Fluxo de Carga: equaes, mtodo aproximado

e mtodo de Gauss-Seidel

Sistemas EltricosBenemar A. Souza

Equaes do Fluxo de CargaA potncia complexa injetada na i-ssimabarra de uma rede de n barras : = + = = 1, 2, , j = j =

j = !!

j = ( !#!)

= cos(( + )))

= sen(( + )))

Equaes do fluxo de carga esttico (i = 1, 2, ... , n):2n equaes reais relacionando 4n variveis: Pi, Qi, Vi, i.

Equaes do Fluxo de Carga Das 4n equaes, 2n precisam ser

fixadas para que as outras 2npossam ser determinadas.

O novo sistema de equaes algbricas no-linear:

No tem soluo analtica

Requer a aplicao de mtodos numricos iterativos

As equaes do fluxo de carga podem ser postas na forma

f(x, y) = 0sendo

f funo vetorial de dimenso 2n

x vetor de estado (variveis dependentes)

y vetor de variveis independentes (especificadas a priori)

Algumas das variveis independentes so parmetros de controle: usadas para manipular variveis de estado.

Por exemplo, amplitude de tenso nas barras PV, potncia ativa nas barras de carga.

, = -.

Classificao das barrasBarra de balano: especificados V e .Barra de carga: especificados P e Q.Barra de gerao (tenso controlada): especificadas P e V.

de controle fixos

Sub-vetor de parmetros

Equaes do Fluxo de Carga

Para que a soluo do problema de fluxo de carga tenha sentido prtico todas as variveis de estado e de controle devem se manter em determinados limites, os quais so ditados por: especificaes do hardware restries operacionais

Limites usuais: De amplitude de tenso

01 034(5-10)% da tenso nominal

De ngulo de carga) ) ) ) 68

para garantir a segurana do sistema: restringir o risco de instabilidade de tenso.

De capacidade de gerao9,01 9 9,049,01 9 9,04

ObservaoAmplitude de tenso em barras PV s podem ser mantidas havendo fontes controlveis de reativos capacidade suficiente no local. 9 =

Soluo do Fluxo de Carga: um mtodo aproximado

= cos (( + )))

= sen (( + )))

As seguintes hipteses simplificativas permitem linearizar as equaes do fluxo de cargas acima:i. As resistncias das linhas so

desprezveis por serem pequenas comparadas s reatncias.

ii. Os ngulos de carga so suficientemente pequenos para

sen() )) ) )

iii. Todas as barras (alm da barra de balano) so barras de gerao.

Em decorrncia de (i):

As perdas ativas so nulas

( 90 e ( 90

cos 90 = sin ()

= ()))

= 1, 2, ,

= ())) (1)

= cos() ))

F

G (2)

Uma vez que as amplitudes de tenso so todas especificadas, assim como o ngulo de fase da tenso da barra de balano, s, o problema consiste em resolver (diretamente) o conjunto de equaes lineares (1) nas n-1 variveis 1, 2, ... , s-1, s+1, ..., n.

A equao correspondente barra de balano redundante e a potncia injetada nesta barra agora (que as perdas so consideradas nulas) completamente especificada: H = 9

FH

ExemploCalcule o fluxo de carga no sistema dequatro barras da figura, cujas reatn-cias de linha tm os valores indicadosem p.u. e as resistncia de linha sodesprezadas. A amplitude de tensode todas as barras so especificadascomo 1 p.u. e as potncias de barraso especificadas na tabela.

barra demanda gerao

ativa reativa ativa Reativa

1234

1,01,02,02,0

0,50,41,01,

?4,00,00,0

espec. espec. espec. espec.

j0,15

j0,2

j0,15

j0,1 j0,1

S1 = 1 +jQ1 S3 = -2 +jQ3

S4 = -2 +jQ4 S2 = 3 +jQ2

SoluoComo se supe no haver perdas ativas, a potncia gerada na barra 1, de balano :9I =

P2 = 3 = 5(2 1) +10 (2 3) + 6,67(2 4)P3 = 2 = 6,67(3 1) +10 (3 2) P4 = 2 = 10(4 1) + 6,67(4 2)

Resolvendo-se essas equaes lineares se determinam2 = 0,077 rd = 4,41, 3 = 0,074 rd = 4,23 e 4 = 0,089 rd = 5,51

Substituindo-se os valores das variveis de estado (2, 3 e 4 ) nas equaes de fluxo reativo se determinam os valores das variveis de controle: QG1= 0,07 pu, QG2 = 0,22 pu, QG3,= 0,132 pu e QG4 = 0,132 pu.

As potncia reativas geradas so:9I = + 0,5 = 0,57 pu9J = G + 0,4 = 0,62 pu9K = V + 1 = 1,132 pu9L = X + 1 = 1,132 pu

As perdas reativas totais so:

= 9!X

9! = 3,454 2,9 = 0,554pu

X

Agora resta calcular os fluxos. Para uma linha genrica entre as barras i e k, de reatncia srie jxik e resistncia despre-zvel a potncia complexa de i para k no incio

= =

Z[

+ Q = !

Z \G

+ Q =G\ G (

\G#!)

Z =

GZ cos

\G + (

Z sen() ))

Como cos ^J = 0 e = = 1 ento

= =sen ) )

ZDe modo anlogo se chega expresso do fluxo de carga reativo (mtodo aproximado):

= =1 cos ) )

Z

Mtodo de Gauss-Seidel Um mtodo iterativo de soluo de sistemas de equaes algbricas. Uma o soluo inicial estimada a partir de conhecimento especializado no

problema empregado para se melhorar a soluo. A diferena em relao ao mtodo original de Gauss consiste em empregar uma

soluo atualizada to logo ela exista, sem esperar a iterao se completar. Se todas as barras da rede so de carga (exceto a de balano) as iteraes se

processam mediante a seguinte frmula:

_# =

_ a

_# a

#_ , = 1, 2, , c

sendo

=Pe jQeYPee , = 1, 2, 3, , ; c

a = , = 1, 2, 3, , ; c; i = 1, 2, , ei

Mtodo de Gauss-Seidel A primeira etapa do mtodo de Guass-Seidel , no qual se determinam as tenses

das barras de carga termina quando a variao da amplitude da tenso de barra de uma interao para outra for menor que um determinada tolerncia:

V(r+1) = |V(r+1) - V(r)|< , para i = 1, 2, ... , n; i s.

A potncia na barra de balano se calcula substituindo as tenses calculadas na primeira etapa na expressoH QH =H H .

As perdas totais neste caso so

= H

FH

e = H

FH

Os fluxos nas linhas (com efeito em derivao desprezvel) so: = + Q = j[

As perdas na linha entre as barras i e k = +

ExerccioCalcule o fluxo de carga no sistema de trs barrasda figura, aplicando o mtodo de Gauss-Seidel. Abarra 1 de balano e as outras so barras decarga. Note que o problema estar completamen-te resolvido quando forem determinados:a) As tenses (amplitude e fase) das barras 2 e 3;b) Potncias (ativa e reativa) entrando na rede

pela barra de balano;

c) Fluxo de potncia (ativa e reativa) nas trslinhas;

d) Perdas de potncia (ativa e reativa) em cadalinha e totais.

0,03+j0,15

0,02

+j0,

1

V1 = 10 S3 = -2 - j1

S2 = -3 j2

Exerccio4. Resolva o problema do fluxo de carga no

sistema da figura 1, em que os valores so indicados em pu, aplicando o mtodo de Gauss-Seidel. Especificamete:a) Construa a matriz admitncia de

barra;b) Calcule a tenso na barra 2;

c) Calcule as perdas ativas e reativas.

10

j0,25PD2=0,6QD2=0,3

j6V22

PG1QG1

A matriz admitncia de barra

k = j4,167 j4j4 j4 .

Neste caso so s duas barras, uma delas de balano, portanto, de tenso conhecida: P = 10. Assim,G QG = G G + GGGG jG = j4G mnc)G jc)G Q4GG

G = 4Gc)GG = 4GG 4Gmnc)G

Ento, tomando-se G o = 1 e )Go = 0, para p = 0, 1, 2, se faz:

G _# = mnc)G_# +G

4G _

)G_# = senG

4G _

G = 9J

Exerccio 24. Resolva o problema do fluxo de carga no

sistema da figura 1, em que os valores so indicados em pu, aplicando o mtodo aproximado. Especificamete:a) Construa a matriz admitncia de

barra;b) Calcule a tenso na barra 2;

c) Calcule as perdas ativas e reativas.

10

j0,25PD2=0,6QD2=0,3

j6V22

PG1QG1

A matriz admitncia de barra k =j4,167 j4

j4 j4 .

Neste caso so s duas barras uma delas de balano e a outra de gerao (imposio do mtodo), portanto, so conhecidas: P = 10 e G = 1. Assim, a nica incgnita , a qual pode ser determinada do seguinte modo:

= ()))

Neste caso,

G = G[G ) )G +GGG()G )G)]

ou

G = G )G0,6 = 4)G)G = 0,15puv = 8,6