REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIN Y POSTGRADO

Distribucin de Chi Cuadrado

Las distribucin Chi cuadrado, se derivan de la distribucin Normal y estn relacionadas con la teora del muestreo pequeo n< 30.Son muy importantes pues son la base de metodologas inferenciales, tales como Intervalos de Confianza y Pruebas de Hiptesis.

Distribucin Chi-cuadradoDefinicin: Sea Sea k variables aleatorias normales e independientes, cada una con media 0 y desviacin tpica 1. entonces, la variable aleatoria

Se llama la variable aleatoria chi cuadrado con k grados de libertad.

Definicin de los TrminosFrmula de Chi Cuadrado

= Nivel de Significancia: En estadstica, un resultado se denomina estadsticamente significativo cuando no es probable que haya sido debido al azar. Son comunes los niveles de significancia del 0,05, 0,01 y 0,1. En algunas situaciones es conveniente expresar la significancia estadstica como percentil 1. Este valor hace referencia al nivel de confianza que deseamos que tengan los clculos de la prueba; es decir, si queremos tener un nivel de confianza del 95%, el valor de alfa debe ser del 0.05, lo cual corresponde al complemento porcentual de la confianza.

Hiptesis: Si un contraste de hiptesis proporciona un valor P inferior a , la hiptesis nula es rechazada, siendo tal resultado denominado estadsticamente significativo. Cuanto menor sea el nivel de significancia, ms fuerte ser la evidencia de que un hecho no se debe a una mera coincidencia (al azar).

Grados de Libertad: GL=k-1 En estadstica, grados de libertad es un estimador del nmero de categoras independientes en una prueba particular o experimento estadstico. Se encuentran mediante la frmula n r, donde n=nmero de sujetos en la muestra, tambin pueden ser representados por k r,

k=nmero de grupos, cuando se realizan operaciones con grupos y no con sujetos individualesr=nmero de sujetos o grupos estadsticamente dependientes

Distribucin Chi-cuadrado

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Distribucin Chi-cuadrado

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La Regla de Decisin Ch observado < Ch criticoRechazar HoAceptar HoSiNo

Para que utilizamos una Prueba de Chi Cuadrado?Para determinar si la muestra se ajusta o no se ajusta a una distribucin terica.

Para saber si la(s) poblacione(s) son homognea(s) o no.

Para determinar la dependencia e independencia la(s) variable(s) a analizar.

Aplicaciones de Chi Cuadrado

Prueba de Bondad de AjusteSe utiliza para la comparacin de la distribucin de una muestra con alguna distribucin terica que se supone describe a la poblacin de la cual se extrajo.

Ho : La variable tiene comportamiento normal se distribuye de manera uniformeH1 : La variable no tiene comportamiento normal, no se distribuye de manera uniforme.

Ejemplo 1: Un gerente de ventas que tiene su mercado dividido en cuatro zonas le indica a sus vendedores que las zonas tienen el mismo potencial de ventas.Ante la duda de los vendedores sobre el potencial de sus zonas el gerente hace el siguiente procedimiento :Se extrae una muestra de los archivos de la empresa de 40 ventas realizadas el ao pasado y encuentra que el numero de ventas por zona son: zona 1 = 6, Zona 2 = 12, Zona 3 = 14 y zona 4 = 8 . En vista de esos resultados se realiza una prueba de bondad de ajuste.

Solucin:Planteamiento de HiptesisH0 : las ventas estn igualmente distribuidas.H1: las ventas no estn igualmente distribuidas

Nivel de Significancia = 5% = 0.05

ClculosGL= k-1 = 4-1 = 3El critico = 7.81 (Segn Tabla)

Solucin:Elaborar la tabla de y y calcular el .

ZONASABCDFrecuencia observada (fo)61214840Frecuencia esperada (fe)1010101040Ch1.60.41.60.44

Los individuales se calculan con la formula; y luego se suman:

Este valor es el observado = 4

La decisin:Como: observado < Critico observado (4) < critico (7.81) Si se Cumple

entonces, no rechazamos Ho.

Es decir que la Ho de que las ventas se encuentran igualmente distribuidas en las cuatro zonas no se puede rechazar para un nivel de significancia de 5%.

Prueba de IndependenciaSe usa para analizar la frecuencia de dos variables con categoras mltiples para determinar si las dos variables son independientes o no.

Hiptesis nula (H0) : Las variables X e Y son independientes, ( X e Y no estn relacionadas)Hiptesis alternativa (H1): Las variables X e Y no son independientes, (X e Y estn relacionadas)

Tablas de contingenciasGrados de libertad GL= (m-1)(n-1)Calculo de frecuencia esperado.

Una Tabla de contingencia con r filas y c columnas tiene la siguiente forma:

Los datos de variables cualitativa o categricas representan atributos o categoras y se organizan en tablas llamadas tablas de contingencia o tablas de clasificacin cruzada.

Donde:

Oi j : es el nmero de sujetos que tienen las caractersticas Ai y Bj a la vez.

Ri : (i = 1,,r) es la suma de la i-sima fila de la tabla. Es decir, es el total de sujetos que poseen la caracterstica Ai.

Cj :(j = 1,,c) es la suma de la j-sima columna de la tabla. Es decir, es el total de sujetos que poseen la caracterstica Bj.

n : representa el total de observaciones tomadas.

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El uso de bebida ordenado con alimentos en un restaurante es independiente de la edad del consumidor? Se toma una muestra aleatoria de 309 clientes del restaurante de donde resulta el siguiente cuadro de valores observados. Utilice = 1% para determinar si las dos variedades son independientes.EDADCAF (T)REFRESCOLECHE21 3426951835 55414020>55241332

Ejemplo 2:

Solucin:Planteamiento de HiptesisH0 : El tipo de bebida preferida es independiente de la edadH1 : El tipo de bebida preferida no es independiente ,esta relacionada con la edad

Nivel de significancia = 0.01

ClculosGrados de Libertad GL = (m-1)(n-1)Tenemos 3 filas y tres columnas, es decirGL = (3-1)(3-1) = 4El critico = 13.27 (Segn Tabla)

Chi Cuadrado Crtico

Solucin:Calculo de frecuencia esperado.

EDADCAF (T)REFRESCOLECHETOTAL21 34269518139Frecuencia Esperada35 55414020101Frecuencia Esperada5524133249Frecuencia EsperadaTotal fo9114850289Total fe

43,8

71,2EDADCAF (T)REFRESCOLECHETOTAL21 34269518139Frecuencia Esperada43.871.224.0139,035 55414020101Frecuencia Esperada31.851.717.5101,15524133249Frecuencia Esperada15.425.18.549,0Total fo9114850289Total fe91.0148.050,0289,0

La DecisinComo: observado < Critico observado (97,93) < critico (13,27)

No se Cumpleentonces, rechazamos H0, es decir se acepta la hiptesis alternativa H1

Las dos variables, bebida preferida y edad, no son independientes. El tipo de bebida que un cliente ordena con alimentos est relacionada con la edad y depende de est.

Prueba de HomogeneidadSe extraen Muestras Independientes de varias poblaciones y se prueban para ver si son homogneas con respecto a algn criterio de clasificacin.

H0 = Las Poblaciones son HomogneasH1 = Las Poblaciones no son Homogneas

Ejemplo 3:La siguiente tabla indica las familias de cuatro distritos y el nmero de personas que vieron un programa especial de poltica econmica nacional. Use =1% ABCDTOTALNmero de personas que si vio101551848Nmero de personas que no vio4035453215250505050200

Solucin:Planteamiento de HiptesisH0: todos vieron el programaH1: No todos vieron el programa

Nivel de Significancia = 0.011

ClculosGL = (m-1)(n-1) = (2-1)(4-1) = 3 = 11.35Calcular las frecuencias esperadas y el Ch2 observado.

Solucin:ABCDTOTALVEN EL PROGRAMA0.330.754.083.00NO VEN EL PROGRAMA0.110.241.290.95TOTAL10.75

Como el valor observado (10.75) es menor que el valor critico (11.35). No podemos rechazar H0 para un nivel del 1%. La diferencia de las proporciones no es suficientemente grande para rechazar H0.

Ejercicios:1.Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndar=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal con varianza , tenga una varianza muestral:Mayor que 9.1Entre 3.462 y 10.745

Muchas Gracias