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Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2013/14 Prof. Luca Perregrini Circuiti del primo ordine, pag. 1
Circuiti del primo ordine
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica
Facoltà di IngegneriaUniversità degli studi di Pavia
Campi Elettromagnetici e Circuiti I
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Sommario
• Definizione• Circuito RC autonomo: risposta naturale,
costane di tempo, potenza ed energia• Circuito RL autonomo: risposta naturale,
costane di tempo, potenza ed energia• Risposta al gradino di un circuito RC• Risposta completa di un circuito del primo
ordine• Risposta al gradino di un circuito RL
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Circuiti del primo ordine
Un circuito del primo ordine è caratterizzato da un’equazione differenziale del primo ordine
I circuiti del primo ordine sono di due tipi: RL o RC
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Circuiti del primo ordine
L’eccitazione può essere di due tipi
• autonoma: il circuito non comprende generatori indipendenti ed evolve nel tempo grazie all’energia immagazzinata nel condensatore (RC) o nell’induttore (RL)
• forzata: il circuito comprende generatori indipendenti che ne determinano il comportamento nel tempo
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Circuito RC autonomo
v+
–
C
iC
R
iR
Ipotesi:
v(t) = ? (per t > 0)
202
1)0( VCw
0)0( Vv
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Circuito RC autonomo
v+
–CiC
RiR
0Rv
dtdvC
0RCv
dtdv RCtAtv /e)(
RCtVtv /0e)(
0)0( Vv
0 RC ii
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Circuito RC autonomo: risposta naturale
v
t
/0e)( tVtv
La risposta naturale rappresenta il comporta-mento intrinseco di un circuito, senza l’intervento
di sorgenti esterne di eccitazione
RCcostante di tempo 0
V0
3e 01
0VV -
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Circuito RC autonomo: costante di tempo
t
/0e)( tVtv RC
costante di tempo
= 1
0
1
/
0
e t
Vv
1 2 3 4
= 0.5
= 2
t e–t/
0.367882 0.135343 0.049794 0.018325 0.00674
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Circuito RC autonomo: potenza ed energia
/0e)( tVtv
v+
–CiC
RiR
/0 e)()( tR R
VRtvti
/22
0 e)( tR R
Vivtp
Potenza dissipata nel resistore:
)e1(21e)( /22
00
/22
00
tt tt
R -VCdtR
Vdtptw
Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:
)0(21)( 2
0 wVCwR Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> ) il resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzi-nata nel condensatore all’istante iniziale (t = 0)
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Circuito RC autonomo: riassunto
/0e)( tVtv
Il calcolo della risposta naturale di un circuito RCautonomo richiede:
• la conoscenza o il calcolo della tensione sul condensatore all’istante iniziale (V0)
• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo al condensatore per la determinazione della costante di tempo = RC
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Circuito RL autonomo
Ipotesi:
i(t) = ? (per t > 0)
202
1)0( ILw
0)0( Ii +
–L vL RvR
i
+
–
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i
+
–L vL RvR
+
–
Circuito RL autonomo
0 iRdtdiL
0 iLR
dtdi LRtAti /e)(
LRtIti /0e)(
0)0( Ii
0 RL vv
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Circuito RL autonomo: risposta naturale
i
t
/0e)( tIti
La risposta naturale rappresenta il comporta-mento intrinseco di un circuito, senza l’intervento
di sorgenti esterne di eccitazione
RL /costante di tempo 0
I0
3e 01
0II -
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Circuito RL autonomo: potenza ed energia
/0e)( tIti /
0e)( tR IRiRtv
/220 e)( t
R IRivtp
Potenza dissipata nel resistore:
)e1(21e)( /22
00
/2200
tt tt
R -ILdtIRdtptw
Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:
)0(21)( 2
0 wILwR Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> ) il resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzi-nata nell’induttore all’istante iniziale (t = 0)
i
+
–L vL RvR
+
–
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Circuito RL autonomo: riassunto
/0e)( tIti
Il calcolo della risposta naturale di un circuito RLautonomo richiede:
• la conoscenza o il calcolo della correntesull’induttore all’istante iniziale (I0)
• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo all’induttore per la determinazione della costante di tempo = L/R
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Risposta al gradino di un circuito RC
v+
–C
R
+–SV
0t
v(t) = ?
Ipotesi:
0)0( Vv
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Risposta al gradino di un circuito RC: t = 0+
v non può cambiare istantaneamente:
0)0()0( Vvv
v+
–C
R
+–SV
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Risposta al gradino di un circuito RC: t > 0
0
RVv
dtdvC S
0
RC
Vvdtdv S
RCtS AVtv /e)( 0)(
RCVv
dtVvd SS
/0 e )()( t
SS VVVtv
0)0( Vv
RC
v+
–C
R
+–SV
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Circuito RC: risposta completa
v
t
La risposta completa rappresenta il comportamento di un circuito alla applicazione improvvisa di un
generatore, supponendo il condensatore già carico
RCcostante di tempo
0
VS
0e )(0
)( /0
0
tVVVtV
tv tSS
V0
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)(tv t > t0
Circuito RC: risposta completa
v
tt0+0
v(t0)
+ risposta forzata o regime
)(v
risposta naturale o transitorio
/)(0
0e ])()([ ttvtv
t0
v()
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Circuito RC: riassunto
Il calcolo della risposta completa di un circuito RC richiede:
• la conoscenza o il calcolo della tensione sul condensatore all’istante iniziale (v(t0))
• il calcolo della tensione a regime sul condensatore (v())
• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo al condensatore per la determinazione della costante di tempo = RC
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Risposta completa di circuiti del I ordine
La risposta completa di un circuito del primo ordine è sempre del tipo:
• valori iniziali x(t0–) e x(t0
+); • valore a regime x();• costante di tempo = RC oppure = L/R
0/)(
0
000e ])()([)(
)()(
ttxtxxtttx
tx tt
dove x rappresenta indifferentemente la tensione o la corrente sul condensatore o sull’induttanza e t0 è l’istante in cui commuta l’interruttore. Si richiede il calcolo di:
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Risposta al gradino di un circuito RL
L
R
+–SV
0tt
i(t) = ?
Ipotesi:
00 )( Iti
i
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Risposta al gradino di un circuito RL
000 )()( Ititi
RVi S)(
RL
• valori iniziali:
• valore a regime:
• costante di tempo:
L
R
+–SV
0tt i
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Circuito RL: risposta completa
RL /costante di tempo
0/)(
0
00
0e )( ttR
VIR
VttI
ti ttSS
i
tt0+0
I0
t0
RVS