Filas1

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R ev. : Ou t -2013

Prof . Gil Pinheiro 1

DETEL Depto. de Engenharia Eletrônica e Telecomunicações 1

Prof. Gil Pinheiro (revisão: Outubro / 2013)

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Revisão de Probabilidade e EstatísticaProcessos Estocásticos Teoria de Filas Os Sistemas de Filas M / M / 1, M / M / m,M/M/ m /B, M/M/ m / m, M/M/ 1 /B, M/M/ , M/M/ N / N /K, M/G/ 1Noções de Engenharia de TráfegoRedes de Filas

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r é um evento no EspaçoAmostral S, r S

x é a probabilidade associada aoevento r, onde x é um númeroreal (x R) e x [0 , 1]

A Variável Aleatória X mapeia os eventos de S em x, assim: X(r) = x

Assim X tem uma distribuição deprobabilidade na reta dos reais

(x R)

Espaço AmostralS

0 1

x

x

r

X(r)

Função de Distribuição de Probabilidade (FDP):A FDP de uma variável aleatória X, também conhecida como Função

de Distribuição Cumulativa é: F(x) = P[X x] = Prob[r : X(r) x ]

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Uma variável aleatória contínua X é descrita através de sua funçãodist r ibuição de pr obabilidade F(x) ou sua função densidade de probabilidad e f(x)

Função Distribuição de Probabilidade:

Pr[X x] = F(x) , onde: F(- ) = 0 e F( ) = 1

Função Densidade de Probabilidade:

então: Sendo:F(x) = f(y) dy f(y) dy = 1 dx

xdF x f

)()(

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Processo Estocástico: f unção ou seqüência aleatóriatempo-dependente

Se ja, por exemplo, n(t) a quantidade de pacotes traf egandoem uma rede de computadores no instante t

n(t) é uma Variável Aleatória

n(t) pode ser descrita através de uma Função Distribuiçãode Probabilidade

O tempo de espera, w(t), em uma fila também é uma Variável Aleatória

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Processo de Estados Discretos Número de estados possí veis de um sistema é uma quantidade f inita,ou contável. Também conhecido como Cadeia Estocástica. Ex.:quantidade de pessoas numa f ila, quantidade de celulares conectados a uma ERB

Processo de Estados Contínuos Número de estados possíveis de um sistema é uma quantidade infinita,

ou não contável. Ex.: tempo de conexão de um aparelho telef ônico,tempo de espera numa fila

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É um Processo Estocástico onde:

Os estados futuros do processo são independentes dos estadospassados e dependentes apenas do presente

Para analisar um Processo de Markov não é necessárioconhecer toda a tra jetória de estados passados, apenas o estado anterior (o sistema não possui memória) Nome em homenagem a A.A.Markov, que em 1907def iniu e analisou esses processos

Um Processo de Markov de estados discretos é chamado Cadeia de MarkovAplicação: modelagem de Sistemas de Filas

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São Cadeias de Markov onde as transições de estado sãorestritas a estados vizinhos apenas

É possível representar o estado através de um númerointeiro

Exemplo:

Estado(pessoas na fila)

nascimento ou chegada

0

morte ou partida

1 2 n-1 n n+1

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Ferramenta matemática para tratar de eventosaleatórios

É o estudo da espera em filas

Proporciona uma maneira de definir oambiente de um sistema de filas

matematicamente Permite prever respostas prováveis e tempos de espera

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Avaliar o comportamento de um sistema defilas e seus parâmetros, exemplos:

Tempo de espera médioProbabilidade de f ormação de f ilaPorcentagem de clientes re jeitados pelo sistemaProbabilidade de um cliente esperar mais do que umcerto tempoNúmero médio de clientes na filaProbabilidade de que todos os servidores este jamociosos

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Chegam a intervalos regulares?

Chegam em grupo?

Chega um de cada vez?

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1. Processo de Chegada2. Distribuição de Tempo de Serviço

3. Quantidade de Servidores

4. Tamanho do Sistema de Fila

5. População de Clientes

6. Disciplina de Atendimento

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Se os clientes chegam em instantes t1, t2, ..., t j avariável randômica j = t j - t j-1 é chamada TempoInterchegadasAssume-se que os j formam uma seqüência de

variáveis aleatórias independentes identicamentedistribuídas (v.a. IID)O processo de chegada mais comum é o Processo

de Poisson. Isto significa que os Tempos Interchegadas são exponencialmente distribuídos Outras distribuições podem ser utilizadas, tais como

a Hiperexponencial, Erlang e Geral

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O tempo gasto por cada cliente num computador échamado Tempo de ServiçoÉ aceitável supor que os Tempos de Serviço de cada cliente sejam variáveis aleatórias IIDA distribuição mais utilizada para o Tempo de Serviço é a Distribuição Exponencial

Outras distribuições podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral

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Single Server atende a apenas um cliente de cada vez Multi-Server possui m servidores,podendo atender m clientes simultaneamente

Infinite Server cada cliente quechega encontra sempre um servidor disponível

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Exemplo:

Uma sala de computadores pode possuir um ou mais computadores idênticos (servidores) etodos fazendo parte de um sistema de fila único.

Se os computadores não forem idênticos, elespodem ser subdivididos em grupos de mesmotipo, com filas separadas para cada um deles.Nesse caso, cada grupo é um sistema de fila.

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Capacidade do sistema = capacidade da fila deespera + quantidade de servidores (posições deserviço)A capacidade máxima de clientes no sistema poderáser limitada por questões de espaço, custo ou paraevitar um tempo de espera muito longoNa maior parte dos sistemas, a capacidade da fila élimitada (finita)

Em sistemas com filas de capacidade infinita, todosos clientes serão atendidos Em sistemas sem capacidade de espera ou comcapacidade limitada, pode ocorrer re jeição declientes

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É a quantidade de usuários em potencial que

pode, em algum momento, usar o sistema(ex.: clientes de banco, programa de computador, assinante de linha telefônica)Nos sistema reais a população é limitada (finita)Quando a população é finita, a taxa de

chegada dependerá da população População Infinita taxa de chegadaconstante População Finita taxa de chegada variável

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De uma fila, é o método de escolha da seqüência de

atendimento dos clientes na filaA disciplina mais utilizada é a FCFS ou FIFO(primeiro a chegar é o primeiro a sair da fila) Outras disciplinas: LCFS, SIRO, RR O atendimento pode ser priorizado em função de:

Tempo esperado de atendimento, ex.: menos demoradoprimeiro

Tamanho do cliente (pacote de mensagem), ex.: maiorprimeiro, menor primeiroMaior sensibilidade a atrasos, ex.: mais sensíveis primeiroQualidade de serviço (QoS)

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Atendimento baseado em prioridade

Disciplina deServiço

Descrição

FCFS/FIFO First Come First to be Served

LIFS/LIFO Last In First to be Served

SIRO

RDGD

Select In Random Order

Distribuição genérica

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Um sistema de fila é classificado por suascaracterí sticas

Utiliza-se a No taçã o d e K e nd all

A / S / m / B / K / DS O nd e:

A = Distribuição de tempo interchegadaS = Distribuição de tempo de serviço m = Número de canais de serviço simultâneo (servidores) B = Quantidade de Buffers ou capacidade do sistema K = Tamanho da população DS = Disciplina de serviço

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As distribuições utilizadas para o tempointerchegada e tempo de serviço são simbolizadas por uma letra, conforme a seguir:

M = Exponencial E k = Erlang, com parâmetro K H k = Hiperexponencial, com parâmetro K D = Determinístico G = Distribuição Genérica

A distribuição exponencial é chamadamemo r yless (M )

Uma distribuição determinística (D) significatempo de chegada e tempo de serviço constante,ou sem variância

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M/M/3/20/1500/FCFSTempo interchegada exponencialmente distribuídoTempo de serviço exponencialmente distribuí do

Existem 3 servidores

A fila possui um total de 20 posições de buffer. Consistindo em 3 buffers para cada servidor, 17 posições de esperacompartilhados entre os tres servidores. Se a quantidade declientes no sistema for 20, os clientes que chegam são

perdidos até que a fila diminuaHá uma população de 1500 clientes que podem seratendidos

A disciplina de serviço é FCFS (primeiro a chegar, primeiro aser servido)

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M/M/1Tempo interchegada exponencialmente distribuído ( =processo de chegada do tipo Poisson)

Tempo de serviço exponencialmente distribuído

Existe 1 servidor

A fila possui quantidade ilimitada de buffer (default)

A população de clientes é infinita (default) A disciplina de serviço é FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido) - (default)

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não utilizadosM/M/1 => M/M/1/ / / FCFS

- Desprezar os três últimos símbolos quando:disciplina é FCFS, população infinita e tamanho da filainfinitoM/M/1/B M/M/m

M/M/m/B

M/M/m/m

M/M/

M/G/1 M/D/1 M/M/m//k

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HipótesesDois clientes nunca chegam simultaneamente

O 1º cliente chega no instante t0 o 2º no instante t1 e assim por diante

Os tempos entre chegadas estão distribuídos

exponencialmente A taxa de chegada (1 / ) também terá distribuição exponencial

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Se a taxa de chegada possui distribuição exponencial,a probabilidade de k clientes chegarem dentro de T

segundos pode ser modelada pela distribuição de Poisson: T

k ek

T T P

!)( onde: > 0, k = 0,1,2, ...

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Num sistema com = 0,4 chegadas/s, em T = 8 s, ocorrerão 3,19959chegadas aproximadamente. Em média: 0,4 x 8 = 3,2 chegadas

k Pk k.Pk

0 0,04076 0,000001 0,13044 0,130442 0,20870 0,417403 0,22262 0,667854 0,17809 0,712375 0,11398 0,569906 0,06079 0,364737 0,02779 0,19452

8 0,01112 0,088939 0,00395 0,0355710 0,00126 0,0126511 0,00037 0,0040512 0,00010 0,00118

Soma = 0,99997 3,199590,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13k

Pk

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>

i >

1

2 3

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É importante no estudo das filas pois o tempo de serviço pode sermodelado por uma distribuição exponencial. Exemplos:

No tráfego telef ônico, é a duração de uma ligação

Numa rede de comutação de pacotes é o tempo de transmissão de umpacote, que é proporcional ao seu comprimento

Não existe um embasamento matemático que justifique essa hipótese, porém, a prática se aproxima bastante de uma distribuição exponencial

Além disso, essa hipótese simplifica o tratamento matemático

Do mesmo modo, a distribuição exponencial também pode serutilizada com boa aproximação na modelagem do tempo interchegada

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Função Densidade de Probabilidade: f(t) =

Função Probabilidade acumulada: F(t) =

0 , se t < 0

e t , se t 0

0 , se t

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Média: E[X] = X = = 1 /

Variância: V2[X] = = 1 / 2

Desvio Padrão: x = 1/ ( é igual a Média!!! )

Essa distribuição é utilizada para modelar:O tempo de serviço em uma central telef ônica, o tempo em que um cliente fica conectado

Numa rede de comunicação, o tempo de serviço é o tempo necessário paratransmissão de um pacote através de um link de rede

y . f(y) dy

y2 . f(y) dy

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Gráficos do tamanho da fila para diferentes valores de desvio padrão

Quando: desvio/valor médio = 1, temos a Distribuição Exponencial

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Tempo de residência para diversas relações deutilização ( ) e desvio padrão ( )

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= Tempo interchegada = tempo decorrido entre duas chegadas sucessivas

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m Quantidade de servidores idênticos.Taxa média de chegada, de clientes (=1/ E[ ]). Em alguns sistemas, poderá

depender do estado do sistema (quantidade de clientes).

s Tempo de serviço (de atendimento) de um cliente.Taxa média de serviço por servidor (=1/ E[s ])). Para m servidores, a taxa

média de serviço é m n Quantidade total de clientes no sistema, também chamada tamanho da fila.

Inclui os clientes em espera por um servidor e os que estão sendo atendidos.n q Quantidade de clientes aguardando atendimento. É sempre menor que n , pois

não inclui os clientes em serviço.n s Quantidade de clientes em serviço.r Tempo de resposta do sistema. Ou tempo total de residência dos clientes

dentro do sistema de fila (tempo de espera + tempo de atendimento).w Tempo de espera para ser atendido. É o tempo decorrido entre a chegada e oinício do atendimento (serviço) do cliente.

Todas as variáveis, exceto e , são variáveis aleatórias.

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Utilização do servidor (= / )

B Tamanho da fila, quando esta for finita (tamanho do Buffer) Tempo interchegadas (= 1/ )

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Condição de Estabilidade: se a quantidade de clientes

no sistema aumenta, tendendo a infinito, o sistema é ditoInstável. Para haver estabilidade, a taxa média dechegada deve ser menor que a taxa média de serviço ( < m ). Esta regra não se aplica para população finita ebuffe r finito (podem haver clientes rejeitados) sistemanunca fica instável Utilização de um servidor: = /

< 1, para Sistema de Fila ser Estável População no Sistema: n = n q + n s E[n ] = E[n q ]+E[n s ] Tempo no Sistema: r = w + s E[r ] = E[w ]+ E[s ]

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Permite calcular a quantidade de clientes (itens)

em qualquer Sistema de Fila. Resume-se a: quantidade média = taxa de chegada x tempo médiode respostaEsta relação se aplica a um Sistema Inteiro ou parte de um Sistema de Fila

Baseia-se numa visão tipo “ Caixa Preta” doSistema de Fila

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Tempo

Quantidade

A equação de Little pode ser aplicada a um subsistemaou todo o sistema de Fila.

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Aplicando a equação de Little num subsistemaou em todo o sistema de Fila:

Na fila de espera: nq = . w

No servidor: ns = . s = /

No sistema inteiro: n = . r

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Se é a taxa de chegada numa linha de transmissão,nq é a quantidade média de pacotes esperando nobuffer (não sendo transmitidos), e w é o tempo

médio gasto por um pacote no buffer. Então, pelaequação de Little:

nq = . w

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Numa sala de espera de um consultório, há 15clientes em média e taxa de chegada é de 1 cliente a cada 30 segundos. Calcule o tempo médio de espera dos clientes na sala. Os clientes sãoatendidos na ordem de chegada (FIFO).

Temos que:nq =15 = 2 clientes/minutoAplicando a equação de Little na fila: nq = . wTempo de espera na fila: w = 15 / 2 = 7,5 minutos

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Sistema de fila com um servidorExemplo: clientes na fila do caixa eletrônico

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Simbologia

Modelo

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Processo de chegada tipo Poisson (M)Tempo de serviço - distribuição exponencial (M) Quantidade de servidores (= 1)Infinitas posições na fila de espera (clientes não

são perdidos) Disciplina de serviço do tipo FIFOPopulação de clientes é infinita (taxa dechegada é constante)

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Estado: 0

1

0

1

2

1

2

3

2

n 1

n

n-1

n

n+1

n

n+1

n+2

n+1

n-1

n-2

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Distribuição dePoison na chegada Tempo de serviço exponencialcom média 1Distribuição dePoison na chegada Tempo de serviço exponencialcom média 1

Mudanças de estadopossíveis ent r e osinstantes t e t + t

n

t t + t

n+1

n

n-1

t

1 partida,

0 chegadas

0 partidas, 0 chegadas

ou

1 partida, 1 chegada

0 partidas,

1 chegada

Estado

Tempo

n

t t + t

n+1

n

n-1

t t

1 partida,

0 chegadas

0 partidas, 0 chegadas

ou


0 partidas,

1 chegada

Estado

Tempo

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Um sistema de fila M/M/ 1 será estudado a seguir visando determinar seu equilíbrio, ouse ja, quando atinge a condição de regime permanenteNessas condições, o sistema pode seridentificado através de suas propriedadesestatísticas (tempo de espera, tempo deresidência, tamanho da fila, tempo de espera na fila, etc)Esse estudo poderá ser estendido para outros sistemas de fila (M/M/ N, M/M/ N / N, etc)

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nn 1 n+1

. t

. t

. t

. t

nn 1 n+1

. t

. t

. t

. t

As 4 condições para haver n clientes no sistema em t + t:1. Haviam n+1 pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e

nenhuma chegada

2. Haviam n-1 pacote no sistema em t, no intervalo t houve 1 chegada enenhuma partida3. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t não houve partida e

nem chegada4. Haviam n pacotes no sistema em t, no intervalo t houve 1 partida e 1

chegada

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Estado Inicial(Instante t)

Eventos Durantet Estado Final(t+ t)

n+1 clientes 1 partida + 0

chegadan

n-1 clientes0 partida + 1

chegadan

n clientes 0 partida + 0chegada

n

n clientes1 partida + 1

chegadan

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ExpressãoA

= pn(t).[1 – . t – 0( t)].[1 – . t – 0( t)] pn(t+ t)

+ pn(t).[ . t + 0( t)].[ . t + 0( t)]

+ pn+1(t).[1 – . t – 0( t)].[ . t + 0( t)]

+ pn-1(t).[ . t + 0( t)].[1 – . t – 0( t)]

t t + t

n+1

n

n-1

t

p

0 chegadas0 partidas, 0 chegadas

ou


0 partidas,

1 chegada

Estado

Tempot t + t

n+1

n

n-1

t t

p

0 chegadas0 partidas, 0 chegadas

ou


0 partidas,

1 chegada

Estado

Tempo

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Ex pr essão B

= p 0 (t).[1 – . t – 0( t)].[1 – . t – 0( t)] p 0 (t+ t)+ p 0 (t).[ . t + 0( t)].[ . t + 0( t)]

p 0 (t – t) – p 0 (t) t

Lim t 0

p 0 (t – t) – p 0 (t) t

Lim t 0 = – . p 0 (t) + . p 1 (t)

Da ex pr essão B:

d p 0 (t)

d t

d p 0 (t)

d t = – . p

0

(t) + . p 1

(t)

d p 0 (t) d t d p 0 (t) d t = 0

E m r egime permanent e:

– . p 0 (t) + . p 1 (t) = 0

Quando n=0:

+ p 1 (t).[ . t + 0( t)].[ . t + 0( t)]

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Utilização:

Para n 1

==

pn

(t – t) – pn

(t)

t Limt 0 p

n

(t – t) – pn

(t)

t Limt 0 Ignorando os termos em t 2

e de ordem superior

d pn(t)

dt = – .pn(t) – .pn(t) + .pn-1(t) + .pn+1(t)

d pn(t)

dt

d pn(t)

dt = – .pn(t) – .pn(t) + .pn-1(t) + .pn+1(t)Teremos:

Logo: p1 p0= p1 p0=

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d p n (t)

d t = 0 d p n (t)

d t d p n (t)

d t = 0 Em r egime per manente:

( + ). p n = . p n - 1 + . p n+1 n 1

. p 1 = . p 0 n = 0

= = n (1 - )

1 - n+1 p n =

n (1 - )

1 - n+1

n (1 - )

1 - n+1 p n =

Par a a fila M/M/ 1:

Par a: N ∞ Par a n 1:

p n = n (1 - )

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População média no sistema em regime permanente:

E[n] = n = 1n = 1

n.pn = n. n .(1- )n = 1

n. n .(1- )n = 1n = 1

= 1 1

Tempo de residência no sistema, utilizando a Lei de Little:

E[r] = E[n] / = = (1 )

/

(1 )

/

.(1 )

1

.(1 )

1

Tempo na fila de espera:

E[w] = E[r] E[s] = = .(1 )

1

.(1 )

11 11

( )( )

( )

1

( )

1=

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1. Parâmetros: = Taxa de chegada (por unidade de tempo)= Taxa de serviço (por unidade de tempo)

2. Utilização do servidor (=intensidade de tráfego): /3. Condição de Estabilidade: 4. Probabilidade de zero clientes no sistema: p0 = 1 5. Probabilidade de n clientes no sistema:

pn = P[N = n] = (1 n , n = 0, 1, 2, ....6. Probabilidade de haver mais que n clientes no sistema:

pn+ = P[R > n] = n

7. Quantidade média de clientes no sistema: n = /(1 )8. Quantidade média de clientes na fila: nq = / (1 )9. Tempo de residência (tempo de resposta) médio: r = 1 / [ (1 )]10. Probabilidade acumulada do tempo de residência:

P[ r t ]= 1 e t

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Um servidor de rede esta associado a 100 computadores através de uma

rede (LAN). O servidor mantêm um banco de dados para consultas dos

computadores. O tempo médio de resposta de uma consulta no servidor é

de 0,6 segundos e o desvio do tempo é igual a média. No horário de pico, a

taxa de consultas atinge a taxa de 20 consultas /minuto. Responda as

seguintes questões:

(1) Qual o tempo de resposta médio?

(2) Se o tempo de resposta máximo aceitável for 1,5 s (para 90% das consultas), qual o percentual de aumento de tráfego?

(3) Com um acréscimo de 20% de tráfego, qual o aumento no tempo deresposta?

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Assumindo um modelo M/M/1 para o sistema servidor, rede e micros. Os

atrasos na rede (tempo de propagação) e as colisões) são ignorados.

(1) Tempo de Resposta Médio:

Taxa de chegada: = 20 / 60 = 1/3 clientes / segundo

Taxa de atendimento: = 1 / 0,6 = 10 / 6 clientes / segundoIntensidade de tráf ego (=utilização do servidor): / = 1/3 x 6/10= 0,2

Tempo de Resposta do Sistema: r = 1 / [ 1 0,6 / (1 0,2) =0,75 s (=0,6 s no atendimento + 0,15 s na fila de espera do servidor)

c

s

c c c

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(2) Aumento de tráfego:

Acréscimo no Tráfego quando r = 1,5 s para 90 % das requisições:1,5 = r x ln[100/(100 - 90)] então: r = 0,65

Como r = (1/ 1 1 Logo:

Assim, a intensidade de tráf ego ( ) deve cair de 0,2 para 0,077 para que o tempo de residência (r) caia de 0,75 para 0,65

(3) Acréscimo no tempo de resposta:A intensidade de tráfego (utilização) foi aumentada em 20%, então:= 0,2 + 0,2 = 0,4

Logo: r = (1/ 1 (1/1,667) / (1 0,4) = 1,00 s

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Sistema com m servidores iguaisCada servidor possui uma taxa de serviço igual aSistema sem perdas - se todos os servidores estiveremocupados, novos clientes aguardam na fila de espera

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Estado: 0 1 m 1

m.

m

m

m+1

m m

n. , n = 1, 2, 3, ..., m-1

m. , n = m, m+1, m+2, m+3, ...,n =

n = , n = 0, 1, 2, ... ,

Para o sistema M/M/ m:

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1. Parâmetros: Taxa de chegada= Taxa de serviço

m = Quantidade de servidores

)1(

.. q

Pmn

5. Tempo de residência médio:

3. Condição de Estabilidade:

2. Utilização (intensidade de tráf ego) média de um servidor: m) /

6. Quantidade média de clientes no sistema:

4. Intensidade de tráf ego do sistema (dos m servidores): /

)1(1

1

m

Pr

q

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sm

Pssr w

q

)1(17. Tempo de espera médio, sendo:

Am

sP

m

sPw

qq

)1(Logo:

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Pq = probabilidade de todos os servidores estarem ocupados (ocorre formação de fila). Onde:m m P0

m!Pq =

P0 = probabilidade do sistema estar vazio (sem clientes). Dada por:

m m

m!P0 =

n = 0

m - 1 m n

n!+

1

A equação anterior é conhecida como equação de Erlang-C. Tendo sidotabulada e é bastante utilizada em sistemas de telefonia.

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1/

r =1. Tempo de residência médio:

2. Quantidade média de clientes no sistema:2

n =

3. Probabilidade de formação de fila:2

Pq =

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Sistema com quantidade infinita de servidoresTodo o cliente que chega ao sistema encontra umservidor livre e é imediatamente atendidoTaxas de chegada e de serviço possuem distribuiçãoexponencial Não existe fila de espera, o comprimento da fila e o

tempo de espera são nulos É um sistema que introduz apenas um atrasoequivalente ao tempo de serviçoUtiliza as equações do sistema M/M/m na situaçãolimite, quando m =

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Probabilidade de sistema vazio:Probabilidade de n clientes no sistema:

Quantidade de clientes no sistema:Tempo médio de residência:

e p0

!n

e p

n

n

n

1r

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Distribuição do tempo entre chegadas: Exponencial Distribuição do tempo de serviço: Exponencial Quantidade de Servidor(es): mCapacidade do Sistema: B

T rata- s e de um s i s tema c om m s er v i dore s e B buffer s ,

onde B m ( cada se r vido r possui uma posição de

buffer)Se as B posições estive r em ocupadas, os clientes

subseqüentes são pe r didos

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Estado: 0

1

0

1

2

1

m 1

m

m-1

m

m+1

m

m+1

m-1

m-2

m+2

m+1

b

k-1

B

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Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidorocupado: 11

1

1

0!1!

11

m

n

nmm B

n

m

m

m p

0! pn

m

p

n

n

0! p

m

m p

nm

n

Probabilidade de haverem n clientes no sistema:

Para n

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Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidorocupado:

11

1

1

0!1!

11

m

n

nmm B

n

m

m

m p

0! pn

m

p

n

n

0! p

m

m p

nm

n

Probabilidade de haverem n clientes no sistema:

Para n

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Quantidade de clientes na fila:

Tempo de espera na fila:

B

mnnq pmnn 1 )(

'

qnw

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O sistema M/M/m /B pode originar doistipos de sistemas de fila:

Sistema M/M/m/m , onde m= B , que é aplicável asistemas de capacidade m e quantidade deservidores m , sem espaço de espera. Cada um dos m servidores comporta um clienteSistema M/M/1/B , onde m =1, que é aplicável asistemas de capacidade B e 1 servidor. Ou se ja, B-1 posições de espera

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Distribuição do tempo entre chegadas: Exponencial

Distribuição do tempo de serviço: ExponencialQuantidade de Servidor(es): mCapacidade do Sistema: m T r ata - se de um sistema com m se r vido r es e decapacidade m ( 1 posição po r se r vido r), sem espaço de

e s peraSe os m se r vido r es estive r em ocupados, os clientess ub s eqüente s s ão perd i do s (o c orre b l oque i o dosistema )

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1. Sistema M/M/m/m, sem espaço de espera

2. Número de posições em serviço =número de servidores (não há fila de espera)

3. Chamadas que chegam:

4. Chamadas bloqueadas: Pb

5. Chamadas não bloqueadas: Pb

6. Pb = probabilidade dos m servidores (linhas) estarem bloqueados (ocupadas)

1

2

3

m Pb(Bloqueio)

’

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1

00 !

m

n

n

n

m p

0! p

n

m p

n

n

m

n

n

m

b

n

m

mm

p

0 !

!

Probabilidade de nenhum cliente no sistema:

Probabilidade de n clientes no sistema:

Probabilidade de bloqueio do sistema P[n=m]:

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m

n

nnpn1

sn

r '

Número médio de clientes no sistema:

Taxa de chegada efetiva (clientes não rejeitados):

Tempo de residência:

b

m

n

n

m

n

n p p p 1'1

0

1

0

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Quando n=m, todas as linhas estãoocupadas, as próximas requisições serão bloqueadasA probabilidade de bloqueio será:

Pb = m

i = 0

(m )i / i!

(m )m / m! onde: = /

A equação anterior também é conhecida como distribuição Erlang-B de bloqueio, distribuiçãode Erlang ou equação de perdas de Erlang do tipo B

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Probabilidade de sistema vazio:

Probabilidade de n clientes no sistema:

Probabilidade de bloqueio:

para 110 1

1 B

p1

10

B p para = 1

n

B

n

n p p 10 1

1para 0 n B

B

B

B

b p BP p 10 1

1

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Número de clientes no sistema:1

1

1

)1(

1 B

B Bn

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Sistema representado esquematicamente conforme a

figura:

K N

n

Sistema com N servidores, população K finita (onde: K

N). Sem espaço de esperaA taxa de serviço possui distribuição exponencial Em dado instante, existirão n clientes (onde: 0 n ) e cada um será atendido por um único servidorSe n > N, pode haver rejeição de clientes (bloqueio)

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Pode ser utilizado para modelar:Uma central telefônica com K assinantesentradas e N troncos de saída Uma ERB com K usuários e N freqüênciasde RF (canais)

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Sistema de fila onde a taxa de serviço atende a distribuição Geral Pode ser utilizado, por exemplo, paramodelar o tráfego em:

Sistemas com prioridade não preemptivosSistemas onde o tempo de serviço estádividido em classes conhecidas

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Quantidade de clientes no sistema:

Tempo de residência no sistema:

Tempo de espera na fila:

Um caso particular do sistema M/G/1 é o M/D/1(sistema determinístico), onde: =0

2212

11

1nr

221211n

sr w

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Numa central de comutação de

circuitos podem haver M circuitosde entrada e N circuitos de saídaCada circuito pode ser um canal do tipo full-duplexCada circuito de entrada estaráconectado a uma saída duranteum certo tempo (tempo deconexão)

Se M>N, uma entrada poderánão ter uma saída disponível,num determinado instante detempo, se os N circuitos de saídaestiverem ocupados, ocorrendoum bloqueio

1

2

M

1

2

N

Central deComutação

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Uma central telefônica típica utiliza

uma central de comutação de circuitosPossui M assinantes e N linhas tronco(trunk), onde: M >> N Não há espera por linha livre, então acentral pode ser modelada por um sistema de fila do tipo M / M / m / m, ondem = NA taxa de chegada de chamadas paraas N linhas tronco é: N. A intensidade de tráfego total,

oferecida para as N linhas tronco, édada pela letra AA probabilidade de perdas (ligações re jeitadas) é calculada utilizando aequação de perdas do tipo B de Erlang

Pb = N

i = 0

Ai / i!

AN / N!

Onde: A = (N. ) / = N.

1 2

M

1 2

N

Central Telefônica

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A equação de perdas Erlang-B pode ser usada paradimensionar sistemas telefônicos. Fornecendo uma estimativada probabilidade de ocupação (bloqueio) dos troncos (linhas), apartir da demanda (tráfego) e da quantidade de linhas (troncos).Erlang É uma unidade de tráfego telefônico, definida como aquantidade de tempo, em horas (ou minutos), gasta paraatender todas as ligações que entram num sistema duranteuma hora (ou um minuto) de funcionamento.EXEMPLO:

Numa central telefônica com 100 linhas, qual a demanda produzida

s e c ada li nha r e c ebe, e m m éd i a, 2 c ha m ada s / ho r a e e ss a s tê m du r a ç ão m éd i a de 3 mi nuto s ? Solução:chegam à central 100 x 2 = 200 chamadas por hora, que ocupam 200 x 3 = 600 minutos = 10 horas. Conseqüentemente, o tráfego éde 10 horas por hora, ou seja: 10 erlang.

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A central telefônica possui N linhas, que podem operarsimultaneamenteCada linha possui uma ocupação média de s unidades detempo (segundos, minutos, ... ), que é a duração média de umachamadaA demanda da central telefônica é de N. chamadas porunidade de tempoCada linha possui uma intensidade de tráfego igual a , onde:

Duração média de uma ligação: sTaxa de serviço por linha: = 1/s

Intensidade média de tráfego por linha: = / A intensidade de tráfego total é simbolizada pela letra A e otráfego total (de todas as linhas) oferecido à central será:

A = N. = N.

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Quando aumenta-se aquantidade de linhas da

central, o tráfego por linhadiminui Resultando na diminuição daprobabilidade de bloqueioQuando a quantidade delinhas é maior que aintensidade de tráfego (N >A), resulta < 1, ocorrendouma quede brusca naprobabilidade de bloqueioO gráfico ao lado mostra quePb cai bruscamente quandoA /N = < 1

0 2 4 6 8 10 12 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

A/N

P b

= P

r

o b a b i l i d a d e d e B l o q u e i o

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Dada uma certa intensidade de tráfego (emErlangs)Avalia-se a probabilidade de bloqueio (ou de perda) para diferentes quantidades detroncos da central

Ver gráfico Probabilidade de Bloqueio xQuantidade de Troncos (linhas)O gráfico é obtido a partir da equação de perdas de Erlang-B

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0 5 10 15 20 25 30 35 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

A=5 10 15

30 25

20

Quantidade de Linhas (N)

P r o b a b i l i d a d e d e B l o q u e i o

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0 5 10 15 20 25 30 35 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

A=10

Quantidade de Linhas (N)

P

r o b a b i l i d a d e d e B l o q u e i o

Dada uma intensidade de tráfego

máxima de 10 erlangs, avalia-sea quantidade de troncosnecessária para umaprobabilidade de bloqueio

No gráfico, verifica-se aquantidade de linhas necessáriaspara uma probabilidade de

bloqueio (ou perda) esperadaPara o cálculo também se utiliza:calculadora programável, tabelade Erlang, programa demicrocomputador

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Exemplo: Sistema do tipo M/M/N/N com A=2.158 Erlangs, N=7 linhas. Probabilidade de bloqueio: Pb=0,005 (B= 0,5%)

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Tráfego oferecido: A (m. ) = 31x3 = 93

erlangsAchar N, tal que: Pb (A,N)

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Avaliar o desempenho de uma central telefônica com N troncos Um parâmetro de desempenho de uma central telefônica é a probabilidade de

bloqueio para diversas intensidades detráfego (A)

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0 10 20 30 40 50 60 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Intensidade de Tráfego (A - Erlangs)

P r o b a b i l i d a d e d e B l o q u e i o

N=5

10 15

20 25

30

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Tráfego oferecido: A = ?

Probabilidade de perda: Pb(A,100) < 0,004Calculando iterativamente:

Pb(79,100) = 0,003074Pb(80,100) = 0,003992Pb(81,100) = 0,00511

Amax = 80 erlangs Sendo: A = m. = m. = m. .sLogo: max = 80/(100x5) = 0,16 chamadas /min.

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10 terminais estão conectados a um concentrador determinaisCada terminal gera um pacote a cada 8 segundos Pacotes têm 960 bits de comprimento em médiaLinha de saída com capacidade de 2400 b/ s Tamanho do pacote e tempo entre chegadas depacotes com distribuição exponencialDeterminar:

Ocupação média do bufferAtraso médio no sistemaTempo médio de espera na fila

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Quando as requisições podem esperar uma

linha livre, haverá fila de espera.Se a capacidade da fila for muito grande, não haverá re jeição de clientes.O modelo M/M/m (sem perdas) pode serutilizado

Central PABX com esperam = 8 linhas de saída.A = 4,5 Erlangs Calcular a probabilidade de espera

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Os sistemas com espera e capacidadeinfinita (muito elevada) são modelados pelo sistema M / M / m Sendo a intensidade de tráfego A=(m.

A probabilidade de espera (fila) será dada

pela equação de Erlang-C:m P0

m! mPq =

m

m!P0 =

n = 0

m - 1 n

n!+

1

Onde:

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PBX

Capacidade 40 ramaisCada ramal realiza diariamente, em média,54 ligaçõesA duração de cada ligação é, em média, 3 minutos

Qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade 5% de espera? Qual o tempo de espera?

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Em sistemas com prioridade, os clientes sãoatendidos pelo servidor conforme a prioridade Num sistema com prioridade, cada classe deprioridade é alocada em uma fila. Existirão tantas filas quanto as classes pré-definidas.Normalmente, o servidor é alocado à fila demenor prioridade, passando a atender outra fila ao chegar um cliente de maior prioridade

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A qualidade de serviço é necessária para adequar o

desempenho da rede ao atraso admissível para umadeterminada aplicaçãoUm dos problemas do tráfego de redes é a latência, queé decorrente da espera em filas de switches (FIFOs), dodesempenho aleatório do tráfego da rede, etc.Aplicações de multimídia requerem baixa latência, daordem de dezenas de milissegundos

São definidas classes para os fluxos de dados, aopassarem pelos switches, os fluxos de maior prioridadesão enviados primeiro num segmento de rede. Paraisso, são criadas filas de saída por classe de tráfego,para cada segmento de rede.

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F ilas d esaída

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Pri o ri d a d e do Q u a d r o (VLAN)

Pri o ri d a d e do D a t a g rama IP

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Serão avaliados os sistemas de transmissão do tipoTDM (Time Division Multiplexing ) e STDM (StatisticalTi me Di v i s i on Mu l t i p l e x i ng ) não determinísticos ou comalgum grau de determinismoO determinismo geralmente é utilizado em sistemas onde o Jitte r elevado é um fator restritivo no projeto dosistema de transmissão, por exemplo, em sistemas devoz ou vídeo em tempo realNa transmissão de dados, onde os atrasos não são

críticos, os sistemas não determinísticos são maiseficientes O determinismo será considerado em dois aspectos, nataxa de chegada e na taxa de serviço da informação aser transmitidaPara simplificar a análise, serão avaliados sistemas comapenas dois fluxos de informação

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O sistema TDM reserva o uso do canal de maneiradeterminística. Ou seja, para cada fluxo deinformação há uma fração exata da capacidade docanalPorém, o TDM deixa de ser eficiente quando alocaum canal a um fluxo que não possui informação paratransmitir (a informação não chegou ao MUX,multiplexador) ou não chegou totalmente durante areserva do canal) Os pacotes de informação de cada fluxo possuemtaxas de chegadas e de atendimento com distribuiçãoexponencial

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A capacidade disponível no canal ( ) é

dividida entre os 2 fluxos de informação nodomínio do tempo Teremos então, dois canais dedicados comcapacidade ( /2) cada umSe cada fluxo possui taxa de chegada / 2 Como as taxas de chegada e de serviço

possuem distribuição exponencial, cada fluxoé um sistema tipo M/M/ 1 com tempo de resposta:

)1(

22

22

11

sr

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Diferente do TDM, que reserva parte do

canal, ha ja ou não informação disponível O sistema STDM reserva o uso do canal de maneira não determinística, alocando toda a capacidade do canal ao fluxo que estiverpronto para ser enviado

Considerando que os pacotes de informação da cada fluxo cheguem com uma taxa distribuição exponencial

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A capacidade disponível no canal ( ) éalocada totalmente, sob demanda, a cada

fluxoTeremos então um canal de alta capacidade( ) alocado a cada fluxo Se todos os fluxos associados possuem taxade chegada

Como as taxas de chegada e de serviço possuem distribuição exponencial, o canal todo é um sistema tipo M/M/ 1 com tempo de resposta:

)1(

12

sr

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Comparando os tempos de residência:

Indicando que o STDM é 2 vezes mais eficienteO sistema STDM reserva o uso do canal de maneiranão determinística, alocando toda a capacidade docanal ao fluxo que estiver pronto para ser enviadoA comparação só é valida se os pacotes deinformação da cada fluxo chegarem com uma taxadistribuição exponencial e as taxa de serviços forem

também exponenciais Esta situação ocorre em sistemas orientados apacotes (transmissão de dados), onde o tempo deatraso variável (Jitter) não é crítico

21 .2 r r

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Os sistemas de transmissão analisados até aqui assumiram modelos do tipoM / M /1, sem nenhum determinismoNo caso de haver determinismo, ou desvio padrão nulo, os seguintes

sistemas são possíveis:M/ D /1D /M/1D / D / 1

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Nesse sistema, o tempo de serviço é fixo e a taxa dechegada possui distribuição exponencial A capacidade disponível no canal ( ) é dividida entre os2 fluxos de informação no domínio do tempoTeremos então, dois canais dedicados com capacidade( /2) cada um Se cada fluxo possui taxa de chegada /2

Como apenas as taxas de chegada possuem distribuição exponencial, cada fluxo é um sistema tipoM / D /1 com tempo de resposta:

)1(

)2(

)1(2

2

21

sr

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Nesse sistema, o tempo de serviço é fixo e a taxa

de chegada possui distribuição exponencial A capacidade disponível no canal ( ) é alocadatotalmente, sob demanda, a cada fluxoTeremos então um canal de alta capacidade ( ) alocado a cada fluxoSe todos os fluxos associados possuem taxa dechegada

Como apenas as taxas de chegada e de serviçopossuem distribuição exponencial, o canal todo éum sistema tipo M/D/1 com tempo de resposta:

)1()2 / )(2(

)1(22

2

sr

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Nesse sistema, o tempo de serviço é fixo e a taxa de chegada é fixaComo é um sistema estável, logo:

/ é fixo e menor do que 1Então:

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Sistema TDM Sistema STDM

Nãodeterminísticos

(M/M/1)

Determinísticos(M/D/1)

)1(2s

)1(s

)1()2( s

)1(

)2 / )(2( s

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(M/M/1)


s2 s

ρ quase n

s2 s

Melhor Pior

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(M/M/1)


)1(2s

)1(s

)1(s

)1(

)2 / (s

ρ quase unitário

Melhor Pior

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0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

TDM(D / D /1)

STDM (M/D/1)

TDM (M / D /1)

STDM(M / M /1)

TDM (M/M/1)

Intensidade de Tráfego

T e m p o d

e

R e s p o s t a

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A inclusão do determinismo no tempo de serviçopermitiu quadruplicar o desempenho em relação ao sistema TDM não determinísticoO sistema de multiplexação estatística teve sempre melhor desempenho que o não estatísticoPara baixas intensidades de tráfego, o sistema

determinístico D / D / 1 é menos eficiente que o M/ D /1O sistema D / D / 1 possui desempenho constante,sendo o mais eficiente para intensidades detráfego elevadas (> 67%)

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Rede em série com re-alimentação

Rede Paralela

A existência de re-alimentação anula a característicade distribuição de Poisson na rede.

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É utilizado para analisar redes de Filas. OTeorema de Jackson estabelece o seguinte:1. Uma rede de filas possui m nós, cada nó fornece

um serviço independente com distribuiçãoexponencial

2. Todos os itens que entram na rede de filas (de

fora) possuem distribuição de Poisson3. Qualquer item que sai de um nó, vai

imediatamente para o próximo nó, com umaprobabilidade k , ou sai do sistema

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Nó 1

Nó 5

s1

s2

d4

d2

Nó 4

Nó 2

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Terminalde Origem

Terminalde Origem

Servidor

Servidor

1

5

2

3

4

Rede de Comutação de Pacotes (roteadores)

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1

3

5

s1

s2

d4

d2

4

2

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1

link 1

link 2

link 3

sistema M / M / 1

p1

p1.

p2.

p3.

p2

p3

obab dades de otea e to: pi = 1

Balanço de Fluxo: ki pi = 0

Análise

Tempo de Residência (pacote percorre M nós roteadores):

Entrada Link 1 :

E[r] = 1

i – i

M

i=1

= M

i=1

1 / i

1 – i

E[r] = 1

1 – p1

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1

5

2

3

4 1 / 2

(7 / 4)

1 / 4

(1 / 2)

(3 / 2) 3 / 4

5 = 2

1 = 2

1 / 2 2 / 3

1 / 3

(17 / 12)

(17 / 6)

17 / 12

55 / 12

Valores associados a cada link Fora do parênteses: probabilidades

Entre parênteses: f luxo de inf ormação

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Tempos de Resposta:

T 1,4 (r o t a 1-5-4) = 1

3 – 3/2

1

3 – 7/4 + = 1 , 467 s

T 1,3 (ro t a 1-2-3) = 1

3 – 1 / 2

1

3 – 17/12 + = 1,031 s

T 1,4 ( r o ta 1-5-2-4) =1

3 – 3/2 1

3 – 7/4 + 1

3 – 17/6 + = 7 , 467 s

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População média no sistema em regime permanente:

=

E[n] =n = 1

n.pn = n. n .(1- )n = 1

=1

Onde:

Tempo de residência no sistema, utilizando a Equação de Little:

E[r] = E[n] / = =(1 )

/

.(1 )

1

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Uma rede aberta possui chegadas e saídaspara o meio externo

Uma rede fechada não possui chegadas ou

partidas para o meio externo

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[1] Bertsek as, D., Gallager, R. - Dat a N etwor k s, Prentice Hall, 1992.[2] Giozza, W.F. (et al.) - Red es Locais d e C om put ador es: Pr ot ocolos d e Alt o Ní vel e

Avaliação de Desempenho, McGraw-Hill / Embratel, 1986.[3] Jain, Ra j - T he Art o f C om put er S yst ems Perf or mance Anal ysis, John Wiley & Sons,1991.

[4] Kleinrock, Leonard - Queueing Systems - Volume I , John Wiley & Sons, 1975.[5] Rappaport, Theodore S. W ir eless C ommunications, Prentice Hall, 2nd. Edition[6] Schwartz, Mischa - Telecommunication Networks, Addison-Wesley, 1988.[7] Stallings, William - Dat a and C om put er C ommunications, Maxwell Macmillan, 1991.[8] Stallings, William - Queueing Anal ysis, Apostila, 2000

(http:// www.WilliamStallings.com/ DCC6e.html).

[9] T eoria do Tr á f ego T ele f ônico, SIEMENS A.G., 1975[10] http://athena.mat.ufrgs.br/~portos/erlang.html

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