Yrd.Doç.Dr.İstem Köymen KESER

Tahminler

Nokta Tahmini

Aralık Tahmini

Uygulamada çoğu sorun için nokta tahmini yeterlidir. Örneğin, büyük bir parti maldan rassal seçilmiş parçaların incelenmesi, bütün parçaların %10’unun kusurlu olmuş olduğu tahminini ortaya koymuş olsun. Bu sayıyı gören bir yönetici şöyle sorular sorabilir.

Bu sayıyı gören bir yönetici şöyle sorular sorabilir:

“Gerçek kusurlu oranının %5 ile %15 arasında olduğundan az çok emin olabilir miyim?”

“Bu durumda bütün parçaların %9 ile %11 arasındaki bir oranının kusurlu olduğu mu görülüyor?”

Böyle sorular tek bir nokta tahmininin güvenilirliğini sorgulamaktadır. Daha doğrudan söylenirse, tahmini yapılan büyüklüğün arasında kalacağı bir aralık demek olan aralık tahmini sorulmaktadır.

Bir anakütleden örnekleme yaparken diğer tüm etmenler aynı kaldığında hacmi büyük bir örnekten hacmi küçük bir örneğe göre daha güvenli bilgi sağlamayı bekleriz. Ancak bu etmen nokta tahminine yansımamaktadır.

Örneğin, bir partideki kusurlu parça oranı konusundaki nokta tahminimiz, on parçalık bir örnekte (örneklemde) bir kusurlu parça görsek de, 1000 parçalık bir örnekte 100 kusurlu parça bulsak da değişmez.

Anakütle katsayılarına ilişkin bilgilerimizin hassalığı aralık tahminine yansır. Bir diğer deyişle örnek büyüklüğü artıkça, diğer tüm etmenler aynı kaldığında, bir anakütle katsayısının gerçek değeri konusundaki belirsizliğimizi yansıtan güven aralığı azalır.

Tanım 1: Bir anakütle katsayısının aralık tahmin edicisi, o anakütle katsayısının içine düşebileceği bir aralığı (örnekleme bilgisine dayanarak) belirlemenin bir kuralıdır. Buna karşılık gelen tahmine de aralık tahmini denir.

Aralık tahmin edicileri gerçek ama bilinmeyen anakütle katsayılarını “içerebilir” yada içermesi “çok olası” diye tanımlanmıştır. Daha hassas bir açıklama yapmak için bu terimler olasılık ifadelerine dönüştürmek gerekir.

tahmin edilecek anakütle katsayısını θ ile gösterelim. bir rassal örnek seçildiğini ve bu örnek bilgisine dayanarak A, B’den küçük olmak üzere A ile B gibi iki rassal değişken bulunabileceğini düşünelim. Bu rassal dağişkenler, A’nın θ küçük ve B’nin θ’dan büyük olma olasılığı 0.90 gibi bir özellik taşıyorsa,

P(A< θ<B) = 0.90 yazılabilir.

Eğer A ile B belli örnek genişlemeleri ile a ile b şeklinde gösterilirse o zaman a ile b aralığına %90 güven aralığı denir.

Olasılık kavramına göre bu tür olasılıklar şöyle yorumlanabilir:

Eğer anakütleden tekrarlı örneklemeler alınır ve bu yolla aralıklar hesaplanırsa, bu aralıkların %90’ı bilinmeyen anakütle katsayısını içerir.

Tanım 2: θ bilinmeyen bir anakütle katsayısı olsun. Örnek bilgisine dayanarak,

P(A< θ<B) = 1-α eşitliğini sağlayan A ve B rassal değişkenlerini

bulabileceğimizi düşünelim. A ile B belli örnek seçimleri ile a ile b olarak gösterilirse, bu durumda a ile b aralığına θ’nın %100(1- α) güven aralığı denir. (1- α) büyüklüğü de, bu aralığın olasılık içeriği ya da güven düzeyi adını alır.

eğer anakütleden çok büyük sayıda yinelenen örnekler seçilirse bu yolla bulunan aralıkların %(1- α) oranı, θ katsayısını içerecektir. Bu yolla hesaplanan güven aralığı

a< θ<b şeklindedir.

Tanımlar Güven Aralığı

(veya Aralık Tahmini)

Bir anakütle parametresinin gerçek değerini tahmin etmek için kullanılan değerler aralığı

Alt değer < anakütle parametresi < Üst değer

Örnek olarak Alt değer < < Üst değer

güven aralığı, 1 - olasılığı ile anakütle

parametresini içerir.

genellikle 90%, 95%, veya 99% ( = 10%), ( = 5%), ( = 1%)

Tanımlar Güven Derecesi

(güven seviyesi veya güven katsayısı)

Bir güven aralığının yorumu

Doğru: 98.08 ve 98.32 aralığı, %95 olasılıkla ’nün

gerçek değerini içerir.

Yanlış: nün gerçek değerinin 98.08 ile 98.32

arasına düşmesi olasılığı %95’tir.

98.08o < µ < 98.32o

1. BİR NORMAL DAĞILIM ORTALAMASININ GÜVEN ARALIKLARI : ANAKÜTLE VARYANSI BİLİNİYOR

Ortalaması bilinmeyen ama varyansı bilinen bir normal dağılımdan rassal bir örnek seçildiğini amacın da anakütle ortalamasının güven aralığını bulmak olduğunu varsayalım. Bu sorun gerçeklikten uzaktır, çünkü ortalama bilinmezken anakütle varyansının tam olarak bilinmesi (olanaksız değilse de) ender bir durumdur. Ancak kimi zaman benzer anakütlelerden o denli örnek alınır ki, sözkonusu anakütlenin varyansının, geçmiş deneyimlere dayanılarak büyük bir yaklaşıklıkla bilindiği varsayılabilir. Aynı zamanda örnek hacmi yeterince büyükse anakütle varyansının bilindiği durum için geliştirilen süreçler bu varyans örnekten tahmin edilirse de uygulanabilir.

Bilinmeyen ortalaması μ ve bilinen varyansı olan bir anakütleden çekilen rassal bir örneğin gözlemleri

ve örnek ortalaması olsun. Bu durumda anakütle ortalamasının güven aralıkları,

rassal değişkeninin standart bir normal dağılıma uyduğu bulgusuna dayanır.

X1, X2, …, Xn

Anakütle ortalamasının %90 güven aralığını bulmak istediğimizi varsayalım. Standart normal değişken için

P(Z<1.96) =0.975

P(Z>1.96) =0.025

şeklindedir. Benzer şekilde simetriklik özelliğinden dolayı

P(Z<-1.96)= 0.025 şeklindedir. Özetle Z’nin -1.645 ile 1.645 arasında bulunma olasılığı

P(-1.96<Z< 1.96) = 1-P(Z>1.96) – P(Z<-1.96)=

0.975-0.025 =0.95 şeklindedir.

Özetle standart normal bir rassal değişkenin -1.96 ile 1.96 arasında olma olasılığı 0.95 şeklindedir.

Buradan anakütle ortalaması için bir güven aralığına dönüştürürsek

P(-1.96<Z<1.96)=0.95

P(-1.96< <1.96)=0.95

şeklindedir. Bu aralığın μ ‘yü içerme olasılığı 0.95’dır. Bir diğer deyişle 𝑥 − 1,96

𝜎

𝑛 ve aralığı μ’nün

%95 güven aralığıdır.

𝑃(𝑥 − 1,96𝜎

𝑛 <µ< 𝑥 + 1,96

𝜎

𝑛) = 0.95

𝑃(−1,96𝜎

𝑛 <𝑥 − µ< +1,96

𝜎

𝑛) = 0.95

𝑥 + 1,96𝜎

𝑛

Standart sapması 6 olan normal dağılımdan seçilmiş onaltı gözlemli rassal bir örnek ortalaması 25’dir. Anakütle ortalaması μ için %90 güven aralığını oluşturunuz. (Newbold sayfa 303)

Anakütle ortalamasının bir güven aralığı örnek ortalamasının bir gözlenen değerine- örnekleme dağılımından çekilmiş bir gözlem değerine-dayanır.

Genellersek,

Tanım 3: Bir Normal Anakütle Ortalamasının Güven Aralıkları: Anakütle Varyansı Biliniyor

Ortalaması μ, varyansı olan bir normal dağılımdan çekilen n gözlemli rassal bir örnek olsun. biliniyorsa, gözlenen örnek ortalaması da ise anakütle ortalamasının güven aralığı

Şeklindedir. Burada aşağıdaki eşitliği sağlar:

P(Z > ) = α/2 şeklindedir. Z rassal değişkeni standart normal dağılıma uyar. Bir diğer deyişle,

şeklindedir.

Örnek: Bir üretim süreci torba içinde rafine şeker üretmektedir. Bu torbaların içerik ağırlıkları standart sapması 1.2 kg olan normal dağılıma uymaktadır. Yirmibeş torbalık rassal bir örnekte ortalama ağırlık 19.8 kg çıkmıştır. Bu süreçte üretilen bütün şeker torbalarının ortalama ağırlığının %95 güven aralığını bulunuz. (Newbold, sayfa 307)

Güven Aralığının Özellikleri:

Verilmiş bir olasılık içeriği ve örnek büyüklüğü için anakütle standart sapması σ büyüdükçe, anakütle ortalamasının güven aralığı da genişler. Bir diğer deyişle diğer her şey aynıyken anakütlenin kendi ortalaması etrafındaki dağılımı ne kadar yaygınsa, ortalamaya ilişkin çıkarsamalar o kadar belirsiz olur. Bu fazladan belirsizlik daha geniş güven aralığı çıkarır.

Verilmiş bir olasılık ve anakütle standart sapması için örnek hacmi büyüdükçe anakütle ortalamasının güven aralığı da daralır. Bir diğer deyişle bir anakütleden ne kadar çok bilgi alırsak onun ortalamasına ilişkin çıkarsamamız o kadar hasssas olur. Bu fazladan hassalık daha dar güven aralığı çıkarır.

Verilen bir anakütle standart sapması ve örnek büyüklüğü için, olasılık içeriği (1-α) yükseldikçe, anakütle ortalamasının güven aralığı da genişler. (1-α) genişledikçe α küçülür dolayısıyla büyür. Olasılık içeriği yükseldiğinden anakütle katsayılarının daha geniş güven aralıklarına yansır.