FONKSİYONLAR

Boş kümeden farklı olan A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemanı B

kümesindeki bir elemana karşı getiren bağıntıya A’dan B’ye fonksiyon denir. y=f(x) ile

gösterilir. Bir diğer ifadeyle x ve y değişkenler olmak üzere değişkenler arası ilişkiyi

açıklayan ifadedir. Örneğin y değişkeni harcama x gelir olabilir.

§

* Tanım kümesinin her elemanı bir elemanla eşleşmelidir. Tanım kümesinde boşta bir

elemanı kalmamalıdır ve tanım kümesinin bir elemanının farklı iki görüntüsü olmamalıdır.

* Görüntü kümesi ve değer kümesi her zaman birbirinin aynı olmayabilir görüntü kümesi

değer kümesinde tanım kümesinin eşleştiği elemanları verir.

A- FONKSİYONUN TANIM ARALIĞI

y= f(x) fonksiyonunda x yerine bir değer konulur ve fonksiyon belirli, sınırlı ve reel bir değeri

alırsa, fonksiyon bu noktada tanımlanmıştır. Fonksiyonun tanımlı olduğu değerlerin kümesine

“tanım kümesi” denir.

x yf

A yB

Tanım kümesi Değer (görüntü) kümesi

A B

B- FONKSİYON TÜRLERİ

a) İçine Fonksiyon: Eğer fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin alt kümesi ise,

bir diğer deyişle, değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok

ise bu tür fonksiyonlara denir.

b) Örten Fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesi değer kümesine eşit ise (bir diğer

deyişle, değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ise) bu tür

fonksiyonlara denir.

c) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım

kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.

a

b

c

1

2

34

a

b

c

d

1

2

3

d) Sabit Fonksiyon: eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü

kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

e) Birim Fonksiyon: eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü

kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

3

f) Tek ve Çift Fonksiyonlar: y = f(x) fonksiyonunda eğer tanımlı tüm x değerleri için;

f(-x) = f(x) ise ; çift fonksiyondur.

f(-x) = -f(x) ise; tek fonksiyondur.

Her ikisi de gerçekleşmiyorsa ne tek ne çift fonksiyondur.

Başlangıç noktasına (0,0) (orjine göre) simetrik fonksiyonlar tek; y eksenine

göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.

C- AÇIK VE KAPALI FONKSİYONLAR

Bir fonksiyonda x ve y arasındaki bağıntı y = f(x) şeklinde ise buna açık fonksiyon

denir. F(x,y)=0 şeklinde ise buna kapalı fonksiyon denir.

D- PERİYODİK FONKSİYON

Eğer bir f(x) fonksiyonunda f(x) = f(x+t) olacak şekilde bir t reel sayısı bulunuyorsa f(x)

fonksiyonu periyodiktir. t reel sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.

sin x ve cos x fonksiyonlarının periyodu 2

tan x ve cot x fonksiyonlarının periyodu dir.

Periyodik Fonksiyonların Özellikleri:

f( x+t) = f(x) ise;

a) c f(x) fonksiyonunun periyodu yine t’dir. (c IR)

b) f(ax+b) fonksiyonunun periyodu dır.

c) sin2n(ax+b), cos2n(ax+b) fonksiyonlarının periyodu şeklindedir.

a

b

c

a

b

c

sin2n+1(ax+b), cos2n+1(ax+b) fonksiyonlarının periyodu şeklindedir

d) f(x) fonksiyonunun periyodu tf , g(x) fonksiyonunun periyodu tg ise; f+g, f-g, f.g, f/g

fonksiyonlarının periyodu t / tf ve t / tg tamsayı ise t dir.

E- TERS FONKSİYON

y = f(x) iken x = g(y) şeklinde ifade edilirse; f(x) fonksiyonunun ters fonksiyonu elde

edilir. Bir fonksiyonun tersinin alınabilmesi için birebir ve örten olmalıdır.

Özellikleri:

a) f: IR IR , f(x) = ax+b ise f -1(x) = şeklindedir.

b) f: IR- IR-

ise şeklindedir.

c) y = f(x)’in belirttiği eğri ile y = f -1(x)’in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre

simetriktir.

d) B IR olmak üzere

f: [ ) B

ise,

şeklindedir.

e) e) B IR olmak üzere

f: ( ] B

ise,

şeklindedir.

F- FONKSİYONLARIN SINIFLANDIRILMASI

1) Polinom Fonksiyonlar:

a0, a1, …, an € IR ve an≠ 0 ve n€ N olmak üzere,

P(x) = anxn + an-1 xn-1+ …+ a1x+a0 gibi fonksiyonlara n. dereceden polinom (çok

terimli) denir.

n= 0 f(x) = a0 sabit fonksiyonuna da 0.dereceden polinom olarak bakılabilir.

n= 1 f(x)= a0+ a1x fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir.

n=2 f(x)= a0+ a1x + a2x2 fonksiyonuna ikinci dereceden kuadratik fonksiyon denir.

2) Cebirsel Fonksiyonlar

P0(x), P1(x), … , Pn(x)’ler x’in polinomları olmak üzere,

Pn(x) yn+ Pn-1(x) yn-1+… + P1(x) y+ P0(x) = 0

denklemini sağlayan y=f(x) şeklindeki fonksiyonlara ve denklemin kökü olan

fonksiyonlara cebirsel fonksiyon denir.

a) Rasyonel Cebirsel Fonksiyonlar : P(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon iken,

şeklinde iki polinom oranı olarak ifade edilebilen fonksiyonlardır.

Bu fonksiyonun tanım kümesi Q(x) = 0 denkleminin kökleri dışındaki tüm reel

sayılar kümesidir.

Örneğin 1) 2) 3)

Fonksiyonlarının her biri rasyonel fonksiyonlardır. Bunlardan birincisinin tanım

kümesi IR- , ikincisinin IR- iken üçüncü fonksiyonun tanım kümesi ise IR-

şeklindedir.

b) İrrasyonel Fonksiyonlar

İki polinom oranı olarak ifade edilemeyen fonksiyonlardır. Bir diğer deyişle P(x)

ve Q(x) iki polinom olmak üzere şeklinde yazılamayan

fonksiyonlardır.

3) Transandant Fonksiyonlar:

Cebirsel olmayan fonksiyonlara transandant fonksiyonlar denir. Bu tür fonksiyonlar

elementer işlemlerle x bağımsız değişkeninden elde edilemezler. Trigonometrik, ters

trigonometrik, üstel, logaritmik fonksiyonlar başlıca transandant fonksiyonlardır.

a) Trigonometrik Fonksiyonlar

Her bir x reel sayısı için sinx ve cosx değerleri hesaplanabilmektedir. Aynı

zamanda x bir reel sayı olmak üzere , (k € Z) ise tan x ve x≠nπ (n €Z)

ise cotx değerleri de hesaplanabilir. Özetle,

Fonksiyon Tanım Kümesi Değer Kümesi Periyotu

y= sin x IR [-1,1] 2π

y= cos x IR [-1,1] 2π

y= tan x IR- IR π

y= cot x IR- IR π

y= sec x= IR- IR-(-1,1) 2π

y= cosec x= IR- IR-(-1,1) 2π

Matematikte verilmiş bir fonksiyonun değer kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu çıkış

değerlerinin oluşturduğu kümedir.

Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu girdi

değerlerinin oluşturduğu kümedir.

Trigonometrik Özdeşlikler

1) sin (-x) = - sin x cos(-x) = cos x

2) sin2x + cos2x = 1

3) 1+ tan2x= = sec2x

4) 1+ cot2x= = cosec2x

5) sin ( - x ) = cos x cos ( - x ) = sin x

6) sin ( + x ) = - cos x cos ( + x ) = sin x

7) sin ( π – x) = sin x cos ( π – x) = - cos x

8) sin ( x+y ) = sin x cos y + cos x sin y

9) sin ( x-y ) = sin x cos y – cos x sin y

10) cos ( x+y ) = cos x cos y – sin x sin y

11) cos ( x-y ) = cos x cos y +sin x sin y

12)

13)

14) sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2x – sin2x = 2cos2x-1 = 1- 2sin2x

15)

16) sin x cos y = [ sin (x+y) +sin (x-y) ]

17) cos x cos y = [ cos (x+y) +cos (x-y) ]

18) sin x sin y = [ cos (x-y) - cos (x+y) ]

19) sin x + sin y =

20) sin x - sin y =

21) cos x + cos y =

22) cos x - cos y =

b) Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Fonksiyon Ters Fonksiyon Tanım Kümesi Temel Değer Bölgesi

x = sin y y = arcsin x [ -1,1 ] [-

x = cos y y = arccos x [ -1,1 ] [ 0, π ]

x = tan y y = arctan x IR [-

x = cot y y = arccot x IR ( 0, π )

x = cosec x y = arccosec x (-∞, -1]U[1, +∞) (-

x = sec y y = arcsec x (-∞, -1]U[1, +∞) ( 0, π )

c) Üstel Fonksiyonlar

a> 0 ve a ≠ 1 olmak üzere; y=ax şeklindeki fonksiyonlara üstel fonksiyon denir.

d) Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritmik fonksiyon denir. Üstel fonksiyon x = ay

( a>0 ) olarak alınırsa bunun tersi y = logax ile gösterilen logaritmik fonksiyon elde edilir.

x=ay üstel fonksiyonunun grafiği çizdirilir ve y = x doğrusuna göre simetriği alınırsan

logaritmik fonksiyonun grafiği elde edilir.

Logaritmanın Özellikleri

1) loga (x y) = loga x + loga y

2) loga ( = loga x - loga y

3) loga xp = p loga x

4) loga x = (Taban değiştirme özelliği)

5) loge x = ln x şeklindedir. Tabanı e olan logaritmadır. Doğal logaritma olarak

adalndırılır.

6) log10 x = log x şeklindedir. Tabanı 10 olan logaritmadır. Bayağı logaritma olarak

adlandırılır.

7) log 0 = log10 0 tanımsızdır. 10’un hiçbir üssü sıfır vermez.

8) log 1 = 0 ise 100 = 1 olur.

9) Log 0,1 = -1 ise 10-1 = 0,1 olur.

10) 0<x≤1 ise ∞<log x<0 olur.

11) logaa = 1 [ İspat: y=logax ise x=ay ise a1=a]

12) loga1 = 0 [İspat: 1= a0]

13) loga x logxa = 1 [loga x = ]

14) loga = loga(x1/n) =

15)