O Experimento fatorial Fracionado: 2 k-p Capítulo 8
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O Experimento fatorial Fracionado: 2k-p Capítulo 8
• Motivação: a medida que o número de fatores “interessantes” torna-se suficientemente grande, o tamanho do experimento cresce rapidamente.
• Ênfase deve ser dada à técnica factor screening (filtragem, peneiramento de fatores) para identificar os fatores com grandes efeitos
• Quase sempre os experimentos fatoriais são realizados sem replicação.
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Por que os Experimentos Fatoriais Fracionados funcionam?
• Princípio dos efeitos esparsos – Podem existir muitos fatores, mas poucos são
importantes.– Sistema é dominado por efeitos principais e interações
de baixa ordem.• Propriedade da projeção
– Todo fatorial fracionado contém fatoriais completos em menos fatores.
• Experimentação sequencial- Permite adicionar realizações a um fatorial fracionado para resolver dificuldades de interpretação.
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A meia fração (1/2) do 2k:2k-1
• Como o experimento tem 2k/2 realizações, ele é referido como um 2k-1 .
• Vamos considerar uma situação bem simples: o 23-1
A meia fração do 23
Observe que a relação que define a fração é I=ABC (as vezes esse termo é chamado “palavra”).
Fração principal: o contraste para estimar o efeito principal A é exatamente o mesmo contraste usado para estimar o efeito de interação BC .
Esse fenômeno é chamado aliasing e ele ocorre em todo experimento fracionado.
Aliases podem ser encontrados diretamente das colunas na tabela de sinais + and -
Aliasing na meia fração do 23-1
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abcbacAB
abccabAC
abccbaBC
abcbacC
abccabB
abccbaA
2
12
12
12
12
12
1 Não é possível diferenciar entre A eBC entre B e AC e entre C e AB.
Dois ou mais efeitos com essa propriedadesão chamados aliased.
Na prática, quando estimamos A, B ou Cestamos estimandoA+BC, B+AC, C+AB, respectivamente.
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Aliasing na meia fração do 23-1
A = BC, B = AC, C = AB
Aliases podem ser encontrados a partir da relação de definição I = ABC por multiplicação:
A.I = A.(ABC) = A2BC = BC
B.I =B.(ABC) = AC
C.I = C(ABC) = AB
Notação do livro para efeitos aliased:
[ ] , [ ] , [ ]A A BC B B AC C C AB
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A fração alternativa do 23-1
• I = -ABC é a relação de definição• Implica em aliases ligeiramente diferentes: A = -BC,
B= -AC, and C = -AB• Nesse caso valerá
ABCCACBBBCAA
Aliasing na meia fração do 23-1
• Ambos planos pertencem à mesma família, definida por I = ABC.
• Suponha que depois de rodar a fração principal, a fração alternativa também seja rodada• Os dois grupos de realizações podem ser combinados para forma um fatorial completo – exemplo de experimentação sequencial.
• Na prática não importa que fração é de fato usada. Ambas pertencem à mesma família I=ABC, isto é, as duas juntas formam um fatorial 23 completo.
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Resolução do Planejamento• Planejamentos de resolução III:
– “Main effect = two-factors interaction “– Notação: – O exemplo apresentado é de resolução III e pode ser denotado por
• Planejamentos de resolução IV:– “Two-factor interaction=two-factors interacion “– Notação:
• Planejamentos de resolução V:– “Two-factors interaction = three factors interaction”– Notação:
1III2 k
1IV2 k
1V2 k
13III2
Construção de uma meia fração
• Uma meia fração do experimento 2k de maior resolução pode ser construída escrevendo-se um planejamento básico consistindo de corridas para um fatorial completo 2k-1 e então adicionando o k-ésimo fator identificando seus níveis + ou – da interação de maior ordem.
• Portanto, o fatorial fracionado 23-1 de resolução III é obtido escrevendo-se o fatorial completo 22 como o planejamento básico e então igualando o fator C à interação AB.
• A fração alternativa poderia ser obtida igualando o fator C à interação – AB.
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Exemplo da construção de uma meia fração
O planejamento básico; o planejamento gerador
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Projeção dos Fatoriais Fracionados
Todo fatorial fracionado contem fatoriais completos em menos fatores
Uma meia fração projetará num fatorial completo em qualquer subconjuntos de k – 1 fatores originais.
Exemplo 6.2 de um Fatorial sem replicação 2k
• A 24 factorial was used to investigate the effects of four factors on the filtration rate of a resin
• The factors are A = temperature, B = pressure, C = mole ratio, D= stirring rate
• Experiment was performed in a pilot plant
The Resin Plant Experiment
Exemplo 8.1: dados do exemplo 6.2 (pfat2a4sr.txt)
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Considere o experimento da taxa de filtragem no exemplo 6.2 que é um 24 sem replicação. Nesse exemplo vimos que os efeitos principais A, C e D e as interações AC e AD são significativas. Retornaremos a esse experimento e estudaremos o queacontecerá se uma meia fração do 24 for realizada em vez do fatorial completo.Usaremos I=ABCD pois essa escolha de gerador resultará em um experimento de maior resolução possível: resolução IV.Para construir o planejamento, primeiro escrevemos o planejamento básico (um 23 completo), como na tabela a seguir.
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Exemplo 8.1
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Exemplo 8.1Interpretação dos resultados em geral leva a fazer algumas suposições: Ockham’s razor
Confirmação do experimento pode ser importante. Uma possibilidade é usar a fração alternativa.
Ockham’s razor• A Navalha de Ockham é um princípio lógico atribuído ao lógico e
frade franciscano inglês William de Ockham (século XIV). O princípio afirma que a explicação para qualquer fenômeno deve assumir apenas as premissas estritamente necessárias à explicação do fenômeno e eliminar todas as que não causariam qualquer diferença aparente nas predições da hipótese ou teoria. O princípio é costuma ser designado como princípio da parcimônia: as entidades não devem ser multiplicadas além da necessidade. Esta formulação é muitas vezes parafraseada como "Se em tudo o mais forem idênticas as várias explicações de um fenômeno, a mais simples é a melhor".
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Confirmação do experimento para esse exemplo
Uma possibilidade é usar o modelo para prever a resposta em uma combinação de interesse do planejamento.
Rode essa combinação – compare o valor previsto e o observado.
Para esse exemplo, considere o ponto +, +, -, +. A resposta estimada é
A resposta observada é 104.
8.3 A FRAÇÃO ¼ DO 2k
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Se P e Q representa os geradores escolhidos, então I=P e I=Qsão chamadas as relações de definição.Os sinais de P e Q (+ ou -) determinam quais das frações ¼ é produzida. Quando ambos são positivos tem-se a fração principal.A relação de definição completa do plano consiste de todas as colunas que são iguais à coluna identidade.Isso consistirá das colunas P, Q e PQ nas relações de definição.Os aliases de qualquer efeito são produzidos pela multiplicação dacoluna por cada efeito da relação de definição. Cuidado deve ser tomado para evitar que efeitos importantes sejamaliased.
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8.3 A FRAÇÃO ¼ DO 2k
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The One-Quarter Fraction of the 26-2
Complete defining relation: I = ABCE = BCDF = ADEF
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The One-Quarter Fraction of the 26-2
• Uses of the alternate fractions
• Projection of the design into subsets of the original six variables
• Any subset of the original six variables that is not a word in the complete defining relation will result in a full factorial design– Consider ABCD (full factorial)– Consider ABCE (replicated half fraction)– Consider ABCF (full factorial)
, E ABC F BCD
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A One-Quarter Fraction of the 26-2:Example 8.4, Page 305
• Injection molding process with six factors• Design matrix, page 305• Calculation of effects, normal probability
plot of effects• Two factors (A, B) and the AB interaction
are important• Residual analysis indicates there are some
dispersion effects (see page 307)
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8.4 O Planejamento Fatorial Fracionado Geral: 2k-p
• 2k-1 = meia fração, 2k-2 = um quarto, 2k-3 = um oitavo, …, 2k-p = 1/ 2p
• Adicone p colunas ao planejamento básico; selecione p geradores independentes;
• Importante: selecionar geradores de modo a maximizar a resolução, veja tabela 8.14.
• Projeção – um planejamento de resolução R contém fatoriais completos em quaisquer de R – 1 fatores
• Blocagem
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