材料モデルの材料モデルのVVVV

山梨大学　工学部　土木環境工学科山梨大学　工学部　土木環境工学科

　吉田純司　吉田純司

第6期非線形CAE勉強会

～ゴム材料の構成則と破壊基準の構築～

本日話す内容

高減衰ゴムの構成則の構築とその検証

天然ゴムの破断特性とモデル化

1.1. ゴム材料の免震構造への応用ゴム材料の免震構造への応用

積層ゴム支承とは

水平方向

鉛直方向

柔

剛

ゴムと鋼板を積層状に剛結

加速度の低減

構造物の支持

ゴムが非圧縮に近い性質を積極的に利用　

⇒　ゴム層の体積変形を制限

層数が少ない支承 層数が多い支承

はらみ出し大⇒鉛直剛性小 はらみ出し小⇒鉛直剛性大水平剛性は，概ね同一

土木における免震土木における免震・1995年兵庫県南部地震以後，積層ゴム支承を採用する橋　梁が増加

・構造物の損傷を局在化　過度に長周期化しない．

・減衰性能を付与　変位応答を低減

構造系全体の挙動に大きく影響

・ゴムの圧縮性を利用して　構造物を支持．

構造系の応答予測精度　⇒　積層ゴム支承のモデルの精度

⇒　桁間衝突，ジョイント部の損傷を回避

動力学的効果＋損傷の戦略的な制御

２．高減衰積層ゴム支承の２．高減衰積層ゴム支承の力学特性の概要力学特性の概要

-150

-100

-50

0

50

100

150

-300 -200 -100 0 100 200 300

荷重

[kN

]

せん断ひずみ [%]

-150

-100

-50

0

50

100

150

-300 -200 -100 0 100 200 300

荷重

[kN

]

(水平変位/ ゴム層の総厚)×100

ハードニング

剛性劣化

水平1方向　に変形

鉛直荷重

力学特性

・大きな履歴減衰を有し　ている

・剛性劣化やハードニングが　が顕著に表れている．

・全体的な荷重が進展する方向　は似通っている．

高減衰ゴムを用いた支承の復元力特性

支承の力学特性の温度依存性

-100

-50

0

50

100

-60 -40 -20 0 20 40 60

0.005[Hz],10℃

0.005[Hz],20℃

load

[kN

]

displacement[mm]

ゴムによっては，同一の載荷速度で，試験温度が異なると異なる力学特性を示す．

３．高減衰ゴムの材料試験３．高減衰ゴムの材料試験

ゴムの材料試験ゴムの材料試験

①単軸引張り試験

②2軸引張り試験③繰り返しせん断試験

④リラクゼーション試験

応力方向の決定ハードニング特性の把握

⇒　エネルギー吸収性能の評価

⇒　粘性の把握

高減衰ゴム：応力進展に関する部分＋エネルギー吸収の部分

４種類の高減衰ゴム，２種類の天然ゴム

温度の影響を小さくするため，常温（20～24）で実施

単軸引張り試験

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5 6

Cauchy 応力 [MPa]

伸び比

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5 6

Cauchy応力[MPa]

伸び比

天然ゴム

高減衰ゴム

・応力進展の傾向は同じ・残留ひずみやエネルギ　ー吸収性能が異なる

一軸固定二軸引張り試験

のび比一定

のび比一定

0

5

10

15

20

25

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

引張り方向拘束方向

Cauchy応力[MPa]

伸び比

0

2

4

6

8

10

1 1.5 2 2.5 3

引張り方向拘束方向

Cauchy応力[MPa]

伸び比

天然ゴム 高減衰ゴム

繰り返し単純せん断試験（高減衰のみ）

-3

-2

-1

0

1

2

3

-300 -200 -100 0 100 200 300

1[Hz]0.1[Hz]0.01[Hz]

Cau

chy応

力[M

Pa]

せん断ひずみ[%]

常温において0.01～1Hzでは

速度依存性が少ない

入力変位

固定

試験体

試験体

リラクゼーション試験（高減衰のみ）

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 500 1000 1500 2000

Cau

chy

stre

ss [M

Pa]

time [sec]

00.5

11.5

22.5

33.5

0 500 1000 1500 2000

Cau

chy

stre

ss [M

Pa]

time [sec]

どの高減衰ゴムも確実に粘性は存在．

10分間計測

250

150

50

速度:1000 [%/sec]

せん断ひずみ[%]

時間[min]

４．高減衰ゴムの構成則４．高減衰ゴムの構成則

ゴム材料の構成則ゴム材料の構成則

仮定・初期等方性材料である．・材料試験を等温で実施　⇒　等温過程である・速度依存性が少ない　⇒　粘性を塑性で置換

超弾性部

弾塑性部

等方効果

弾塑性体と超弾性体を組み合わせた構成則を提案

エネルギー吸収性能

応力進展方向＋剛性劣化

T C D Dp( ) :J = −l q

T TIcy y

Cb

= +−RSTUVW

LNMM

OQPP

0 13

弾塑性部弾塑性部

D D D T T Tp =FHGIKJ

−

32

32 2

12

': ' ': '( )

'T Ty

N

y

Grasser(1991)のモデル

(2) 等方硬化でハードニングを表現(1) 大変形に適用するための拡張

等方硬化でハードニングを表現

・弾性-塑性間の遷移を滑らかに再現・微分方程式型⇒弾性, 塑性を自動判定

微小変形を前提とした弾塑性体

微分方程式で記述される完全弾塑性体

弾塑性部の詳細な式弾塑性部の詳細な式

T C D Dp( ) :J = −m r

T TIcy yB

b

= +−RSTUVW

LNMM

OQPP

0 13

D D D T T Tp =FHGIKJ

−32 2 2

1

': ' ': '( )

'T Ty

N

y

CJF F F F C T T Tpqrs pi qj rk sl ijkl pr sp

Hqs pr

Hrs pq

H= + + −1 δ δ δ( ) ( ) ( )

:速度型方程式 (Jaumann速度を使用)

:塑性ひずみ速度

：等方硬化

CE E

= ∂∂ ∂

2W

14

4 53

( 3) ( 3)1

mC

C CIc cW c I c II

m c

+ −

= − + − + +

:弾性テンソル

c c c m4 5, , , N T by, ,0+材料定数:

超弾性部超弾性部

ハードニング

川端ら(1992)のモデルをベース

1 1 2( 3) ( 3)C CW c I c II= − + −1

32

31

nCc c I

Wn c

+ −

= +

G H, ：最大経験ひずみの関数

線形に近い弾性挙動

・物理的意味が明確．・簡便で精度が高い．

1 1 2 2( ) ( )W G W H W= Ξ + Ξ偏差応力分のひずみエネルギー密度関数

ダメージモデルで剛性の劣化を表現

超弾性部の詳細な式

21 1 2 2( ) ( ) ( )

2vW G W H W Wχ= Ξ + Ξ +

1 2 3, , , , , , ,H Hc c c n a bχ α β+

1 1 2( 3) ( 3)C CW c I c II= − + −

13

23

1

nCc c I

Wn c

+ −

= +

ひずみエネルギー密度関数

,C CI II

の第1,第2不変量

: C

1 2v

vW WW WG H Wχ∂ ∂∂ ∂= = + +∂ ∂ ∂ ∂

SE E E E

応力ひずみ関係

G( ) ( ) exp( / )/

Ξ ΞΞ

= + − − −RSTUVWβ β α

α1 1

H a bHm

H( ) / [ exp{ ( )}]Ξ Ξ= − + − −1 1 1 2

材料定数

の低減不変量

ダメージ関数

Ξ it

s t iW s=−∞< ≤max ( )2

2( 1)vCW III= −

構成則の再現性①構成則の再現性①

-10

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5 6

材料試験

モデル

真応

力 [

MP

a]伸び比

単軸引張り試験繰り返しせん断試験

-2

-1

0

1

2

3

-300 -200 -100 0 100 200 300

材料試験モデル

真応

力[M

Pa]

せん断ひずみ[%]

高減衰ゴム

ゴム材料の力学特性を精度よく再現

-5

0

5

10

15

20

25

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

材料試験引張りモデル引張り材料試験拘束モデル拘束

真応

力 [

MP

a]伸び比

本構成則により材料の力学特性を精度よく再現することができた

モデルの再現性①の続き

一軸固定二軸引張り試験

構成則の再現性②構成則の再現性②

-4

-2

0

2

4

6

-400-300-200-100 0 100 200 300 400

材料試験

モデル

真応

力 [

MP

a]

せん断ひずみ[%]

-505

101520253035

0 1 2 3 4 5 6

材料試験

モデル

真応

力 [

MP

a]

伸び比

繰り返しせん断試験 単軸引張り試験

ハードニング特性が大きい高減衰ゴムの場合

本構成則で力学特性を精緻に再現できた

構成則の再現性③

天然ゴム天然ゴム

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.5 1 1.5 2 2.5 3

材料試験材料試験モデルモデル

Cauchy応力[MPa]

伸び比

-10

0

10

20

30

40

50

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

材料試験モデル

Cauchy応力[MPa]

伸び比

一軸固定二軸引張り試験 単軸引張り試験

天然ゴムの力学特性を精度よく再現

5．構造部材レベルでの検証

積層ゴム支承の３軸載荷実験積層ゴム支承の３軸載荷実験

支承に鉛直荷重＋水平２方向の変形を付与

210

実橋に用いられている支承の1/3

ゴム層：5[mm]×7層

鋼鈑：2.3[mm]×6枚

FEMと水平2方向載荷実験結果との比較

鉛直荷重

変形変形

-50

0

50

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

載荷実験FEM

荷重[kN]

せん断ひずみ[%]

-60

-40

-20

0

20

40

60

-200 -100 0 100 200

載荷実験FEM

荷重[kN]

せん断ひずみ[%]

-70

-35

0

35

70

-70 -35 0 35 70

Y方向の変位 [mm]

X方向の変位 [mm]

鉛直方向の変位-荷重関係

鉛直に面圧0～7.92[MPa]を繰り返し載荷

概ね実験結果とよく一致している．

-100

0

100

200

300

400

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

載荷実験

FEM

荷重

[kN

]

変位[mm]

1/4 モデル

鉛直荷重

圧力場[MPa]

FEMと鉛直載荷実験結果との比較

～ゴム材料の破断特性の把握とモデル化～～ゴム材料の破断特性の把握とモデル化～

研究の流れ

画像処理

ゴムの破壊試験（画像計測）　・ 単軸引張試験・ 一軸固定二軸引張試験・ 均等二軸引張試験

破断特性の把握歪から検討

破壊基準の構築

ゴムの材料実験よりゴムの破断特性を把握し，破壊基準を構築する

研究の目的

試験片形状

単軸引張試験用試験片 二軸引張試験用試験片

天然ゴム　　　　

　　　せん断弾性係数　G = 98 [N/cm2]

４種類

1.3 3.93.9

9.0

252.62.6

10 103.0 3.0

単位 [mm]

601010

6010

10

円形部分の厚さ：0.5

破断実験の概要

2軸引張試験機

デジタルCCDカメラ

データ入出力用パソコン

画像保存用パソコン

　・ 引張開始から破壊までを画像で撮影　・ 外部で載荷速度を制御　　　　　　　　　・ 変位，荷重をデータとして取得

CCDカメラ

画像による歪場の算出が必要

変位場が一様ではないチャック間変位からでは　　内部の変形が導出できない

伸長比一定

単軸引張破壊試験 一軸固定二軸引張破壊試験 均等二軸引張破壊試験

載荷速度　　　　　　　0.2 , 2.0 , 20.0 [mm/sec] 　載荷速度　　　　　　　　

0.2 , 2.0 , 20.0 [mm/sec]載荷速度　2.0 [mm/sec]

材料試験の種類

実験の条件

温度　　　　 ： 20℃

試験片個数 ： 各試験において3～5個

白点の位置を座標データとして取得引張前

破壊直前

画像処理方法

画像計測

２値化

ラベリング

点の重心算出

座標データ　[pixel]

座標データ　[mm]座標変換

点を分類

歪場について

すべての点の変位を内挿

４点で作られる領域の伸長比を計算

破断部分の伸長比

座標データを比較引張前

破壊直前

x 2[m

m]

x1 [mm]

iij

j

xFX∂=∂

ixjX ： 無変形状態での位置

： 変形後の位置

1j =（x１方向は 2j =, x2方向は のとき）

（x1方向は , x2方向は のとき）2i =1i =

変形勾配テンソル

λ1

伸長比λ1

λ2

変形勾配テンソルのx1方向の固有値

変形勾配テンソルのx2方向の固有値

歪速度と破断時伸長比の関係　　　　　　　　　　・・・単軸引張試験，均等二軸引張試験

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

0.0001 0.001 0.01 0.1 1

単軸均等二軸

λ１

歪速度 [1/sec]

5.45 5.52 5.29

3.58 3.72 3.55

•　歪速度の影響は小さい

•　均等二軸のλ1は単軸のλ1 より小さい

単軸引張破壊試験

均等二軸引張破壊試験

x1

x2

1λ ： x1方向の伸長比

3.5

4

4.5

5

0.001 0.01

x2方向の伸長比：1

x2方向の伸長比：2

歪速度 [1/sec]

λ１

歪速度と破断値の関係　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・一軸固定二軸引張破壊（x2の伸長比：1，2）

伸長比：1

伸長比：2

3.904.05

•　x2方向の伸長比が1,2のときで破断時のλ1

　　に大きな差はない

x2の伸長比：1

x2の伸長比：2

x1

x2

1λ ： x1方向の伸長比

主軸伸長比の関係

x1

x2

＞λ1 λ2or λB

最大伸長比基準既往の実験結果

本実験結果

最大伸長比基準が成り立つ

最大伸長比基準の関係は 成り立たない

他のゴムも同様の結果

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8

単軸均等二軸λB

λ2

λ1

本実験結果既往の実験結果

Bλ

Bλ

0

2

4

6

8

0 2 4 6 8

単軸一軸固定x

2の伸長比：1

一軸固定x2の伸長比：2

均等二軸

λ２

λ１

2Bλ

2Bλ

1Bλ

1Bλ 1λ ： x1方向の

　　　伸長比

2λ ： x2方向の

　　　伸長比

破壊基準の構築 ・・・基準化した主軸伸長比から　　　　　　　　　　　　　ゴム材料の破壊基準を構築　

1 1 min 2 2 min,λ λ λ λ λ λ= =　　基準化

minλ ：主軸伸長比の最小値

1 2,λ λ ：その他の主軸伸長比

破壊基準式

2 1( )BAλ λ= ,A B ：パラメータ

ゴムの種類によって主軸伸長比は異なる

ゴムの種類ごとの最適なパラメータを算出する

2.42 10.003λ λ= 　

λ1

2λ

0.1

1

10

100

0.1 1 10 100

単軸一軸固定x

2の伸長比：1

一軸固定x2の伸長比：2

均等二軸破壊基準

・耐久性、耐候性に優れている

・高いエネルギー吸収性

構造物の防振・制振装置に広く利用

高粘性流体

制震壁　

最近の研究：CAEを用いた制震壁の性能予測システムの構築