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Ficha 1 de Exercícios - ULisboa · ACED Análise Complexa e Equações Diferenciais Prof. Michael...
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ACEDAnálise Complexa e Equações Diferenciais
Prof. Michael Paluch • 2o Semestre 2019/2020
Ficha 1 de Exercícios
1. Escreva cada número complexo na forma reiθ com 0 ≤ θ < 2π.
(i) i3, (ii) 1 − i, (iii)√
2(1 + i), (iv)√
3 − i, (v) 2 − 2√
3i.
2. Escreva cada número complexo na forma x + iy com x, y ∈ R:
(i) eπi/4, (ii) 5e−πi (iii) 2e3πi/2, (iv) e4πi/3, (v) e7πi/6.
3. Escreva cada número complexo na forma eiθ com −π < θ ≤ π.
(i) (1 − i)(−1 − i), (ii) (1 − i)−1, (iii) (√
3 − i)/(1 + i), (iv) (1 +√
3i)3.
4. Calcule, para n = 1, 2, 3, . . . ,
(i) in, (ii)(
1 − i1 + i
)n, (iii) (1 + i)n + (1 − i)n.
5. Determine∑n
k=0 eikθ e mostre
1 + 2n∑
k=1
cos kθ =sen(n + 1
2 )θ
sen 12 θ
para θ 6= 2mπ com m ∈ Z.
6. Determine todas as soluções das equações seguintes:
(i) 1 + z + · · ·+ z7 = 0,
(ii) (1 − z)6 = (1 + z)6,
(iii) 1 − z + z2 = 0,
(iv) 1 − z2 + z4 − z6 = 0.
7. A relação de ordem usual > de R verifica as propriedades seguintes:
(a) Se x 6= 0, então x > 0 ou −x > 0, mas não as mesmas.
(b) Se x, y > 0, então x + y > 0 e xy > 0.
Mostre que não existe uma relação > em C que verifica (a) e (b).
1
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Ficha 2 de Exercícios
1. Esboce os seguintes subconjuntos de C dados por:
(i) z | |z + 2| = 6.
(ii) z | |z − 3i| = |z + i|.
(iii) z |∣∣ 1
z
∣∣ ≤ 2.
(iv) z | |z − 1 + i| ≥ |z − 1 − i|.
(v) z | |z + 1|+ |z − 1| = 2.
(vi) z | z2 + z2 = 1.
2. Encontre todas as soluções da equação z4 − 4z3 + 6z2 − 4z − 15 = 0.
3. Encontre a parte real e imaginária das funções
(i) f (z) = z + iz2.
(ii) f (z) = i − z3.
(iii) f (z) = z/z.
4. Para uma função f , seja Z( f ) = z ∈ C | f (z) = 0. Determine Z( f ) para as funções:
(i) (z4 − 1) sen(πz)
(ii) ch2 z
(iii) 1 + exp 2z
(iv) sen3 (z−1), para z ∈ C \ 0
(v) 1 − exp z2
(vi) 1 + exp z2
5. Esboce a imagem pela aplicação f do conjunto A indicado
(i) f (z) = z2, A =
z ∈ C | Arg(z) = 5π6
(ii) f (z) = (z − i)−1, A = z ∈ C | |z − i| = 2
(iii) f (z) = Log z, A =
z ∈ C | 2 < |z| < e, π4 < Arg z < 7π
4
, usando o ramo principal do
argumento na definição do logaritmo.
6. Encontre os limits
(i) limz→−i
z2 + 3iz − 2z + i
,
1
(ii) limz→0
sen zsh iz
.
7. Mostre que cada dos limite segiuntes não existe
(i) limz→0
zz
,
(ii) limz→0
z|z|
,
(iii) limz→0
Im zRe z
.
8. Seja f (z) = z/(1 + |z|).
(i) Mostre que f é contínua em C.
(ii) Mostre que f (z) = f (w) se e só se z = w.
(iii) Mostre que a imagem de f é o disco z | |z| < 1.
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Ficha 3 de Exercícios
1. Utilizando as condições de Cauchy-Riemann, verifique quais das funções seguintes sãodiferenciáveis pelo menos num ponto
(i) f (z) = z2z,
(ii) f (z) = cos(3z)− i,
(iii) f (z) = z Im z,
(iv) f (z) = |z|z,
(v) f (z) = Re z + Im z.
2. Quais das funções do exercício anterior são holomorfas pelo menos num ponto?
3. Mostre que a função f (x + iy) =√
|xy|, com x, y ∈ R, verifica as condições de Cauchy-Riemann na origem, mas não é diferenciável neste ponto.
4. Calcule as derivadas das seguintes funções:
(a) sen(z) + 3z2 − zez3,
(b) cos(z) + (2z + 1)z,
(c) tg(z),
(d) f (z) = az+bcz+d ,
(e) arcsen(z),
(f) log(z2 + (z − 3)−1).
5. Seja f ′(z) ≡ 0 num aberto conexo Ω. Mostre que f (z) ≡ (constante) em Ω.
6. Seja f : C→ C uma função holomorfa tal que se verifica uma das condições
(a) Re f (z) ≡ (constante),
(b) Im f (z) ≡ (constante),
(c) | f (z)| ≡ (constante).
Mostre que f (z) ≡ (constante).
7. Reconstrua a função holomorfa f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sabendo a parte real e umvalor f (z0).
(i) u(x, y) =x
x2 + y2 , f (π) = π−1.
1
(ii) u(x, y) = x2 − y2 + 2x, f (i) = 2i − 1.
(iii) u(x, y) = 2 sen x · ch y − x, f (0) = 0.
8. Calcule os integrais
(i)´
γ cos y dx − sen y dy, γ =(x, y) | y = −x, x ∈ [−2, 2]
;
(ii)´
γ(xy − y2) dx + x dy, γ =(x, y) | y = 2
√x, x ∈ [0, 1]
;
(iii)´
γ(x2 − 2xy) dx + (y2 − 2xy) dy, γ =(x, y) | y = x2, x ∈ [−1, 1]
;
(iv)´
γ(x2 + y2) dx + (x2 − y2) dy, γ =(x, y) | y = 1 − |x − 1|, x ∈ [0, 2]
.
9. Calcule o integral´
γ f (z) dz, onde
(i) f (z) = e|z|2 Re z, γ é o segmento de vértices 0 e 1 + i,
(ii) f (z) = z Im z2, γ =
z | |z| = 1, −π ≤ arg z ≤ 0
,
(iii) f (z) = zz, γ =
z | |z| = 1
.
10. Calcule o integralˆ
γ
1√z
dz, onde
(i) γ = z | |z| = 1, Im z ≥ 0, e escolha-se o ramo da função√
z que verifica√
1 = 1,
(ii) γ = z | |z| = 1, Re z ≥ 0, e escolha-se o ramo da função√
z que verifica√−i =
(1 − i)/√
2.
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Ficha 4 de Exercícios
1. Para o caminho γ(t) = (cos t, 3 sen t), 0 ≤ t ≤ 4π, calcule Indγ(0).
2. Calcule
(i)ˆ
γ
z2
z − 1dz, onde γ é a circunferência do raio 2 centrado na origem.
(ii)ˆ
γ
ez
z2 dz, onde γ é a circunferência do raio 1 centrado na origem.
(iii)ˆ
γ
z2 − 1z2 + 1
dz, onde γ é a circunferência do raio 2 centrado na origem.
(iv)ˆ
γ
sen ez
zdz, onde γ é a circunferência do raio 1 centrado na origem.
3. Seja f uma função holomorfa numa região Ω e seja γ um caminho fechado em Ω. Paraz0 ∈ Ω \ γ calcule ˆ
γ
[f ′(z)
z − z0−
f (z)(z − z0)2
]dz.
4. Seja f (z) um função holomorfa em C. Mostre que se limz→∞ z−1 · f (z) = 0, então f é constante.
5. Mostre que´ π
0 ecos θ cos(sen θ) dθ = π. Sugestão: Considereˆ
γ
ez
zdz, onde γ é a circunfe-
rência do raio 1 centrado na origem.
6. Determine uma função harmónica conjugada para as seguintes funções:
(i) u(x, y) = xy3 − x3y + 2x + 1,
(ii) u(x, y) = − log(√
x2 + y2)+ 2y.
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Ficha 5 de Exercícios
1. Determine se a sucessão convege e no caso que é convergente calcule o limite:
(i) zn = (−1)n +i
n + 1;
(ii) zn =n!nn in.
2. Considere a sucessão fn(z) = zn.
(i) Mostre que fn converge uniformemente em cada disco fechado Br(0), com r < 1.
(ii) Determine se é uniformemente convergente no disco fechado B1(0).
3. Estude a convergência das séries
(i)∞∑
n=1
cos in2n ,
(ii)∞∑
n=1
e2ni
n√
n,
(iii)∞∑
n=1
(1 + i)n
2n/2 cos in,
(iv)∞∑
n=1
ch(iπ/n)nlog n .
4. Mostre que a sucessão de funções fn(z) converge uniformemente no conjunto Ω:
(i) fn(z) = e−nz2, Ω = [1,+∞[ ⊂ R;
(ii) fn(z) = z2n, Ω = z | |z| < ρ, 0 < ρ < 1;
(iii) fn(z) =√
n sen(z/n3/2), Ω = z | |z| < ρ, 0 < ρ;
(iv) fn(z) =nz2
n + z, Ω = z | |z| < ρ, 0 < ρ;
(v) fn(z) = e−(z−n)2, Ω = z | |z| < 1;
(vi) fn(z) =nz
1 + n3z2 , Ω = [1,+∞[ ⊂ R.
5. Estude a convergência e a convergência uniforme da sucessões de função fn(z) no con-junto Ω:
1
(i) fn(z) =cos√
nz√n + 2z
, Ω = [0,+∞[ ⊂ R;
(ii) fn(z) = sen(ne−nz), Ω = [1,+∞[ ⊂ R;
(iii) fn(z) =log nz
nz2 , Ω = [1,+∞[ ⊂ R;
(iv) fn(z) =4n√
nz3 + 4n2z
, Ω = [δ,+∞[ ⊂ R, δ > 0;
(v) fn(z) = zn + z2n − 2z3n, Ω = [0, 1] ⊂ R;
(vi) fn(z) = nz(1 − z)n, Ω = [0, 1] ⊂ R.
6. Usando o teste de Weierstrass mostre que a série converge uniformente no conjunto Ω:
(i)∞∑
n=1
zn
n2 , Ω = [−1, 1] ⊂ R;
(ii)∞∑
n=1
1(n + z)2 , Ω = z | Re z ≥ 1;
(iii)∞∑
n=1
z2
1 + n3/2z2 , Ω = R;
(iv)∞∑
n=1
n3e−n2z, Ω = [δ,+∞[, onde δ > 0.
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Ficha 6 de Exercícios
1. Encontre o raio de convergência das série de potências
(i)∞∑
n=1
einzn,
(ii)∞∑
n=1
ch(
in
)zn,
(iii)∞∑
n=1
zn
(in)n ,
(iv)∞∑
n=1
(n + 1
2n + 3
)nzn,
(v)∞∑
n=1
1n!
(nze
)n.
2. Determine a série de Taylor na viainhança do ponto z0 e o raio de convergência:
(i) e−z2, z0 = 0;
(ii)z2
(1 + z)2 , z0 = 0;
(iii)1
(1 − z3)2 , z0 = 0;
(iv) sen(z2/3
), z0 = 0;
(v) (1 + z)e−z, z0 = 0;
(vi)5z − 4z + 2
, z0 = 0;
(vii)1
z2 − 2z − 3, z0 = 0;
(viii)1
z2 − 5z + 6, z0 = 1;
3. Determine o conjunto de convergência da série
(i)∞∑
n=1
1(1 − i)nzn ,
1
(ii)∞∑
n=1
en(iz)−n,
(iii)∞∑
n=1
3n + 1(z + 2i)n .
4. Determine a soma da série
(i)∞∑
n=1
zn
n,
(ii)∞∑
n=1
nzn+1.
5. Mostre que
(i) (a + bz)−1 =∞∑
n=0
(−1)n bn
an+1 zn, |z| < |a/b|, ab 6= 0;
(ii) (z2 + a2)−1 =∞∑
n=0
(−1)n z2n
a2(n+1), |z| < |a|, a 6= 0;
(iii) (a2 + z2)−1/2 =1a+
∞∑n=1
(−1)n (2n − 1)!!a2n+1(2n)!!
z2n, |z| < |a|, a > 0 em que (2n)!! = 2 · 4 ·
· · · · (2n) e (2n − 1)!! = 1 · 3 · · · · · (2n − 1);
(iv) (a2 + z2)1/2 = a +z2
2a+
∞∑n=2
(−1)n−1 (2n − 3)!!a2n−1(2n)!!
z2n, |z| < |a|, a > 0.
6. Determine a série de Laurent da função f (z) na vizinhança do ponto z0
(i) f (z) =sen z
z2 , z0 = 0;
(ii) f (z) = z3e1/z, z0 = 0;
(iii) f (z) =1 − cos z
z2 , z0 = 0;
(iv) f (z) =sen zz − 2
, z0 = 2.
7. Determine a série de Laurent da função f (z) no conjunto Ω
(i) f (z) =1
(z − 2)(z − 3),
a) Ω = z | 2 < |z| < 3,
b) Ω = z | 3 < |z| < +∞;
8. f (z) =1
z2 + 1, Ω = z | 0 < |z − i| < 2;
9. f (z) = z3 cos[
1z − 2
], Ω = z | 0 < |z − 2| < +∞;
2
10. f (z) = log[(z + 1)2
z2 + 4
], Ω = z | 2 < |z|.
11. Classifique a singularidade da função f (z) no ponto z0 para:
(i) f (z) =1
z − sen z, z0 = 0;
(ii) f (z) =sen z
e−z + z − 1, z0 = 0;
(iii) f (z) =1 + cos z
z − π, z0 = π;
(iv) f (z) =sh z
z, z0 = 0;
(v) f (z) =z2 − 1
z6 + 2z5 + z4 , z0 = 0;
(vi) f (z) =z2 − 1
z6 + 2z5 + z4 , z0 = −1;
12. Classifique todas as singularidades da função f (z) para:
(i) f (z) =1
1 − sen z,
(ii) f (z) = cos(z−1),
(iii) f (z) =1
e−z − 1+ z−2.
13. Classifique a singlaridade da função f (z) no ponto z =∞(i) f (z) =
z + 1z4 ,
(ii) f (z) = cos (1/z),
(iii) f (z) = z3e1/z,
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Ficha 7 de Exercícios
1. Calcule os resíduos
(i) Resz=0zn−1
senn z, n = 1, 2, . . . ;
(ii) Resz=0ez − 1 − z
(1 − cos 2z) sen z;
(iii) Resz=0zn−2
shn z, n = 2, 3, . . . .
2. Calcule os resíduos da função f (z) em todos os pontos singulares
(i) f (z) =tg z
z2 − πz/4,
(ii) f (z) = z3e1/z,
(iii) f (z) =ch z
(z2 + 1)(z − 3),
(iv) f (z) =eπz
z − i,
(v) f (z) =e1/z
z + 1.
3. Calcule os integrais
(i)‰|z|=1
ez
z2 − 6zdz;
(ii)‰|z|=2
sen izz2 − 4z + 3
dz;
(iii)‰|z|=1
tg zze1/(z+2)
dz;
(iv)‰|z|=2
cos izz3 dz;
(v)‰
γ
z(z − 1)2(z + 2)
dz, γ = z = x + iy | x2/3 + y2/3 = 32/3;
(vi)‰
γ
cos(z/2)z2 − 4
dz, γ = z = x + iy | x2/9 + y2/4 = 1;
1
(vii)‰
γ
e2z
z3 − 1dz, γ = z = x + iy | x2 + y2 − 2x = 0.
4. Calcule os integrais
(i)‰|z|=1
cos zz3 dz,
(ii)‰|z|=2
z sh z(z2 − 1)2 dz,
(iii)‰|z−2|=3
ch eiπz
z3 − 4z2 dz,
(iv)‰|z|=1/2
cos(
πz+1
)z3 dz.
5. Usando o resíduo em z =∞, calcule os integrais
(i)‰|z|=2
11 + z12 dz,
(ii)‰|z|=2
1000z + 21 + z1224 dz.
6. Calcule os integrais
(i)ˆ ∞
0
x2 + 1x4 + 1
dx;
(ii)ˆ +∞−∞
1(x2 + 1)3 dx;
(iii)ˆ ∞
0
x sen axx2 + 1
dx, a > 0;
(iv)ˆ 2π
0
11 − 2p cos x + p2 dx, 0 < p < 1;
7. Seja f (z) uma função analítica em todo o plano complexo e suponha que existem M ∈ R en ∈ N tais que | f (z)| ≤ M(1 + |z|n) para cada z ∈ C. Mostre que f (z) é um polinómio degrau menor ou igual a n.
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Ficha 8 de Exercícios
1. Mostre que para A > 0 a função
y(t) =
0 t ≤ A,(t2 − A)3 t > A
(1)
é uma solução de classe C1 do problema de valor inicial
dydt
= 6t 3√
y2
y(0) = 0 ,
diferente da solução y(t) = 0, ∀t ∈ R. Explique porque é que isto não contradiz o teoremade Picard.
2. Mostre que o problema de valor inicial
dydt
= y1/2
y(0) = 0,
tem infinitas soluções de forma
y(t) =
0 t < a[
t − a2
]2
t ≥ a(2)
com a > 0, e explique porque esse facto não contradiz o Teorema de Picard.
3. Considere a equação diferencial
(1 − t)ydydt
= 1 − y2
(i) Mostre que para cada constante K a equação 1 = y2 + K(1 − t)2 determina umasolução implícita.
(ii) Justifique que existe uma solução única definida num intervalo aberto de 1/2 queverifica y(1/2) = 2, e determine o intervalo máximo de unicidade dessa solução.
(iii) Mostre que o PVI admite um número infinito de soluções definidas em R.
1
(iv) Diga, justificando, porque não há contradição ao Teorema de Picard.
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Ficha 9 de Exercícios
1. Em resolve cada problema para t > 0 e estude cada solução como t→ o+.
(i) ty ′ + 2y = t2 − t + 1, y(1) = 1/2.
(ii) ty ′ + y = et, y(1) = 1.
(iii) y ′ + (cotg t)y = 2 csc t, y(π/2) = 1.
(iv) ty ′ + 2y = sen t, y(π) = π−1.
2. Em cada problema resolve o sistema de equações:
(i)
x ′1 = x1 + x2
x ′2 = 4x1 − 2x2
(ii)
x ′1 = x1 + x2 + 2et
x ′2 = 4x1 + x2 − et
(iii)
x ′1 = 2x1 − 5x2 − sen 2t, x1(0) = 0x ′2 = x1 − 2x2 + t, x2(0) = 1
3. (i) Determine a solução do sistema linear
x ′ = x − yy ′ = 2x − y
que satisfaz a condição inicial x(0) = 1, y(0) = 0.
(ii) Considerando agora o sistema
x ′ = x − yy ′ = 2x − yz ′ = y − (sen t)z
utilize a alínea anterior para determinar a solução que verifica a condição inicialx(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 1.
1
4. Em cada problema expressar a solução geral do sistema de equações em termos de funçõesreais.
(i) x ′ =(
3 −24 −1
)x
(ii) x ′ =
1 0 02 1 −23 2 1
x
(iii) x ′ =
1 1 12 1 −10 −1 1
x
(iv) x ′ =(
2 −51 −2
)x +
(− cos t
sen t
)(v) x ′ =
(2 −51 −2
)x +
(− cos t
sen t
)
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Ficha 10 de Exercícios
1. Para cada problema determine a solução geral.
a) y ′ + y/x = sen x, x > 0.
b) x2y ′ + 3xy = (sen x) /x, x < 0.
c) y ′ + (tg x) y = x sen 2x, −π/2 < x < π/2.
d) xy ′ + 2y = ex, x > 0.
2. Para cada problema determine a solução e indique o intervalo em que a solução é válida
a) xy ′ + 2y = x2 − x + 1, y(1) = 1/2.
b) xy ′ + y = ex, y(1) = 1.
c) xy ′ + 2y = sen x, y(π) = 1/π.
3. Determine a solução do problema de valor inicial
3t2 + 4ty + (2y + 2t2)y ′ = 0, y(0) = 1
e esclareça qual é o seu intervalo máximo de existência.
4. Resolve os problemas seguintes.
(i) y ′ =t3 − 2y
t
(ii) y ′ =2t + y
3 + 3y2 − t, y(0) = 0
(iii) ty ′ − y =√
ty
(iv) t2y + ty − y + (t2y − 2t2)y ′ = 0
(v) y ′ = −3t2y + y2
2t3 + 3ty, y(1) = −2
5. Considere a equação diferencial
yt+(
y3 − log t) dy
dt= 0 (3)
(i) Verifique que a equação (0.3) tem um factor integrante da forma µ = µ(y) e determine-o.
1
(ii) Prove que as soluções de (0.3) são dadas implicitamente por Φ(t, y) = C, onde C éuma constante arbitrária e
Φ(t, y) =12
y2 +1y
log t
(iii) Determine a solução de (0.3) que satisfaz a condição inicial y(1) =√
2.
6. Considere a equação diferencialdydt
= −y
4y2 + 2t
(i) Mostre que esta equação tem um factor integrante µ = µ(y).
(ii) Determine a solução que satisfaz a condição inicial y(1) = 1.
(iii) Determine o intervalo máximo de existência da solução que calculou na alínea ante-rior.
7. Considere a equação diferencial ordinária
xt− sen(t) + x ′ = 0 (4)
(i) Mostre que a equação (0.4) não é exacta.
(ii) Determine condições tais que uma equação na forma
M(t, x) + N(t, x)x ′ = 0
admite um factor integrante que é uma função de t, isto é, da forma µ(t), para umacerta função real de variável real µ, e escreva uma equação diferencial ordinária satis-feita por µ.
(iii) Determine a solução da equação (0.4) que satisfaz a condição inicial x(π) = 1, eindique o intervalo máximo de definição da solução.
8. Considere a equação diferencial ordinária(4x2y + 3xy2 + 2y3
)+(
2x3 + 3x2y + 4xy2) dy
dx= 0 (5)
(i) Mostre que (0.5) tem um factor integrante do tipo µ = µ(xy).
(ii) Mostre que a solução de (0.5) com condição inicial y(−1) = 1 é dada implicitamentepela expressão x4y2 + x3y3 + x2y4 = 1.
9. Mostre que o seguinte problema de valor inicial:
dydt
=1
3y2 + 3√(t + 1)2
y(0) = 1 ,
tem uma única solução y(t), definida para t ∈ [0,+∞[, e calcule limt→+∞ y(t) .
2
Sugestão: Não tente resolver a equação diferencial. Considere a função u(t) definida pordudt
=1
3u2
u(0) = 1 .
Uma vez determinada a função u(t), mostre que
dydt
>1
3 (u(t))2 + 3√(t + 1)2
,
e integre esta relação entre 0 e t.
10. Sendo y a solução do PVI dydt
= y2(2 + sen(et + y))
y(0) = 1 .
mostre que y(t) está definida para t no intervalo [0, T[ com T < 1.
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Prof. Michael Paluch • 2o Semestre 2019/2020
Ficha 11 de Exercícios
1. Considere a equaçãoy(3) − 4y(2) + 5y ′ = 0
a) Determine a sua solução geral.
b) Determine para que condições iniciais em t = 0 é que os problemas de valor inicialcorrespondentes têm soluções convergentes quando t→∞.
2. Seja k > 0. Para que valores de c ∈ R é que a equação
y ′′ − 2cy ′ + y = 0
admite uma solução satisfazendo y(0) = y(2kπ) = 0, que não seja identicamente nula?
3. Considere a equaçãoy(4) + 2y(3) + y(2) = t + cos t (6)
a) Determine a solução geral da equação homogénea correspondente a (0.6).
b) Determine uma solução particular de (0.6).
c) Determine a solução de (0.6) que verifica a condição inicial
y(0) = y ′(0) = y(2)(0) = y(3)(0) = 0
4. Determine a solução da equação linear:
y(3) − 2y(2) + y ′ − 2y = b(t)
que verifica as condições iniciais
y(0) = y ′(0) = 0 , y(2)(0) = 1
quando:
a) b(t) = 0, ∀t ∈ R.
b) b(t) = t, ∀t ∈ R.
c) b(t) = et, ∀t ∈ R.
1
5. Mostre que y1(t) =sen t
té uma solução da equação diferencial
td2ydt2 + 2
dydt
+ ty = 0 (7)
e use redução de ordem para determinar a solução geral de (0.7).
6. Considere a equação diferencialt2y ′′ + ty ′ − y = t (8)
Mostre que y1(t) = t e y2(t) = t−1 são soluções linearmente independentes de equaçãohomogénea associada, e determine a solução geral de (0.8) .
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Ficha 12 de Exercícios
1. Determine a transformada de Laplace das funções seguintes:
(i) f (t) = t,
(ii) f (t) = tet,
(iii) f (t) = sen 3t,
(iv) f (t) = t + 12 e−t,
(v) f (t) = 2 sen t − cos t,
(vi) f (t) = cos3 t,
(vii) f (t) = t2 cos t,
(viii) f (t) = t3 + e−t,
(ix) e2t sen t.
2. Encontre a função original f (t) se a sua transformada de Laplace F(s) é :
(i) F(s) =2e−s
s3 ,
(ii) F(s) =e−2s
s2 ,
(iii) F(s) =e−2s
s − 1,
(iv) F(s) =e−3s
s + 3,
(v) F(s) =1
s2 + 4s + 5,
(vi) F(s) =s
(s + 1)2 ,
(vii) F(s) =1
s3 + 2s2 + s,
(viii) F(s) =2s3 + s2 + 2s + 2
s5 + 2s4 + 2s3 ,
(ix) F(s) =s + 2
(s + 1)(s − 2)(s2 + 4),
(x) F(s) =s
s3 + 1,
1
(xi) F(s) =3s2
(s3 − 1)2 .
3. Calcule as transformadas de Laplace e as regiões de convergência das funções definidasem t ≥ 0 pelas expressões seguintes:
(i) f (t) = cosh(at) (ii) f (t) = t sen(at)
(iii) f (t) = eat cos(bt) (iv) f (t) =sen(t)
t, (t > 0)
4. Calcule a inversa da Transformada de Laplace de
(a) (s2 − 1)−2 (b) 6(s4 + 10s2 + 9)−1
(c)s + 1
s2 + s − 6(d)
1(s + 1)4
5. Utilizando a Transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) y ′′ − y ′ − 6y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = −1
b) y ′′ + ω2y = cos(2t), ω2 6= 0, y(0) = 1, y ′(0) = 0
c) y ′′ + 2y ′ + 2y = h(t), y(0) = 0, y ′(0) = 1 sendo
h(t) =
1 se π ≤ t < 2π0 se 0 ≤ t < π e t ≥ 2π
6. Designa-se por δ a função de Dirac com suporte na origem. Utilizando a transformada deLaplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) y ′′ + 2y ′ + 2y = δ(t − π), y(0) = 1, y ′(0) = 0
b) y ′′ + y = δ(t − π)− δ(t − 2π), y(0) = 0, y ′(0) = 0
c) y ′′ + y = δ(t − π) + cos t, y(0) = 0, y ′(0) = 1
7. Calcule a série de Fourier da função f : [−1, 1]→ R definida por
f (x) =
−1 se −1 6 x 6 0,+1 se 0 < x 6 1.
8. Determine a série de Fourier da função g(x) = L − |x|, no intervalo [−L, L]. Utilizando asérie obtida num ponto adequado, aproveite para mostrar que
+∞∑n=1
1(2n − 1)2 = 1 +
132 +
152 + · · · = π2
8.
9. Determine a série de Fourier da função h(x) = x2, no intervalo x ∈ [−L, L]. Utilizando a
2
série obtida num ponto adequado, aproveite para mostrar que
+∞∑n=1
1n2 = 1 +
122 +
132 + · · · = π2
6.
10. Calcule a série de Fourier da onda sinusoidal rectificada, isto é, de
f (x) =
sen x se sen x > 00 se sen x 6 0
11. Desenvolva a função definida no intervalo [0, 1] por f (x) = 1 numa série de senos e indiquepara que valores converge (pontualmente) a série obtida.
12. Considere a função f : [0, 1]→ R definida por f (x) = x. Determine:
(i) a série de Fourier associada a f ;
(ii) a série de senos associada a f ;
(iii) a série de cosenos associada a f .
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Ficha 13 de Exercícios
1. Determine os valores de λ para os quais os seguintes problemas de valores fronteira têmsoluções não triviais:
a) y′′ − 2y′ + (1 + λ)y = 0; y (0) = 0, y (1) = 0.
b) y′′ + λy = 0; y (0) = y (2π) , y′ (0) = y′ (2π) .
2. Determine uma solução do problema
∂u∂t
= 1, 71∂2u∂x2
u(x, 0) = sen(πx/2) + 3 sen(5πx/2), 0 < x < 2u(0, t) = u(2, t) = 0.
3. Determine uma solução do problema
∂u∂t
= 1, 14∂2u∂x2
u(x, 0) =
10x, 0 < x < 510(10 − x), 5 ≤ x < 10
∂u∂x
(0, t) =∂u∂x
(10, t) = 0.
4. Resolve
∂2u∂t2 = c2 ∂2u
∂x2
u(x, 0) = cos(x)− 1∂u∂t
(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2π
u(0, t) = 0 u(2π, t) = 0.
5. Resolve o problema de Dirichlet
∂2u∂x2 +
∂2u∂y2 = 0 0 < x < a, 0 < y < b
u(x, 0) = 0 u(x, b) = 0u(a, y) = 0 u(0, y) = f (y).
1
6. Resolve o problema de Dirichlet
∂2u∂x2 +
∂2u∂y2 = 0, 0 ≤ x2 + y2 < a2
u(a cos θ, a sen θ) = A cos θ, 0 ≤ θ ≤ 2π.
7. a) Recorrendo ao método de separação de variáveis, determine as soluções para t > 0 epara x ∈ [0, 1] de
∂u∂t
=∂2u∂x2 + u se x ∈]0, 1[
u(0, t) = 0 se t > 0u(1, t) = sen 1 se t > 0
b) Determine a solução que satisfaz a condição inicial
u(x, 0) = 3 sen(2πx)− 7 sen(4πx) + sen (x) .
8. Determine a solução dos seguinte problema de valor inicial e condição na fronteira:
ut = α2uxx, x ∈ (0, π), com
u(0, t) = u(π, t) = 0u(x, 0) = sen(x)− 2 sen(5x).
9. Determine a solução dos seguinte problema de valor inicial e condição na fronteira:
ut = uxx − u, x ∈ (0, L), com
ux(0, t) = ux(L, t) = 0u(x, 0) = cos(3πx/L).
10. a) Determine a solução u(x, y) da equação de Laplace em o retângulo 0 < x < a, 0 <y < b, que também satisfaz a condição na fronteira
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, 0 < y < bu(x, 0) = 0, u(x, b) = g(x), 0 ≤ x ≤ a.
b) Determine a solução se g(x) é dada por
g(x) =
x, 0 ≤ x ≤ a/2a − x a/2 ≤ x ≤ a.
11. Determine a solução u(x, y) da equação de Laplace em o retângulo 0 < x < a, 0 < y < b,que também satisfaz a condição na fronteira
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, 0 < y < bu(x, 0) = h(x), u(x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a.
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