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情報視覚化講義

コンピュータグラフィックス

モデリング編その2

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形状モデル(多面体)

o形状モデルの分類

ワイヤフレーム　　頂点間の稜線情報　×隠線・隠面

サーフェスモデル面の情報　　　×立体の保証

ソリッドモデル　　　体積を持った立体情報

「Computer Graphics 技術編 CG標準テキストブック」

ソリッドモデル - 1

oCSG表現 (Constructive Solid Geometry)基本立体：基本形状(直方体など)集合演算：和・積・差演算

利用時に形状評価が必要


プリミティブ図形プリミティブ図形による論理演算


ソリッドモデル - 3o境界表現

形状を形状の境界によって表現

立体：面集合，面：稜線集合，稜線：2頂点

常に最終形状(形状評価後の形状)

幾何情報

　　頂点座標等

位相情報

　　隣接関係

2 fev


oオイラー操作

境界表現モデルの基本位相操作(オイラー式を保存)2多様体立体：　(境界が)2次元円盤に位相同型

(2多様体の)オイラー式

例： mev　稜線と頂点を生成

ソリッドモデル - 4oスイープ表現

平面図形の移動によってできる立体

主として，平行移動と回転


曲線の表現形式

o関数曲線

o陰関数曲線

oパラメトリック曲線

曲線上の点列が得られる

2

2 2ty

ttxtgytfx

010, 22 yxyxf

2xyxfy

2次曲線 - 2

o2次曲線の種類楕円

放物線

双曲線

012

2

2

2

by

ax

012

2

2

2

by

ax

02 axy

パラメトリック曲線 - 1oエルミート曲線

多項式関数のパラメトリック曲線

oセグメントの両端点と接ベクトルによる記述


パラメトリック曲線 - 2o3次エルミート曲線の性質

パラメトリック曲線 - 3

「Computer Graphics 技術CG標準テキストブック」


oベジエ曲線

多項式関数の

パラメトリック曲線

o3次ベジエ曲線

3次多項式によるベジエ曲線

4つの制御点 P0, P1, P2, P3 によって定まる

i

ii tBtBtBtBtBt

tttttttt

PPPPPP

PPPPP

3

0

33

332

321

310

30

33

22

12

03 1,0,13131


パラメトリック曲線 – 5oバーンスタイン基底関数(多項式)

ベジエ曲線を定義する多項式群(3次なら4種類)



o3次ベジエ曲線の性質端点

接線

凸包性 – 加重平均

概形性(変動減少性)

30

33

22

12

03

1,013131

PPPPPPPPP

ttttttt

2301

232

12012

31,3031613

PPPPPPPPPPPPP

dtd

dtd

ttttdttd

1113131 332233

0

3

tttttttttBi

i

iiki

ki

ki tttttt PPPPP

01

11 ,1

321221

1110

10

12

11

21

11

10

20

21

20

30

111

11

1

PPPPPPPPPPPPPPP

PPP

ttttttttttttttttttt

ttttt

パラメトリック曲線 - 7o細分割によるベジエ曲線

ドカステリョのアルゴリズム

ベジエ曲線の再帰的な定義

パラメトリック曲線 - 8oベジエ曲線の利用

(アウトライン)フォント

描画ソフトウェア


パラメトリック曲線 - 9oBスプライン曲線

多項式パラメトリック曲線(Bスプライン多項式)

局所的な制御が可能

凸包性・変動減少性

i

ini tNt PP


パラメトリック曲線 – 10


p 一様３次スプライン関数

曲面の表現形式 - 1

o関数曲面

高さ場曲面と呼ばれる，特殊な形式

o陰関数曲面

曲面上の点の関係式，レイトレーシング法に向く

oパラメトリック曲面

曲面上の点群が得られる，多くの描画法が適用可能

vuhzvugyvufxvu ,,,,,, p

0,, zyxf

yxfz ,

曲面の表現形式 - 2oレイと球の交差判定


レイの方程式

球の方程式

球の方程式（陰関数表記）へレイの方程式(パラメトリック表記）を代入

実数解を持てば交差する

パラメトリック曲面 - 1

oベジエ曲面

双3次ベジエ曲面(u,vパラメータについて各3次)

制御点数　164隅の点が一致

4辺はベジエ曲線

概形(変動減少性)凸包性

3

0

3

0

33,j i

ijji vBuBvu PP


ポリゴン曲面

oポリゴン (polygon)多数の多角形の集まりとして形状を表現する

一般に高速な描画が可能

メッシュ圧縮

「明解 3次元コンピュータグラフィックス」共立出版

細分割曲面

o細分割曲面細分割操作：面を複数に分割する & 頂点の移動

細分割操作を反復適用して，徐々に曲面に近づく


プログレッシブメッシュ「明解 3次元コンピュータグラフィックス」共立出版

プログレッシブ伝送では、ペースメッシュデータを最初に送り、順次詳細化データを送る詳細化データの差し引きにより、メッシュを再構成

LOD(Level of Detail)


平滑化処理

o平滑化

ノイズなどによる小さな凹凸やウネリを除去する

(画像の平滑化フィルタに似ている)

詳細度制御

o詳細度制御 – LOD (Level Of Detail)視点からの距離：近くて大きく見える場合は詳細に

視点からの角度：可視部分(特に輪郭)は詳細に

パラメータ化

oパラメータ化

ポリゴン/曲面とパラメータ(u,v座標)との対応づけ

テクスチャマッピング(画像の貼り付け)などに利用

ボクセル表現

oボクセル

3次元空間内の格子 ⇔ ピクセル(2次元)ボクセル値　　　　　　 ⇔ 画素値

oボリュームデータ

ボクセルなどで表現される空間情報

スカラ場・ベクトル場データ

八分木・四分木

oボクセル・ピクセル

空間を均等に分割 → 無駄な領域多し

o八分木・四分木

空間を必要に応じて分割(直交座標系の各象限)

フラクタル図形 - 1oフラクタル

自己相似性を持つ図形

縮尺を変えると同じパターンが現れる

→ 縮小写像の集合の反復

マンデルブロ(仏数学者)が提唱

自然界に多く見られる(ようだ)フラクタル次元 ≠ 位相次元

コッホ曲線

1/3の長さの線分が4つ

フラクタル図形 - 2

oフラクタル

縮小写像の集合の反復

複素数列

マンデルブロ集合

Z0=0 で発散しないCの集合

ジュリア集合

C=一定で発散しないZ0の集合

CZZ nn 2

1

フラクタル図形 - 3

oフラクタル

中点変位法 – 山岳形状など

ポリゴンの細分割

フラクタル - 4

o位相次元

図形要素上の点の自由度 → 必ず整数

oフラクタル次元

フラクタルの複雑さの尺度

測度の(量を測る)次元

コッホ曲線

nDns sD log

26186.14log3 D

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