交流ヒステリシスモデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...交流ヒステリシスモデル...

交流ヒステリシスモデル

松尾哲司

（京都大学）

2017/03/10 1

2

３．３交流ヒステリシスベンチマーク問題の検討

(2.1.7 Cauer回路の動的ヒステリシス特性表現への応用)

2017/03/10

51 m

m

63.5 mm12.5 mm

各種ヒステリシスモデルの検証

ヒステリシス磁界解析手法の比較検討

精度・計算コスト

リング試料によるベンチマーク問題の策定

3

発表の流れ■ 交流ヒステリシス特性

■ Cauer回路（2.１.７節）

■ Cauer回路と有限要素法との比較（３.３.２節）

■ Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法（３.３.３節）

■ 1kHzベンチマーク用データによる解析（３.３.４節）

■ PWM励磁（２.１.７節）

2017/03/10

4

交流ヒステリシス特性

磁磁

束密

度B

磁界H

渦電流の影響

2017/03/10

-1

-0.5

0

0.5

1

-100 -50 0 50 100

H (A/m)

PWM 1PWM 2

measuredsimulated

正弦波励磁 PWM励磁

5

鉄芯材料の交流磁気特性

ヒステリシス＋渦電流

古典渦電流損均質媒質を仮定

異常渦電流損磁区など不均一構造の影響

渦電流損が増加

積層構造電磁鋼板1枚毎の格子分割を回避

均質化法による効率的な解析

2017/03/10

J=σE

dB/dt

dB/dt

J=σE

一般的な板厚0.3~0.5 mm

6

異常渦電流損の取り扱い

実効導電率

導電率にアノマリーファクターを掛ける（計測値から決める）

Bertotti氏の方法

HAC(B, dB/dt) = HDC(B) + Hcl + Hex

HDC: 直流ヒステリシス特性

Hcｌ : 古典渦電流磁界

有限要素渦電流解析で算出 or

Hex : 異常渦電流磁界

S: 鋼板断面積，V0: ピンニング磁界分布に関するパラメータ，G = 0.1356886…2017/03/10

Hex

Hcl

7

均質化法による積層鉄芯のモデル化

電磁鋼板1枚毎の

格子分割を回避

内部の平均量を算出

平均磁束密度と表面磁界の関係を導出

磁界解析時にはバルク材の扱い

異方的な導電率

高精度化 ⇒ 板厚方向1次元有限要素法によるサブ解析

2017/03/10

dB/dt

J=σE

8

スイッチング電源への対応

スイッチング周波数の増加

表皮厚

50Hz 0.5 mm

5kHz 0.05 mm

100kHz 0.01 mm

表皮厚小でサブ解析の

有限要素分割増

マイナーヒステリシスループ

鉄損の増大

2017/03/10

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

B (

T)

t (msec)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

B (

T)

H (A/m)

9







2017/03/10

10

２.１.７ Cauer回路の動的ヒステリシス特性表現への応用

平均磁束密度B と表面磁界Hの関係（線形特性の場合）

B = μCH

μC = (2/Td) tan(Td/2) , T = (jωσμ)1/2

d:, 鋼板厚 , σ: 導電率 , μ: 透磁率

L = μ , R = 4 / (σd2)

後段のLとRほど高い周波数範囲を受け持つ

L

H

dB dt

3R

L/5

7R

L/9

11R

L/13

Φi

2017/03/10

11

無限梯子形回路の打切り

L

H3R

dB dt

L

H3R

L/5

7R

dB dt

古典渦電流理論と等価

2017/03/10

n = 1

n = 2

少ない段数でも効果的

H HDC B

HDC B

12

打切りとCauer-II 型回路への変換

L

H3R

dB dt

L

H3R

L/5dB dt

L

H

3RdB dt

25R 12

L/6

H

5L/6

dB dt

3430R 1587

20L/69

H

49L/69

10RdB dt

L

H3R

L/5

7R

dB dt

Cauer-I Cauer-II

古典渦電流理論

と等価

2017/03/10線形の場合，両者は等価非線形の場合は等価でない

13

非線形磁気特性の導入

直流時のB とHの関係

B = μH

L = μ

直流磁気特性 H = HDC(B) のとき

インダクタ L における磁束Φと電流iの関係式を

i = HDC(Φ) におきかえる

インダクタ L / α の部分は

i = HDC(αΦ) のようにおきかえる（Cauer-II）

2017/03/10

L

H3R

L/5dB dt

25R 12

L/6

H

5L/6

dB dt

14

Cauer-I型回路インダクタＬ / ５の表現

[1] Cauer-II型回路と同様にする

i2 = HDC(5Φ2)

必ずしも

最善でない

[2] 有限差分近似

i2 = 5 [ HDC(Φ1+Φ2) − HDC(Φ1) ]

[3] 可逆部近似マイナーループに対する

i2 = (5/μrev) Φ2 近似的な透磁率

μrev = dHrev(B)/dB

HrevはHDCの可逆部特性

[2][3]は，Φ2がΦ1に対する微小な補正量とみなせることを仮定2017/03/10

L

H

dB dt

3R

L/5

7R

L/9

11R

L/13

Φ1i1 i2 i3 i4Φ2 Φ3 Φ4

H

B μrev ΔB

ΔH

minor loop

15







2017/03/10

16

３.３.２ Cuser回路と有限要素法の比較

2017/03/10

51 m

m

63.5 mm12.5 mm

無方向性電磁鋼板50A470リング試料の磁気計測結果との比較

プレイモデルによる静的ヒステリシス特性表現

＋ Cauer回路

or

＋有限要素渦電流解析

無方向性電磁鋼板50A470の計測は同志社大学による

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/

m3 )

amplitude of B (T)

50

100200

Hz

Cauer-IImeasured

17

正弦波励磁時の鉄損（１周期分）

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/

m3 )

amplitude of B (T)

50

100200

Hz

Cauer-Imeasured

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/

m3 )

amplitude of B (T)

50

100200

Hz

classicalmeasured

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/

m3 )

amplitude of B (T)

50

100200

Hz

FEMmeasured

2017/03/10

古典理論 (n=1) Cauer I (n=2)

Cauer II (n=2)有限要素法+実効導電率(n=10)

損失過大評価損失過大評価

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

H (

A/m

)

B (T)

measuredCauer-II

18

正弦波励磁時のBHループ(200Hz)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

H (

A/m

)

B (T)

measuredCauer-I

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

H (

A/m

)

B (T)

measuredclassical

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

H (

A/m

)

B (T)

measuredFEM

2017/03/10

Cauer I(n=2)

有限要素法+実効導電率(n=10)

古典理論(n=1)

Cauer II(n=2)

19







2017/03/10

20

３.３.３ Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法

H = HAC(B, dB/dt) = HDC(B) + Hcl + Hex

HDC: 直流ヒステリシス特性

Hcｌ : 古典渦電流磁界

Cauer回路 or 有限要素渦電流解析で算出

Hex : 異常渦電流磁界

⇒ 係数Cbrtは計測値から決める

2017/03/10

Hex ＝ Cbrt

21

異常渦電流磁界係数の算出

2017/03/10

直流特性古典渦電流異常渦電流∝ f0 磁界 ∝ f1 磁界 ∝ f1/2

2/3a12

2/3

12a

22

1ir22a

22

2ir

brt)(211.1

]6

)([]6

)([

Bff

fBd

fLfBd

fLC

（1周期あたり）古典渦電流損 Lcl = (π2σd2/6) Ba

2f異常渦電流損 Lex = 1.11√2π3/2Ba

3/2 f1/2

Lex: 1周期あたり鉄損

2/1

brt

2

DC d

d

d

d

12)(

t

BC

t

BdBHH

22

異常渦電流磁界の加算

2017/03/10

直流磁界古典渦電流異常渦電流磁界磁界

プレイモデル + Cauer回路（or 有限要素渦電流解析）

で算出した表面磁界に Hex = Cbrt(dB/ｄｔ)1/2 を加算

2/1

brtclDC d

d)

d

d()(

t

BC

t

BHBHH

L

H3R

L/5

7R

dB dt

CbrtHex

Cbrt: 非線形抵抗

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

H (

A/m

)

B (T)

measuredBertotti

23

有限要素法+Berototti法 (200Hz)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800

H (

A/m

)

B (T)

measuredFEM

2017/03/10

有限要素法+実効導電率

有限要素法+ Bertotti

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/

m3 )

amplitude of B (T)

50

100200

Hz

FEMmeasured

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/

m3 )

amplitude of B (T)

50

100200

Hz

Bertottimeasured

高精度

有限要素法+実効導電率(n=10)

有限要素法+ Bertotti(n=10)

鉄損(1周期分) 鉄損(1周期分)

高精度

24







2017/03/10

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1000 -500 0 500 1000

B (T

)

H (A/m)

measuredCauer1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1000 -500 0 500 1000

B (T

)

H (A/m)

measuredCauer2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1000 -500 0 500 1000

B (T

)

H (A/m)

measuredBertotti-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1000 -500 0 500 1000

B (T

)

H (A/m)

measuredFEM

25


2017/03/10

Cauer II(n=2)



Cauer I単純近似

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1000 -500 0 500 1000

B (T

)

H (A/m)

measuredCauer1dif -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1000 -500 0 500 1000

B (T

)

H (A/m)

measuredCauer1rev

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1000 -500 0 500 1000

B (T

)

H (A/m)

measuredrev+Bertotti-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1000 -500 0 500 1000

B (T

)

H (A/m)

measureddif+Bertotti

26


2017/03/10

Cauer I差分近似

Cauer I可逆部近似

Cauer I差分近似+ Bertotti

Cauer I可逆部+ Bertotti

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000

B (T

)

H (A/m)

measuredCauer1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000

B (T

)

H (A/m)

measuredCauer2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000

B (T

)

H (A/m)

measuredBertotti-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000

B (T

)

H (A/m)

measuredFEM

27

正弦波励磁時のBHループ(1kHz)

2017/03/10

Cauer II(n=2)



Cauer I単純近似

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000

B (T

)

H (A/m)

measuredrev+Bertotti-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000

B (T

)

H (A/m)

measureddif+Bertotti

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000

B (T

)

H (A/m)

measuredCauer1rev-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000

B (T

)

H (A/m)

measuredCauer1dif

28

正弦波励磁時のBHループ(1kHz)

2017/03/10

Cauer I差分近似




0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/m

3 )

amplitude of B (T)

400

1000HzCauer1

measured

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/m

3 )

amplitude of B (T)

400

1000HzCauer2

measured

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/m

3 )

amplitude of B (T)

400

1000HzBertotti

measured

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/m

3 )

amplitude of B (T)

400

1000HzFEM

measured

29

正弦波励磁時の鉄損(400,1kHz, 1周期分)

2017/03/10

Cauer II(n=2)



Cauer I単純近似

損失過大評価

損失過大評価

損失過大評価

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/m

3 )

amplitude of B (T)

400

1000Hzrev+Bertotti

measured

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/m

3 )

amplitude of B (T)

400

1000Hzdif+Bertottimeasured

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/m

3 )

amplitude of B (T)

400

1000HzCauer1revmeasured

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0.5 1 1.5 2

iron

loss

(J/m

3 )

amplitude of B (T)

400

1000HzCauer1difmeasured

30

正弦波励磁時の鉄損(400,1kHz, 1周期分)

2017/03/10

Cauer I差分近似




損失過大評価損失過大評価

損失過小評価

31







2017/03/10

２.１.７ Cauer回路の動的ヒステリシス特性

表現への応用（PWM励磁）

変調度 full/half-bridge

No.1 0.5 1.3 full

No.2 half

No.3 0.66 full

No.4 half

No.5 0.8 1.57 full

No.6 half

No.7 1.05 full

No.8 half

基本周波数 50 Hz, キャリア周波数5 kHz で8通りのPWM入力

33

Cauer-I型回路インダクタＬ / ５の表現

[1] Cauer-II型回路と同様にする

i2 = HDC(5Φ2)

[2] 有限差分近似

i2 = 5[HDC(Φ1+Φ2)−HDC(Φ1)]

[3] 平均近似

i2 = (5/μave) Φ2

μave = dHave(B)/dB

[4] 可逆部近似

i2 = (5/μrev) Φ2 マイナーループに対する

μrev = dHrev(B)/dB 近似的な透磁率

2017/03/10H

B μrev ΔB

ΔH

minor loop

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-600 -400 -200 0 200 400 600

B (

T)

H (A/m)

hDChavehrev

HDC

Have

Hrev

0.0 0.5 1.0 1.5-100

0

100

200

300 simulated measured

H[A

/m]

B[T]0.0 0.5 1.0 1.5

-100

0

100

200


H[A

/m]

B[T]

0.0 0.1 0.2 0.3

0

50

100

0.0 0.1 0.2 0.3

0

50

100

BHループ変調度0.5, Bmax1.3 T

i2 5 HDC Φ1 Φ2 HDC Φ1

0.0 0.5 1.0 1.5-100

0

100

200


H[A

/m]

B[T]0.0 0.5 1.0 1.5

-100

0

100

200


H[A

/m]

B[T]


0.0 0.1 0.2 0.3

0

50

100

0.0 0.1 0.2 0.3

0

50

100

Cauer-I Have (平均近似) Cauer-I Hrev (可逆部近似)

0.0 0.5 1.0 1.5-100

0

100

200


H[A

/m]

B[T]0.0 0.5 1.0 1.5

-100

0

100

200


H[A

/m]

B[T]

0.0 0.1 0.2 0.3

0

50

100

0.0 0.1 0.2 0.3

0

50

100


Cauer-II (n = 2) 有限要素法 (n = 10)

Cauer I 単純近似と平均近似は鉄損を過小評価している基本周波数が低い場合，Cauer II，FEM+実効導電率も高精度

鉄損変調度0.5, Bmax1.3 T

計測値 Cauer I Cauer I Cauer I Cauer I Cauer II 有限要素法単純有限差分平均可逆部 + 実効近似近似近似近似導電率

鉄損 8通りのPWMに対する誤差の平均

Cauer I 単純近似と平均近似は鉄損を過小評価している基本周波数が低い場合，Cauer II，FEM+実効導電率も高精度

Cauer I Cauer I Cauer I Cauer I Cauer II 有限要素法単純有限差分平均可逆部 + 実効近似近似近似近似導電率

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交流ヒステリシスモデルのまとめ実効導電率を用いた１DFEM

50Hzでアノマリーファクターを決めると数百Hzで鉄損を古典理論より過大評価

FEM + Bertotti氏の異常渦電流磁界項数百Hzまで高精度，数kHzで精度低下

Cauer-I型回路各インダクタは異なる周波数範囲を受け持つ有限差分近似は比較的高精度可逆部近似はPWM入力に対して有効

ヒステリシスインダクタは1個でよいので効率的

Cauer-I型回路 + Bertotti氏の異常渦電流磁界項数百Hz以上で損失過小評価（高B時）

Cauer-II型回路各インダクタは板厚方向の分割に対応インダクタ数２では不足（インダクタ数増でFEMに近づく）

参考文献

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直流ヒステリシスモデル（プレイモデル）[1] T. Matsuo and M. Shimasaki, “An Identification Method of Play Model with Input-

Dependent Shape Function,” IEEE Trans. Magn., Vol. 41, No. 10, pp. 3112-3114, Oct. 2005. (プレイモデルの同定法)

[2] 電気学会技術報告第1233号, “電磁界数値解析の有効利用技術,” 2011.(スカラープレイモデルのプログラム例あり)

渦電流磁界，異常渦電流損[1] G. Bertotti, Hysteresis in Magnetism, Academic Press, 1998.

交流モデル（Cauer回路）[1] T. Miyazaki, T. Mifune, T. Matsuo, Y. Shindo, Y. Takahashi, K. Fujiwara, “Equivalent Circuit

Modeling of Dynamic Hysteretic Property of Silicon Steel Sheet under Pulse Width Modulation Excitation,” J. Appl. Phys., Vol. 117, 17D110, 2015.

[2] Y. Shindo, T. Miyazaki, T. Matsuo, “Cauer Circuit Representation of the Homogenized Eddy-Current Field Based on the Legendre Expansion for a Magnetic Sheet,” IEEE Trans. Magn., Vol. 52, No. 3, 6300504, Mar. 2016.

[3] Y. Shindo, A. Kameari, T. Matsuo, “High Frequency Nonlinear Modeling of Magnetic Sheets Using Polynomial Expansions for Eddy-current Field, 電学論B, Vol. 137, No. 3 pp. 162-172,2017

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