Experimento 2

BC1707- Mtodos Experimentais em Engenharia

Roteiro: Experimento #2

Medidas de Constante Elstica e Fora

Edio: 1 Quadrimestre 2014

IT IS THE WEIGHT, NOT NUMBERS OF EXPERIMENTS THAT IS TO BE REGARDED. (ISAAC NEWTON)

Objetivos:

Utilizar procedimentos diferentes para medir o mesmo parmetro: a constante

elstica de uma mola.

Avaliar a contribuio das grandezas de influncia nos diversos procedimentos,

determinar os coeficientes de sensibilidade e calcular a incerteza combinada em

cada caso.

Comparar os resultados obtidos em cada procedimento.

Utilizar aplicativo para ajuste de dados experimentais a funes matemticas.

Adquirir familiaridade com equipamento para medida de fora: o dinammetro.

1- Fundamentao Terica

1.1- Constante elstica da mola

Fora uma grandeza vetorial cuja definio clssica vem da Segunda Lei de Newton,

ou seja [1,2]:

.F m a (1)

No sistema internacional, SI, a unidade da fora o newton (N). Outras unidades so

utilizadas para a fora, como o dina ou o kgf. Neste experimento ser sempre utilizado o N.

Note que a fora expressa nesta relao e que est relacionada diretamente com a

acelerao do corpo a fora resultante (vetorialmente) e no uma nica fora que age sobre

o corpo. Por este motivo, nem sempre observamos a ao de uma nica fora sobre um

corpo. Por exemplo, quando estamos parados, a fora da gravidade atua sobre ns sem que,

necessariamente, estejamos em movimento no sentido desta fora, porque a fora de reao da

superfcie da Terra (a fora normal neste caso) igual em mdulo mas em sentido contrrio

fora de gravidade sobre nosso corpo e o resultado uma fora resultante nula e por isto a

acelerao do corpo zero. Quando voc empurra um grande bloco de pedra, est aplicando

uma fora sobre o mesmo sem conseguir mov-lo porque a fora de atrito entre bloco de

Universidade Federal do ABC

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pedra e o cho igual em mdulo, mas em sentido contrrio fora que voc produz; mais

uma vez a fora resultante sobre a pedra zero e por isto no h acelerao da pedra. No se

esquea, para aplicar a segunda lei de Newton corretamente, necessrio conhecer todas as

foras que atuam sobre o corpo.

Alm da acelerao, outra consequncia possvel da aplicao de uma fora a

deformao de um corpo. Um dos exemplos mais fceis de visualizar a deformao elstica

de uma mola (Figura 1). Em molas, pode-se relacionar a deformao ou deslocamento da

mola com a fora de restaurao, pela seguinte relao (lei de Hooke) [3]:

.F k x (2)

onde: k = constante elstica da mola, que depende do material e da geometria com que

construda a mola;

x = deslocamento.

Na Figura 1, a condio de equilbrio ocorre quando o peso da massa igual fora de

restaurao, em x = X0.

Figura 1- Sistema massa-mola

Note-se que quanto maior a constante elstica da mola, k, maior a resistncia com

que a mola se ope ao deslocamento da massa.

Deve-se notar tambm, conforme ilustrado na animao em [3], que a Lei de Hooke

vlida em uma regio limitada em que a mola no se encontra nem muito comprimida e nem

muito distendida. Ou seja, a proporcionalidade entre a fora de restaurao da mola e o seu

deslocamento vale para condies limitadas da posio da mola.

1.2- Movimento harmnico simples

Caso o sistema massa-mola opere sem atrito e na vertical, a fora peso age no

movimento. Assim, pode-se equacionar, para o sistema esttico em equilbrio (sem

movimento), considerando-se apenas a direo vertical:

Fpeso = m.g = -k. X0 (3)

X0 = m.g/k

Fpeso = m g = - k X0

(em equilbrio)

X0 - Xmax

X0

X0 +Xmax

Fpeso

k

m



3

Caso o sistema opere a partir de um valor diferente de X0, possvel demonstrar que

ele deve oscilar. Estamos interessados aqui em um movimento que se repete de uma forma

particular: o Movimento Harmnico Simples (MHS) cuja equao dada por:

x (t) = Xmax . cos (t +) (4)

onde Xmax o deslocamento mximo do corpo em relao posio de equilbrio (X0)

(Figura 1); , a frequncia angular do movimento; e , a fase inicial.

Como a fora da mola depende de x(t), a acelerao varia com o tempo. Podemos usar

a segunda lei de Newton para descobrir qual fora deve agir na massa ao longo do tempo.

Supondo que a equao oscilatria (posio "x" em funo do tempo) seja do tipo da

equao 4, temos que a acelerao, a, vale

a = d2x(t)/dt

2 = - Xmax.

2 cos (t +) (5)

Se combinarmos a segunda lei de Newton com a equao da acelerao do

movimento, encontramos, para o MHS,

F = m.a = - m. Xmax. 2 cos (t +) (6)

com

, onde T o perodo do movimento. (7)

O sistema massa-mola na vertical estar sujeito a uma fora resultante igual ao peso da

massa menos a fora restauradora da mola, expressa pela Lei de Hooke, ou seja:

F = Fpeso - k(x(t) - X0) (8)

Mas pela equao 3, Fpeso = -k. X0

Portanto: F = -k.x(t) = m.a = m. d2x(t)/dt

2, resultando:

m. d2x(t)/dt

2 + k. x(t) =0 (9)

que a equao diferencial que rege o MHS do sistema massa-mola.

Substituindo nesta expresso as equaes 4 e 5, resulta:

-m. Xmax. 2 cos (t +) + k. Xmax . cos (t +) = 0 (10)

onde

(11)

Sabendo disso, podemos encontrar a frequncia angular do movimento,

(12)

Por fim, atravs das equaes 12 e 7 encontramos o perodo de oscilao do sistema:

(13)



4

Isolando a constante elstica k encontramos:

(14)

Se for medido um intervalo de tempo tn contendo N oscilaes do movimento do

sistema, teremos, tn = N.T, e portanto:

k = 4.2. m.N2/tn2 (15)

Ou seja, o coeficiente de elasticidade da mola pode ser determinado apenas a partir das

medidas da massa m, do nmero de oscilaes N e do tempo tn de durao destas oscilaes.

Quanto maior a constante elstica da mola, maior ser a frequncia de oscilao

do MHS e menor ser o perodo desta oscilao.

O movimento harmnico simples realizado pelo sistema massa-mola tambm pode ser

visualizado na animao em [3]. Se a massa for deslocada com uma amplitude muito grande,

pode-se notar que o comportamento da mola afasta-se do modelo linear previsto pela Lei de

Hooke.

Em termos de energia, tem-se que num sistema massa-mola ideal (isto , sem atrito e

sem amortecimento na mola) em MHS, haver uma contnua transformao da energia

potencial (armazenada na mola) em energia cintica da massa. Se houver atrito ou perdas, a

energia mecnica pode se transformar em outra forma de energia (por exemplo, calor) durante

o movimento [4]. No caso sem perdas, em qualquer instante a energia total ser dada por:

E = mv2/2 + kx

2/2 = kXmax

2/2 (16)

onde (mv2/2) a energia cintica da massa (depende da velocidade v) e (kx

2/2) a energia

potencial elstica da mola, cujo valor mximo atingido quando o deslocamento mximo

(Xmax), ponto em que a velocidade nula.

1.3- Associao de molas

Quando duas molas so combinadas em srie ou em paralelo, suas constantes elsticas

so associadas conforme indicado na Figura 2 [5]. As expresses de keq podem ser obtidas

partindo-se do princpio de que as molas em srie esto sujeitas mesma fora e as molas em

paralelo sofrem o mesmo deslocamento.



5

sensor

Figura 2- Associao de molas em srie e em paralelo [5]

1.4- Dinammetros

Neste experimento ser utilizado um dinammetro, equipamento projetado para

realizar medidas de fora. Os primeiros dinammetros operavam utilizando o princpio de

deformao de uma mola, obedecendo a equao (2). Um exemplo de dinammetro analgico

mostrado na Figura 3a.

Atualmente, devido facilidade de uso e preciso, os dinammetros digitais so os

mais utilizados (Figura 3b). O princpio de funcionamento destes aparelhos normalmente

baseia-se em um sensor piezeltrico, que um material capaz de gerar uma diferena de

potencial eltrica quando deformado [6]. H tambm os que funcionam utilizando um "strain

gage" (extensmetro eltrico sensor cuja resistncia eltrica varia de acordo com sua

deformao), sendo montado como elemento de uma ponte de Wheatstone. Este conjunto

denominado clula de fora ou clula de carga [7].

(a) (b)

Figura 3 - Dinammetros analgico e digital



6

2- Procedimento Experimental

O objetivo do experimento realizar medidas de fora e efetuar o clculo da constante

elstica de algumas molas, tanto em trao quanto em compresso. Para tanto, sero utilizados

diferentes mtodos, empregando os conceitos da segunda lei de Newton, da lei de Hooke, com

auxilio de um dinammetro digital e as equaes do movimento harmnico massa-mola.

O experimento est dividido em 3 partes:

a) determinao de constante de mola de compresso, utilizando-se uma escala

graduada e diversas massas;

b) determinao de constante de mola de trao, utilizando-se um dinammetro e um

paqumetro;

c) determinao de constante de mola de trao, utilizando-se as equaes do

movimento harmnico simples (MHS).

Neste experimento tambm ser avaliado o efeito da combinao de duas molas (srie

e paralelo).

2.1- Parte 1: Determinao da constante elstica da mola de compresso

Objetivo: Construir um grfico (fora versus deslocamento) a partir de dados experimentais e

calcular a constante elstica da mola.

Materiais e Equipamentos:

1 mola de compresso

2 peas cilndricas de alumnio

1 pea cilndrica de cobre

tubo guia de plstico com uma escala milimetrada

balana

Procedimento:

1) Anote a marca e o modelo da balana digital disponvel no laboratrio, e sua incerteza.

Mea e anote a massa das trs peas fornecidas.

2) Posicione o tubo guia sobre a bancada na posio vertical, com a mola no seu interior e

sem nenhuma pea comprimindo a mola (Figura 4).

3) Marque sobre a escala milimetrada, o nvel de extremidade da mola. Esse ponto equivale

ao ponto de referncia ou de deslocamento zero, isto , F=0 e x=0.

4) Em seguida, aplique uma fora sobre a mola usando as peas fornecidas. Para o clculo da

fora peso, adote a acelerao da gravidade g=9,8 m/s2

(investigue qual a incerteza

associada a este valor) ou use o valor que ser determinado experimentalmente no item

2.4. Para obter vrias foras, use uma combinao de peas. Para cada fora aplicada,

marque o deslocamento sobre a escala milimetrada, considerando sempre o ponto de

referncia marcado na mola.



7

Sugesto de combinao de peas:

1 pea de alumnio,

2 peas de alumnio,

1 pea de cobre,

1 pea de cobre e 1 pea de alumnio

1 pea de cobre e 2 peas de alumnio

Figura 4- Montagem da Parte 1 do experimento

Cuidados durante o experimento: No solte a pea estando o tubo na posio vertical.

Inicialmente coloque a mola e as peas com o tubo na posio horizontal e lentamente

posicione o tubo na vertical. Faa a leitura do comprimento da mola sempre no mesmo

segmento da mola a fim de minimizar erros de leitura.

Questes:

1- Construa uma tabela com os valores das massas, foras (em N) e deslocamentos. Nota: No se esquea de incluir o ponto de referncia (0,0).

2- Faa uma lista das fontes de incertezas na determinao da constante elstica nesse procedimento.

3- Faa o clculo da constante elstica k, e da incerteza associada ao valor de k para cada ponto experimental (Ver ANEXO ao final da apostila) e inclua estes valores na tabela.

4- Construa um grfico (fora (em N) versus deslocamento) com os pontos experimentais.

5- Faa o ajuste de uma reta do tipo y=ax para o grfico obtido (Ver ANEXO E TUTORIAL [11]) e estime a constante elstica da mola, juntamente com a incerteza associada.



8

2.2- Parte 2: Determinao da constante elstica da mola de trao

Objetivo: Nesta parte, sero determinadas as constantes elsticas de duas molas semelhantes,

a partir de ensaio de trao. Ser utilizado um dinammetro digital para a medio da fora. A

Figura 5 mostra a montagem da clula de fora, da mola e da massa para os ensaios seguintes.

Materiais e Equipamentos:

2 molas de trao

2 conjuntos compostos por 2 peas de ao (cada) unidas com fita

dinammetro digital com clula de fora (sensor)

paqumetro de 200mm

sargento de fixao

Procedimento:

1) Anote a marca e o modelo do dinammetro digital disponvel no laboratrio, e estime sua

incerteza.

Nota: A incerteza especificada pelo fabricante de (0,5% + 2 unidades) para cargas entre

10kg e 100kg. A resoluo do equipamento de 0,2N.

A partir dos valores das massas utilizadas neste experimento, e do fato de que o dinammetro

tem um visor digital, avalie qual dever ser a incerteza a ser considerada na medida de fora

com este equipamento.

2) Monte o sistema da figura 5, utilizando o dinammetro digital, uma mola de trao e um

conjunto de peas de ao. Esta ser considerada a posio inicial (X0) do sistema.

Nota: Esta massa no nula na posio inicial necessria para descomprimir a mola e

coloc-la na regio de operao onde vale a Lei de Hooke.

3) Utilizando o paqumetro, mea o comprimento inicial da mola. Lembre-se de fazer marcas

nas extremidades da mola (referncias) para permitir a medio correta na mesma posio

(espira) da mola.

4) Mea agora a fora, utilizando o dinammetro. Como esta ser considerada a posio de

referncia (isto , (0,0)), anule o visor do aparelho, utilizando a tecla zero.

5) Adicione outro conjunto de peas de ao e mea o novo comprimento (X1) da mola.

6) Mea a fora nesta nova condio, utilizando o dinammetro.

7) Atravs da equao (2), adaptada ao experimento: F=-k.x, calcule o k da mola a partir

do deslocamento (variao do comprimento) da mola: x = X1- X0, e da fora medida no

item anterior.

8) Repita o procedimento para a outra mola de trao.



9

sensor

Figura 5 - Sistema para determinao da constante elstica em trao, com clula de fora

(sensor do dinammetro)

Questes:

6- Quais so as fontes de incertezas na estimativa da constante elstica nesse procedimento? Faa o clculo da incerteza associada ao valor obtido

experimentalmente (Ver ANEXO).

7- A incerteza resultante permite concluir que os "k" das duas molas usadas so diferentes?

2.3- Parte 3: Determinao da constante elstica da mola utilizando o MHS

Objetivo: Nesta parte do experimento, uma montagem semelhante da figura 5 ser

realizada, mas o sistema ser colocado para oscilar. A partir do equacionamento do MHS, o

valor de k ser obtido, com uma e depois duas molas, colocadas inicialmente em srie e

depois em paralelo.

Materiais e equipamentos:

2 molas de trao

2 conjuntos compostos por 2 peas de ao (cada) unidas com fita

balana

sargento de fixao

clula de fora (utilizada agora apenas como suporte)

cronmetro

Procedimento:

1) Com a balana, mea a massa de cada um dos conjuntos compostos por duas peas de ao.



10

2) Monte o sistema semelhante ao da figura 5, utilizando uma mola de trao e os dois

conjuntos com as peas de ao (massa), prendendo a mola junto da bancada com o auxilio

do sargento e da clula de fora.

3) Inicie um movimento vertical do sistema, elevando a massa at a posio (X0-Xmax) (ver

Figura 1). Ateno: durante o movimento oscilatrio, a massa no dever encostar no

solo.

4) Deixe o sistema oscilando (movimento harmnico simples - MHS). Conte N (entre 30 e

50) oscilaes e cronometre o tempo decorrido (tn).

5) Utilizando as equaes do MHS (equao 15) calcule a constante elstica de uma mola

(k).

6) Repita o procedimento para as duas molas em srie, e calcule a constante elstica do

conjunto (keqsrie).

7) Faa um arranjo com as molas conectadas em paralelo e repita o procedimento para

determinar a constante elstica do conjunto (keqparalelo)

Questes:

8- Quais so as fontes de incertezas na estimativa da constante elstica nesse procedimento? Avalie a incerteza na determinao de k (ver ANEXO).

9- As incertezas nas medies justificam as diferenas entre os valores de k obtidos nas partes 2 e 3 desta experincia para uma nica mola? Explique.

Sugesto: Use o conceito de erro normalizado e compatibilidade entre medidas.

10- Compare os valores obtidos experimentalmente para keqsrie e keqparalelo, com os valores tericos indicados na Figura 2, com base no valor de k medido para uma das molas.

Comente eventuais diferenas.

11- Explique em termos de ligaes qumicas, qual a origem das deformaes elsticas dos corpos.

12- Cite duas aplicaes em engenharia onde devem ser feitas medidas de fora.

2.3- Parte 4: Determinao experimental da acelerao da gravidade

Objetivo: Nesta parte do experimento, dever ser determinada a acelerao da gravidade g,

com respectiva incerteza, atravs da medida do perodo de oscilao de um pndulo fixado ao

teto do laboratrio. Este parmetro ser utilizado em vrias outras ocasies na disciplina.

Materiais e equipamentos:

pndulo composto por uma esfera e fio fino, fixado ao teto do laboratrio.

cronmetro



11

Procedimento:

1) Cada membro da equipe dever medir com o cronmetro, o intervalo de tempo

correspondente a dez perodos de oscilao do pndulo, aps provocar no mesmo,

oscilaes estveis de pequena amplitude.

2) A acelerao da gravidade pode ser calculada a partir da expresso:

2L

Tg

(17)

que fornece o perodo de oscilao de um pndulo simples de comprimento L, em condio

de oscilao de pequena amplitude (isto , tal que sen).

Questes:

13- Demonstre a expresso (17), utilizando a hiptese de que as oscilaes so de pequena amplitude. Observe que neste caso, o perodo de oscilao no depende da massa m da

esfera.

14- Qual o objetivo prtico de se medir dez oscilaes do pndulo, ao invs de apenas um perodo de oscilao?

15- Avalie e estime todas as incertezas sistemticas associadas ao mtodo utilizado para obteno do valor de g.

16- Calcule qual o erro sistemtico cometido na obteno do valor de g ao se considerar como comprimento do pndulo apenas o comprimento do fio (e no o comprimento do

fio mais o raio da esfera como o correto).

17- Faa o clculo da incerteza aleatria (tipo A) que afeta o valor de g, a partir das medidas realizadas por todos os membros da equipe.

18- Fornea o valor obtido para g com sua respectiva incerteza (combinada).

L



12

3- Lista de Equipamentos e Materiais

Paqumetro (fundo de escala > 200mm)

Balana

Cronmetro

Dinammetro com clula de fora (sensor)

tubo guia de plstico com uma escala milimetrada

2 molas de trao

1 mola de compresso

1 pea cilndrica de cobre

2 peas cilndricas de alumnio

2 conjuntos compostos por 2 peas de ao unidas com fita

1 sargento de fixao

1 pndulo fixado ao teto do laboratrio

4- Bibliografia

[1] SERWAY, R. A.; JEWETT Jr., J. W. Princpios de Fsica, Volume 1; Thomson, 3 Ed.;

2002.

[2] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Fsica; LTC, 7a Ed.;

2006.

[3] Animao sobre a Lei de Hooke:

http://webphysics.davidson.edu/applets/animator4/demo_hook.html , acessado em

24/11/2013.

[4] Energia no sistema massa-mola:

http://rived.mec.gov.br/atividades/fisica/EXTERNOS/ufpb_ondas/anima/massa/fis1_ativ3.ht

ml , acessado em 24/11/2013

[5] http://pt.wikipedia.org/wiki/Associa%C3%A7%C3%A3o_de_molas , acessado em

24/11/2013.

[6] CALLISTER Jr., W. D.; Fundamentos da Cincia e Engenharia de Materiais; LTC, 2

Ed.; 2006.

[7] Clulas de carga, em https://sites.google.com/site/ufabcmeebc1707/material-de-referencia

[8] VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria dos Erros, 2a ed. So Paulo: Edgard Blcher,

1996.

[9] BC1707 Expresso de valores experimentais, disponvel em:

https://sites.google.com/site/ufabcmeebc1707/experimentos-e-projetos

[10] Inmetro, Guia para a Expresso da Incerteza de Medio, 3a edio brasileira em

lngua portuguesa, Rio de Janeiro: ABNT,Inmetro, 2003.



13

[11] Tutorial sobre Ajuste de Curva, disponvel em:

https://sites.google.com/site/ufabcmeebc1707/experimentos-e-projetos

5- Autores

Apostila elaborada pelos professores C.H. Scuracchio e H. Tanaka e revisada pelos Profs. J.C.

Teixeira e D. Consonni.



14

ANEXO CLCULO DAS INCERTEZAS E AJUSTE DE RETA

Para o clculo das incertezas nos vrios procedimentos desse Experimento,

necessrio conhecer (ou estimar) as incertezas das diversas grandezas de influncia do

mensurando. A partir destas incertezas, pode-se utilizar a teoria de propagao de incertezas

discutida a seguir [8,9,10].

Observa-se, nas equaes deduzidas a seguir, que as incertezas relativas (ou as

incertezas percentuais) podero ser utilizadas de forma a simplificar o clculo da

propagao de incertezas.

(uk/k).100 = uk% (uN/N).100= uN%

(um/m).100 = um% (ug/g).100 = ug%

(uF/F).100 = uF % (utn/tn).100 = utn %

Parte 1

Equao bsica:

k = m.g/ x

Supondo-se que as grandezas de influncia sejam apenas as ligadas massa,

acelerao da gravidade e medida do deslocamento da mola:

uk2 =uk(m)

2 + uk(g)

2 + uk(x)

2

com

uk(m) = Cm.um (l-se: a contribuio da incerteza de m em k, uk(m), dada pelo produto do

coeficiente de sensibilidade de m (Cm) pela incerteza de m (um).

uk(g) = Cg.ug

uk(x) = Cx.ux

Lembrando [8,9] que os coeficientes de sensibilidade podem ser aproximados pelas

derivadas parciais de k em relao a cada grandeza de influncia:

Cm = k/m = g/x=k/m

Cg = k/g = m/x=k/g

Cx = k/x = (-mg)/x2

= -k/x

Assim:

uk2 =(k.um /m)

2 + (k.ug /g)

2 + (-k.ux /x)

2= k

2 ((um /m)

2 + (ug /g)

2 + (ux /x)

2)

ou seja:



15

22 2 2

gk m xuu u u

k m g x

Em valores relativos (ou percentuais) resulta:

(uk%)2 =(um%)

2 + (ug%)

2 + (ux%)

2

Ajuste de reta

Uma reta que passa pela origem (0,0) descrita com uma expresso do tipo: y=ax

O processo de se ajustar uma funo como esta, a um conjunto de n dados experimentais,

denominado de regresso linear.

O coeficiente angular da reta, ou seja, o parmetro a, e sua respectiva incerteza, ua , podem

ser obtidos a partir dos coeficientes angulares de cada ponto : ai = yi/xi e das incertezas

associadas, isto , uai , atravs das seguintes expresses [8]:

21

21

1

1

n

i

i ai

n

i ai

au

a

u

e

2

21

1

1a n

i ai

u

u

Verificar no Tutorial sobre ajuste de curva [11] o uso de aplicativo para este procedimento,

com respectivo clculo das incertezas associadas.

Parte 2

Equao bsica

k = F/x

da mesma forma que na parte 1, pode-se calcular:

uk2 =uk(F)

2 + uk(x)

2

com

uk(F) =CF.uF

uk(x) =Cx.ux,

e

CF = k/F = 1/x=k/F

Cx = k/x = -F/x2= -k/x

Assim:

uk2 = (k.uF/F)

2 + (-k.ux/x)

2



16

de onde se chega a:

2 22

k xFu uu

k F x

ou, em valores relativos (ou percentuais)

(uk%)2 =(uF%)

2 + (ux%)

2

Parte 3

Equao bsica

k = 4.2.m.N2/tn2

Naturalmente, existem incertezas na medio das grandezas de influncia m, N e tn,

respectivamente um, uN e utn. Outras podem estar presentes, mas no sero tratadas aqui.

Assim:

uk2 =uk(m)

2 + uk(N)

2 + uk(tn)

2

Cada uma destas incertezas padro contribui para a incerteza, uk, na determinao de

k. Supondo que a contribuio das incertezas de m, N e tn em k possam ser estimadas por:

uk(m) =Cm.um (l-se: a contribuio da incerteza de m em k, uk(m), dada pelo produto do

coeficiente de sensibilidade de m (Cm) pela incerteza de m (um).

uk(N) =CN.uN

uk(tn) =Ctn.utn

Lembrando que os coeficientes de sensibilidade podem ser aproximados pelas

derivadas parciais de k em relao a cada grandeza de influncia:

Cm = k/m = 4.2.N

2/tn

2=k/m

CN = k/N = 8.2.m.N/tn

2 = 2.k/N

Ctn = k/tn = -8.2.m.N

2/tn

3 = -2.k/tn

Assim:

uk2 = (k.um/m)

2 +(2.k.uN/N)

2+(-2.k.utn/tn)

2

ou seja:

2 2 2 2

2 2k m N tnu u u u

k m N tn

ou, em valores relativos (ou percentuais):

(uk%)2 =(um%)

2 + (2.uN%)

2 + (2.utn%)

2

Experimento 2

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