çözüm:
12
x)x(f fonksiyonun tanım kümesi 2,1,0,1A için
değerleri bulunursa
01112
11f1x
11012
00f0x
01112
11f1x
31412
22f2x
3,0,1)A(f dür.
B)A(f olduğundan f
fonksiyonu içine fonksiyondur.
Örnek:
Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonu içinedir. Çünkü değer kümesi B de 6 elemanı eşlenmemiştir.
Örnek:
Yanda şema ile gösterilmiş olan f fonksiyonu içinedir. Çünkü değer kümesi B de 7 elemanı eşlenmemiştir. Bu fonksiyon bire birdir.
Örnek:
ZZf olmak üzere x2)x(f fonksiyonu içinedir.
Çünkü değer kümesi olan tam sayılar kümesindeki tek
sayılar eşlenmemiştir. Örneğin 3)x(f olacak şekilde x
tamsayısı yoktur. Sabit Fonksiyon
BA:f için A kümesinin bütün elemanları B kümesinin
yalnız bir elemanı ile eşleniyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
BA:f ve Bb olmak üzere Ax için b)x(f ise
f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Örnek:
3,2,1,0,1A ve 5,3,2,0,2B kümeleri için
BA:f 4)x(f fonksiyonu sabit fonksiyon mudur?
Grafiğini çiziniz. Çözüm:
Tanım kümesi 3,2,1,0,1A için değerleri hesaplanırsa
bunların 4 olduğu görülecektir. Bu da fonksiyonun sabit fonksiyon olduğunu gösterir.
4)1(f1x
4)0(f0x
4)2(f2x
4)3(f3x
olduğundan f fonksiyonu sabit fonksiyondur. Örnek:
,RR:f 2
x)3k(x)7m(5)x(f fonksiyonunun
sabit fonksiyon olabilmesi için m ve k ne olmalıdır?
7
Çözüm:
Sabit fonksiyon c)x(f , )Rc( olduğundan sabit
fonksiyon şu şekilde ifade edilebilir:
.n
x02
x01
x00
x5)x(f
Fonksiyonların eşitliğinden
2x0
1x0
0x5
2x)3k(x)7m(5 yazılabilir.
Bu durumda
07m ve 03k olacaktır. Buradan 7m ve
3k olduğu takdirde verilen )x(f fonksiyonu sabit
fonksiyon olacaktır. Birim (Özdeşlik) Fonksiyonu
AA:f ve Ax için x)x(f fonksiyonuna A nın
birim (özdeşlik) fonksiyon denir. Birim (özdeşlik) fonksiyon I ile gösterilir. x)x(I dir.
Birim fonksiyonda A nın her elemanının görüntüsü yine kendisidir. Örnek:
2,1,0A kümesi için ,AA:f x)x(f birim
fonksiyon olduğunu gösteriniz ve grafiğini çiziniz. Çözüm:
Tanım kümesi 2,1,0A için değerler bulunursa birim
fonksiyon olduğu görülecektir.
0)0(f0x
1)1(f1x
2)2(f2x
Böylece f fonksiyonunun bire bir ve örten fonksiyon olduğu da görülecektir.
Örnek:
,RR:f 2
x)rk(x)nm(d)x(f fonksiyonunun
birim fonksiyon olabilmesi için d, m, n, k, r ne olmalıdır?
Çözüm: Birim fonksiyon x)x(f olduğundan birim fonksiyon şu
şekilde de ifade edilebilir:
.n
x02
x02
x10
x0)x(f Fonksiyonların
eşitliğinden
2x0
1x1
0x0
2x)rk(x)nm(d yazılabilir.
Bu durumda
,0d 0nm ve 0rk olacaktır.
Buradan ,0d nm ve rk olduğu takdirde verilen
)x(f fonksiyonu birim fonksiyon olacaktır.
Örnek:
1,0,1A olmak üzere ,AA:f 3
x)x(f
fonksiyonunu inceleyelim. Çözüm:
3x)x(f olduğu için,
13
)1()1(f1x
03
0)0(f0x
13
1)1(f1x
A nın her elemanının görüntüsü yine kendisi olduğu için f, birim fonksiyondur. Örnek:
,RR:f 2
axbxc)x(f fonksiyonu birim fonksiyon
ise,
0c 1,b ,0a dır.
8
Eşit Fonksiyonlar
BA:f ve BA:g iki fonksiyon olmak üzere Ax
için )x(g)x(f oluyorsa, f ile g ye eşit fonksiyonlar denir ve
gf biçiminde gösterilir.
Örnek:
,2,0A 9,5B olmak üzere ,BA:f
52
x)x(f ve ,BA:g 5x2)x(g ile
tanımlanan f ve g eşit fonksiyonlar mıdır? Çözüm:
2,0A tanım kümesi için
g(0)f(0) ise
550.2)0(g
5520)0(f0x
g(-2)f(-2) ise
95)2.(2)2(g
952)2()2(f2x
olduğundan gf dir.
Örnek:
,1,0,1A 2,1,0,1,2B olmak üzere ,BA:f
3x)x(f ve ,BA:g x)x(g ile tanımlanan f ve g eşit
fonksiyonlar mıdır? Çözüm:
Tanım kümesi 1,0,1A nın elemanları için f ve g
fonksiyonlarının değerleri hesaplanırsa:
g(-1)f(-1) ise
1)1(g
13)1()1(f1x
g(0)f(0) ise
0)0(g
030)0(f0x
g(1f(1) ise
1)1(g
131)1(f1x
olduğundan gf dir.
Tek ve Çift Fonksiyon
,BA:f fonksiyonunda Ax için
)x(f)x(f ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
)x(f)x(f ise f fonksiyonuna çift fonksiyon
denir. Örnek:
2x2)x(f fonksiyonunun tek veya çift fonksiyon olduğunu
bulunuz. Çözüm:
2x2
2)x(2)x(f olduğundan
2x2)x(f çift
fonksiyondur. Örnek:
3x
5x)x(f fonksiyonunun tek veya çift fonksiyon
olduklarını bulunuz. Çözüm:
3x
5x
3)x(
5)x()x(f
)x(f)3
x5
x(
olduğundan 3
x5
x)x(f fonksiyonu çift fonksiyondur.
Örnek:
,RR:f x53
x2)x(f fonksiyonunun tek veya çift
fonksiyon olup olmadığını araştıralım. Çözüm:
x53
x2)x.(53
)x(2)x(f
9
)x(f)x53
x2(
Buna göre )x(f)x(f olduğundan f fonksiyonu tek
fonksiyondur. Örnek:
,RR:f x2
x)x(f fonksiyonunun tek veya çift
fonksiyon olup olmadığını araştıralım. Çözüm:
)x(fx2
xx2
)x()x(f
Buna göre )x(f)x(f olduğundan f fonksiyonu çift
fonksiyondur. Örnek:
,RR:f x32
x2)x(f fonksiyonunun tek veya çift
fonksiyon olup olmadığını araştıralım. Çözüm:
x32
x2)x.(32
)x.(2)x(f
Buna göre )x(f)x(f veya )x(f)x(f olmadığından f
fonksiyonu ne çift ne de tek fonksiyondur. Fonksiyonlarda Dört İşlem
BA olmak üzere,
RA:f ve RB:g fonksiyonları tanımlansın.
1. RBA:gf , )x(g)x(f)x)(gf( dir.
2. RBA:gf , )x(g)x(f)x)(gf( dir.
3. RBA:g.f , )x(g).x(f)x)(g.f( tir.
4. BAx için 0)x(g olmak üzere,
RBA:g
f ,
)x(g
)x(f)x)(
g
f( tir.
5. Rc olmak üzere, RA:f.c , )x(f.c)x)(f.c(
tir.
Örnek:
,RR:f 1x)x(f ve ,RR:g 5x3)x(g ise
)x)(gf( nedir?
Çözüm:
RRR olup, RR:gf
)x(g)x(f)x)(gf( olduğundan
4x4)5x3()1x()x)(gf( bulunur.
Örnek:
,RR:f x32
x)x(f ve ,RR:g 3x)x(g ise
)x)(gf( nedir?
Çözüm:
RRR olup, RR:gf
)x(g)x(f)x)(gf( olduğundan
3x22
x)3x()x32
x()x)(gf( bulunur.
Örnek:
)7,3(),4,2(),3,1(f ve )14,5(),8,2(),5,1(g ise gf
nedir? Çözüm:
f fonksiyonu için tanım kümesi 3,2,1A ve görüntü
kümesi ,7,4,3D g fonksiyonu için tanım kümesi
5,2,1B ve görüntü kümesi 14,8,5E dir.
CBA:gf biçiminde olacağından 2,1BA
olur. Bu durumda
gf)8,1(853)1(g)1(f)1)(gf(
gf)12,2(1284)2(g)2(f)2)(gf(
Bu durumda )12,2(),8,1(gf dir.
10
Örnek:
,RR:f 1x2)x(f ve ,RR:g 2x32
x)x(g
ise gf nedir?
Çözüm: f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, değer
kümeleri R dir. RRR:gf biçiminde olacağından
RRR olur.
Bu durumda
)2x32
x()1x2()x(g)x(f)x)(gf(
1x2
x
olduğundan 1x2
x)x)(gf( dir.
Örnek:
,RR:f 1x)x(f ve ,RR:g 5x3)x(g ise
)x)(gf( nedir?
Çözüm:
)x(g)x(f)x)(gf( olduğundan
6x25x31x)5x3()1x()x)(gf(
bulunur. Örnek:
)7,3(),4,2(),3,1(f ve )14,5(),8,2(),5,1(g ise gf
nedir? Çözüm:
f fonksiyonu için tanım kümesi 3,2,1A ve görüntü
kümesi ,7,4,3D g fonksiyonu için tanım kümesi
5,2,1B ve görüntü kümesi 14,8,5E dir.
CBA:gf biçiminde olacağından 2,1BA
olur.
Bu durumda,
gf)2,1(253)1(g)1(f)1)(gf(
gf)4,2(484)2(g)2(f)2)(gf(
olup bu durumda )4,2(),2,1(gf dir.
Örnek
,RR:f 1x32
x)x(f ve ,RR:g
5x32
x3)x(g ise )x)(gf( nedir?
Çözüm: f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, görüntü kümeleri R dir. RRR:gf biçiminde olacağından
RRR olur.
Bu durumda, )x(g)x(f)x)(gf(
)5x32
x3()1x32
x(
62
x45x32
x31x32
x
Örnek:
)7,3(),4,2(),3,1(f ise f2 nedir?
Çözüm:
)7,3(),4,2(),3,1(f fonksiyonu için
632)1(f2)1)(f2(1x
842)2(f2)2)(f2(2x
1472)3(f2)3)(f2(3x
olduğundan )14,3(),8,2(),6,1(f2
Örnek:
,RR:f 5x3)x(f ve ,RR:g 8x52
x)x(g
ise )x)(g3f2( nedir?
11
Çözüm: f ve g fonksiyonlarının skaler ile çarpımları bulunacaktır.
)x(g3)x(f2)x)(g3f2(
)8x52
x(3)5x3(2
24x152
x310x6
34x92
x3
olduğundan 34x92
x3)x)(g3f2( dir.
Örnek:
)7,3(),4,2(),3,1(f ve )14,5(),8,2(),5,1(g ise gf
nedir? Çözüm:
f fonksiyonu için tanım kümesi 3,2,1A ve görüntü
kümesi ,7,4,3D g fonksiyonu için tanım kümesi
5,2,1B ve görüntü kümesi 14,8,5E dir.
CBA:gf biçiminde olacağından 2,1BA
olur. Bu durumda
g.f)15,1(1553)1(g)1(f)1)(gf(
g.f)32,2(3284)2(g)2(f)2)(gf(
Bu durumda )32,2(),15,1(gf dir.
Örnek:
,RR:f 1x)x(f ve ,RR:g 12
x)x(g ise
)x)(gf( nedir?
Çözüm: f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, görüntü kümeleri ise R dir. gf nin tanım kümesi RRR olacaktır.
Bu durumda
)12
x)(1x()x(g)x(f)x)(gf(
1x2
x3
x
olduğundan 1x2
x3
x)x)(gf( dir.
Örnek:
)7,3(),4,2(),3,1(f ve )14,5(),8,2(),5,1(g ise g
f
nedir? Çözüm:
f fonksiyonu için tanım kümesi 3,2,1A ve görüntü
kümesi ,7,4,3D g fonksiyonu için tanım kümesi
5,2,1B ve görüntü kümesi 14,8,5E dir.
RBA:g
f biçiminde olacağından 2,1BA olur.
Bu durumda
g
f
5
3,1
5
3
)1(g
)1(f)1(
g
f
g
f
2
1,2
2
1
8
4
)2(g
)2(f)2(
g
f
Bu durumda
2
1,2,
5
3,1
g
f dir.
Örnek:
,RR:f 12
x)x(f ve ,RR:g
1x)x(g
ise g
f nedir?
Çözüm: f fonksiyonunun tanım kümesi R olmasına rağmen g
fonksiyonunun tanım kümesi
R dir. Görüntü kümeleri ise
12
R dir. g
f fonksiyonunun tanım kümesi ise
RRR
dir. Bu durumda
1x1x
)1x)(1x(
1x
12
x
)x(g
)x(f)x(
g
f
olduğundan 1x)x(g
f
dir.
Örnek:
R den R ye tanımlı x32
x)x(f ve 3x)x(g
fonksiyonları veriliyor. )3)(gf2( ün değerini bulalım.
Çözüm:
)x(g)x(f.2)x(g)x)(f2()x)(gf2(
3xx62
x23)-(x-3x )-2
2.(x
3x72
x2
Buna göre,
03219.233.72
3.2)3)(gf2( bulunur.
Örnek:
R den R ye tanımlı x32
x)x(f ve 3x)x(g
fonksiyonları veriliyor. )x)(g.f( fonksiyonunu bulalım.
Çözüm:
)3x)(x32
x()x(g)x(f)x)(gf(
x92
x63
xx92
x32
x33
x
Örnek:
,RR:f x32
x)x(f , ,R}3{R:g 3x)x(g
olduğuna göre
)x(g
f
fonksiyonunu bulalım.
Çözüm:
x31x
)3x.(x
3x
x32
x
)x(g
)x(f)x(
g
f
olduğundan x)x(g
f
dir.
Örnek:
R3,2,1:f , x2
x)x(f ve R2,1,1:g ,
3x2)x(g fonksiyonları veriliyor. Buna göre g3f
fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım. Çözüm:
g3f fonksiyonu }2,1{}2,1,1{}3,2,1{ kümesinden R
ye tanımlıdır. Buna göre,
)3x2.(3x2
x)x(g.3)x(f)x)(g3f(
9x72
x9x6x2
x olup,
1797191.72
1)1)(g3f( dir.
27914492.72
2)2)(g3f( dir.
O halde, g3f fonksiyonunun, tanım kümesi }2,1{ ve
görüntü kümesi }27,17{ dir.
Bir Fonksiyonun Tersi
BA:f , By veA x)y,x(f bire bir ve örten bir
fonksiyon olmak üzere,
AB:1
f
, A xve By )x,y(1
f
fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir. f fonksiyonunun
tersi 1
f
ile gösterilir.
13
1f)x,y(f)y,x(
dir.
f)y,x( ise
1
f)x,y(
olacağından
)x(fy ise )y(1
fx
dir.
Örnek:
)10,9(),8,7(),6,5(),4,3(),2,1(f fonksiyonunun ters
fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
BA:f olduğundan AB:1
f
olacaktır.
Aynı zamanda, şu biçimde de ifade edilebilir
1f)x,y(f)y,x(
Bu durumda )9,10(),7,8(),5,6(),3,4(),1,2(1
f
olur.
Örnek:
)10,9(),8,7(),6,5(),4,3(),2,1(f fonksiyonunun ters
fonksiyonuna ait tanım ve görüntü kümelerini bulunuz Çözüm:
f nin ters fonksiyonu )9,10(),7,8(),5,6(),3,4(),1,2(1
f
olacaktır.
Tanım kümesi 10,8,6,4,2A ve görüntü kümesi
9,7,5,3,1B dur.
Örnek:
c,b,aA kümesinden 6,5,4B kümesine tanımlı
)4,c(),5,b(),4,a(f fonksiyonunu inceleyelim.
)b,5(),c,4(),a,4(1
f
dir. 1
f
bağıntısında tanım
kümesi olan B de 4 elemanı iki eleman ile eşleştiğinden ve 6
elemanı açıkta kaldığından 1
f
bağıntısı fonksiyon değildir. Sonuç
BA:f bire bir ve örten bir fonksiyon değilse,
AB:1
f
bir fonksiyon olmayıp bir bağıntıdır.
Ters Fonksiyonun Bulunması
)x(fy ise )y(1
fx
olduğundan )x(1
f
i bulmak için x,
y türünden bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir. Örnek:
,RR:f 4
2x3)x(f
olduğuna göre, )x(
1f
i bulalım.
Çözüm:
4
2x3)x(f
ise
2y4x3y42x34
2x3y
3
2y4x
olur.
3
2x4)x(
1f
3
2y4)y(
1f
bulunur.
Örnek:
,RR:f 3x2)x(f olduğuna göre, )1(1
f
i bulalım.
14
Çözüm:
3x2)x(f ise
2
3yx3yx23x2y
olur.
2
3x)x(
1f
2
3y)y(
1f
bulunur.
Buna göre
22
4
2
31)1(
1f
olur.
Örnek:
,R}2{R:f 4x2
2x3)x(f
olduğuna göre,
)1(1
f
i bulalım.
Çözüm:
4x2
2x3)x(f
ise
2y4x y2x3y4x y22x34x2
2x3y
y23
2y4x2y4)y23.(x
dir.
Buna göre, x23
2x4)x(
1f
bulunur.
O halde,
61
6
1.23
21.4)1(
1f
olur.
2.Yol
k)1(1
f
olsun.
Buna göre 1)k(f olur.
6k4k22k314k2
2k3)k(f
bulunur.
Buna göre 6)1(1
f
dır.
Sonuç
1. bax)x(f ise a
bx)x(
1f
dır.
2. },c
a{R}
c
d{R:f olmak üzere
dcx
bax)x(f
ise
acx
bdx)x(
1f
dır.
Örnek:
4x2
2x3)x(f
olduğuna göre, )x(
1f
i bulalım.
Çözüm:
dcx
bax)x(f
iken
acx
bdx)x(
1f
dır.
4x2
2x3)x(f
ise
3x2
2x4
)3(x2
2x)4()x(
1f
tür.
Örnek:
4
2x3)x(f
olduğuna göre, )x(
1f
i bulalım
3
2x4
)3(
2x)4()x(
1f
4
2x3)x(f
tür.
Örnek:
x2
3x)x(f
olduğuna göre, )x(
1f
i bulalım.
15
Çözüm:
1x2
3
)1(x2
3x.0)x(
1f
x2
3x)x(f
bulunur.
Örnek:
1x2)x(f
olduğuna göre, )16(
1f
yı bulalım.
Çözüm:
k)16(1
f
olsun.
Buna göre 16)k(f olur.
3k41k4
21k
2161k
2)k(f
bulunur.
Buna göre 3)16(1
f
tür.
Fonksiyonların Bileşkesi
BA:f ve CB:g fonksiyonları aşağıdaki şemalarla
verilsin.
Görüldüğü gibi; f fonksiyonu A nın elemanlarını B nin elemanlarına, g fonksiyonu da B nin elemanlarını C nin elemanları ile eşleşmiştir.
f ve g fonksiyonları birlikte A nın elemanlarını C nin elemanlarına eşler. A nın elemanlarını C nin elemanlarına eşleyen fonksiyona f ve g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir. Bu fonksiyon fg biçiminde yazılır ve “g
bileşke f ” diye okunur. Buna göre,
3)2(g))1(f(g)1)(fg( tür.
5)4(g))2(f(g)2)(fg( tir.
7)6(g))3(f(g)3)(fg( dir.
Örnek: f ve g fonksiyonları aşağıdaki şemada verilmiştir. )1)(fg( ,
)2)(fg( , )3)(fg( değerlerini hesaplayarak fg
fonksiyonunu şema ile gösterelim.
4)2(g))1(f(g)1)(fg( tür.
6)3(g))2(f(g)2)(fg( dır.
8)4(g))3(f(g)3)(fg( dir.
Örnek:
3,2,1A , 9,4,1B , 18,8,2A
kümeleri ile BA:f , 2
x)x(f ve CB:g ,
x2)x(g fonksiyonları veriliyor.
)1)(fg( , )2)(fg( , )3)(fg( değerlerini hesaplayarak
fg fonksiyonunu şema ile gösterelim.
Çözüm:
21.2)1(g)2
1(g))1(f(g)1)(fg( dir.
84.2)4(g)2
2(g))2(f(g)2)(fg( dir.
16
189.2)9(g)2
3(g))3(f(g)3)(fg( dir.
Uyarı
)x)(gf( bulunurken ))x(g(f)x)(gf( olduğundan )x(f
fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine )x(g fonksiyonu
koyularak hesaplanır.
)x)(fg( bulunurken ))x(f(g)x)(fg( olduğundan )x(g
fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine )x(f fonksiyonu
koyularak hesaplanır. Örnek:
,RR:f 1x2)x(f ve ,RR:g 2x)x(g
fonksiyonları için )x)(gf( ve )x)(fg( fonksiyonlarını
bulunuz. Çözüm:
1)2x.(2)
)x(g
2x(f))x(g(f)x)(gf(
3x214x2
3x2)x)(gf( tür.
1x22)1x2()
)x(f
1x2(g))x(f(g)x)(fg(
1x2)x)(fg( dir.
Örnek:
,RR:f 1x2)x(f ve ,RR:g 22
x)x(g
fonksiyonları için )x)(gf( ve )x)(fg( fonksiyonlarını
bulunuz.
Çözüm:
1)22
x.(2)
)x(g
22x(f))x(g(f)x)(gf(
32
x2
32
x2)x)(gf( tür.
22
)1x2()
)x(f
1x2(g))x(f(g)x)(fg(
3x42
x421x42
x4
3x42
x4)x)(fg( tür.
Örnek:
,RR:f 1x2
x2)x(f ve ,RR:g 22
x)x(g
fonksiyonları için )x)(gf( ve )x)(fg( fonksiyonlarını
bulunuz. Çözüm:
)
)x(g
22x(f))x(g(f)x)(gf(
1)22
x(2
)22
x.(2
122
x)42
x44
x.(2
12
x82
x84
x2
72
x74
x2
72
x74
x2)x)(gf( dir.
)
)x(f
1x2x2(g))x(f(g)x)(fg(
22
)1x2
x2(
x22
x43
x412
x4
x4
17
1x22
x33
x44
x4
1x22
x53
x44
x4)x)(fg( dir.
Örnek:
,RR:f 1x2)x(f ve ,RR:g 2x)x(g
fonksiyonları için )0)(gf( ve )0)(fg( değerlerini bulunuz.
Çözüm:
312.2)2(f)
)0(g
220(f))0(g(f)0)(gf( tür.
122
)1()1(g)
)0(f
10.2(g))0(f(g)0)(fg(
Örnek:
,RR:f 3x2)x(f ve ,RR:g 4x5)x(g
fonksiyonları için )3)(gf( ve )2)(fg( değerlerini bulalım.
Çözüm:
41319.2)19(f)43.5(f))3(g(f)3)(gf(
3947.5)7(g)32.2(g))2(f(g)2)(fg(
Uyarı Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. Yani f ve g iki fonksiyon olmak üzere fggf dir.
Örnek:
R den R ye tanımlı 12
x)x(f , x3)x(g , 3x)x(h
olduğuna göre )2)(hgf( nin değeri kaçtır?
Çözüm:
)]5(g[f)]32(g[f))]2(h(g[f)2)(hgf(
22612
15)15(f)5.3(f
Fonksiyonlarda Bileşke İşleminin Özellikleri 1. Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği
vardır. Yani hgfh)gf()hg(f tır.
2. I birim fonksiyon olmak üzere ffIIf tir.
3. I birim fonksiyon olmak üzere If1
f1
ff
tir. 4. f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten fonksiyonlar
olmak üzere
1f
1g
1)gf(
ve
1f
1g
1h
1)hgf(
dir.
Örnek:
2x3)x(f ve 11x6)x)(gf( olduğuna göre )x(g i
bulalım. Çözüm:
2x3)x(f ise 3
2x)x(
1f
tür.
11x6)x)(gf( ise,
))11x6(1
f()]x)(gf(1
f[
))11x6(1
f()]x)(g(I[
3x23
9x6
3
211x6)x(g
tür.
2.Yol
2x3)x(f olmak üzere 11x6)x)(gf( ise,
11x62)x(g.311x6))x(g(f
3x23
9x6)x(g9x6)x(g.3
tür.
Örnek:
2x)x(f ve 11x2)x)(fg( olduğuna göre )3(g ü
bulalım.
18
Çözüm:
11x2))x(f(g11x2)x)(fg(
11x2)2x(g
Bu son eşitlikte x yerine 1 yazılırsa,
13112)3(g111.2)21(g bulunur.
Bir Fonksiyonun Grafiği Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.
BA:f , f(x )y ve By A, x)y,x(f
f)b,a( olduğundan b)a(f
dir.
Ayrıca a)b(1
f
dır.
Örnek:
2,1,0,1A , RA:f , 2
x)x(f fonksiyonunun
grafiğini çiziniz. Çözüm:
1x için 12
)1()1(f dir.
0x için 02
0)0(f dır.
1x için 12
1)1(f dir.
2x için 42
2)2(f tür.
Buna göre
)}4,2(),1,1(),0,0(),1,1{(f
olur. )x(fy fonksiyonunun
grafiği yandaki dört noktadır.
Örnek:
,RR:f 3x)x(f fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm:
1x için 43)1()1(f tür.
0x için 330)0(f tür.
1x için 231)1(f dir.
Buna göre ),...}2,1(),3,0(),4,1({...,f dir. A aşağıdaki
tabloda x in bazı değerlerine karşın )x(f in aldığı değerler
verilmiştir.
Bir önceki örnekte fonksiyonun tanım kümesi 4 elemanlı olduğu için, f in grafiği 4 tane noktadan oluştu. Bu örnekte ise; tanım kümesi tüm reel sayılar olduğu için, f in
grafiği sonsuz tane noktadan oluşmaktadır. Fonksiyonun tanımından dolayı, bu noktalar bir doğru belirtmektedir. Örnek:
Yukarıdaki şekilde )x(fy fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre )5(f)3(f
)1(f)2(f
değerini bulunuz.
Çözüm:
Grafikten 1)2(f , 2)1(f , 2)3(f ve 0)5(f olduğu
görülmektedir.
19
Buna göre,
2
3
02
21
)5(f)3(f
)1(f)2(f
bulunur.
Örnek:
Yandaki şekilde )x(fy
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre )2(f)2(1
f)1(f
değerini bulunuz.
Çözüm:
Grafikten 0)1(f dir.
0)2(1
f2)0(f
dır.
5)2(f tir.
Buna göre, 5500)2(f)2(1
f)1(f
bulunur.
Örnek:
Yandaki şekilde f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre )4)(f1
gf(
değerini bulunuz.
Çözüm:
)))4(f(1
g(f)4)(f1
gf(
olup
)x(fy in grafiğinde x = 4 için y = 4 olduğundan 3)4(f
tür.
)x(fy in grafiğinde x = 0 için y = 1 olduğundan 1)0(f
dir.
)x(gy in grafiğinde x = 0 için y = 3 olduğundan 3)0(g
olup 0)3(1
g
dır.
O halde,
1)0(f))3(1
g(f)))4(f(1
g(f)4)(f1
gf(
olur.
Çözümlü Sorular
1. 3,1,0,1,2A , ,RA:f
)1,3(),4,1(),2,0(),3,1(),4,2(f olduğuna göre
)3(f)0(f)2(f toplamı kaçtır?
Çözüm:
f)4,2( olduğundan 4)2(f tür.
f)2,0( olduğundan 2)0(f dir.
f)1,3( olduğundan 1)3(f dir.
Bu durumda,
7124)3(f)0(f)2(f olur.
2. 1x22
x)x(f olduğuna göre )13(f kaçtır?
Çözüm:
2)1x()x(f1x2
2x)x(f dir.
32
)3(2
)113()13(f bulunur.
3. 2x3)3x2(f olduğuna göre )0(f kaçtır?
Çözüm:
2
3x3x203x2 dir.
Buna göre 2x3)3x2(f fonksiyonunda x görülen yere
2
3 yazılırsa )0(f bulunur.
2
52
2
92)
2
3.(3)3)
2
3.(2(f olur.
20
4. 3x2)1x2
1x3(f
olduğuna göre )2(f kaçtır?
Çözüm:
3x1x32x421x2
1x3
tür.
Buna göre verilen fonksiyonda x görülen yere 3 yazılırsa
)2(f bulunur.
9)2(f3)3.(2)1)3.(2
1)3.(3(f
olur.
5. 5x42
x)x(f olduğuna göre )2x(f
fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
12
)2x(14x.2.22
x5x42
x)x(f dir.
Bu ifade de x görülen yere 2x yazılırsa,
12
x12
)22x()2x(f bulunur.
6. 2x
1x)
1x
2x(f
olduğuna göre )2(f kaçtır?
Çözüm:
1x
2x
1
2x
1x)
1x
2x(f
olur.
Bu ifadede 1x
2x
gördüğümüz her yere x yazalım.
x
1)x(f olur.
Buna göre 2
1)2(f dir.
7. ba olmak üzere x
bx
a)x(f olduğuna göre
)1(f
)2(f kaçtır?
Çözüm:
baba
)ba).(ba(
ba
2b2a
)1(f
)2(f
olur.
8. )x(f doğrusal bir fonksiyon olmak üzere 3)5(f ve
5)3(f olduğuna göre )1(f in değeri kaçtır?
Çözüm:
)x(f doğrusal bir fonksiyonu bax)x(f olsun.
3ba53)5(f tür.
5ba35)3(f tir.
Bu iki eşitlik birlikte çözülürse,
8b ve 1a 5ba3
3ba5
bulunur.
O halde 8x)x(f dir.
Buna göre 781)1(f bulunur.
9. 4x5)2x3(f olduğuna göre )8(f in değeri
kaçtır? Çözüm:
2x6x382x3 dir.
Buna göre verilen fonksiyonda x yerine 2 yazılarak )8(f in
değeri hesaplanabilir.
2x için 6)8(f42.5)22.3(f dır.
10. 1x32
x33
x)x(f olduğuna göre )1x(f
fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
3)1x(1x3
2x3
3x)x(f dür.
3x
3)11x()x(f bulunur.
21
11. 2x22
x2)x2
x(f olduğuna göre )x(f
fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
2x22
x2)x2
x(f olduğuna göre
2)x2
x.(2)x2
x(f olup bu ifadede x2
x yerine x
yazılırsa,
2x.2)x(f bulunur.
12. ,RR:f )n(f).m(f)n.m(f olduğuna göre )1(f in
değeri kaçtır? Çözüm:
)n(f).m(f)n.m(f ifadesinde n = 1 alınırsa,
1)1(f)1(f).m(f)m(f)1(f).m(f)1.m(f bulunur.
13. ,RR:f x)x(f)1x(f ve 1)1(f olduğuna
göre, )3(f kaçtır?
Çözüm:
x)x(f)1x(f olmak üzere,
1x için 011)2(f1)1(f)11(f dır.
2x için 220)3(f2)2(f)12(f dir.
14. )y(f).x(f)yx(f ve 5)2(f olduğuna göre )6(f nın
değeri kaçtır? Çözüm:
)y(f).x(f)yx(f ve 5)2(f olmak üzere,
255.5)4(f)2(f).2(f)22(f tir.
12525.5)6(f)4(f).2(f)42(f dir.
15. 1x3)1x(f)2x(f olduğuna )3(f)3(f
kaçtır?
Çözüm:
1x için,
4)0(f)3(f11.3)11(f)21(f tür.
2x için,
5)3(f)0(f1)2.(3)12(f)22(f tir
Bu eşitlikler taraf tarafa çıkarılırsa,
9)3(f)3(f)5(4)3(f)0(f)0(f)3(f olur.
16. 12
x)x
2(f.x)
2
x(f olduğuna göre )2(f nin değeri
kaçtır? Çözüm: Verilen eşitlikte x yerine önce 4, sonra da 1 yazalım.
4x için, 17)2
1(f.4)2(f1
24)
4
2(f.4)
2
4(f
1x için, 2)2(f)2
1(f1
21)
1
2(f.1)
2
1(f dir.
Bu son eşitlik ilk eşitlikte yerine yazılırsa, 25)2(f.4)2(f17]2)2(f.[4)2(f olup buradan,
3
25)2(f25)2(f3 bulunur.
17. ,RR:f )x(f.x)1x(f ve 5)2(f olduğuna göre
)4(f kaçtır?
Çözüm:
)x(f.x)1x(f ve 5)2(f olduğuna göre,
2x için, 105.2)2(f.2)3(f dur.
3x için, 3010.3)3(f.3)4(f olur.
18. )3,2[A , ,BA:f 3x2)x(f fonksiyonu bire bir
ve örtendir. Buna göre B kümesini bulunuz.
22
Çözüm:
3x2)x(fy ve )3,2[A ise
}3x2 ,Rx :x{A olduğu için,
93x276x243x2
9)x(f7 olur.
Buna göre
)9,7[B}9x7 ,Rx :x{B olur.
19. 1x2
3)x(f
olduğuna göre )x3(f in )x(f türünden
eşitini bulunuz. Çözüm:
)x(f.3x2
33
x231x23)x(f
tir.
3
3))x(f.3(
3
3)x23(1x3.23)x3(f
)x(3
f.93
)x(3f.27)x3(f tir.
20. 1x
x)x(f
olduğuna göre )1x(f in )x(f türünden
eşitini bulunuz. Çözüm:
1x
x)x(f
ifadesinde x in )x(f türünden eşitini bulalım.
)x(f)x(f.xx)x(f)x(f.xx1x
x)x(f
)x(f1
)x(fx)x(f)]x(f1.[x
tir.
1x
x)x(f
ise
2x
1x
11x
1x)1x(f
dir.
Burada, x yerine )x(f1
)x(f
yazılırsa,
)x(f1
)x(f.22)x(f
)x(f1
x()f1)x(f
2)x(f1
)x(f
1)x(f1
)x(f
2x
1x)1x(f
)x(f2
1
2)x(f
)x(f1.
)x(f1
1)1x(f
bulunur.
21. nmx)x(f , 5)4(1
f
, 6)3(1
f
olduğuna
göre n.m çarpımı kaçtır? Çözüm:
4nm54)5(f5)4(1
f
3nm63)6(f6)3(1
f
olur.
Bu iki denklem birlikte çözülürse,
9n , -1m3nm6
4nm5
bulunur.
Buna göre,
99).1(n.m bulunur.
22. ax32
x)1x(f ve 3)2(1
f
olduğuna göre,
a nın değeri kaçtır? Çözüm:
2)3(f3)2(1
f
dir.
ax32
x)1x(f fonksiyonunda 4x yazılırsa,
a1216)3(fa4.32
4)14(f
26aa12162 olur.
23
23. ,RR:f 13
2x)x(f olduğuna göre )x(1
f
in
eşitini bulunuz.
Çözüm:
32x1y1
32x)x(fy
23
)1y(x3
)1y(2x dir.
O halde,
23
)1x()x(1
f23
)1y()y(1
f
dir.
24. 1x)
12x
1x(f
olduğuna göre )x(
1f
in eşitini
bulunuz. Çözüm:
y)x(f ise )y(1
fx
olduğu için
1x)
12x
1x(f
ise
12x
1x)1x(
1f
olur.
Burada x yerine x – 1 yazılırsa,
2x22x
x
12)1x(
11x)11x(
1f
olur.
25. 5
32x)1x2(f
olduğuna göre )x(f in eşitini
bulunuz. Çözüm:
1x2 in tersi 2
1x olduğu için )1x2(f de x yerine
2
1x
yazılırsa )x(f bulunur.
5
32x)1x2(f
ise,
5
32)2
1x(
)12
1x.2(f
5
34
1x22x
)11x(f
20
13x22x
20
121x22x)x(f
bulunur.
26. },3{R}1{R:f ve )x(f3
2)x(fx
olduğuna göre
)x(1
f
in eşitini bulunuz.
Çözüm:
)y(1
fxy)x(f
olduğu için,
x3
2x)x(
1f
y3
2yx
)x(f3
2)x(fx
tir.
5,4,3,2,1A , ,AA:f
27. )1,5(),3,4(),5,3(),3,2(),2,1(f olduğuna göre
)3)(fff( kaçtır?
Çözüm:
f)5,3( olduğundan 5)3(f tir.
f)1,5( olduğundan 1)5(f dir.
f)2,1( olduğundan 2)1(f dir.
Bu durumda,
2)1(f))5(f(f)))3(f(f(f)3)(fff( olur.
28. 3x5)2x(f ve 1x3)3x(g olduğuna göre,
)3)(fg( ün değeri kaçtır?
Çözüm:
3x5)2x(f ise 8)3(f31.5)21(f dir.
1x3)3x(g ise 34)8(g111.3)311(g tür.
24
Buna göre,
34)8(g))3(f(g)3)(fg( olur.
29. 52008
x2007
x)x(f ve 9x22
x)x(g
olduğuna göre, )4)(gf( ün değeri kaçtır?
Çözüm:
4x için 194.22
4)4(g dir.
1x için 552008
)1(2007
)1()1(f tir.
Buna göre,
5)1(f))4(g(f)4)(gf( olur.
30. 2x
5)x(f
ve 42
x)x(g olduğuna göre,
)2)(fg1
f(
nin değeri kaçtır?
Çözüm:
4x için 122
5)2(f
dir.
1x için 542
1)1(g tir.
2x için 1)5(1
f521
5)1(f
dir.
Buna göre,
))1(g(1
f)))2(f(g(1
f)2)(fg1
f(
1)5(1
f
31.
1 x,
2
x-3
1 x,x3
)x(f olduğuna göre )5)(ff( in değeri
kaçtır?
Çözüm:
1x için 2
x3)x(f
dir.
15 olduğu için 12
2
2
53)5(f
dir.
1x için x3)x(f tir.
11 olduğu için 3)1.(3)1(f tür.
Buna göre,
3)1(f))5(f(f)5)(ff( bulunur.
32.
3 x,x35
3 x,1x2)x(f ve
-2 x,1x
2 x,22x)x(g
olduğuna göre, )2)(fg( nin değeri kaçtır?
Çözüm:
32 olduğu için 12.35)2(f dir.
21 olduğu için 322
)1()1(g tür.
Buna göre,
3)1(g))2(f(g)2)(fg( tür.
33. 1x4)x)(gf( ve 3x2)x(g olduğuna göre )x(f
fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
fIf)1
gg(f1
g)gf(
dir.
2
3x)x(
1g3x2)x(g
dir.
))x(1
g](gf[)x](1
g)gf[()x(f
7x216x212
3x.4)
2
3x](gf[)x(f
dir.
Buna göre, 7x2)x(f dir.
25
34. 0)3(1
f
, 3)2(1
g
ve 1)0(1
h
olduğuna
göre, )2(1
)hfg(
nin değeri kaçtır?
Çözüm:
1g
1f
1h
1)hfg(
olduğu için,
)2](1
g1
f1
h[)2(1
)hfg(
))]2(1
g(1
f[1
h
1)0(1
h)]3(1
f[1
h
bulunur.
35. 1x3)x(g , 5x
1x2)x(f
ve 2)a)(f
1g(
olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm:
1x3)x(g ise 512.3)2(g tir.
5x
1x2)x(f
ise
5a
1a2)a(f
tir.
2)5a
1a2(
1g2))a(f(
1g2)a)(f
1g(
55a
1a2
5a
1a2)2(g
24a31a225a5
8a bulunur.
36. 1x
ux2)x(f
ve
2x3
9x)x)(ff(
olduğuna göre u
kaçtır? Çözüm:
2x3
9x))x(f(f)x)(ff(
ise
0x için 2
9))0(f(f dir.
1x
ux2)x(f
ise 0x için u
10
u0.2)0(f
dur.
ux için 1u
u3
1u
uu.2)u(f
dir.
Buna göre,
2
9
1u
u3
2
9)u(f
2
9))0(f(f
dir.
Bu eşitlikten,
3u9u3u69u9 tür.
37. 3x)x(f , 12
x)x(g ve 23
x)x(h
olduğuna göre, )1)(hgf(
)1)(hg.f(
kaçtır?
Çözüm:
3x)x(f , 12
x)x(g ve 23
x)x(h
olduğu için,
231)1(f , 012
)1()1(g ,
123
)1()1(h , 323
1)1(h ,
812
3)3(g , 1138)8(f dir.
Buna göre,
))3(g(f
10.2
)))1(h(g(f
)1(h)1(g).1(f
)1)(hgf(
)1)(hg.f(
11
1
)8(f
1
bulunur.
38. 3
2)x(1f)x(f
olduğuna göre, )2)(ff( nin değeri
kaçtır?
26
Çözüm:
If1
f olduğundan,
3
2)x(1f)x(f
eşitliğinde x yerine )x(f yazılırsa,
3
2x)x)(ff(
3
2x
3
2))x(f(1f))x(f(f
olur.
Bu son eşitlikte x yerine 2 yazılırsa,
03
22)2)(ff(
bulunur.
39. )4x3(g)1x2(1
f
olduğuna göre )5)(gf( in
değeri kaçtır? Çözüm:
b)a(f ise a)b(1
f
dır.
Buna göre,
1x2))4x3(g(f)4x3(g)1x2(1
f
dir.
1x2)4x3)(gf( ifadesinde x yerine 3 yazılırsa,
7)5)(gf(13.2)43.3)(gf( bulunur.
40.
Yandaki şekilde )x(fy
eğrisinin grafiği Ox eksenini -3 te, Oy eksenini 2 de
kesmektedir. 2x2)x(g
fonksiyonunun grafiğinin )x(f
eğrisine teğet olduğu noktanın apsisi 3 tür.
Buna göre
)3)(g1f(
)2)(1fg(
kaçtır?
Çözüm: Verilenlere göre,
2)0(f ise 0)2(1
f
dır.
220.2)0(g dir.
423.2)3(g tür.
3)4(1
f4)3(g)3(f
tür.
Buna göre,
3
2
)4(1f
)0(g
))3(g(1f
))2(1f(g
)3)(g1f(
)2)(1fg(
bulunur.
41.
Yandaki şekilde )x(fy
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
0)4a(f olduğuna
göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? Çözüm:
)x(fy fonksiyonunun grafiği )0,2( , )0,1( , ve )0,3(
noktalarından geçtiği için,
0)2(f , 0)1(f ve 0)3(f dır.
0)4a(f olduğuna göre,
24a , 14a veya 34a tür.
6a24a dır.
3a14a tür.
1a34a dir.
Buna göre a nın alabileceği değerlerin toplamı,
10)1()3()6( dur.
44. ,RR:f
x
)1x(f)x(f
ve 12)4(f olduğuna
göre )2(f kaçtır?
27
Çözüm:
3x için 43
12
3
)4(f)3(f tür.
2x için 22
4
2
)3(f)2(f dir.
42. 3x2)1x(f)x(f olduğuna göre )0(f)2(f
kaçtır? Çözüm:
1x için 5)2(f)1(f tir.
0x için 3)1(f)0(f tür.
Birinci ifadeden ikinci ifade çıkartılırsa,
2)0(f)2(f35)1(f)0(f)2(f)1(f olur.
43. ba olmak üzere 1x2
x)abx
bax(f
olduğuna
göre )1(f)1(f toplamı kaçtır?
Çözüm:
1x2
x)abx
bax(f
ifadesinde x yerine önce 1, sonra -1
yazılırsa,
3)1(f112
1)ab
ba(f
tür.
1)1(f112
)1()ab
ba(f
dir.
Buna göre, 413)1(f)1(f olur.
45. )b(f)a(f)b.a(f ve 7)2(f olduğuna göre )16(f
değerini bulunuz. Çözüm:
)b(f)a(f)b.a(f olduğu için,
28)2(f)2(f)2(f)2(f)2.2.2.2(f)16(f olur.
46. ,RR:f x)x(f)2x(f ve 1)2(f olduğuna
göre, )102(f değeri kaçtır?
Çözüm:
x)x(f)2x(f ise x)x(f)2x(f tir.
Bu eşitlikte x yerine sırasıyla 2,4,…,98,100 yazacağız. Sonra da bulduğumuz değerleri taraf tarafa toplayacağız.
2x için, 2)2(f)4(f
4x için, 4)4(f)6(f
6x için, 6)6(f)8(f
. . .
98x için, 98)98(f)100(f
100x için, 100)100(f)102(f
+__________________ 10098..642)2(f)102(f
51.50 1)102(f
255112550102(f bulunur.
47. ,RR:f
2
1 x,x3
2
1 x,1x
)1x2(f olduğuna
göre )0(f)1(f toplamı kaçtır?
Çözüm:
2
11 olduğu için, x3)1x2(f tir.
)1(3)1)1.(2(f
4)1(f
28
2
1
2
1 olduğu için, 1x)1x2(f tir.
)12
1)1)
2
1.(2(f
2
3)0(f dir.
2
5
2
34)0(f)1(f bulunur.
48. 32
x4)1x2(f olduğuna göre, )x(f fonksiyonunu
bulunuz. Çözüm:
1x2 in bileşke işlemine göre tersi 2
1x olduğu için bu
değer 32
x4)1x2(f fonksiyonunda x yerine yazılırsa
)x(f bulunur.
32
)2
1x.(4)1
2
1x.2(f
34
1x22x.4)11x(f
2x22
x31x22
x)x(f bulunur.
49. x
1x
2x
12x)
x
12x(f
olduğuna göre, )x(f
fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
x
1x
2x
12x)
x
12x(f
ise,
2x2
x)x(f)x
1x(2
2)
x
1x()
x
1x(f
50. ,RR:f 3x2
x)x2
x(f olduğuna göre
)4
1(f değerini bulunuz.
Çözüm:
02
)1x2(01x42
x44
1x
2x
2
1x1x2
Bu değeri 3x2
x)x2
x(f fonksiyonunda yazarsak,
32
1
4
1)
2
1
4
1(f3
2
12)
2
1()
2
12)
2
1((f
4
15)
4
1(f olur.
51. x
1x
2x
12x)
x
12x(f
olduğuna göre )x(f
fonksiyonunu bulunuz. Çözüm:
3x2
2x
ün bileşke işlemine göre tersi
1x2
2x3
dir.
1x
x)
3x2
2x(f
fonksiyonunda x yerine
1x2
2x3
yazılırsa
)x(f bulunur.
1x5
2x3)x(f
11x2
2x3
1x2
2x3
)
31x2
2x3.2
21x2
2x3
(f
olur.
52. )x(f doğrusal fonksiyonu için 4)5(1
f
ve
3)7(1
f
olduğuna göre, )9(f kaçtır?
Çözüm:
5)4(f4)5(1
f
tir.
29
7)3(f3)7(1
f
dir.
)x(f doğrusal fonksiyon olduğundan bax)x(f dir
4x için 5ba4ba4)4(f tir.
3x için 7ba3ba3)3(f dir.
Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarılırsa,
2a75bb3ba4 bulunur.
1385b5b)2.(45ba4 bulunur.
Buna göre, 13x2bax)x(f tür.
Bu durumda,
51318139.2)9(f bulunur.
53. ),1(),2(:f ve 3x42
x)x(f olduğuna
göre )x(1
f
fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
),1(),2(:f ise, -1y ,2x dir.
2)2x(1y3x4
2x)x(fy
2x1y tir.
2x olduğundan,
21yx2x1y bulunur.
O halde,
21x)x(1
f
dir.
54. 1x2
1x3)4x(
1f
olduğuna göre )x(f fonksiyonunu
bulunuz. Çözüm:
4x)1x2
1x3(f
1x2
1x3)4x(
1f
tür.
1x2
1x3
ifadesinin bileşke işlemine göre tersi
3x2
1x
tür.
4x)1x2
1x3(f
fonksiyonunda x yerine
3x2
1x
yazılırsa
)x(f bulunur.
3x2
13x7)x(f4
3x2
1x)
13x2
1x.2
13x2
1x.3
(f
bulunur.
55.
2 x,3x
2 x,1x)x(f olduğuna göre )5(
1f
değeri kaçtır? Çözüm:
2x için 3x)x(f olduğundan,
22 olup, 532)2(f tir.
2)5(1
f5)2(f
bulunur.
56. 2x
2)x(f
olduğuna göre )2
x(f nin )x(f türünden
eşitini bulunuz. Çözüm:
4
)x(fx2)x(f4.
x2
2x2)x(f
tür.
x.2
1
2.42
x
2.4
22
x
2)2
x(f
x2.42
1
)x
2.(4
)x(f4
)x(f.2
)x(f)2
x(f olur.
KONU BİTMİŞTİR…
30