Universidade Federal do Par Centro Tecnolgico

Curso de Especializao em Sistemas de Distribuio de Energia Eltrica

Disciplina: Anlise de Sistemas de Potncia

MINISTRANTE: Prof. Dr. Ubiratan Holanda Bezerra

COLABORAO: Prof. Dr. Raimundo Nonato M. Machado

JAN 2007

1

Universidade Federal do Par Centro Tecnolgico

Departamento de Engenharia Eltrica e Computao

FFFllluuuxxxooo dddeee CCCaaarrrgggaaa eeemmm SSSiiisssttteeemmmaaasss dddeee EEEnnneeerrrgggiiiaaa EEEllltttrrriiicccaaa

Elaborao: Prof. Dr. Ubiratan Holanda Bezerra

Engo. lvaro Ferreira Tupiass

Belm-PA 2005

2

Apresentao

O mundo contemporneo utiliza maciamente a eletricidade para realizar todo tipo de

trabalho o que tem originado a circulao de grandes fluxos de energia percorrendo vastas

distncias atravs das imensas redes eltricas espalhadas pelo mundo, desde os pontos de produo

at os pontos de consumo da energia eltrica. A infra-estrutura necessria implantao e operao

dos sistemas que aportam essas grandes quantidades de energia colossal, tanto em dimenses

fsicas quanto em investimento financeiro.

A tendncia atual de crescimento constante desses sistemas, tanto pela ampliao das redes

existentes e pela criao de novos circuitos para o suprimento da crescente demanda por energia

eltrica, como tambm devido s interligaes de sistemas eltricos regionais isolados, formando

grandes sistemas interligados a nvel nacional e muitas vezes a nvel internacional, envolvendo

redes de vrios pases.

Examinando esse cenrio percebe-se ser de grande importncia a existncia de tcnicas e

ferramentas de engenharia adequadas, que permitam o planejamento e a operao segura e

econmica desses sistemas, sob pena de imensurveis danos sociedade humana. Essas tcnicas

devem ser tais que se possa, sem grandes custos, verificar quais as melhores estratgias para

operao e a expanso desses sistemas, levando em conta as restries de segurana, economia e de

garantia da qualidade da energia fornecida aos consumidores.

Entre os problemas encontrados nos grandes sistemas de energia eltrica encontra-se o

problema do fluxo de carga (ou fluxo de potncia), e seu objetivo fundamental consiste em

determinar as tenses nos ns eltricos do sistema, bem como os fluxos de potncias ativas e

reativas e perdas nas linhas de transmisso, a partir dos parmetros eltricos do sistema e de certas

condies pr-estabelecidas, como as potncias demandadas pelas cargas e os limites fsicos dos

equipamentos.

A formulao matemtica do problema feita com base nas leis dos circuitos eltricos e nas

condies pr-estabelecidas, de onde surgem equaes e inequaes algbricas. Embora os estudos

de fluxo de carga no envolvam equaes diferenciais, as equaes algbricas so em grande

nmero e, a no ser que se usem aproximaes, so no-lineares. Esta caracterstica torna proibitiva

a procura por frmulas e solues analticas.

Utilizam-se, ento, tcnicas numricas iterativas, algumas delas (as mais utilizadas) to

elaboradas e trabalhosas (principalmente quando se trata de sistemas de grande porte, com milhares

3

de barras, o que geralmente o caso), que exigem laborioso esforo computacional, praticamente

impossvel de se resolver sem o auxlio de um computador digital dotado de poderosa e eficiente

programao.

Assim, o presente texto tem o objetivo de apresentar e mostrar as aplicaes e principais

mtodos de soluo deste problema bsico dos sistemas eltricos, o problema do fluxo de carga.

A apresentao divide-se em trs partes. A primeira parte faz uma introduo ao problema,

mostrando suas principais aplicaes e a sua formulao matemtica bsica.

A segunda parte mostra os diversos mtodos de soluo existentes. Maior nfase ser dada ao

algoritmo de Newton-Raphson, que muito utilizado em pacotes computacionais comerciais para

anlise de fluxo de carga.

A terceira parte mostra algumas variaes do fluxo carga, como fluxo de carga de

harmnicos, fluxo de carga trifsico, fluxo de carga estocstico e outros. Estas variaes se

constituem em estudos com propsitos especficos.

Ao final de cada captulo, h um resumo do mesmo, onde so explicitadas suas idias centrais

e as principais concluses que dele se pode tirar.

4

ndice

Captulo 1 O Problema do Fluxo de Carga .............................................................. pg. 6 1.1 Introduo ao problema do fluxo de carga .................................................................... pg. 6

1.2 Aplicaes do fluxo de carga ................................................................................ pg. 7

1.3 Formulao matemtica bsica do problema do fluxo de carga .......................... pg. 9

Consideraes iniciais ......................................................................................... pg. 9

Determinao do fluxo de potncia entre barras adjacentes ............................... pg. 10

Formulao matricial ............................................................................................ pg. 12

Tornando determinado o problema indeterminado do fluxo de carga ................. pg. 13

Consideraes prticas acerca da formulao do fluxo de carga ....................... pg. 15

1.4 Resumo ................................................................................................................. pg. 16

Captulo 2 Soluo do fluxo de carga ................................................................ pg. 17 2.1 Mtodos de Gauss e Gauss-Siedel ...................................................................... pg. 17

Introduo ao mtodo de Gauss .......................................................................... pg. 17

Soluo do fluxo de carga pelo mtodo de Gauss .............................................. pg. 19

Mtodo de Gauss-Siedel ..................................................................................... pg. 21

Inicializao dos mtodos de Gauss e Gauss-Siedel .......................................... pg. 22

Critrios de parada dos mtodos de Gauss e Gauss-Siedel ............................... pg. 22

Nmero de iteraes, convergncia e esforo de computao dos mtodos ..... pg. 23

Fatores de acelerao da convergncia .............................................................. pg. 24

Mtodos de Gauss e Gauss-Siedel utilizando a matriz [ Z ] ................................ pg. 24 2.2 Mtodo de Newton-Raphson ............................................................................... pg. 25

Introduo ao mtodo de Newton-Raphson ........................................................ pg. 25

Soluo do fluxo de carga pelo mtodo de Newton-Raphson ............................. pg. 29

Inicializao do mtodo de Newton-Raphson ...................................................... pg. 33

Critrios de parada do mtodo de Newton-Raphson ........................................... pg. 34

Nmero de iteraes, convergncia e esforo de computao do mtodo ......... pg. 34

Fatores de acelerao da convergncia .............................................................. pg. 35

Consideraes sobre as tcnicas de programao ............................................. pg. 35

2.3 Resumo ................................................................................................................. pg. 39

5

Captulo 3 Otimizaes e Variaes do Fluxo de Carga ................................ pg. 41 3.1 Mtodos desacoplados ......................................................................................... pg. 41

Mtodo de Newton desacoplado ......................................................................... pg. 42

Relaes entre os mtodos desacoplados e a matriz

susceptncia de barra: o mtodo desacoplado rpido ........................................ pg. 44

Critrio de parada dos mtodos desacoplados .............................................. pg. 46

Aspectos computacionais dos mtodos desacoplados ....................................... pg. 46

3.2 Fluxo de carga linear ou CC ................................................................................. pg. 47

Linearizao do fluxo de carga ............................................................................ pg. 47

Representao das perdas no fluxo de carga CC ............................................... pg. 49

Vantagens, aplicaes e limitaes do fluxo de carga CC .................................. pg. 41

3.3 Fluxo de carga trifsico ......................................................................................... pg. 52

Motivaes para estudos de fluxo de carga trifsicos ......................................... pg. 52

Formulao do fluxo de carga trifsico ................................................................ pg. 53

3.4 Fluxo de carga harmnico .................................................................................... pg. 54

Harmnicos em sistemas de energia eltrica ...................................................... pg. 54

Formulao do fluxo de carga harmnico ............................................................ pg. 55

3.5 Fluxo de carga para sistemas de distribuio ....................................................... pg. 57

3.6 Fluxo de carga estocstico ................................................................................... pg. 58

Processos estocsticos em sistemas de potncia ............................................... pg. 58

Aplicao das ferramentas probabilsticas em estudos de fluxo de carga .......... pg. 59

Formulao do fluxo de carga estocstico .......................................................... pg. 60

3.7 Resumo ................................................................................................................. pg. 61

Concluso .................................................................................................................... pg. 63

Bibliografia ................................................................................................................... pg. 65

6

Captulo 1

O Problema do Fluxo de Carga 1.1 INTRODUO AO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA

O clculo do fluxo de carga (ou fluxo de potncia) de uma rede de energia eltrica consiste essencialmente na determinao do estado eltrico da rede, ou seja, valores de tenso nos ns e, a partir da, a distribuio dos fluxos de potncia nos ramos, dadas certas restries de gerao, condies de carga e configurao topolgica da rede.

Neste tipo de problema, a modelagem do sistema esttica, ou seja, a rede representada por um conjunto de equaes e inequaes algbricas. Esse tipo de representao utilizada em situaes nas quais as variaes com o tempo so suficientemente lentas para que se possa ignorar os efeitos transitrios. Considera-se, tambm, que o sistema equilibrado, ou seja, que os valores de grandezas eltricas so idnticos para todas as fases (exceto, claro, pelo defasamento entre as tenses de cada fase). Isto permite representar o sistema em seu modelo unifilar. Alm disso, assume-se que os elementos passivos do sistema so representados por parmetros concentrados.

A formulao mais comumente encontrada para o fluxo de carga feita em termos de potncias ativas e reativas que fluem no sistema. Pode-se tambm encontrar as equaes do fluxo de carga escritas em funo das correntes, em vez das potncias, ou ainda formulaes mistas de potncias e correntes. Em todos os casos, o resultado obtido para as tenses nas barras do sistema o mesmo.

O motivo pelo qual prefervel trabalhar com potncias do que com correntes est relacionado principalmente s caractersticas fsicas de gerao e carga. Para um sistema de energia eltrica, so geralmente estabelecidas potncias ativas e reativas nas barras, no se sabendo de incio valores exatos de tenso em muitas delas. Esta caracterstica intrnseca aos sistemas de potncia pode tornar ineficaz a descrio das condies de cada barra em termos de correntes.

Alm desta condio, somam-se outras, algumas das quais fortemente ligadas tradio em Engenharia de Sistemas de Potncia. A descrio em termos de potncia permite ao engenheiro de sistemas ter uma viso mais slida da energia em trnsito.

O artifcio a ser utilizado para a formulao do problema , portanto, eliminar a varivel corrente, colocando em seu lugar termos em funo de potncia, mantendo, todavia, as informaes e a praticidade da matriz de admitncias nodais.

Pelo fato de a rede de transmisso ser aproximadamente linear, pode-se, primeira vista, pensar que o problema do fluxo de carga linear. Entretanto, como a potncia o produto da tenso pela corrente, o problema se torna no-linear mesmo para uma rede linear.

7

A presena de fortes no-linearidades na formulao do problema, inseridas pela descrio em termos de potncia, torna difcil encontrar solues analticas. Por isso, faz-se uso de tcnicas de clculo numrico iterativo. Esta estratgia transforma o problema no-linear em um conjunto de problemas lineares que, resolvidos iterativamente (isto , fazendo-se a soluo de cada um deles ser o ponto de partida para a soluo do prximo), levam soluo do problema no-linear.

A soluo exata das equaes no-lineares do fluxo de carga s passou a ser comum com o surgimento dos computadores digitais. Antes, quando os clculos tinham de ser feitos mo ou mesmo pelos analisadores de redes, eram necessrias muitas simplificaes, o que tornava imprecisas as solues obtidas. A tudo isso deve-se somar o tempo que se levava para efetuar os clculos, que se faziam numerosos mesmo para sistemas pequenos.

Os computadores digitais vieram facilitar a soluo do problema, mas no resolv-lo definitivamente. As caractersticas no-lineares do fluxo de carga provocam dificuldades de convergncia ou mesmo divergncias em muitas aplicaes.

Por isso, apesar de j se dispor de mtodos eficientes, a investigao e a pesquisa continuam, sempre em busca de mtodos de soluo ainda mais poderosos, rpidos e confiveis.

1.2 APLICAES DO FLUXO DE CARGA

Os trs problemas encontrados mais freqentemente em anlise de sistemas de potncia so fluxo de carga, curto-circuito e estabilidade. Cada uma destas anlises engloba uma classe de problemas encontrados em sistemas eltricos de potncia. A diviso destes problemas em classes pode ser feita adotando-se como critrio o seu tempo e a durao. Assim, tem-se:

1) t = 103s: transitrios eletromagnticos. 2) t = 101s: transitrios eletromecnicos. 3) t = 1s: atuao da regulao de velocidade. 4) t = 101 a 102s: controle carga-frequncia. 5) t = 104s: despacho econmico / seguro. 6) t = 1 a 4 semanas: planejamento da operao do sistema. 7) t = 5 a 20 anos: planejamento da expanso do sistema.

Dos sete problemas mostrados acima, os de nmeros 5, 6 e 7 so passveis de serem solucionados pelo estudo do fluxo de carga. Os outros problemas, embora no sejam aplicaes diretas do fluxo de carga, podem utiliz-lo como ferramenta em parte de seus estudos, como a determinao de condies iniciais antes de perturbaes, etc.

8

Na soluo do despacho timo / seguro, pode-se simular a condio do sistema para vrias configuraes diferentes, observando em qual delas o sistema se comporta melhor. A avaliao do comportamento do sistema pode ser baseada em algum critrio estratgico, como o fluxo economicamente timo ou fluxo seguro, que garanta a operao com boa margem de estabilidade.

A rea de estudo de despacho timo merece ateno especial pelo fato de que a operao de sistemas eltricos envolve altos custos. Por isso, a seleo dos nveis de operao de geradores fundamental e se constitui em uma aplicao do fluxo de carga.

No planejamento da operao e da expanso, deve-se ter em vista o fato de que todo sistema de energia eltrica deve ser planejado de forma a atender seus usurios com elevada continuidade de servio, respeitando diversos critrios de qualidade nesse atendimento. Esses critrios referem-se a valores mximo e mnimo de tenso nos pontos de entrega, excurso mxima da freqncia em torno do valor nominal, carregamento mximo dos componentes do sistema, etc.

No projeto de sistemas eltricos ou planejamento da ampliao de sistemas j existentes, impem-se a instalao de novas usinas e reforos nos sistemas de transmisso e distribuio, motivadas, claro, pela ligao de novas cargas ao sistema.

Neste cenrio, os estudos de fluxo de carga desempenham um papel muito importante, pois permitem verificar, admitida uma projeo de carga ao longo do tempo, se o sistema proposto ser capaz de manter-se dentro dos critrios estabelecidos no atendimento aos usurios. Permitem ainda a comparao de alternativas de expanso, bem como a avaliao do impacto no sistema da entrada de novas unidades geradoras.

Alm de planejamento, os estudos de fluxo de carga so amplamente utilizados na operao e planejamento de operao de sistemas. Os estudos de fluxo de carga visam definir o melhor perfil de tenses para a operao do sistema, bem como os ajustes de taps dos transformadores, condies para chaveamento de bancos de capacitores, etc.

Outra rea de grande aplicao surgiu com a crescente interligao de sistemas, que tornou mais necessrios ainda os j muito importantes estudos de contingncias. Tais estudos so fundamentais para que se mantenha um servio de suprimento confivel.

Se uma contingncia grave, como a perda de uma linha, causa sobrecarga em outros trechos do sistema, estas sobrecargas podem causar a ao de dispositivos de proteo, levando ao desligamento de outras linhas. Estas manobras, por sua vez, causam sobrecargas ainda maiores em outros trechos do sistema, provocando novos blackouts de maneira praticamente incontrolvel, o que pode levar a um "apago" geral do sistema interligado. Por isso, o estudo de contingncias se faz to importante.

Outras aplicaes importantes esto no nvel de distribuio e atendimento a clientes especficos, como grandes indstrias. Fluxo de carga trifsico, que leva em conta o desequilbrio entre fases, pode ser calculado, embora esta modalidade seja mais utilizada pelas fornecedoras urbanas, que lidam muito com tais desequilbrios. Anlise de fluxo de potncia harmnico, provocado por cargas no-lineares, tambm pode ser uma aplicao importante do fluxo de carga.

9

1.3 FORMULAO MATEMTICA DO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA

comum encontrar na vasta literatura sobre fluxo de carga diversas formulaes diferentes para o problema. Aqui ser apresentada a formulao bsica do problema em termos de potncias, o que facilita a utilizao do mtodo de soluo de Newton-Raphson, o mais difundido em estudos de fluxo de carga.

1.3.1 Consideraes Iniciais

Para a formulao bsica do problema do fluxo de carga, considere-se a figura 1.1.

Da figura 1.1 fica claro que, para que se atenda ao princpio da conservao da energia,

TiCiGi SSS += (1.1)

onde:

=GiS potncia complexa trifsica gerada fluindo para a barra i.

=CiS potncia complexa trifsica consumida fluindo da barra i.

=TiS potncia complexa trifsica transmitida fluindo da barra i.

J que jQPS += (1.2)

decorre imediatamente de (1.1) que

TiCiGi PPP += (1.3a)

TiCiGi QQQ += (1.3b)

Fig. 1.1 situao geral para os fluxos de potncia numa barra i genrica.

10

As variveis P e Q representam as potncias ativa e reativa, respectivamente. Os subscritos das equaes (1.3) tm o mesmo significado dos subscritos da equao (1.1).

Para um sistema com n barras, haver um conjunto de 2n equaes, sendo n equaes do tipo de (1.3a) e n do tipo de (1.3b).

Assim, a priori, haveria um sistema de 2n equaes a 6n incgnitas, indeterminado por natureza. Entretanto, note-se que, na prtica, so conhecidas as potncias consumidas nas barras de carga. Este conhecimento prvio se faz necessrio para que o problema tenha sentido e, por outro lado, o que torna possvel resolv-lo.

Por isso, supondo que j so conhecidas as cargas, sobram para cada barra, quatro variveis: potncia ativa gerada (PGi), potncia reativa gerada (QGi), potncia ativa transmitida (PTi) e potncia reativa transmitida (QTi).

1.3.2 Determinao do Fluxo de Potncia entre Barras Adjacentes

Considere-se o diagrama eltrico da figura 1.2. Este diagrama representa em forma unifilar a ligao entre duas barras unidas por uma linha de transmisso.

Nota-se pela figura 1.2 que a potncia transmitida da barra i para a barra k dada por:

*=+= ikiikikik IEjQPS (1.4)

onde ii VE = i . Aplicando-se a Lei de Kirchhoff para a barra i, tem-se:

PSik III += (1.5)

onde: SI = ( iE kE ) / ikz (1.6) yEI iP = (1.7)

Substituindo-se as equaes (1.6) e (1.7) na equao (1.5), tem-se:

=ikIik

ki

zEE + yEi (1.8)

Fig. 1.2 diagrama unifilar de duas barras unidas por um linha de transmisso (modelo ).

11

Substituindo-se a equao (1.8) na equao (1.4), obtm-se, por fim, a expresso para a potncia transmitida da barra i para a barra k. Esta expresso dada j separada em parte real (potncia ativa) e parte imaginria (potncia reativa) nas equaes (1.9) a seguir.

Pik = Vi2gik ViVk [gik cos ik bik sen ik] (1.9a) Qik = Vi2 (bik + b) ViVk [gik sen ik bik cos ik] (1.9b)

onde: gik = condutncia srie entre as barras i e k = Re [1/ ikz ].

bik = susceptncia srie entre as barras i e k = Im [1/ ikz ].

Vi, Vk = magnitude das tenses nas barras i e k, respectivamente.

ik = i k = diferena entre os ngulos de fase das tenses nas barras i e k.

Se, em vez de uma linha de transmisso, houver um transformador entre as barras i e k, as expresses para os fluxos de potncia so semelhantes s equaes (1.9), havendo apenas pequenas alteraes para levar em conta a relao de transformao do transformador. Assim, para um transformador com razo de transformao t = ae j, pode-se demonstrar que:

Pik = (aVi)2gik aViVk [gik cos (ik + ) bik sen (ik + )] (1.10a) Qik = (aVi)2 bik ViVk [gik sen (ik + ) bik cos (ik + )] (1.10b)

De forma geral, tem-se:

Pik = (aVi)2gik aViVk [gik cos (ik + ) bik sen (ik + )] (1.11a) Qik = (aVi)2 (bik + b) ViVk [gik sen (ik + ) bik cos (ik + )] (1.11b)

As equaes (1.11) so as equaes gerais para o fluxo de carga entre duas barras genricas i e k. Para linhas de transmisso, deve-se fazer a = 1 e = 0. Para transformadores em fase, deve-se fazer b = 0 e = 0. Para os transformadores defasadores puros, a = 1 e b = 0. Finalmente, para os transformadores defasadores, b = 0.

12

De posse da expresso para o fluxo de potncia entre duas barras adjacentes, pode-se generalizar para o caso de vrias barras ligadas a barra i.

PTi = =

n

ikk

ikP1

(1.12a)

QTi = =

n

ikk

ikQ1

(1.12b)

Com isto, obtm-se a potncia total transmitida da barra i, em funo dos valores de tenso nas barras e dos parmetros de admitncia dos ramos de ligao.

Note-se que o problema ainda possui as quatro incgnitas listadas anteriormente, mas que,

agora, as potncias transmitidas esto escritas em funo das tenses de barra ii VE = i.

1.3.3 Formulao Matricial

Se as tenses de barra E = [ 1E 2E nE ]t forem conhecidas, as correntes de barra, I = [ 1I 2I nI ]t, podero ser obtidas por:

EY ][= (1.13) onde: I = vetor coluna (n x 1) das correntes injetadas nas barras.

E = vetor coluna (n x 1) das tenses nas barras, cujo elemento geral ii VE = i . ][Y = matriz de admitncias nodais (n x n).

O elemento geral da matriz ][Y :

=iiY Gii + j Bii = =

+n

kikik jbg

1)( (1.14a)

=ijY Gij + j Bij = (gij + j bij) , i j (1.14b) Da, obtm-se as seguintes relaes entre os elementos da matriz ][Y e os parmetros fsicos

da rede: Gii = =

n

kikg

1 (1.15a)

Bii = =

n

kikb

1 (1.15b)

Gij = gij (1.15c) Bij = bij (1.15d)

13

Comparando as equaes (1.15) com as equaes (1.12), observa-se que possvel uma

formulao para a potncia transmitida em funo dos elementos da matriz ][Y .

As equaes resultantes so mostradas abaixo:

PTi = Vi =

+n

kikikikikk BGV

1)sencos( (1.16a)

QTi = Vi =

n

kikikikikk BGV

1)cossen( (1.16b)

Assim, substituindo as equaes (1.16) nas equaes (1.3), obtm-se:

PGi PCi Vi =

+n

kikikikikk BGV

1)sencos( = 0 (1.17a)

QGi QCi Vi =

n

kikikikikk BGV

1)cossen( = 0 (1.17b)

Conforme ser visto mais adiante, a formulao em termos dos elementos da matriz de admitncias nodais traz muitas vantagens para a soluo do fluxo de carga.

1.3.4 Tornando Determinado o Problema Indeterminado do Fluxo de Carga

As equaes (1.17) podem ser consideradas as equaes bsicas do fluxo de carga. A observao destas equaes permite afirmar que, dadas condies de carga fixas e conhecidas, tem-se em mos um problema com 2n equaes a 4n incgnitas. O problema indeterminado, portanto.

Para tornar determinado o problema de fluxo de carga a ser resolvido, necessrio especificar duas das quatro variveis em cada barra:

- Para as barras que tem gerao, ou tambm para barras de interligao entre sistemas razovel especificar-se PG e V, uma vez que essas variveis so controladas nessas barras, podendo-se especificar e manter os valores apropriados para essas grandezas. As barras em que so especificadas PG e V so chamadas barras de gerao ou, o que mais usual, barras tipo PV.

- Para as barras de cargas especificam-se as potncias ativa PG e reativa QG . Este tipo de barra chamado barra de carga ou, mais comumente, barra PQ.

- Como no se conhece a priori as perdas no sistema de transmisso e estas perdas no sero conhecidas antes de ser obtida a soluo do fluxo de carga, necessrio que em uma das barras de gerao (ou de interligao) no sejam especificadas PG e QG. Assim, consegue-se fechar o balano de potncia do sistema atravs das equaes (1.18) abaixo.

PG total = PC total + perdas (1.18a)

14

QG total = QC total + perdas (1.18b)

Essa barra denominada barra de balano (alguns autores utilizam o termo barra oscilante ou mesmo a denominao original em ingls, swing bus). Nela so especificadas V e . Note-se que, como especificado na barra de balano, esta barra cumpre uma segunda funo, a de referncia angular do sistema, tambm sendo, s vezes, chamada de barra de referncia. importante notar nas equaes (1.17) que os fluxos de potncia no dependem dos valores absolutos dos ngulos das tenses nas barras, mas sim da diferena entre os ngulos; esta caracterstica de grande importncia, pois torna o problema indeterminado na varivel , deixando livre a escolha de uma referncia angular (geralmente, = 0o), o que facilita bastante a resoluo do problema.

A tabela 1.1 resume as especificaes de variveis para os trs tipos de barras citados.

Tabela 1.1 variveis especificadas para cada tipo de barra

Variveis especificadas Tipo de Barra

P Q V PV X X

PQ X X

Barra de Referncia X X

Estes trs tipos de barras so os mais freqentes e tambm os mais importantes. Entretanto, existem algumas situaes particulares, como, por exemplo, o controle de intercmbio de uma rea e o controle da magnitude da tenso de uma barra remota, nas quais aparecem outros tipos de barras, como PQV, P e V.

Conforme ser possvel perceber mais adiante, a determinao dos tipos de barra, alm de tornar determinado o problema do fluxo de carga, provoca a diminuio do nmero de equaes a serem resolvidas iterativamente.

Isto ocorre porque o objetivo fundamental dos estudos de fluxo do carga a determinao da

tenses iE = Vii em todas as barras. Assim, se j so fornecidos valores de Vi e i para algumas barras logo de incio, o esforo de clculo diminui.

A tarefa de determinar Vi e i o que consome grande esforo computacional, uma vez que a tenso numa barra depende das tenses em todas as outras barras. A determinao da gerao em cada barra e dos fluxos de potncia ativa e reativa nos ramos pode ser feita por simples balano de potncia, o que significa no mais do que simples adies.

15

O nmero de equaes do problema cai de 2n para 2nPQ + nPV , em que nPQ o nmero de barras PQ e nPV o nmero de barras PV. Para cada problema de fluxo de carga existe uma nica barra de referncia.

1.3.5 Consideraes Prticas Acerca da Formulao do Fluxo de Carga

As equaes (1.17) mostram claramente a complexidade do problema do fluxo de carga, em que a tenso de uma barra sofre influncia no linear da tenso de todas as demais barras; tais equaes compem um problema indeterminado. A tipificao das barras do sistema permite eliminar a indeterminao, transformando o problema num sistema em que o nmero de equaes iguala o nmero de incgnitas.

Entretanto, como se sabe, mesmo um sistema com igual nmero de equaes e incgnitas pode resultar indeterminado ou at impossvel. Alm do mais, mesmo que tenha soluo, o que garante que a soluo matemtica encontrada ser fisicamente possvel ou adequada?

Com vistas a estas indagaes, o problema do fluxo de carga no se restringe apenas ao conjunto das equaes (1.17). A fim de associar ao problema matemtico os limites do sistema, impem-se, juntamente s equaes, um conjunto de inequaes. Estas inequaes estabelecem os limites inferior e superior para as variveis eltricas em cada barra.

Nos casos prticos, um gerador tem uma curva bem definida de potncia, chamada usualmente de curva de capabilidade, e no pode fornecer qualquer valor de potncia reativa como seria necessrio para manter constante a tenso da barra terminal em qualquer condio. Tambm, a tenso em determinadas barras de carga devem ser mantidas prximas a um valor predeterminado, sob pena de causar prejuzos ao usurio.

Em geral, estabelece-se que a tenso em cada barra deve estar dentro de uma tolerncia

Vi mn Vi Vi mx (1.19a) Nas barras de gerao, comum a imposio de limites do tipo

Pi mn Pi Pi mx (1.19b) Qi mn Qi Qi mx (1.19c)

que esto relacionadas aos limites das mquinas geradoras.

O que ocorre muitas vezes que, na anlise um fluxo de carga, v-se que a potncia reativa de

certas barras geradoras, bem como a tenso de certas barras de carga, esto fora dos critrios

especificados. Diante desse fato to comum, possvel fazer com que o prprio programa de fluxo

de carga se encarregue, automaticamente, de efetuar as modificaes necessrias para que se

atinjam os valores desejados.

Estas modificaes consistem em alteraes nos tipos de barras. Por exemplo, suponha-se

que, aps a soluo de um fluxo de carga, obtenha-se para uma barra PQ uma tenso de valor 0,85

16

pu, valor muito abaixo do mnimo estabelecido. A atitude comumente adotada nesta situao

mudar a tipificao da barra.

Deste modo, a barra em questo passaria a ser do tipo PV, sendo para ela estabelecido V = 1

pu. A soluo de um outro fluxo de carga para esta nova condio daria origem a um novo valor de

Q para a barra em questo, a partir do qual seria possvel, por exemplo, saber o valor da potncia

nominal de um banco de capacitores a ser ligado barra ou a posio do tap de um transformador

para que se atinja o valor de tenso desejado.

1.4 RESUMO

O fluxo de carga se constitui num problema bsico de sistemas eltricos de potncia. Consiste

na determinao das tenses nas barras do sistema, bem como os fluxos de potncia nos diversos

ramos de ligao entre as barras, a partir de certas condies pr-estabelecidas de carga e da rede.

As grandes aplicaes dos estudos de fluxo de carga esto no projeto e no planejamento da

operao e expanso dos sistemas de energia eltrica. Outras reas de estudo dos sistemas de

potncia, como os estudos de otimizao, estudos de estabilidades, etc., tambm encontram no fluxo

de carga uma preciosa ferramenta.

A formulao bsica do problema consiste em expresses que relacionam as tenses

(magnitudes e ngulos) com as potncias (ativa e reativa), utilizando informaes dos parmetros

fsicos do sistema fornecidos pela matriz de admitncias nodais. As equaes bsicas do fluxo de

carga em termos de potncia, tendo em vista o mtodo de Newton-Raphson, so:

PGi PCi Vi =

+n

kikikikikk BGV

1)sencos( = 0

QGi QCi Vi =

n

kikikikikk BGV

1)cossen( = 0

Para associar formulao matemtica pura os limites fsicos do sistema, aplicam-se tambm

as desigualdades:

Vi mn Vi Vi mx Pi mn Pi Pi mx Qi mn Qi Qi mx

17

A soluo das equaes no-lineares no poder ser obtida de forma analtica, a no ser que se

faam aproximaes. Para o resolver o problema completo, portanto, so necessrias tcnicas de

clculo iterativo, algumas das quais sero vistas no prximo captulo.

18

Captulo 2

Soluo do Fluxo de Carga

Vista a formulao bsica do problema do fluxo de carga, resumidas nas equaes (1.17) e inequaes (1.19), cabe agora desenvolver ferramentas que possibilitem resolver o problema.

Estas ferramentas, de forma geral, resumem-se associao de tcnicas de clculo numrico com programao de computadores digitais. Assim, estabelecidas as equaes, deve-se:

1) criar um algoritmo iterativo para resolv-las e

2) executar o algoritmo em forma de rotina computacional.

Portanto, o desenvolvimento de ferramentas para soluo do fluxo de carga tende a constituir-se num grande desafio, uma vez que algoritmos eficientes, que levem a solues exatas, podem consumir excessivo esforo computacional; j os algoritmos simplificados, que exigem pouco da mquina, podem produzir solues pouco confiveis.

2.1 Mtodos de Gauss e Gauss-Siedel

Os mtodos de Gauss e Gauss-Siedel utilizam a matriz de admitncias nodais como instrumento de iterao. Embora tenha cado em desuso devido maior eficincia do mtodo de Newton-Raphson, os mtodos de Gauss e Gauss-Siedel ainda podem ser utilizados para fins didticos ou para estabelecimento de condies iniciais para outros mtodos.

Introduo ao mtodo de Gauss

Para fixar a idia do mtodo de Gauss, pode-se mostrar um exemplo de sua aplicao. Seja, por exemplo, resolver a equao transcendental:

x2 2x ln (x) = 0 (2.1) Esta equao pode ser escrita na forma:

x = 21

[x2 ln (x)] (2.2)

a qual permite que se proponha um processo iterativo:

x(k+1) = 21

[(x(k))2 ln (x(k))] (2.3)

19

onde os sobrescritos (k+1) e (k) se referem a iteraes consecutivas. A partir da estimativa de x na iterao (k), obtm-se o novo valor de x por meio da equao (2.3). Procede-se assim at que a diferena x(k+1) x(k) seja menor que uma tolerncia pr-estabelecida.

A tabela 2.1 ilustra a aplicao do algoritmo de Gauss na obteno da resposta da equao (2.1). O resultado correto, com preciso superior a 105, 0,48140.

Tabela 2.1 soluo iterativa da equao (2.1) pelo mtodo de Gauss.

Iterao x(k) 21

[(x(k))2 ln (x(k))] 1 2,0 1,6543

2 1,6543 1,11548

3 1,11548 0,56751

21 0,48140 0,48140

A figura 2.1 ilustra o processo de convergncia.

O mtodo de Gauss pode ser estendido para um sistema de n equaes lineares ou no. Assim, seja o sistema de equaes:

0),...,,(...

0),...,,(0),...,,(

21

212

211

=

==

nn

n

n

xxxF

xxxFxxxF

(2.4)

Fig. 2.1 ilustrao do processo de convergncia do mtodo de Gauss.

x

0.5[x2 + ln (x)]

20

As equaes (2.4) podem ser expressas na forma:

x1(k+1) = 1 (x1(k) ,x2(k) ,..., xn(k)) x2(k+1) = 2 (x1(k) ,x2(k) ,..., xn(k)) (2.5) ...

xn(k+1) = n (x1(k) ,x2(k) ,..., xn(k))

As equaes (2.5) podem ser resolvidas pelo processo iterativo at que todos os

xi = )1+(kix )(kix sejam menores que uma determinada tolerncia.

Soluo do fluxo de carga pelo mtodo de Gauss

Sabe-se que para um sistemas de n ns, vale a relao:

EYI ][= (2.6) Escrevendo a equao (2.6) para a linha i, resulta:

niniiiiii EYEYEYEYI +++++= ......2211 (2.7)

Extraindo o valor de iE na equao (2.7), tem-se:

iii Y

E1

=

=

n

ikk

kiki EYI1

(2.8)

Da relao *=+= iiiii IEjQPS , obtm-se:

*i

iii

E

jQPI

= (2.9)

Substituindo a equao (2.9) na equao (2.8), obtm-se:

iii Y

E1

=

=

n

ikk

kik

i

ii EYE

jQP

1*

(2.10)

21

Para que a expresso (2.10) torne-se iterativa, pode-se escrev-la como:

ii

ki

YE 1

)1( =+

=

n

ikk

kkikk

i

ii EYE

jQP

1

)(

)(* (2.11)

A expresso (2.11) a equao geral do mtodo de Gauss aplicado ao problema do fluxo de carga. Algumas modificaes devem ser feitas na expresso para levar em conta os diferentes tipos de barras do sistema.

- Barra de referncia:

Para o n de referncia, o valor de E conhecido, no havendo necessidade de ser escrita uma equao para esta barra.

- Barras PQ:

Nas barras tipo PQ, E desconhecido. As grandezas especificadas so as potncias ativa e reativa gerada. Portanto, valida a seguinte relao:

*i

espi

espi

iE

jQPI

= (2.12)

onde: =espiP PGi PCi =espiQ QGi QCi

Com isso, para barras PQ, a equao (2.11) torna-se:

ii

ki

YE 1

)1( =+

=

n

ikk

kkikk

i

espi

espi EY

E

jQP

1

)(

)(* (2.13)

- Barras PV:

Para as barras do tipo PV, o mdulo da tenso especificado e somente o ngulo de fase desconhecido. Do mesmo modo, apenas a potncia ativa gerada especificada, devendo a potncia reativa gerada ser calculada.

Inicialmente, estima-se a potncia reativa lquida injetada na barra i, dada por:

calciQ = Im [

*ii IE ] (2.14a)

ou ainda calciQ = Im [ ii IE * ] (2.14b)

22

Da substituio da equao (2.7) na equao (2.14b), pode-se escrever:

)1( +kcalciQ = Im

=

n

k

kkik

ki EYE

1

)()(* (2.15)

Substituindo-se o valor de calciQ , obtido na equao (2.15), na equao (2.13), tem-se:

ii

ki

YE 1

)1( =+

=

n

ikk

kkikk

i

kcalci

espi EY

E

jQP

1

)(

)(*

)(

(2.16)

Observe-se que o valor de iE = Vii calculado em cada iterao de (2.16) no satisfar, necessariamente, a restrio iE = espiV para a barra PV. Por isso, a cada iterao, racionaliza-se o valor de iE calculado, de tal forma que se mantenha iE = espiV sem que se altere o valor de i calculado.

Mtodo de Gauss-Siedel

No mtodo de Gauss, em cada iterao, os valores de tenso que aparecem no lado direito das equaes (2.13), (2.15) e (2.16) so valores da iterao anterior. Os valores de tenso s so atualizados ao final de cada iterao, ocorrendo o que se chama de substituio simultnea.

No mtodo de Gauss-Siedel, utiliza-se a substituio sucessiva, ou seja, assim que uma valor de tenso calculado, ele substitui o da iterao anterior.

As equaes (2.13), (2.15) e (2.16), do mtodo de Gauss, quando adaptadas ao mtodo de Gauss-Siedel, tomam a seguinte forma, respectivamente:

ii

ki

YE 1

)1( =+

+=

=

+ n

ik

kkik

i

k

kkikk

i

espi

espi EYEY

E

jQP

1

)(1

1

)1(

)(* (2.17)

)1( +kcalciQ = Im

+

+

=

+ n

i

kkik

ki

i

k

kkik

ki EYEEYE

1

)()(*1

1

)1()(* (2.18)

ii

ki

YE 1

)1( =+

+=

=

+ n

ik

kkik

i

k

kkikk

i

kcalci

espi EYEY

E

jQP

1

)(1

1

)1(

)(*

)(

(2.19)

O algoritmo de Gauss-Siedel, alm de apresentar maior rapidez de convergncia do que o de Gauss, ainda economiza memria e tempo de processamento, pois o vetor dos valores de tenso da iterao anterior no necessrio. Por estas razes, o mtodo de Gauss-Siedel sempre preferido ao mtodo de Gauss.

23

Inicializao dos mtodos de Gauss e Gauss-Siedel

Por se tratar de um mtodo iterativo, deve haver um valor inicial para as tenses de barra, a

fim de que se possa iniciar o processo iterativo. Um valor inicial tpico iE = 10o. Se informaes a respeito de solues anteriores estiverem disponveis, elas podem ser utilizadas como valores iniciais para um novo processo iterativo.

Uma das grandes desvantagens dos mtodos de Gauss e Gauss-Siedel o fato de sua convergncia ser fortemente dependente dos valores iniciais escolhidos.

Critrios de parada dos mtodos de Gauss e Gauss-Siedel

Um critrio para detectar a convergncia do processo iterativo normalmente consiste em constatar que a variao em todos os valores das tenses nodais, da iterao anterior para a atual, esto dentro de uma certa tolerncia, isto :

mx ( )1+(kiE )(kiE ) (2.20) onde a tolerncia.

Critrios de parada como o da inequao (2.20) tm a vantagem de serem de simples programao, mas no do certeza quanto real proximidade de uma soluo. Isto de deve ao fato de que o fluxo de potncia reativa numa linha fortemente dependente da diferena entre as magnitudes das tenses nodais das barras nos extremos da linha. O mesmo raciocnio se aplica potncia ativa, mas relacionado diferena entre os ngulos de fase, e no s magnitudes. Com isso, v-se que mesmo pequenos desvios em V e podem causar erros considerveis no clculo dos fluxos, provocando conseqncias inaceitveis.

Um outro critrio de parada, este muito aplicado em todos os mtodos iterativos para determinao do fluxo de carga, consiste na minimizao dos erros (mismatches) de balano de potncia em cada barra. Como se sabe, para cada barra, vlida a relao:

GiS CiS TiS = 0 (2.21) Por ser o clculo do fluxo de carga iterativo, dificilmente a identidade (2.21) ser alcanada

com erro nulo. Assim, definindo-se o resduo no balano de potncia da barra i, iS , como:

iS = GiS CiS TiS (2.22) pode-se estabelecer como critrio de parada a minimizao de iS .

Matematicamente, tal critrio poderia ser representado pela expresso

mx ( iS ) (2.23)

onde uma tolerncia, que assume valores tpicos da ordem de 104 a 102 pu.

24

Outro modo de expressar o critrio de (2.23) em funo das partes real e imaginria, como:

mx {mx [Re ( iS )] , mx [Im ( iS )]} (2.24)

A grande vantagem do critrio de parada pelo resduo no balano de potncia est na relao existente entre o erro na potncia e a proximidade de uma soluo. Se os erros nos balanos de potncia em cada barra so minimizados, haver tambm menores erros nos clculos dos fluxos de potncia no sistema.

Outros critrios de parada que podem ser utilizados junto com o do resduo no balano de potncia so:

- nmero mximo de iteraes que se deseja realizar: s vezes, o processo divergiu ou demora muito para convergir; neste caso, o processo truncado num nmero mximo de iteraes.

- valor mximo permitido para uma grandeza: se alguma tenso (mdulo e/ou ngulo) atingir valores maiores que alguns limites preestabelecidos, sinal de que o processo poder ter divergido; neste caso, o processo interrompido.

Note-se que estes critrio podem ser utilizados juntos, prevalecendo o que ocorrer primeiro.

Nmero de iteraes, convergncia e esforo de computao dos mtodos

O nmero de iteraes necessrio para a convergncia dos mtodos de Gauss e Gauss-Siedel depende do sistema, de seu carregamento e do critrio de parada adotado.

Valores do nmero de iteraes para sistemas tpicos so da ordem de 80 (Gauss) e 40

(Gauss-Siedel), adotando-se o critrio de parada de mx ( iS ) 0,01 pu. A utilizao de outros critrios de parada, como a comparao entre as tenses para iteraes consecutivas, pode fazer diminuir o nmero de iteraes necessrio, s custas, no entanto, de menor preciso na soluo.

A convergncia dos mtodos lenta e duvidosa devido, principalmente, ao fraco acoplamento entre os ns do sistema quando o mesmo modelado atravs da matriz de admitncias nodais. Em sistemas com muitas barras, a atualizao nos valores de tenses nodais pode levar muitas iteraes para propagar-se ao longo de todo o sistema.

Utilizando a caracterstica de esparsidade da matriz ][Y para seu armazenamento, a memria consumida proporcional a n (n = nmero de barras do sistema).

O tempo de computao proporcional ao nmero iteraes e de operaes realizados por iterao. Como o nmero de operaes proporcional a n , e sendo o nmero de iteraes tambm proporcional a n, tem-se que o nmero total de operaes e, portanto, o tempo gasto em computao, proporcional a n2.

25

Fatores de acelerao da convergncia

Os mtodos de Gauss e Gauss-Siedel costumam apresentar convergncia lenta e, portanto, h vantagem em se utilizar fatores de acelerao no processo de convergncia.

Sabe-se que, a cada iterao, as tenses so atualizadas para novos valores. Assumindo que )1( + kiE seja a correo aplicada tenso em cada iterao, tem-se:

)1( + kiE = )1+(kiE )(kiE (2.25) de forma que se pode escrever o processo iterativo de atualizao do valor da tenso como

)1+(kiE =

)(kiE +

)1( + kiE (2.26) Se for desejado acelerar (ou desacelerar) o passo de atualizao, pode-se empregar um fator

de acelerao . )1+(k

iE = )(k

iE + )1( + kiE (2.27) Normalmente, o fator determinado empiricamente, estando tipicamente no intervalo

0,7 1,5. (2.28)

Mtodos de Gauss e Gauss-Siedel utilizando a matriz ][Z

As principais vantagens dos mtodos de Gauss e Gauss-Siedel so a sua facilidade de implementao e seu baixo gasto em memria de computador. Suas principais desvantagens so a falta de confiabilidade para convergncia e gastos elevados em tempo de computao.

Os mtodos de Gauss e Gauss-Siedel podem tambm ser implementados utilizando a matriz

][Z de impedncias nodais, no lugar de ][Y . A formulao matemtica em termos de ][Z muito

semelhante que foi mostrada para a matriz ][Y . Os aspectos computacionais, no entanto, so bem diferentes.

O mtodo da matriz ][Z , tambm chamado mtodo direto, apresenta alta confiabilidade na

convergncia devido ao alto acoplamento matemtico entre os ns do sistema (ao contrrio de ][Y ,

a matriz ][Z no esparsa).

Esta confiabilidade conseguida, todavia, s custas de muito mais esforo computacional.

Como a matriz ][Z no esparsa, h alto gasto de memria para sua obteno ( n3) e seu armazenamento ( n2/2). O nmero de iteraes continua sendo proporcional a n2, pois, embora ainda haja um grande nmero de operaes por iterao, o nmero de iteraes cai para algo da ordem de 8 a 20.

26

2.2 Mtodo de Newton-Raphson

O mtodo de Newton-Raphson um mtodo geral para a determinao de razes reais de equaes no-lineares. Na essncia, o mtodo trabalha utilizando srie de Taylor para, a partir de uma aproximao inicial, iniciar e levar a cabo um processo iterativo robusto e de fortes caractersticas de convergncia.

Introduo ao mtodo de Newton-Raphson

Para entender o mtodo, suponha-se a equao generalizada:

f (x) = 0 (2.29)

Considere-se agora sua expanso em srie de Taylor em torno de um valor conhecido x(k)

f (x) = f (x(k)) + )(=!1

1kxxdx

df(x x(k)) +

)(=2

2

!21

kxxdxfd

(x x(k))2 + (2.30)

onde o sobrescrito (k) representa o valor de x na k-sima iterao.

Desprezando os termos de maior ordem, pode-se aproximar f (x) como

f (x) f (x(k)) + )(= kxxdx

df(x x(k)) (2.31)

Mas f (x) = 0. Portanto:

x x (k) )(=

)( )(

kxx

k

dxdf

xf (2.32)

Observe-se que o valor x no raiz de f (x) = 0 devido ao erro introduzido ao serem desprezados os termos de ordem maior; no entanto, x geralmente representa uma estimativa mais prxima do valor da raiz do que representava x(k). Assim, pode-se definir

x(k) = )(=

)( )(

kxx

k

dxdf

xf (2.32)

e utilizar x para obter uma estimativa melhor da raiz por meio da relao x(k+1) = x(k) + x(k) (2.33)

27

A fim de comparar este mtodo com o de Gauss, pode-se aplic-lo ao mesmo problema. Assim, tem-se:

f (x) = x2 2x ln (x) = 0 (2.34)

dxdf

= 2x 2 x1

= 0 (2.35)

A tabela 2.2 ilustra a aplicao do algoritmo de Newton-Raphson na obteno da resposta da equao (2.34).

Tabela 2.2 soluo iterativa da equao (2.34) pelo mtodo de Newton-Raphson.

Iterao x(k) x(k+1) = x (k)

)(=

)( )(

kxx

k

dxdf

xf

x' (k) x' (k+1) = x' (k)

)('=

)( )'(

kxx

k

dxdf

xf

1 0,80000 0,35342 2,00000 2,46210

2 0,35342 0,46455 2,46210 2,36809

3 0,46455 0,48111 2,36809 2,36395

4 0,48111 0,48140 2,36395 2,36394

5 0,48140 0,48140 2,36394 2,36394

A figura 2.3 ilustra o processo de convergncia do mtodo para dois valores iniciais diferentes, x(0) e x' (0).

Como se v na figura 2.3, o mtodo de Newton-Raphson um mtodo poderoso e que converge rapidamente para a maioria das funes. Pode-se dizer que esta convergncia rpida

Fig. 2.3 ilustrao do processo de convergncia do mtodo de Newton-Raphson.

f (x) = x2 2x ln (x)

28

ocorre porque, para o clculo do incremento dado a cada iterao, utiliza-se a informao da taxa de variao da funo, ou seja, estima-se com maior certeza "a direo em que a funo est indo, o que facilita a tarefa de segui-la".

H, entretanto, dificuldade de convergncia para algumas funes. Se f (x) possuir mltiplas razes, no h um mtodo simples e seguro para predizer que raiz ser obtida. Mesmo com um valor inicial prximo de uma raiz, o mtodo pode convergir para uma outra raiz mais remota.

Se x(k) estiver prximo de um ponto de mximo ou de mnimo (derivada quase nula), x pode ficar muito grande, deslocando x(k+1) para longe da soluo e aumentando o nmero de iteraes para que se volte regio da soluo. A figura 2.4 ilustra a sensibilidade do mtodo escolha do valor inicial.

O mtodo de Newton-Raphson pode ser estendido para um sistema de n equaes. Assim, seja o sistema de equaes:

=

==

0),...,,(...

0),...,,(0),...,,(

21

212

211

nn

n

n

xxxF

xxxFxxxF

(2.36)

As funes F1, F2, ..., Fn das variveis x1, x2, ..., xn podem ser expandidas individualmente em srie de Taylor em torno de um ponto x(k) = (x1(k), x2(k), ..., xn(k)), resultando em um sistema de n sries de Taylor. Cada expanso em srie de Taylor representa a expanso de uma das funes Fi(x) em torno de x(k).

Mais uma vez, assim como se fez no caso unidimensional, desprezando os termos de ordem maior, surge um sistema de n sries de Taylor truncadas no termo de primeira ordem.

Fig. 2.4 ilustrao da dependncia do valor inicial no mtodo de Newton-Raphson.

x' (0) = m estimativa inicial

x (0) = boa estimativa inicial

f (x)

29

O sistema resultante pode ser expresso em forma matricial, na forma:

D = [J] x (2.37) onde:

D =

)(

)(

)(

)(

)(2

)(1

kn

k

k

xF

xF

xF

M

[J] =

===

===

===

)()(22

)(11

)()(22

)(11

)()(22

)(11

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

knn

kk

knn

kk

knn

kk

xxn

n

xx

n

xx

n

xxnxxxx

xxnxxxx

xF

xF

xF

xF

xF

xF

xF

xF

xF

KMOMM

K

K

=

x =

nx

xx

M 2

1

; xi = xi xi(k)

O processo iterativo se inicia a partir de uma soluo estimada x(k) = (x1(k), x2(k), ..., xn(k)), que permite o clculo da matriz [J] e do vetor D. A seguir, calcula-se o vetor x atravs de:

x = [J]1 D (2.38) Corrige-se a soluo estimada com os valores de x, utilizando

x(k+1) = x(k) + x(k) (2.39) A seguir, calcula-se o novo vetor D, a nova matriz [J] e recalcula-se o vetor x. Prossegue-se

iterando at que o vetor D apresente todas as suas coordenadas inferiores a uma tolerncia preestabelecida. Assim, o mtodo iterativo de Newton-Raphson fica descrito na equao abaixo:

x(k+1) = x(k) [J(k)]1 D(k) (2.40)

matriz jacobiana ou matriz de derivadas parciais

30

Soluo do fluxo de carga pelo mtodo de Newton-Raphson

Para a soluo do fluxo de carga de mtodo de Newton-Raphson, sero utilizadas as equaes (1.17), repetidas aqui por convenincia.

PGi PCi Vi =

+n

kikikikikk BGV

1)sencos( = 0 (2.41a)

QGi QCi Vi =

n

kikikikikk BGV

1)cossen( = 0 (2.41b)

Definindo os resduos (mismatches) de potncia lquida em cada barra como

iP = GiP CiP TiP (2.42a)

iQ = GiQ CiQ TiQ (2.42b)

v-se que, dado que so conhecidos os de valores de Pi = GiP CiP = espiP e Qi = GiQ CiQ = espiQ para as barras PQ, e Pi =

espiP e Vi =

espiV para as barras PV, o objetivo encontrar valores de Vi

para as barras PQ e i para todas as barras, de modo que os Pi e Qi sejam nulos (ou o mais prximo possvel de zero).

O problema consiste ento em resolver as equaes

espiP Vi

=+

n

kikikikikk BGV

1)sencos( = 0 (2.43a)

para as barras PQ e PV, e as equaes

espiQ Vi

=

n

kikikikikk BGV

1)cossen( = 0 (2.43b)

para as barras PQ. Observe-se que h, ento, 2nPQ + nPV equaes a serem resolvidas. Para tanto, utilizar-se- o mtodo de Newton-Raphson.

Para melhor entendimento da aplicao do mtodo ao problema especfico, pode-se rescrever as equaes (2.43) como

0),( == kkiespii VPPP (2.44a) (para cada barra PQ ou PV)

0),( == kkiespii VQQQ (2.44b) (para cada barra PQ)

onde os subscritos k indicam que as funes Pi e Qi dependem das tenses em todas as barras do sistema, no s da barra i.

31

Pode-se escrever Pi e Qi em forma vetorial, como 0),( == kkesp VPPP (2.45a)

(vetor de dimenso (nPQ + nPV) x 1)

0),( == kkesp VQQQ (2.45b) (vetor de dimenso nPQ x 1)

Pode-se definir, em analogia ao vetor D composto pelos Fi (x), definido na introduo ao mtodo, um outro vetor D dos resduos de potncia

=QP

D (2.46)

Definindo-se o vetor x das incgnitas como

=

= +V

x

PQ

PQPV

n

nn

V

VV

M

M

3

2

3

2

(2.47)

(na suposio de que a barra 1 a barra de referncia), pode-se empregar o mtodo iterativo de Newton-Raphson, resultando em

)()()1( kkk

+

=

+V

V

V

(2.48)

onde:

)(1)(

)(

]'[k

kk

=

QP

JV

(2.49)

e, portanto, tem-se:

)(1)(

)()1(

]'[k

kkk

=

+QP

JV

V

(2.50)

A equao (2.50) representa o mtodo de Newton-Raphson aplicado ao problema do fluxo de carga.

32

A matriz [J(k)] a matriz jacobiana das equaes (2.44), calculada em cada iterao. Explicitamente, tem-se:

=VQ

Q

VP

P

J' (2.51)

Para facilitar a notao, usual utilizar

=VQ

Q

VP

P

J' (2.52)

Uma das caractersticas principais do mtodo de Newton-Raphson e que se constitui numa grande desvantagem o fato de que [J] tem que atualizada e invertida a cada interao. Em sistemas com muitas barras, em que a ordem de [J] grande, efetuar todas estas operaes pode ser computacionalmente impraticvel.

Por isso, a fim de tornar menos onerosa a tarefa de construir [J], usual utilizar uma notao alternativa, em que se substitui V por V/V. Com isso, tem-se

)(1)(

)(

][k

k

k

=

QP

JV

V

(2.53)

onde [J] a matriz jacobiana modificada.

=

=][][][][

43

21

JJJJ

VQV

Q

VPV

P

J (2.54)

O motivo pelo qual se torna menos trabalhoso obter [J] com a notao alternativa ficar evidente agora. Observe-se pela equao (2.50) que a matriz jacobiana composta de quatro sub-matrizes, a saber:

(1) Submatriz

=PJ ][ 1

)cossen(][),(1 ikikikikkik

TiTiCiGi

kk

i BGVVP

PPPP

kiJ ==

== (2.55)

=

+==

==

n

ikk

ikikikikkii

TiTiCiGi

ii

i BGVVP

PPPP

iiJ1

1 )cossen(][),( (2.56a)

33

ii

n

kiikikikikki BVBGVViiJ

=+=

1

21 )cossen(),( (2.56b)

iiiTi BVQiiJ2

1 ),( += (2.56c)

(2) Submatriz

=VPVJ ][ 2

)sencos(][),(2 ikikikikkik

TikTiCiGi

kk

k

ik BGVVV

PVPPP

VV

VP

VkiJ ==

== (2.57)

i

TiiTiCiGi

ii

i

ii V

PVPPP

VV

VP

ViiJ =

== ][),(2 (2.58a)

iii

n

kikikikikki GVBGVViiJ

2

12 )sencos(),( +=

= (2.58b)

iiiTi GVPiiJ2

2 ),( = (2.58c)

(3) Submatriz

=QJ ][ 3

)sencos(][),(3 ikikikikkik

TiTiCiGi

kk

i BGVVQ

QQQQ

kiJ +==

== (2.59)

=

+==

==

n

ikk

ikikikikkii

TiTiCiGi

ii

i BGVVQ

QQQQ

iiJ1

3 )sencos(][),( (2.60a)

=

++=n

kiiiikikikikki GVBGVViiJ

1

23 )sencos(),( (2.60b)

iiiTi GVPiiJ2

3 ),( += (2.60c)

(4) Submatriz

=VQVJ ][ 2

)cossen(][),(4 ikikikikkik

TikTiCiGi

kk

k

ik BGVVV

QVQQQ

VV

VQ

VkiJ ==

== (2.61)

i

TiiTiCiGi

ii

i

ii V

QVQQQ

VV

VQ

ViiJ =

== ][),(4 (2.62a)

34

iii

n

kikikikikki BVBGVViiJ

2

14 )cossen(),( +=

= (2.62b)

iiiTi BVQiiJ2

4 ),( += (2.62c)

Observao: os ndices i e k dos elementos da matriz jacobiana representam as barras do sistema, e no posio dos elementos da matriz.

Concludo o clculo dos elementos da matriz jacobiana, pode-se perceber a obteno de uma simplificao muito importante:

J1 (i, k) = J4 (i, k) (2.63a)

J2 (i, k) = J3 (i, k) (2.63b) Esta simplificao decorre da notao alternativa e permite boa economia no tempo de

processamento e gasto de memria do computador.

Aps resolvido o problema iterativo de determinar Vi e i para todas as barras, passa-se ao clculo de Pi para a barra de referncia e de Qi para as barras PV e de referncia, completando o balano de potncia.

=

+==n

kikikikikkiCiGii BGVVPPP

1)sencos( (2.64a)

(para a barra de referncia)

=

==n

kikikikikkiCiGii BGVVQQQ

1)cossen( (2.64b)

(para as barras PV e de referncia)

Esta ltima parte da soluo consiste em resolver nPV + 2 equaes nas quais todas as incgnitas aparecem de forma explcita, o que torna trivial o processo de resoluo.

Inicializao do mtodo de Newton-Raphson

O mtodo de Gauss-Siedel, conforme se viu na seo anterior, costuma exibir convergncia linear e lenta. Entretanto, em pontos distantes da soluo, esta tcnica pode ser superior ao mtodo de Newton-Raphson. Assim, comum, em alguns programas de fluxo de carga, que as primeiras duas ou trs iteraes utilizem o mtodo de Gauss-Siedel para encontrar valores de mdulos das tenses e ngulos de fase que sero utilizados como valores iniciais do algoritmo de Newton-Raphson. Esta estratgia pode encurtar o nmero de iteraes do mtodo de Newton-Raphson em uma ou duas iteraes.

35

Entretanto, tambm pode ocorrer de o mtodo de Gauss-Siedel prejudicar a busca da soluo, pois comum que em suas primeiras iteraes os valores de tenso se afastem da soluo.

Verificou-se que, na maioria dos casos prticos, o valor inicial iE = 10o permite rpida convergncia.

Critrios de parada do mtodo de Newton-Raphson

Os mesmos critrios de parada citados na descrio do mtodo de Gauss-Siedel podem ser utilizados para o mtodo de Newton-Raphson.

Em geral, o critrio utilizado o de

mx ( iS ) (2.65)

onde uma tolerncia, que assume valores tpicos da ordem de 104 a 102 pu.

Nmero de iteraes, convergncia e esforo de computao do mtodo

O mtodo de Newton-Raphson tem excelentes caractersticas de convergncia desde que adotada uma razovel estimativa inicial das variveis. Apresenta convergncia quadrtica perto da soluo, isto , quanto mais se aproxima da soluo, mais rpido converge para ela. Longe da soluo, no entanto, pode no haver convergncia.

O nmero de iteraes necessrio para a convergncia do mtodo insensvel a alguns fatores que podem causar problemas em outros mtodos (como o de Gauss-Siedel), tais como a escolha do n de referncia, presena de capacitores srie, elementos shunt, etc.

Valores do nmero de iteraes para sistemas tpicos so da ordem de 3 a 5, adotando-se o

critrio de parada de mx ( iS ) 0,01 pu. Uma iterao de Newton-Raphson leva um tempo de aproximadamente 7 iteraes de Gauss-Siedel. Portanto, a partir de 35 iteraes de Gauss-Siedel, o mtodo de Newton-Raphson tende a ser mais vantajoso em tempo de computao.

Uma desvantagem do mtodo de Newton-Raphson como foi apresentado a necessidade de, em cada iterao, construir e inverter a matriz jacobiana. Na prtica, a inverso evitada atravs de tcnicas de fatorao matricial. Alm disso, tcnicas de ordenao tima das equaes e armazenamento compacto da matriz jacobiana triangularizada permitem grande economia computacional, tanto em gasto de memria quanto na diminuio da quantidade de operaes aritmticas necessrias, uma vez que se evita que o computador faa operaes com elementos nulos.

Tcnicas desacopladas e estratgias como manter o jacobiano constante ou s atualiz-lo de duas em duas iteraes tambm podem ser teis na economia de tempo e processamento. Ainda assim, a formao do jacobiano e a implementao das tcnicas citadas devem ser feitas, consumindo memria, tempo e exigindo sofisticada programao. Mesmo utilizando a caracterstica

36

de esparsidade da matriz [J], os gastos em memria so proporcionais a n (n = nmero de barras do sistema), sendo geralmente bem maiores que os de Gauss-Siedel.

Fatores de acelerao da convergncia

A utilizao de fatores de acelerao no mtodo de Newton-Raphson tende a produzir melhores resultados do que no mtodo de Gauss-Siedel.

A razo mais comum para o uso de tais fatores tornar convergente um processo eminentemente divergente. A tcnica utilizada geralmente

)(1)(

)()1(

][k

kkk

=

+QP

JV

V

(2.66)

onde 0,7 1,4. A utilizao de < 1 desacelera a convergncia e costuma ser feita em estudos com grandes cargas ativas e/ou reativas.

Consideraes sobre as tcnicas de programao

Computadores digitais apresentam limitaes de memria impostas pelo hardware existente. Em algumas aplicaes, computadores com pouca memria podem no servir na soluo de um fluxo de carga. Nestas ocasies, comum a utilizao de tcnicas de programao em que se faz um compromisso entre os gastos com memria e o tempo de processamento. H ainda tcnicas que permitem economias de tempo e memria simultaneamente.

Muitas destas tcnicas de programao so especficas para determinadas linguagens de programao ou mesmo para determinados tipos de computadores e sistemas operacionais. Entretanto, h algumas tcnicas gerais, bastante conhecidas e empregadas para armazenamento compacto de informao e resoluo de grandes sistemas de equaes lineares. Aqui sero vistas duas destas tcnicas: a programao esparsa e a fatorao triangular de matrizes.

Programao esparsa uma tcnica de programao digital com a qual matrizes esparsas so armazenadas de forma compacta. Isto muito importante especialmente em estudos de sistemas de

potncia, onde as matrizes ][Y e, consequentemente, [J], costumam apresentar esparsidades maiores que 99%.

A idia bsica da programao esparsa consiste em armazenar somente os elementos no nulos da matriz. H diversas tcnicas para este tipo de programao, e o desempenho de cada uma depende de fatores como simetria da matriz, percentagem de esparsidade, ocorrncia de blocos de elementos nulos, etc.

Uma tcnica muito usual em programao esparsa consiste em tabelar os elementos no nulos, conferindo-lhes ndices que permitam saber sua localizao na matriz. Por exemplo, a matriz

37

=

0000030000130100

A seria armazenada como

A coluna VAL contm os elementos no nulos da matriz e as colunas IL e IC contm as coordenadas (linha e coluna, respectivamente) correspondentes a cada elemento em VAL. Observe-se que uma matriz quadrada de dimenso n com nc elementos no nulos necessitaria de somente 3nc clulas para o armazenamento completo da matriz.

No caso de as matrizes armazenadas serem simtricas, o espao de memria necessrio ainda menor, j que basta armazenar os elementos da diagonal principal e os elementos do tringulo superior da matriz.

Outra tcnica muito utilizada para lidar com matrizes em computador a fatorao triangular da matriz, a qual permite resolver sistemas lineares sem a necessidade de inverso de matrizes. Para entendimento desta tcnica, suponha-se o sistema linear n x n representado em sua forma geral:

A x = B (2.67)

O mtodo clssico para soluo de (2.67)

x = A1 B (2.68)

Este problema anlogo ao freqentemente encontrado para sistemas de potncia

EY ][= (2.69) ou mesmo atualizao do mtodo de Newton-Raphson

D = [J] x (2.70) Observe-se que para n 10.000, realidade comum para muitos sistemas de energia

interligados, o nmero de operaes aritmticas necessrias para a obteno da inversa A1 excessiva mesmo para um computador.

Suponha-se ento que a matriz A seja fatorada em duas matrizes:

A = LU (2.71)

onde L a matriz triangular inferior e U a matriz triangular superior. Ento:

LU x = B (2.72)

Criando uma nova varivel w = U x, tem-se:

L w = B (2.73)

A equao (2.73) pode ser resolvida de forma trivial, j que L tem uma forma especial:

VAL IL IC 1 1 3 3 2 1 1 2 2 3 3 3

38

Llll

llKl

333231

2221

11

000

w = B (2.74)

Assim, de imediato:

11

11 l

Bw = (2.75)

Para a linha 2, tem-se:

2222121 Bww =+ ll (2.76)

Logo: 22

12122 l

l wBw

= (2.77)

Como w1 conhecido de (2.75), w2 pode ser calculado. Este processo continua at que todos os wi tenham sido determinados. A frmula recursiva geral para o clculo de w :

rr

r

qqrqr

r

wBw l

l=

=

1

1 (2.78)

De posse do vetor w, pode-se encontrar o vetor soluo do problema x. De (2.73), tem-se:

xw

=

L

K

33

2322

131211

000

uuuuuu

(2.79)

A ltima linha de (2.79) pode ser resolvida de imediato:

nn

nn u

wx = (2.80)

Este valor de xn , ento, substitudo na penltima linha de (2.78) para encontrar:

11

111

=

nn

nnnnn u

xuwx (2.81)

Este processo de substituio de trs para frente repetido at que todos os xi sejam encontrados. A frmula recursiva geral para calcular x :

rr

n

rqqrqr

r u

wuwx

+=

= 1 (2.82)

39

Como se v, atravs da fatorao triangular da matriz A e substituio de trs para frente com os elementos das matrizes resultantes L e U, a soluo de A x = B encontrada sem necessidade de calcular a inversa de A.

O processo de fatorao de A em L e U pode ser feito da vrias maneiras. Uma das mais simples a partir da suposio de que L tem a diagonal principal unitria, ou seja:

=

Lll

lL

101001

3231

21L (2.83)

A matriz U continua como foi apresentada:

=

L

K

33

2322

131211

000

uuuuuu

U (2.84)

Como se sabe, segundo a equao (2.71), A = LU. Portanto:

=

L

K

Lll

lL

33

2322

131211

3231

21

000

101001

uuuuuu

(2.85)

Observando-se a equao (2.85), tem-se logo de imediato:

u11 = A11 ; u12 = A12 ; ; u1n = A1n (2.86) Para a segunda linha de A, tem-se que:

Mlll

23231321

22221221

211121

AuuAuu

Au

=+=+

=

e assim por diante. Destas equaes extrai-se:

Mll

l

13212323

12212222

11

2121

uAuuAu

uA

==

=

40

A generalizao para a expanso da linha r de A :

1 , 2, 1,;

1

1 =

== rc

u

uA

cc

c

qqcrqrc

rc Kl

l (2.87a)

nrrcuAur

qqcrqrcrc , ,1 ,;

1

1Kl +==

= (2.87b)

As matrizes triangulares inferior e superior no mantm o mesmo grau de esparsidade que a

matriz original [ Y ]. A diferena que, em L, aparecem alguns novos elementos em posies que estavam originalmente vagas. Considerando que o nmero de operaes e as necessidades de armazenamento dependem basicamente do nmero d elementos no-nulos das matriz L e U, desejvel que o aparecimento de novos elementos seja minimizado. Isto pode ser conseguido por meio do que se chama ordenao tima.

A ordenao tima consiste em renumerar os ns da rede, visando uma ordem mais favorvel para as substituies. A fatorao triangular da matriz jacobiana j representa por si s um processo de ordenao dos ns, mas no se constitui em ordenao tima, pois apenas ordena segundo a numerao j existente.

A idia bsica dos mtodos mais usuais de renumerao consiste em se eliminar primeiro os ns que tenham o menor nmero de ligaes. Algoritmos mais avanados podem ser utilizados na ordenao, como a reduo dos circuitos por meio da eliminao de Gauss para posterior eliminao pelo critrio do menor nmero de ligaes.

2.3 Resumo

Neste captulo foram estudados os principais mtodos de soluo do fluxo de carga. Viu-se que, por se tratar de um problema fortemente no-linear e com muitas variveis, necessrio o emprego de tcnicas numricas iterativas para resoluo.

A primeira tcnica vista foi a de Gauss, que consiste em manipular algebricamente as funes matemticas que descrevem o problema, fazendo surgir equaes recursivas que podem ser resolvidas iterativamente a partir de uma estimativa inicial. O mtodo de Gauss-Siedel uma variao do mtodo de Gauss que permite melhor convergncia, pois utiliza valores atualizados das variveis j calculadas para atualizao das demais. A equao bsica do mtodo de Gauss-Siedel para o fluxo de carga :

ii

ki

YE 1

)1( =+

+=

=

+ n

ik

kkik

i

k

kkikk

i

espi

espi EYEY

E

jQP

1

)(1

1

)1(

)(*

41

O mtodo de Gauss-Siedel de simples implementao e consome recursos modestos da mquina. Entretanto, possui fraca caracterstica de convergncia, principalmente para sistemas muito grandes e complexos.

O mtodo de Newton-Raphson consiste em expandir as funes matemticas que descrevem o problema em srie de Taylor, em torno de uma estimativa inicial, e truncar a srie no termo de primeira ordem, utilizando a informao da derivada da funo no processo iterativo. A expresso bsica do mtodo de Newton-Raphson aplicado ao fluxo de carga :

)(1)(

)()1(

][k

kkk

=

+QP

JV

V

O mtodo apresenta convergncia quadrtica prximo da soluo e bastante robusto, sendo praticamente insensvel, em matria de convergncia, dimenso e complexidade do sistema. Entretanto, exige muitos recursos computacionais, tanto em gastos com memria, como em tempo de computao e sofisticao das tcnicas de programao necessrias para sua implementao. Alm disso, sua convergncia muito sensvel estimativa inicial, podendo at divergir se a

escolha do ponto de partida for mal feita (em geral, uma boa escolha iE = 1 + j 0 pu).

Para ambos os mtodos, podem ser utilizados fatores de acelerao da convergncia. Critrios de pada usualmente utilizados para os processos iterativos so:

mx {mx [Re ( iS )] , mx [Im ( iS )]}

Diversas simplifcaes podem ser feitas na formulao do problema, com o objetivo de reduzir o esforo computacional. Tais simplificaes so feitas com base em caractersticas fsicas dos sistemas reais e, quando incorporaradas aos mtodos iterativos, apresentam grande potencial de eficincia no encontro de uma soluo. Estes mtodos otimizados e outras variaes do fluxo de carga sero vistos no captulo seguinte.

42

Captulo 3

Otimizaes e Variaes do Fluxo de Carga

3.1 Mtodos desacoplados

O estudo do fluxo de carga se constitui numa aplicao onipresente de mtodos numricos. Os mtodos mais eficientes e seguros, contudo, tendem a demandar grande gasto e tempo de computao. Assim, importante buscar estratgias que permitam simplificar os mtodos, diminuindo o esforo computacional, sem, no entanto, deixar que se percam as qualidades principais dos mesmos.

Um fato a ser considerado aqui que os mtodos numricos conduzem a melhores resultados quando incorporam em si as propriedades fsicas dos sistemas aos quais so aplicados.

Os mtodos desacoplados, como o prprio nome sugere, baseiam-se no desacoplamento P-QV , ou seja, so obtidos considerando-se o fato de as sensibilidades P/ e Q/V serem mais intensas que as sensibilidades P/V e Q/. Este tipo de relao verificado para redes de transmisso em extra-alta tenso (EAT; V > 230 kV) e ultra-alta tenso (UAT; V > 750 kV).

Em termos matemticos, os mtodos desacoplados igualam a zero as submatrizes [J2] e [J3] do jacobiano. Desta forma, o problema passa a ser

V

V

JJ

QP

][00][

4

1 (3.1)

e, portanto, o problema se resume em dois conjuntos de equaes independentes

PJ 11 ][= (3.2)

QJVV 1

4 ][= (3.3)

Note-se que as equaes ainda esto acopladas, j que [J1] depende de Vi e [J4] depende de i. Entretanto, um desacoplamento matemtico conseguido no algoritmo de resoluo, em que se divide o problema em dois sub-problemas, resolvidos alternadamente. No sub-problema P so usados os valores atualizados de V; no sub-problema QV so utilizados os valores atualizados de .

Em sistemas com predominncia de barras PQ, o tempo de processamento para soluo do fluxo de carga reduz-se para um quarto do tempo que seria requerido para a matriz jacobiana completa.

43

Apesar do erro introduzido pela simplificao da matriz, a robustez do mtodo de newton-Raphson garante a chegada uma soluo utilizando no mais que uma ou duas iteraes adicionais. Isto acontece porque a introduo de aproximaes na matriz jacobiana altera o processo de convergncia, isto , muda o caminho percorrido entre o ponto inicial e a soluo, mas no altera o resultado, pois o problema resolvido permanece o mesmo.

Para ilustrar este ponto, observe-se a figura 2.5, que mostra um exemplo de mtodo desacoplado que mantm as derivadas constantes.

(a) (b)

Fig. 2.5 ilustrao da diferena na convergncia para:

(a) mtodo de Newton-Raphson convencional; (b) mtodo de Newton-Raphson com jacobiano constante.

Note-se que no caso de 2.5(b), em que as derivadas so mantidas constantes, a convergncia um pouco mais lenta (exige maior nmero de iteraes), mas conduz ao mesmo resultado.

Assim, de modo geral, pode-se dizer que os mtodos desacoplados aproximam o clculo das derivadas mas mantm a integridade do modelo da rede e, por isso, no a afetam a soluo final do fluxo de carga.

Mtodo de Newton desacoplado

O algoritmo bsico do mtodo de Newton-Raphson, desenvolvido na seo precedente, pode ser colocado na forma:

)()(

2)()(

1)( ][][

kkkkk

=

VVJJP (3.4a)

)()(

4)()(

3)( ][][

kkkkk

=

VVJJQ (3.4b)

)()()1( kkk +=+ (3.4c) )()()1( kkk VVV +=+ (3.4d)

f (x)

f (x)

44

Devido ao desacoplamento P-QV , os termos VJ ][ 2 e J ][ 3 so numericamente muito pequenos em relao a J ][ 1 e VJ ][ 4 , respectivamente. Pode-se, ento, por aproximao, desprezar os termos menores, trabalhando apenas com [J1] e [J4].

Esta aproximao transforma o problema, que passa agora a ser:

)()(1

)( ][ kkk JP = (3.5a) )(

)(4

)( ][k

kk

=VVJQ (3.5b)

)()()1( kkk +=+ (3.5c) )()()1( kkk VVV +=+ (3.5d)

A recorrncia dada pelas equaes (3.5) ainda est na forma simultnea, isto , e V so atualizados ao mesmo tempo. A Segunda etapa da obteno do mtodo desacoplado consiste em se aplicar o eaquema de resoluo alternado, resultando em:

)()(1

)( ][ kkk JP = (3.6a) )()()1( kkk +=+ (3.6b)

)()(

4)( ][

kkk

=

VVJQ (3.6c)

)()()1( kkk VVV +=+ (3.6d) Note-se que, colocando-se o algoritmo na forma alternada dada pelas equaes (3.6), as

aproximaes introduzidas na matriz jacobiana so parcialmente compensadas pelo fato de as variavis e V serem atualizadas a cada meia iterao.

Existem situaes em que o sub-problema P, por exemplo, pode convergir antes do sub-problema QV. Nestes casos, podem-se obter algumas vantagens computacionais iterando-se apenas o sub-problema ainda no resolvido.

O mtodo de Newton desacoplado foi proposto por Stott, em 1972.

Relaes entre os mtodos desacoplados e as propriedades da matriz susceptncia de barra: o mtodo desacoplado rpido

O mtodo desacoplado rpido tem o mesmo algoritmo bsico que o mtodo de Newton desacoplado. A diferena fundamental entre estes dois mtodos desacoplados que no desacoplado rpido, so feitas ainda mais simplificaes, baseadas nas propriedades fsicas dos sistemas de potncia, propriedades estas bem caracterizadas pelos elementos da matriz susceptncia de barra.

45

Tomando-se as equaes (3.5a) e (3.5b), do mtodo de Newton desacoplado, mas escrevendo-as de forma ligeiramente diferente, tem-se:

PP

= (3.7a)

VVQQ

= (3.7b)

Da equao (2.56c), tem-se que:

iiiTii

i BVQP 2+=

(3.8)

Para sistemas reais, observa-se que

Vi 1 (pu) (3.9a) Bii >> QTi (3.9b)

Portanto:

iii

i BP

(3.10)

Tomando-se agora a equao (2.55), tem-se que:

)cossen( ikikikikkik

i BGVVP =

(3.11)

Fazendo-se as mesmas aproximaes das equaes (3.9) e ainda supondo que:

ik 0 (3.12a) Bik >> Gik (3.12b)

pode-se aproximar a expresso (3.11) para:

ikk

i BP =

(3.13)

As aproximaes das equaes (3.10) e (3.13) podem ser combinadas para produzir:

][BP =

(3.14)

onde: [B] = Im [ Y ] = matriz susceptncia de barra.

Para ter idia da simplificao que esta suposies prticas introduzem, note-se que, agora, os P/ no mais funes no-lineares de e V, mas sim constantes! Alm disso, no mais necessrio inverter o jacobiano a cada iterao, bastando inverter [B] uma nica vez.

46

Considerando a equao (3.7b), pode-se fazer as mesmas aproximaes. Tomando-se a equao (2.62c), tem-se que:

iiiTii

ii BVQV

QV 2+=

(3.15)

Aplicando as aproximaes de (3.9), resulta:

iii

i BVQ =

(3.16)

Tomando-se agora a equao (2.61), tem-se que:

)cossen( ikikikikkik

ik BGVVV

QV =

(3.17)

Fazendo-se as mesmas aproximaes das equaes (3.9) e (3.12), resulta:

ikk

i BVQ =

(3.18)

As aproximaes das equaes (3.16) e (3.18) podem ser combinadas para produzir:

][BVQ =

(3.19)

Assim, aps as aproximaes, as equaes (3.7) podem ser escritas como:

[ ]BP = (3.20a) [ ]VBQ = (3.20b)

Observe-se que as equaes (3.20) mostram vetores e V de mesma dimenso, o que s verdade no caso em que no haja barras PV no sistema. Para o caso geral, tem-se a notao:

[ ]BP '= (3.21a) [ ]VBQ ''= (3.21b)

onde: [B] = vetor [B] sem as linhas e colunas referentes barra de balano.

[B] = vetor [B] sem as linhas e colunas referentes s barras PV e de balano.

Para simplificar ainda mais o mtodo e completar o desacoplamento, so feitas ainda as seguintes manipulaes:

- omite-se de [B] a representao de elementos que afetam predominantemente os fluxos reativos, tais como reatncias shunt e taps em fase de transformadores controladores;

- omite-se de [B] a representao de componentes que afetem predominantemente os fluxos ativos, tais como taps em quadratura de transformadores defasadores.

47

Com isto, chega-se ao mtodo desacoplado rpido em sua forma final:

[ ]BP '= (3.22a) )()()1( kkk +=+ (3.22b)

[ ]VBQ ''= (3.22c) )()()1( kkk VVV +=+ (3.22d)

em que foi utilizada mais uma vez a estratgia de soluo alternada de e V. Outra simplificao usualmente utilizada, com a qual se consegue acelerar ainda mais a

convergncia do mtodo, consiste em:

- substituir cada Pi por Pi /Vi no vetor P ; - substituir cada Qi por Qi /Vi no vetor Q.

O mtodo desacoplado rpido foi originalmente proposto por Alsac e Stott, em 1974.

Critrio de parada dos mtodos desacoplados

Em geral, utilizam-se os mesmos critrios do mtodo de Newton-Raphson convencional.

A sequncia de resoluo das equaes (3.22) deve ser realizada at que se atinjam as tolerncias do critrio de parada, o qual pode ser:

mx ( iP ) p ; mx ( iQ ) q (3.23)

Aspectos computacionais dos mtodos desacoplados

A convergncia dos mtodos desacoplados mais lenta que a do mtodo tradicional, sendo esta falha, no entanto, compensada pela rapidez das iteraes.

A convergncia do mtodo desacoplado rpido geomtrica, levando, para sistemas tpicos, 4 a 7 iteraes para convergir, independentemente do nmero de barras do sistema. Levando em conta que o tempo de durao de uma iterao do mtodo desacoplado correponde, em mdia, a 1/5 do tempo de uma iterao do mtodo de Newton-Raphson, que os gastos com memria so cerca de 40% menores e que a dificuldade na implementao dos programas diminui sensivelmente, pode-se concluir que os mtodos desacoplados, principalmente o mtodo desacoplado rpido, oferecem boas vantagens sobre todos os demais at hoje implementados.

48

3.2 Fluxo de carga linearizado ou CC

Linearizao do fluxo de carga

O fluxo de carga at agora estudado constituiu-se num problema fortemente no-linear e bastante complexo do ponto de vista analtico, pois as variveis numa barra do sistema so dependentes das condies de todas as outras barras.

Notou-se tambm que o problema altamente complexo poderia ter soluo simples se empregados mtodos iterativos adequados para resolv-lo. A aplicao dos mtodos concebidos mostrou-se, no entanto, muito trabalhosa e exigente do ponto de vista computacional. O problema, outrora complexo matematicamente, tornou-se ento complexo computacionalmente.

Entretanto, mesmo debaixo de tanta complexidade, algumas caractersticas importantes e de grande potencial de simplificao do problema, podem ser observadas para todo sistema de potncia. Dentre elas, podem-se citar duas das mais importantes:

- o fluxo de potncia ativa em uma linha de transmisso aproximadamente proporcional abertura angular na linha e se desloca no sentido dos ngulos maiores para os ngulos menores;

- a reatncia indutiva das linhas de transmisso bem maior do que a resistncia hmica das mesmas.

A aplicao destas propriedades formulao do problema pode resultar em simplificaes valiosas. Da aplicao ao mtodo de Newton-Raphson, por exemplo, surgiu o mtodo desacoplado rpido, que resultou em avano na eficincia computacional sem grande perda na preciso e na convergncia.

A aplicao das propriedades mencionadas formulao bsica do problema tambm pode render bons frutos. Assim, considere-se o fluxo de potncia ativa em uma linha de transmisso, dado por

Pik = Vi2gik ViVk [gik cos ik bik sen ik] (3.24)

Sob determinadas condies, as seguintes aproximaes, mesmas que foram citadas acima, podem ser feitas:

Vi Vk 1 pu (3.25a) sen ik ik (3.25b)

bik ikx1 (3.25c)

49

O fluxo Pik pode ento ser aproximado por:

ik

kiik x

P= (3.26)

Esta equao tem a mesma forma da Lei de Ohm aplicada a um resistor percorrido por uma corrente contnua, sendo Pik anlogo intensidade de corrente, i e k anlogos s tenses terminais e xik anlogo resistncia. Por esta razo, o modelo de fluxo de potncia ativa baseado na equao (3.26) tambm conhecido como modelo CC.

Seja a injeo de potncia na barra i definida por:

Pi PGi PCi (3.27) Para que seja satisfeito o princpio da conservao de energia em cada barra, deve-se ter:

Pi = PTi (3.28)

ou =

=n

ikk

ikiki xP1

1 (3.29)

ou ainda =

= +=

n

ikk

kiki

n

ikk

iki xxP1

1

1

1 )()( (3.30)

A equao (3.30) pode ser escrita em notao matricial, assumindo a forma:

P = [B] (3.31)

onde: P = vetor das injees lquidas de potncia ativa.

= vetor dos ngulos de fase das tenses nodais. [B] = matriz tipo admitncia nodal cujos elementos so:

ikik xB =' (3.32a)

=

=n

ikk

ikii xB1

' (3.32b)

A matriz [B] singular pois, como as perdas na transmisso foram desprezadas, a soma dos componentes de P nula. Para resolver o problema, adota-se uma das barras como referncia (i = 0o), restando assim um sistema no-singular de dimenso (n1). Os ngulos desconhecidos das (n1) barras podem ser calculados a partir das injees de potncia lquida especificadas nas barras atravs da expresso:

= [B]1 P (3.33)

50

Como se v, trata-se de uma resoluo trivial de sistema linear, feita por meio da inverso da matriz [B]. A condio matemtica para que o modelo CC fornea uma soluo que a matriz [B] seja no-singular, o que equivale a exigir que a rede seja conexa.

Nos casos em que haja transformadores em fase, vlida a relao:

Pik = aik 1ikx ik (3.34) onde aik a relao de transformao; a expresso (3.34) pode ser demonstrada a partir do mesmo raciocnio empregado para a equao (3.26). Quando houver transformadores defasadores, pode-se utilizar a expresso:

Pik = 1ikx (ik + ik) (3.34) para a qual admite-se que a abertura efetiva (ik + ik) entre as barras i e k da mesma ordem de grandeza de ik .

Representao das perdas no fluxo de carga CC

Em redes de transmisso com dimenses elevadas, o montante das perdas pode ser muito grande quando comparado com o nvel de gerao na barra de referncia. Como a injeo de potncia ativa na barra de referncia no especificada a priori, sendo dada pelas perdas de transmisso (s conhecidas aps a resoluo do problema) mais a carga lquida de todas as outras barras (carga menos gerao), a no contabilizao (pelo menos aproximada) das perdas de transmisso pode resultar em erros muito grandes na determinao da potncia ativa da barra de referncia.

Seja ento a equao (1.16a), rescrita abaixo com uma pequena modificao na notao:

Pi = Vi =

+n

kikikikikk BGV

1)sencos( (3.35)

onde Pi a potncia ativa injetada na barra i, definida por Pi = PGi PCi = PTi . Aproximando Vi = Vk = 1 pu e rearranjando-se o somatrio, pode-se escrever:

Pi = =

++n

ikk

ikikikikii BGG1

)sencos( (3.36)

Considerando-se que:

ikik gG = (3.37a)

=