ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium ésKollégium – Komplex természettudományi tagozat

Fizika 11. osztály

III. rész:Az indukált elektromos mező

Készítette: Balázs Ádám

Budapest, 2019.

2. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

III: rész: Az indukált elektromos mező . . . . . 4

95. A változó mágneses mező hatása . . . . . . . . . . . . . 4

96. Az indukált mező szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . 6

97. Be- és kikapcsolási jelenségek . . . . . . . . . . . . . . 8

98. A mágneses mező energiája . . . . . . . . . . . . . . . 10

99. Az induktív ellenállás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

100. Kapacitív ellenállás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

101. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

102. Munka, teljesítmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

103. A transzformátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

104. Feszültségrezonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

105. Csillapított elektromágneses rezgések . . . . . . . . . . 21

106. Csillapítatlan elektromágneses rezgések . . . . . . . . . 22

Tartalomjegyzék 3.

107. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

108. Gyakorlás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

109. III. dolgozat írása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

110. A dolgozat megbeszélése . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. 95. óra. A változó mágneses mező hatása

95. óra A változó mágneses mező hatása

Mozgási indukció: Egy U alakú vezetőkereten v sebességgelhalad ` hosszúságú vezetőrúd, a B mágneses indukció a keret sík-jába befelé mutat. Mekkora a q töltésre ható Lorentz-erő?

A`v

FL

I

1. ábra. A pozitív töltésekre a rúdban a mozgás miatt hat aLorentz-erő felfelé, így azok megindulnak. A valóságban a fémek-ben a negatív elektronok indulnak meg, méghozzá lefelé.

Indukált elektromos térerősség: Elektrosztatikai mintára:

~Ei =~FLq

=q · ~v × ~B

q= ~v × ~B

Megadjuk a mező munkáját és az indukált feszültséget zárt görbé-re, melynek jobbkezes normálisa a fluxusnövekedés felé mutat.

Wzárt =∑zárt

q · ~Ei ·∆~s Ui =Wzártq

=∑zárt

~Ei ·∆~s

95. óra. A változó mágneses mező hatása 5.

Az indukált feszültség: Az indukált térerősség ellentétes irá-nyú a rúdban az elmozdulással, a többi helyen nem ad járulékot.

Ui = −Ei · ` = −v ·B · l = −∆r

∆t·B · l = −∆A

∆t·B = −∆Φ

∆t

Faraday-törvény: Minden irányított, zárt görbe körül az átme-nő mágneses fluxus változása indukál egy elektromos mezőt, melyiránya balcsavart alkot a fluxusváltozás irányításával. Az indukáltfeszültség nagysága a fluxusváltozás sebességével arányos:

Ui =∑zárt

~Ei ·∆~s = −∆Φ

∆t

Nyugalmi indukció: Egy zárt gyűrűben a mágneses fluxus vál-tozása feszültséget indukál a Faraday-törvénynek megfelelően.

Kísérlet. Közös vasmagra tegyünk két tekercset. Az egyikre ára-mot kapcsolunk, a másikra érzékeny árammérőt kötünk. Az áramváltoztatásakor a másik tekercsben töltések kezdenek mozogni.Ugyanez a hatás érhető el rúdmágnes közelítésével és távolításávalis. Megfelelő időzítéssel a két hatás egymást ki is olthatja.

95. Házi feladat. Homogén mágneses mezőbe tettünk arra me-rőlegesen egy R = 10 cm sugarú korongot. A mező egyenletesenváltozik 80 V/m2 sebességgel. Mekkora a térerősség nagysága aközépponttól x távolságra? Milyen az iránya?

95. Szorgalmi. A házi feladatban lévő elrendezésnél egy R/2 su-garú körben, mely belülről érinti a nagy kört megszüntetjük amágneses mezőt. Mekkora a térerősség nagysága ebben a körben?

https://s3-us-west-1.amazonaws.com/foscoshopify/graphics/faradayslaw.jpg

6. 96. óra. Az indukált mező szerkezete

96. óra Az indukált mező szerkezete

Az elektrosztatikus mező: Forrásos és örvénymentes:∑zárt

~E0 ·∆ ~A =∑Q

ε0

∑zárt

~E0 ·∆~s = 0

Az elektromos erővonalak1 a pozitív töltésekből indulnak ki, ésa negatívokban végződnek. A mezőt töltések hozzák létre. Tet-szőleges zárt görbe mentén ha körbe viszünk egy töltést, akkor amunkavégzés nulla, a mező konzervatív2.

Az indukált elektromos mező: Forrásmentes és örvényes:∑zárt

~Ei ·∆ ~A = 0∑zárt

~Ei ·∆~s = −∆Φ

∆t

Az indukált mező erővonalai önmagukba záródnak. A mezőt vál-tozó mágneses mező hozza létre. Tetszőleges zárt görbe menténha körbe viszünk egy töltést, akkor a munkavégzés nem nulla, amező nem konzervatív3.

Az elektromos térerősség: Töltéseket és változó mágneses me-zőket is tartalmazó tér esetén az elektromos térerősségre a követ-kező két összefüggés írható fel.

1Mindkettő esetén használható összefüggés: F = E · q2A munka nagysága sztatikában útfüggetlen, a kezdő és a végpont ismere-

tében egyértelműen meghatározható.3A munka függ attól, hogy milyen úton vittük a töltést egyik pontból a

másikba. A potenciál ebben a mezőben nem értelmezhető.

96. óra. Az indukált mező szerkezete 7.

Maxwell I. törvénye: Az elektromos mező forrásos, forrásai azelektromos töltések:

∑zárt

~E ·∆ ~A =∑QI

�0

Maxwell II. törvénye: Az elektromos mező örvényeit a változómágneses mezők keltik:

∑zárt

~E ·∆~s = −∆ΦI

∆tI

96. Házi feladat. A Merkúr egyenlítőjén állandó 3 m/s sebes-séggel rohan a mágneses mezőre merőlegesen egy űrharcos fémpal-losával. Mekkora feszültség indukálódott az 1,2 méteres kardban?Hogyan mozognak a töltések?

96. Szorgalmi. Az űrharcos az előző feladatból a Merkúr mág-neses mezőjével 40 fokos szöget bezáróan rohan. Mekkora az in-dukálódott feszültség?

8. 97. óra. Be- és kikapcsolási jelenségek

97. óra Be- és kikapcsolási jelenségek

Kísérlet. Kössünk párhuzamosan két izzót, és az egyikkel kössünksorba egy tekercset. Figyeljük meg mi történik, ha feszültségetkapcsolunk az izzókra!

A tekercset tartalmazó ágon később indul meg az áram. Továbbikésés érhető el nyílt illetve zárt vasmagos tekercs esetén.

Kísérlet. Kapcsoljuk ki az áramkört, és nézzük meg, mi történik!

Kikapcsoláskor további áram folyik a drótban, felvillantja a glimmlámpát is. Meg is tud rázni.

Önindukció: Tekercsben folyó áramerősség megváltozása a te-kercsben feszültséget indukál. Bekapcsoláskor az indukált feszült-ség késlelteti az áram megindulását, kikapcsoláskor késlelteti azáram megszűnését összhangban a Lenz-törvénnyel.

Ui = −∆Φ

∆t= −

∆(µ0 · µr · N ·I` · A ·N

)∆t

= −µ0 · µr ·N2 · A`︸ ︷︷ ︸

L

·∆I∆t

Az L a tekercs önindukciós együtthatója, mértékegysége 1 Henry

L = 1VsA

= 1H

1. Feladat. Létezik-e olyan tekercs, melyben nincs önindukció?

Igen, kettős csévéléssel elérhető, hogy a mágneses mező ne jöhessenlétre benne, ekkor nincs önindukció.

97. óra. Be- és kikapcsolási jelenségek 9.

2. Feladat. Adott egy 200, egy 300 és egy 400 menetes tekercs.Hogyan kapcsoljuk őket, hogy az önindukció a legkisebb legyen?

A 200-ast és a 300-ast sorba kapcsoljuk a 400-ast pedig úgy kötjuk,hogy mezője ellentétes legyen az első kettőével.

3. Feladat. Egy tekercsben 4 V feszültség indukálódik, miközben0-ról 10 A-re nő az áram fél másodperc alatt. Mekkora a tekercsinduktivitása?

200 mH

4. Feladat. Milyen gyorsan szakítsuk meg a 2,5 A nagyságú ára-mot egy 900 mH induktivitású tekercsben, hogy 1 kV feszültségindukálódjon benne? Hogyan oldják meg ezt a fénycsövekben?

2,25 ms

5. Feladat. 50 mH önindukciójú tekercsben 6 s alatt nulláról 3A-re nő az áram. Ábrázoljuk az indukált feszültséget az idő függ-vényében!

25 mV

97. Házi feladat. Mekkora az 5 cm hosszú, 13 menetes, 1 cmsugarú nikkelrúdra felcsévélt tekercs önindukciós együtthatója?

97. Szorgalmi. Mégis miért van az a fura kis henger mindenlaptoptöltő kábelén?

10. 98. óra. A mágneses mező energiája

98. óra A mágneses mező energiája

A felhasznált energia: a mágneses mező felépítésekor:

∆W = P ·∆t = Ui · I ·∆t = L ·∆I

∆t· I ·∆t = L ·∆I · I

Ha az áramot 0-ról I értékre növeljük, a teljes energia:

W =1

2· L · I2

Az energia felírható a mágneses fluxus segítségével is:

W =1

2· Φ · I = Φ

2

2L

Energiasűrűség: Az egységnyi térfogatban tárolt energia. Le-osztjuk a szolenoid1 mezőjében tárolt energiát a térfogatával.

w =W

V=

1

2µ0µr·B2

6. Feladat. Mennyi energiát tárol a tekercs belsejében a mágnesesmező, ha a tekercs:

1. Önindukciós együtthatója 2 mH, és 3 A folyik benne?

2. 0,36 Wb a fluxus és 5 A folyik benne?

3. Önindukciós együtthatója 1,5 H, a fluxusa 0,6 Wb

1Toroidra ugyanez az összefüggés vezethető le.

98. óra. A mágneses mező energiája 11.

7. Feladat. Számítsuk ki a 3800 menet/m menetsűrűségű, hosszúszolenoid középen a mágneses tér energiasűrűségét, ha a szolenoi-don áthaladó áram erőssége 4 A!

145, 2J/m3

98. Házi feladat. Egy tekercs belsejében a mágneses mező 3 Jenergiát tárol.

1. Mekkora a folyó áram, ha önindukciós együtthatója 2 H?

2. Mekkora a fluxusa, ha 0,15 A folyik benne?

3. Mekkora az önindukciós együtthatója, ha a fluxusa 1,2 Wb

98. Szorgalmi. Számítással igazold, hogy a toroidra vonatkozóenergiasűrűségre ugyanaz az összefüggés igaz, mint a szolenoidra!

12. 99. óra. Az induktív ellenállás

99. óra Az induktív ellenállás

Kísérlet. Kössünk sorba egy tekercset és egy izzót. Kapcsoljunkrá először egyenáramot, majd váltakozó áramot!

Egyenáramnál a bekapcsolási jelenséget észleljük, az izzó világít.Váltakozó áramnál az izzó sokkal gyengébben világít, mert ekkoridőben váltakozó mágneses mező jön létre, mely mindig a generá-tor pillanatnyi feszültségével ellentétes feszültséget indukál.

Induktancia: A tekercs látszólagos ellenállása függ az öninduk-ciós együtthatójától és az áram körfrekvenciájától.

XL = ω · L = 2π · f · L

Tiszta induktív terhelés: A tekercsre U = U0 ·sin(ω ·t) feszült-séget kapcsolunk, akkor az áram hozzá képest késik: ϕ = −90°.

I = I0 · sin(ω · t− π

2

)

Valódi tekercs impedanciája: Áll egy R tisztán ohm-os ellen-állásból és egy XL tisztán induktív ellenállásból.

Z =√R2 +X2L =

√R2 + L2 · ω2I2L

A hatásos teljesítmény: Z impedancia esetén a fáziseltérés:

cosϕ =R

Z−→ P = U · I · cosϕ

99. óra. Az induktív ellenállás 13.

99. Házi feladat. Mekkora a hatásos teljesítménye az L = 0, 5H önindukciójú tekercsből és 200 Ω ellenállásból álló soros körnek,ha f = 200 Hz-es, U = 24 V feszültségű generátorra kapcsoljuk?

Válasz: P = 0, 26 W

feladatok

99. Szorgalmi. Számítsuk ki, mekkora ohmos ellenállás kell be-kötnünk az L = 100 µH induktivitású soros körbe, hogy az áramkörhatárfrekvenciája 30 kHz legyen!

http://centroszet.hu/tananyag/elektro_new/6_szamitasi_feladatok_megoldassal.pdf

14. 100. óra. Kapacitív ellenállás

100. óra Kapacitív ellenállás

Kísérlet. Kapcsoljunk egy kondenzátort váltakozó feszültségű jel-generátorra! Nézzük a generátor feszültségének függvényében azáramerősség változását!

Kapacitív terhelés: A kondenzátorra U = U0 ·sin(ω · t) feszült-séget kapcsolunk, akkor az áram hozzá képest siet: ϕ = −90°.

I = I0 · sin(ω · t+ π

2

)Kísérlet. A frekvenciát növelve a látszólagos ellenállás csökken.Nagyobb kapacitású kondenzátor esetén az ellenállás csökken.

Kapacitív reaktancia: A váltakozó feszültségű áramkörben azideális kondenzátor látszólagos ellenállása:

XC =1

ω · C

Impedancia: Ohmos, induktív és kapacitív terhelés esetén azsorosan kapcsolt áramköri elemek látszólagos ellenállása:

Z =

√R2 + (XL −XC)2 =

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2100. Házi feladat. Sorba kötünk egy 20Ω-os ellenállást, egy 2H-s tekercset és egy 2 mF-os kondenzátort. A soros RLC körreegy 4 Hz-es frekvenciájú, 7,273 V effektív értékű feszültséget kap-csolunk. Mekkora az effektív áram, a fáziskülönbség és az átlagosteljesítmény?

100. óra. Kapacitív ellenállás 15.

100. Szorgalmi. Hogyan változik egy soros RLC kör Z-je, ha akondenzátort εr = 4 relatív permittivitású szigetelővel töltjük ki?

16. 101. óra. Feladatok

101. óra Feladatok

8. Feladat. Egy soros körben R = 200 Ω, L = 2H, C = 2µF,f = 50 Hz, Ueff = 230 V. Számítsd ki a következőket:

a) Impedancia: Z = 984 Ω

b) Fáziseltérés: ϕ = −78, 3°

c) Effektív áramerősség: Ieff = 0, 234A

d) Átlagos teljesítmény: Pátlag = 10, 9W

9. Feladat. Sorba kötünk egy 30Ω-os ellenállást, egy 3 H-s teker-cset és egy 3 mF-os kondenzátort. A soros RLC körre egy 4 Hz-esfrekvenciájú, 3,45 V effektív értékű feszültséget kapcsolunk.

a) Impedancia: Z = 69 Ω

b) Effektív áramerősség: Ieff = 0, 05A

c) Fáziseltérés: ϕ = 64, 2°

d) Átlagos teljesítmény: Pátlag = 0, 075W

10. Feladat. Határozd meg az előző feladatban az áramkör telje-sítményének időtől való függését és rajzold le a függvényt!

P (t) = 0, 075W− 0, 173W · cos (16πHz · t− 1, 12)

101. Házi feladat. Határozd meg az előző házi feladatban azáramkör teljesítményének időtől való függését és rajzold le a függ-vényt!

101. Szorgalmi. Határozd meg a házi feladatban lévő áramkörielemeken külön-külön eső feszültséget!

102. óra. Munka, teljesítmény 17.

102. óra Munka, teljesítmény

Tekercs teljesítménye: Ideális tekercs összességében nem fo-gyaszt energiát, mert a mágneses mező felépítésekor felvett ener-giát annak megszűnésekor visszatáplálja a hálózatba.

T2

T

t(s)

I(A)

U(V ) P (W )

2. ábra. Az ideális tekercsen eső feszültség, az áramerősség és akialakult teljesítmény az idő függvényében.

Kondenzátor teljesítménye: Ideális kondenzátor összességé-ben nem fogyaszt energiát, mert az elektromos mező felépítésekorfelvett energiát annak megszűnésekor visszatáplálja a hálózatba.

T2

T

t(s)

I(A)U(V )

P (W )

3. ábra. Az ideális kondenzátoron eső feszültség, az áramerősségés a kialakult teljesítmény az idő függvényében.

18. 102. óra. Munka, teljesítmény

11. Feladat. Tisztán kapacitív jellegű áramkörben a C = 10nFkapacitású kondenzátoron 2,5 V szinuszosan váltakozó feszültség-esés jön létre. Frekvenciája 10 kHz. Ábrázoljuk az áramerősséget,a feszültséget és a teljesítményt az idő függvényében!

12. Feladat. Egyfázisú motor 20 A áramot vesz fel a 230 V-os há-lózatból. Számítsuk ki a teljesítménytényezőjét, ha 80 százalékoshatásfok mellett 2640 W hatásos teljesítményt fejt ki! (0, 72)

13. Feladat. Hálózati áramra sorba kapcsolunk egy 20 µ F-os kon-denzátort, egy 500 mH önindukciójú ideális tekercset, és egy 80Ω ellenállású fogyasztót. A kondenzátor meghibásodott, mekkoraellenállást és hogyan kössünk a fogyasztóhoz, hogy a teljesítmény-tényező ne változzon! (6327,5 Ω)

102. Házi feladat. Számítsuk ki az alábbi adatokkal rendelkezőlátható soros RLC kapcsolást: L = 200 mH, C = 120nF, R =500Ω, U = 4 V, f = 800 Hz

a.) Határozd meg a kör impedanciáját és áramfelvételét!

b.) Határozd meg UL, UC és UR értékét a megadott frekvencián!

c.) Készíts vektorábrát! A vektorábrának tartalmaznia kell I,UR, UL és UC értékét.

102. Szorgalmi. Határozd meg a tápfeszültség és a tápáram kö-zötti fázisszöget az előző feladatban!

103. óra. A transzformátor 19.

103. óra A transzformátor

103. Házi feladat. Írd le 1 órai kísérletet magyarázattal együtt!(Közösen is megoldható)

103. Szorgalmi. Írj le még 1 órai kísérletet magyarázattal együtt!

20. 104. óra. Feszültségrezonancia

104. óra Feszültségrezonancia

Soros RLC rezgőkör: Létezik egy frekvencia, melynél az in-duktivitás és a kapacitás feszültsége megegyezik, az induktanciaés a kapacitív reaktancia egyenlő, mintha az áramkörben csak oh-mos ellenállás lenne.

XL = XC −→ L · ω =1

C · ω−→ f = 1

2π√L · C

Ez a rezonanciafrekvenciát megadó Thomson-képlet.A rezonancia görbéje.

14. Feladat. Tekintsünk egy soros RLC rezgőkört és egy rugórarögzített testet. Keressünk analógiát a két rendszer között!

104. Házi feladat. Számítsd ki a rezonanciafrekvenciát egy 50mF-os kondenzátor és egy 300 mH-s tekercs esetén!

104. Szorgalmi. Mire használható a rezonancia áramkörökben?

https://cms.sulinet.hu/get/d/d362cfaa-8745-4568-a27a-07d40983dd0e/1/5/b/Large/7_2_3__A_soros_rezgokor_impedanciajanak_frekvenciafuggese.jpg

105. óra. Csillapított elektromágneses rezgések 21.

105. óra Csillapított elektromágneses rezgések

22. 106. óra. Csillapítatlan elektromágneses rezgések

106. óra Csillapítatlan elektromágneses rezgé-sek

107. óra. Összefoglalás 23.

107. óra Összefoglalás

24. 108. óra. Gyakorlás

108. óra Gyakorlás

109. óra. III. dolgozat írása 25.

109. óra III. dolgozat írása

26. 110. óra. A dolgozat megbeszélése

110. óra A dolgozat megbeszélése

Változó elektromos mező Maxwell III., IV. kiegészítése Az elekt-romágneses hullámok Az elektromágneses hullámok terjedési tu-lajdonságai I. Az elektromágneses hullámok terjedési tulajdonsá-gai II. Az elektromágneses hullámok terjedési tulajdonságai III.Az elektromágneses hullám energiája Az elektromágneses hullá-manyag. A rádió és a televízió A mikrohullámok A mikrohullá-mok terjedési tulajdonságai Fénytani alapfogalmak A fény minthullám. A fényinterferencia Fényelhajlás résen Fényelhajlás rá-cson Feladatok A polarizáció Az infravörös és az ultraibolya fényA fényvisszaverődés Síktükör Gömbtükör A fénytörés. A törésmu-tató Feladatmegoldás A teljes visszaverődés Fénytörés prizmán Aszínképek. A színkeverés Lencsék Fókusz, fókusztávolság. A neve-zetes fénysugarak Képalkotás A tükrök képalkotása A lencsék kép-alkotása A leképezési törvény Feladatmegoldás A lencsék és gömb-tükrök gyakorlati alkalmazása Rendszerezés A IV. dolgozat írása Adolgozat megbeszélése Feladatmegoldás Feladatmegoldás Feladat-megoldás Feladatmegoldás Feladatmegoldás Feladatmegoldás Fel-adatmegoldás Feladatmegoldás Feladatmegoldás FeladatmegoldásÖsszefoglalás Összefoglalás Összefoglalás Éves munka értékelése

Irodalomjegyzék 27.

Irodalomjegyzék

[1] Dr. Jurisits József, Dr. Szűcs József: Fizika 10. Mozaik kiadó2009.

[2] Dégen Csaba, Póda László, Urbán János: Fizika 10. középisko-lák számára emelt szintű képzéshez Oktatáskutató és FejlesztőIntézet 2015.

[3] Vass Miklós: www.netfizika.hu

[4] Dr. Siposs András: Fizika példatár és megoldások I-II. kötet -Túlélőkönyv középiskolásoknak Műszaki Könyvkiadó 2018.

[5] Hevesi Imre: Elektromosságtan Nemzeti Tankönyvkiadó 1998.

III: rész: Az indukált elektromos mezoA változó mágneses mezo hatásaAz indukált mezo szerkezeteBe- és kikapcsolási jelenségekA mágneses mezo energiájaAz induktív ellenállásKapacitív ellenállásFeladatokMunka, teljesítményA transzformátorFeszültségrezonanciaCsillapított elektromágneses rezgésekCsillapítatlan elektromágneses rezgésekÖsszefoglalásGyakorlásIII. dolgozat írásaA dolgozat megbeszélése