Exercícios de Matemática

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Noções de Lógica

01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~q b) p ^ q c) p v q d) p " q e) p " (~q) 02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. 03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então: a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q; b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q; c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa; d) p =>q é falsa, qualquer que seja q e) n.d.a. 04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se concluir que: a) se x 3 antão y 7 b) se y = 7 então x = 3 c) se y 7 então x 3 d) se x = 5 então y = 5 e) se x = 7 então y = 3 05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira: a) (2 = 3) => (2 . 3 = 5) b) (2 = 2) => (2 . 3 = 5) c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5) d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5) e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2)) 06. (UGF) A negação de x > -2 é: a) x > 2 b) x #-2 c) x < -2 d) x < 2

2

e) x #2 07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: a) nenhum gato é pardo; b) existe gato pardo; c) existe gato não pardo; d) existe um e um só gato pardo; e) nenhum gato não é pardo. 08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: a) o gato não mia e o rato não chia; b) o gato mia ou o rato chia; c) o gato não mia ou o rato não chia; d) o gato e o rato não chiam nem miam; e) o gato chia e o rato mia. 09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se concluir que: a) se A 2 antão B 5 b) se A = 5 então B = 2 c) se B 5 então A 2 d) se A = 2 então B = 2 e) se A = 5 então B 2 10. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é: a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. Resolução: 01. a) Paulo não é paulista. b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca. c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca. d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca. e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca.

02. a) p ^ q b) (~p) v p c) q " p d) (~p) ^ (~q)

03. B 04. C 05. A 06. C

3

07. C 08. C 09. C 10. C

Exercícios de Numeração

01 – O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente:

02 – Se n é par, o consecutivo par de n será ........... Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será ...........

03 – O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número:

04 – Se n é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo: 2n +1 ; 8n – 6 ; 6n – 1 ; 5n + 3

05 – Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos?

06 – Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades simples.

07 – No número formado por 5 unidades de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o Valor relativo do algarismo 3 acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é:

08 – A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... .

09 – Em que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismos é nula?

10 – A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse? e que ordem ele ocupa nesse número?

11 – Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873?

12 – Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ?

13 – Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ?

14 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes?

15 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ?

16 – Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

17 – Qual é o maior e o menor número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

18 – Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ?

4

19 – Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ?

20 – Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o maior número de 3 algarismos ímpares e diferentes.

21 – Quantos algarismos utilizo para escrever os 150 primeiros números naturais ?

22 – Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .

23 – Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ?

24 – Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados entre 63 e 709 ?

25 – Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585?

26 – Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos?

27 – Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?

28 – Quantos algarismos serão utilizados para escre-vermos todos os múltiplos pares de 7 compreendidos no intervalo numérico 42, 43, 44, ....444 ?

29 – Quantos algarismos são necessários para escre-vermos os números de n algarismos ?

30 – Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?

31 – Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?

32 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a 1.467º posição ?

33 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a posição de número 454 ?

34 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.236, quantas vezes o algarismo 5 aparece na ordem das unidades simples ?

35 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das centenas simples ?

36 – Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4.639, quantas vezes aparece o algarismo 6

37 – Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ?

5

38 – Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 à sua direita ?

39 – Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentamos à sua direita o número 21?

40 – Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus dois algarismos ?

41 – Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um problema em seu teclado, cada vez que era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão ?

42 – Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Quantas vezes nessa sucessão aparecerá o grupo “12” ?

43 – ( Colégio Naval ) – Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive.

44 – ( Colégio Naval ) – Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2.850. Quantas vezes ele escreveu o algarismo 7 ?

45 – ( Colégio Naval ) – Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se esse algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é :

A) 100.006 B) múltiplo de 11 C) múltiplo de 4

D) maior que 180 000 E) divisível por 5

46 – ( XXII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – Os números inteiros positivos de 1 a 1.000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessa seqüência, quantas vezes aparece o grupo "89"?

a) 98

b) 32

c) 22

d) 89

e) 21

47 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:

a) 6882

6

b) 5994

c) 4668

d) 7224

e) 3448

48 – ( EFEI – 2000 ) Qual é o número natural de dois algarismos que fica aumentado de 178 unidades quando acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7?

49 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escolhidos dois números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha?

50 – ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) – O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos ?

A) 4

B) 1

C) 2

D) 3

E) nenhuma

51 – ( EsPeCEx ) Empregaram-se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o menor é 23. O maior deles será :

52 – ( Questão Desafio 1 ) – Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que não sejam múltiplos de 5.

53 – ( Questão Desafio 2 ) – Quantos algarismos “3” utilizo para escrever todos os números naturais começando no 33 e terminando no número 333 ?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

01) n + 1 e n – 1 02) n + 2 e n – 2 03) ímpar 04) 2n +1 e 6n – 1 è impar

8n – 6 è par

5n + 3 è depende de n 05) 8 ordens e 3 classes 06) 52.748 07) 305 08) próprio número 09) unidades simples 10) 4 e 3ª ordem

7

11) 9 dezenas 12) 99 e 10 13) 98 e 10 14) 987 e 102 15) 204 e 864 16) 9.876 e 1.234 17) 9.876 e 1.234 18) 9.875 e 1235 19) 13.579 e 97.531 20) 49 21) 340 22) 472 e 1.343 23) 4.830 24) 951 25) 783 26) 1.350 27) 265 28) 82

29)   x   para n>1

30) 1.887

31) 300 páginas 32) 5 33) 1 34) 124 35) 236 36) 1.364 37) 57 38) 38 39) 28 40) 29 41) 273 42) 93 43) 207 44) 865 45) letra b 46) 23 47) letra a 48) 19 49) 37 maneiras 50) 1 è 2 + 23 51) 400 52) 234 53) 636

Autoria: Professor Luiz Ferrnando

Juros e Porcentagem

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Exercícios sobre juros e porcentagem

Leia o artigo: Percentagem

Questões:

01. Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual é a porcentagem dos que têm 40 anos ou mais? 02. Quais são os juros simples produzidos por um capital de R$ 7200,00 empregados a 10% ao ano, durante 5 anos? 03. A que taxa anual foi empregado o capital de R$ 108.000,00 que, em 130 dias, rendeu juros simples de R$ 3.900,00? 04. Sabe-se que R$ 500,00 representam x% de R$ 2.500,00, que 12 gramas são y% de 96 gramas e que 1.200 m² equivalem a z% de 60km². Os valores de x, y e z são,

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respectivamente: a) 10, 12; 2 b) 20, 12,5; 0,2 c) 20; 12,5; 0,002 d) 2; 12; 0,002 e) 20; 12; 0,002 05. Em uma promoção numa revenda da carros, está sendo dado um desconto de 18% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$ 16.000,00, então o preço para pagamento à vista desse carro será: a) R$ 13.120,00 b) R$ 13.220,00 c) R$ 13.320,00 d) R$ 13.420,00 e) R$ 13.520,00 06. (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a: a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80 07. É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a: a) 0,04% de x b) 4% de x c) 40% de x d) 0,004% de x e) 0,4% de x 08. (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e por pf o preço final da mercadoria, tem-se: a) pf = 101% pi b) pf = pi c) pf = 99,9% pi d) pf = 99% pi e) pf = 90% pi 09. Um vendedor ambulante vende vende seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o preço de custo é de: a) 10% b) 25% c) 33,333%

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d) 100% e) 120% 10. (UnB) Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 20% ao ano duplica em: a) 24 anos b) 6 anos c) 12 anos d) 10 anos e) 5 anos Resolução: 01. 16% 02. Os juros produzidos são de R$ 3600,00. 03. A taxa é de 10% ao ano.

04. C 05. A 06. C 07. E 08. D 09. D 10. E

Percentagem

Percentagem? Ora, isto todo mundo sabe!!!

Bem, o mais correto é dizer que todo o mundo ouviu falar sobre percentagens ou porcentagens. Nossa experiência é que esse é um assunto onde a grande maioria das pessoas, de alunos a até mesmo muitos professores cometem erros grosseiros e usam métodos super-complicados para resolverem os mais simples problemas.

Essa deficiência é indesculpável na medida em que o cálculo de percentagens, muito provavelmente, é o assunto matemático mais útil que se estuda na Escola. É objetivo deste texto ajudar a sanar essa deficiência.

Significado do sinal de percentagem: %

O sinal % é uma mera abreviação da expressão: dividido por 100. De modo que, 800 % é a mesma coisa que 800/100, que é o mesmo que 8 por 1. Ou seja, é a mesma coisa dizermos: 800 % ou 800 por 100, ou 80 por 10, ou 8 por 1, etc.

O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas

Estamos falando de situações como a seguinte:

Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?

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A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação. Vejamos:

Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.

O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:

p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .

Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %.

É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente de dificuldade:

EXERCÍCIO 1

Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?

RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .

EXERCÍCIO 2

Se nossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?

RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)

EXERCICIO 3

Se uma caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?

RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :

1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21

EXERCICIO 4

No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e 40% a impressão. Sendo que num ano o papel aumentou 259% e a impressão 325%, qual o aumento percentual no custo do livro?

RESPOSTA: 285,4 %

EXERCICIO 5 (muito importante)

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A incidência da malária vinha dobrando a cada 2 anos. Qual o aumento percentual anual equivalente?

RESPOSTA: Indicando por x o percentual procurado, pelo visto acima, em dois anos, o número de malarientos passa de M para

M' = ( 1 + x )2 M = 2 M

Tudo o que lhe resta fazer é resolver para x = 0,41 = 41% , aproximadamente.

Aumentos e diminuições percentuais

A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:

Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para v + 0,20 v = 1,20 v.

Se as vendas de uma empresa diminuiram 20%, então elas passaram de v para v - 0,20 v = 0,80 v.

EXERCICIO 6

Se o lucro mensal de uma empresa aumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Consequentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.

EXERCICIO 7

A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixo de rotação da Terra.

Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:

• a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN.

• o HS tem mais oceanos

Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos o verão do HS é mais quente do que o verão do HN.

(NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica")

RESPOSTA: 8.5 %

Pontos percentuais

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A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos meios de comunicação de massa e pelos economistas brasileiros. Seu significado pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:

se a inflação subiu de 5% para 10%, podemos tanto dizer que houve um aumento de 100% na inflação como dizer que a inflação subiu cinco pontos percentuais

se o imposto XYZ subiu de 2% para 3%, é a mesma coisa dizer que o aumento foi de 50% e dizer que o imposto subiu um ponto percentual

se a taxa de juros passou de 20% para 50%, esse aumento pode ser descrito como sendo um aumento de 150% ou como sendo um aumento de trinta pontos percentuais.

Exercícios suplementares

EXERCICIO 9

A produção de uma fábrica aumentou de 240 para 312 unidades. Consequentemente, houve um aumento de 30% na produtividade. Pergunta-se:

porque está errado dizer que a produtividade antiga era 70% da atual?

o erro apontado acima é maior quando o aumento de produtividade for um percentual grande ou quando for um percentual pequeno? Por quê?

EXERCICIO 10

Os honorários de uma agência de propaganda são compostos de duas parcelas: o custo de produção ( artistas, filmes, etc ) e uma comissão de 15% sobre o custo de produção. Por sua vez o IR ( Imposto de Renda ) cobra, da agência, um imposto que:

era de 5% do valor da comissão

passou a ser 5% do valor da comissão e mais 5% dos honorários

Pergunta-se:

Que percentual da comissão o IR representava? E agora?

O novo lucro é que percentual do antigo? Isso justifica a gritaria das agências?

RESPOSTAS: 5%, 43.3%, 59.7%

EXERCICIO 11

Na beirada de um jardim circular, foi feita uma calçada circular que aumentou a área do mesmo em 96%. Sendo que a calçada tem 4 metros de largura, pede-se o raio do jardim original.

RESPOSTA = 10 m

EXERCICIO 12

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Explique por que o seguinte método funciona se, num restaurante, V. quiser acrescentar uma gorjeta de 15% à despesa D:

Primeiro escrevo o valor D e então movo a virgula decimal de D uma casa para a esquerda e escrevo essa quantidade sobre D. Finalmente, divido essa última quantidade por 2 e escrevo o resultado dessa divisão. O total a pagar é a soma das 3 quantias escritas.

EXERCICIO 13

Um quadrado tem 400 cm2 de área. De qual percentual devemos diminuir seu lado para que a área diminua 20% ?

RESPOSTA: aprox 10.56%

EXERCICIO 14

O último censo do município XYZ mostrou que no mesmo:

• as mulheres representam 55% da população adulta • os homens adultos com no máximo escola primária completa representam 80%

da população adulta • as mulheres adultas com no máximo escola primária completa representam

90% da população adulta

Que percentual da população adulta do município foi além da escola primária?

RESPOSTA: 14.5%

Veja também:

Exercícios sobre probabilidade

Leia o artigo: Probabilidade

Questões:

01. O número de chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: 02. Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes. 03. Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as azuis, se 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar se os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes.

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04. (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% 05. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3° mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26% 06. (VUNESP) A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo? 07. A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes? 08. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 3/5 b) 2;5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3

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09. Um baralho comum de 52 cartas, das quais 12 são figuras (valete, dama e rei), é subdividido aleatoriamente em 3 partes. As partes são colocadas sobre uma mesa com as faces das cartas viradas para baixo. A carta de cima de cada das três partes é desvirada. Com base na situação descrita, julgue os itens abaixo: (1) A chance de que as três cartas desviradas sejam figuras é maior do que 1%. (2) A probabilidade de que exatamente duas das cartas desviradas sejam figuras está entre 0,08 e 0,13%. 03) A probabilidade de que pelo menos uma das três cartas desviradas seja uma figura é maior do que 0,5%. 10. (GV) Cada dia em que uma pessoa joga numa loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a 1/1000, independentemente dos resultados anteriores. a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma vez? b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao menos uma vez seja maior do que 0,3%? Obs: Não é necessário efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados. Resolução: 01. 1/5 02. Os eventos "número dois" e "número par" não são independentes. 03. Os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. 04. B 05. D 06. 1,445% 07. 15,36% 08. A 09. (1) F (0,99%) (2) V (0,119%) (3) V (55%) 10. a) 1 - (0,999)30 b) o menor número inteiro n tal que n > log0,9990,997.

Probabilidade

Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a organização e a dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim

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como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras.

A Estatística, de modo geral, constitui um valioso instrumento para tomada de decisões.

Outra característica da Estatística é o uso de modelos. Estes são formas simplificadas de algum problema ou situação real. A característica fundamental dos modelos é o fato de reduzirem situações complexas a formas mais simples e mais compreensíveis.

Neste curso, daremos ênfase a teoria da probabilidade como ferramenta para tomada de decisão.

PROBABILIDADE

As origens da matemática da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase todas a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das probabilidades para planejar estratégias de apostas. Mesmo hoje ainda muitas aplicações que envolvem jogos de azar, tais como diversos tipos de loterias, os cassinos de jogos (No Brasil Bingos) e os esportes organizados. Todavia, a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos. Hoje muitas organizações (públicas ou privadas) já incorporaram a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações&rdquo.

O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO.

As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.

EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO.

Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.

Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos.

Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a passagem para o estado líquido. Esse exemplo caracteriza um fenômeno determinístico.

Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno.

Por exemplo: se considerarmos a produção agrícola de uma determinada espécie, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo sejam as mesmas para todas as plantas.

Podemos considerar como experimentos aleatórios os fenômenos produzidos pelo homem.

Exemplos:

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a) lançamento de uma moeda;

b) lançamento de um dado;

c) determinação da vida útil de um componente eletrônico;

d) previsão do tempo.

A cada experimento aleatório está associado o resultado do mesmo, que não é previsível, chamado evento aleatório.

Um conjunto S que consiste de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO

A probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é um número de 0 a 1 que indica a chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do evento A. A um evento impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um evento certo tem probabilidade 1,0.

As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e percentagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento pode ser expressa como 20%; 2 em 10; 0,20 ou 1/5.

Exercícios de Probabilidade Uma urna contém 10 bolas verdes, 8 vermelhas, 4 amarelas, 4 pretas e cinco brancas, todas de mesmo raio. Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de a bola escolhida ser: a) não verde b) não-branca ou vermelha, c) vermelha ou preta d) verde, vermelha ou amarela.

Três meninos e três meninas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade das três meninas sentarem juntas.

Uma urna contém 15 cartões enumerados de 1 a 15. Um cartão é retirado aleatoriamente. Qual a probabilidade de o número no cartão ser múltiplo de 3?

Joga-se um dado branco e um dado preto. Calcule a probabilidade de:

Ocorrer soma 6 b) ocorrer soma 11 c) ocorrer soma 2 d) não ocorrer nem soma 2 e nem 8.

Uma carta é retirada de um baralho comum de 52 cartas. Qual a probabilidade de:

(Sair uma carta vermelha b)sair uma carta de copas c) sair um rei ou uma carta de copas.

Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1,2,3,...,30. Qual a probabilidade de:

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o número ser divisível por 3 b) o número ser divisível por 5 c) o número ser divisível por 5 ou por 3 d) o número não ser divisível nem por 3 e nem por cinco.

Duas bolas são retiradas ao acaso de uma urna que contém 20 alaranjadas, 7 verdes , 10 pretas e 5 brancas. Qual a probabilidade delas serem:

a) Alaranjadas b) pretas c) verdes d) brancas e) ambas da mesma cor f) pelo menos uma preta

Uma urna contém 5 bolas brancas e 8 pretas. Se forem retiradas dessa urna 2 bolas sucessivamente, ou seja, não sendo as bolas recolocadas, depois retiradas, qual a probabilidade de que ambas sejam brancas?

Sejam os eventos A, B e C. encontre uma expressão e mostre o diagrama de Venn para o evento em que:

Exatamente um dos eventos ocorre, b) pelo menos um evento ocorre, c) nenhum evento ocorre, d) A ou B ocorre, mas C não.

Lance duas moedas e um dado. Qual a probabilidade de aparecerem duas caras e um número par?

Uma moeda é viciada, de maneira que as caras são 3 vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Se esta moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de ocorrer cara apenas uma vez?

Das 8 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de: a) ambas terem olhos azuis, b) nenhuma ter olhos azuis, c) pelo menos uma ter olhos azuis?

Três parafusos e três porcas são colocados numa caixa. Se duas peças são retiradas aleatoriamente, encontre a probabilidade de uma ser parafuso e a outra porca.

De 120 estudantes, 70 estudam matemática, 80 estudam português e 40, matemática e português. Se um estudante é escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade dele:

a) Estudar matemática ou português ,b) só estudar português ,c) só estudar matemática , d) não estudar matemática , e) não estudar nem português e nem estudar matemática.

Um dado é lançado. Se o número é ímpar, qual a probabilidade dele ser primo?

Três moedas não viciadas são lanças. Se ocorrem caras e coroas, determine a probabilidade de ocorrer exatamente duas coroas.

Um par de dados é lançado. Se ocorrem números diferentes, encontre a probabilidade de a soma ser um número primo.

Um homem tem em sua mão quatro cartas vermelhas. Qual a probabilidade de elas serem todas do mesmo naipe, isto é, copas ou ouros?

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Dois dígitos diferentes são selecionados aleatoriamente dos dígitos de 1 a 9. Se a soma é ímpar, qual a probabilidade do número 2 ser um dos números selecionados?

Numa classe há 10 meninos e 15 meninas. Três estudantes são selecionados aleatoriamente, um após o outro. Encontre a probabilidade: a) dos dois primeiros serem meninos e o terceiro menina, b) do primeiro e do terceiro serem meninos, c) do primeiro e do terceiro serem do mesmo sexo e o segundo do sexo oposto.

Numa certa cidade 40% da população gostam de futebol, 25% gostam de telenovela e 15% de ambos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente:

a)Se ela gosta de futebol, qual a probabilidade de também gostar de telenovela.

b)Se ela gosta de futebol, qual a probabilidade de não gostar de telenovela.

c)Qual a probabilidade de não gostar nem de futebol e nem de telenovela.

Em certo colégio, 25% dos meninos e 10% das meninas estão estudando informática. As meninas constituem 40% do corpo de estudantes. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e está estudando informática. Qual a probabilidade de ele ser um menino?

São dadas as urnas:

• A urna A contém 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8 azuis. • A urna B contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas.

Lança-se um dado honesto; ocorre-se 4 ou 6, uma bola é escolhida de A, caso contrário uma bola é escolhida de B. Encontre a probabilidade de: a) uma bola vermelha ser escolhida , b) uma bola branca ser escolhida , c) uma bola azul ser escolhida. d) Se uma bola vermelha é escolhida, qual a probabilidade de ter vindo da urna A?

Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas bolas da outra cor são colocadas na urna. Uma segunda bola então é selecionada. Encontre a probabilidade de ambas as bolas serem da mesma cor?

A urna I contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas, e a urna II contém 2 bolas brancas e 6 vermelhas.

Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor?

Uma caixa contém 3 bolas azuis e 5 vermelhas, e outra caixa contém 8 bolas azuis e 7 vermelhas. Extrai-se ao acaso uma bola de uma das caixas: é azul. Qual a probabilidade de ter sido extraída da primeira caixa?

Em uma joalheria, cada um dos três armários idênticos tem duas gavetas. Em cada gaveta do primeiro armário há um relógio de ouro. Em cada gaveta do segundo armário há um relógio de prata. Em uma gaveta do terceiro armário há um relógio de ouro, enquanto que na outra gaveta há um relógio de prata. Escolhido ao acaso um

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armário, e aberta uma das gavetas, verifica-se conter um relógio de prata. Qual a probabilidade de a outra gaveta do armário escolhido conter um relógio de ouro?

A urna I contém 2 bolas brancas e 3 pretas; a urna II, 4 brancas e 1 preta; a urna III 3 brancas e 4 pretas. Escolhe-se uma urna ao acaso e extrai-se uma bola: é branca. Qual a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna?

Uma caixa contém 9 fichas numeradas de 1 a 9. Extraem-se três sucessivamente. Determine a probabilidade de serem alternadamente, ímpar - par - ímpar ou par - ímpar - par.

Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 8 azuis. Extraem-se cinco ao acaso , sem reposição. determinar a probabilidade de serem 3 vermelhas e 2 azuis.

Extraem-se três cartas de um baralho usual de 52 cartas. Determinar a probabilidade de:

serem todas do mesmo naipe b) saírem ao menos dois ases.

Joga-se repetidas vezes um par de dados. Determinar a probabilidade de aparecer a soma 11 pela primeira vez na sexta jogada.

Determinar a probabilidade de obter a soma 7 em ao menos uma vez dentre três jogadas de um par de dados.

Uma moeda é lançada até que ocorra coroa. Qual a probabilidade dela ser lançada 10 vezes?

A probabilidade de um indivíduo atingir um alvo é 2/3. Se ele deve atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Qual a probabilidade de serem necessários cinco tiros?

A caixa A contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas, e a caixa B, 4 vermelhas e 2 brancas. Extraí-se ao acaso uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B, sem observar a cor. Extrai-se então uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de ser branca?

Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro problema , 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso:

Não tenha acertado nenhum problema b) tenha acertado apenas o segundo problema c) tenha acertado a pelo menos um problema.

Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B, C, constatou-se que entre 2000 famílias, assinam:

A: 500, B: 450 , C: 350, A e B : 120, A e C : 220, B e C 150 e 80 assinam os três. Escolhendo-se acaso

uma família, qual a probabilidade de que ela:

Assine pelo menos um jornal b) não assine nenhum dos três jornais c) assine apenas um dos três jornais.

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Vinte pessoas estão em uma sala usando crachás numerados de 1 a 20. Três pessoas são escolhidas ao acaso e retiradas da sala. Os números de seus crachás são anotados. qual a probabilidade de que o menor número seja 7?

Temos quatro números positivos e seis negativos. Escolhemos 4 números ao acaso e efetuamos o produto deles. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?

Cinco cartas vão ser retiradas de um baralho de 52 cartas. Calcular a probabilidade de que as cinco cartas sejam do mesmo naipe?

Uma gaveta contém 5 pares de meias verdes e 8 pares de meias brancas. Tiram-se duas meias ao acaso. Qual a probabilidade de se formar:

Um par verde? , b) um par de meias da mesma cor?, c) um par com meias de cores diferentes?

Uma sala possui 3 soquêtes para lâmpadas. De uma caixa com 10 lâmpadas, das quais 6 estão boas, retiram-se 3 lâmpadas ao acaso e colocam-se as mesmas nos bocais. Qual a probabilidade de que:

Todas acendam? b) pelo menos uma lâmpada acenda?

Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas , 3 azuis e 2 amarelas. Extraem-se simultaneamente 5 bolas. Qual a probabilidade de que saiam 2 bolas pretas, 2 azuis e uma amarela?

Duas pessoas lançam cada uma três moedas. Qual a probabilidade de que tirem o mesmo número de coroas?

Duas lâmpadas ruins são misturadas com duas lâmpadas boas. As lâmpadas são testadas uma a uma, até que duas ruins sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a última ruim seja encontrada no: a) segundo teste b) terceiro teste c) quarto teste.

A experiência mostra que determinado aluno A tem probabilidade 0,9 de resolver e acertar um exercício novo que lhe é proposto. Seis novos exercícios são apresentados ao aluno A para serem resolvidos. Qual a probabilidade que resolva e acerte no máximo dois exercícios?

Uma urna tem 5 bolas verdes, 4 azuis e 5 brancas. Retiram-se 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam brancas?

Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de 3 fábricas distintas X, Y,e Z. X produziu 500, das quais 400 são boas. Y produziu 700, das quais 600 são boas e Z as restantes, das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas, nesse supermercado, qual a probabilidade de que seja boa?

Considerando o exercício 48: Sendo a lâmpada escolhida DEFEITUOSA, qual a probabilidade que tenha sido produzida pela fabrica X?

Dez cartas são extraídas aleatoriamente de um baralho usual de 52 cartas. Qual a probabilidade de todas serem de copas?

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Um professor de probabilidade propôs a seus alunos o seguinte problema: SÃO DADAS DUAS MOEDAS, UMA PERFEITA (probabilidade de cara igual 1/2), E OUTRA COM DUAS CARAS. UMA MOEDA É ESCOLHIDA AO ACASO E LANÇADA TRÊS VEZES. QUAL A PROBABILIDADE QUE SEJA OBTIDA 3 CARAS?

Exercícios sobre análise combinatória

Questões:

01. (FUVEST) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas? a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16 02. (VUNESP) De uma urna contendo 10 bolas coloridas, sendo 4 brancas, 3 pretas, 2 vermelhas e 1 verde, retiram-se, de uma vez, 4 bolas. Quantos são os casos possíveis em que aparecem exatamente uma bola de cada cor? a) 120 b) 72 c) 24 d) 18 e) 12 03. (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os círculos é:

a) 100 b) 240 c) 729 d) 2916 e) 5040 04. (UEL) Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? a) 861 b) 1722 c) 1764

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d) 3444 e) 242 05. (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O número de equipes de trabalho que poderão ser formadas num grupo de dez indivíduos, devendo cada equipe ser constituída por um coordenador, um secretário e um digitador, é: a) 240 b) 360 c) 480 d) 600 e) 720 06. (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de:

a) 83 b) 84 c) 85 d) 168 e) 169 07. (MACK) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos 1 advogado, é: a) 120 b) 108 c) 160 d) 140 e) 128 08. Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções? a) 90 b) 21 c) 240

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d) 38 e) 80 09. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação x + y + z + w = 5 é: a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56 10. (MACK) Dentre os anagramas distintos que podemos formar com n letras, das quais duas são iguais, 120 apresentam estas duas letras iguais juntas. O valor de n é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 c) 122 Resolução:

01. C 02. C 03. D 04. B 05. E 06. E 07. A 08. A 09. E 10. C

Progressão Aritmética

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Exercícios sobre progressão aritmética

Leia o artigo: Progressão Aritmética (P.A.)

Questões:

01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números: I. 3, 7, 11, ... II. 2, 6, 18, ... III. 2, 5, 10, 17, ... O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:

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a) 15, 36 e 24 b) 15, 54 e 24 c) 15, 54 e 26 d) 17, 54 e 26 e) 17, 72 e 26 02. (FEFISA) Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f(n + 1) = 2 . f(n) + 1, então o valor de f(4) é: a) 4 b) 7 c) 15 d) 31 e) 42 03. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12. 04. Em uma progressão aritmética sabe-se que a4 = 12 e a9 = 27. Calcular a5. 05. Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2. 06. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta ordem. 07. Em uma P. A. são dados a1 = 2, r = 3 e Sn = 57. Calcular an e n. 08. (OSEC) A soma dos dez primeiros termos de uma P. A. de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é: a) 18,88 b) 9,5644 c) 9,5674 d) 18,9 e) 21,3 09. (UNICID) A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000, isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale: a) 5870 b) 12985 c) 2100 . 399 d) 2100 . 379 e) 1050 . 379

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10. (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale: a) 18 b) 90 c) 8 d) 100 e) 9 Resolução: 01. C 02. D 03. a1 = 57 04. a5 = 15 05. (2; 7; 12; 17; ...) 06. x = 4 07. n = 6 e a6 = 17 08. A 09. E 10. A

Progressão Aritmética (P.A.)

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Chama-se de progressão aritmética (P.A.) , toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante.

Vamos considerar as seqüências numéricas:

a) (2, 4, 6, 8, 10, 12).

Veja que a partir do 2º termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor, é constante:

a2 - a1 = 4 - 2 = 2; a3 - a2 = 6 - 4 = 2

a5 - a4 = 10 - 8 = 2 a6 - a5 = 12 - 10 = 2

b)

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a2 - a1 = ;

a3 - a2 =

a4 - a3 =

a5 - a4 =

Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r) .

Obs.: r = 0 P.A. é constante. r > 0 P.A. é crescente. r < 0 P.A. é decrescente.

De um modo geral temos:

Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)

a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ...= an - an -1 = r

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A

Vamos considerar a seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an) de razão r, podemos escrever:

Somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos:

a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ ... an -1+ (n-1).r

Após a simplificação temos a fórmula do termo geral de uma P.A.: an = a1 + (n - 1).r

Nota Importante: Quando procuramos uma progressão aritmética com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante útil.

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• Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)

• Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). Onde y =

• Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a1 e an, significa obter uma progressão aritmética de k+2 termos, cujos os extremos são a1 e an.

Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da P.A.

Ex.: Veja esta P.A. (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a P.A. terá 8+2 termos, onde:

a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos.

an = a1 + (n-1).r r =

a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A. (Sn)

Vamos considerar a P.A.: (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) (1).

Agora vamos escrevê-la de uma outra forma: (an, an-1, an-2, ..., a3, a2, a1) (2).

Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e também por Sn a soma de todos os membros de (2), já que são iguais.

Somando (1) + (2), vem:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) ... + (an-1 + a2) + (an + a1)

Observe que cada parênteses representa a soma dos extremos da progressão aritmética, portanto representa a soma de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. Então:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... +(a1 + an) + (a1 + an) n - vezes

2Sn = que é a soma dos n termos de uma P.A.

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Questões:

01. Determine a P. G. (an) em que a1 = 3 e an + 1 = 2 . an. 02. Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ...). 03. Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem. 04. (PUC) Se a razão de uma P. G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P. G. é chamada: a) decrescente b) crescente c) constante d) alternante e) singular 05. Na P. G. estritamente crescente (a1, a2, a3, ...) tem-se a1 + a6 = 1025 e a3 . a4 = 1024. Determine a razão da progressão geométrica. 06. O segundo termo de uma P. G. crescente tal que a1 = 8 e a3 = 18 é igual a: a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15 07. As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será: a) 256 b) 64 c) 16 d) 243 e) 729 08. Calcule o valor de k para que a soma dos k primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...) seja igual a 797161. 09. (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é: a) -1700 b) -850 c) 850

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d) 1700 e) 750 10. O lado de um triângulo eqüilátero mede 3m. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo eqüilátero e, assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos construídos.

Progressão Geométrica (P.G.)

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Chamamos Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos, que a partir do 2º, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da P.G.

Dada uma seqüência (a1, a2, a3, a4, ..., an,...), então se ela for uma P.G. an = an-1 . q , com n 2 e n IN, onde:

a1 – 1º termo

a2 = a1. q

a3 = a2. q²

a4 = a3. q³ .

an = an-1. q

CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS P.G.s

1. Crescente:

2. Decrescente:

3. Alternante ou Oscilante: quando q < 0.

4. Constante: quando q = 1

5. Estacionária ou Singular: quando q = 0

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FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Vamos considerar uma P.G. (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Pela definição temos:

a1 = a1

a2 = a1. q

a3 = a2. q²

a4 = a3. q³ .

an = an-1. q

Depois de multiplicarmos os dois membros das igualdades e simplificarmos, vem:

an = a1.q.q.q....q.q (n-1 fatores)

an = a1

Termo Geral da P.A.

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar, Inserir ou Intercalar m meios geométricos entre dois números reais a e b significa obter uma P.G. de extremos a e b, com m+2 elementos. Podemos resumir que problemas envolvendo interpolação se reduzem em calcularmos a razão da P.G. Mais à frente resolveremos alguns problemas envolvendo Interpolação.

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an...), de razão e a soma Sn de seus n termos pode ser expressa por:

Sn = a1+a2+a3+a4... +an(Eq.1) Multiplicando ambos os membros por q, vem:

q.Sn = (a1+a2+a3+a4... +an).q

q.Sn = a1.q+a2.q+a3 +.. +an.q (Eq.2) . Encontrando a diferença entre a (Eq.2) e a (Eq.1),

temos:

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q.Sn - Sn = an . q - a1

Sn(q - 1) = an . q - a1 ou

, com

Obs.: Se a P.G. for constante, isto é, q = 1 a soma Sn será:

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA

Dada a P.G. infinita: (a1, a2, a3, a4, ...), de razão q e S sua soma, devemos analisar 3 casos para calcularmos a soma S.

 an = a1.

1. Se a1= 0 S = 0, pois

2. Se q <–1 ou q > 1 , isto é e a1 0, S tende a ou . Neste caso é impossível calcular a soma S dos termos da P.G.

3. Se –1< q < 1, isto é, e a1 0, S converge para um valor finito. Assim a partir da Fórmula da soma dos n termos de uma P.G. , vem:

Quando n tende a , qn tende a zero, logo:

que é a fórmula da soma dos termos de uma P.G. Infinita.

Obs.: S nada mais é do que o limite da Soma dos termos da P.G., quando n tende para É representada desta forma:

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PRODUTO DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA

Dada a P.G. finita: (a1, a2, a3, ...an-1, an), de razão q e P seu produto, que é dado por:

ou

Multiplicando membro a membro, vem:

Esta é a fórmula do produto dos termos de uma P.G. finita.

Podemos também escrever esta fórmula de outra forma, pois:

Logo:

Regra de Três

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Exercícios sobre regra de três

Leia o artigo: Regra de três simples e composta

Questões:

01. Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será: a) 0,685m b) 1,35m c) 2,1m d) 6,85

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e) 18m 02. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m²? a) 7 horas b) 5 horas c) 9 horas d) 4 horas e) 6h e 30min 03. Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido? 04. Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a mais do que a segunda? 05. De duas fontes, a primeira jorra 18l por hora e a segunda 80l. Qual é o tempo necessário para a segunda jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos? 06. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões? a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 5 07. (PUCCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de: a) 1000 b) 2000 c) 4000 d) 5000 e) 8000 08. Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60cm de largura. Qual será o comprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de 0,90m?

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09. Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, durante 30 dias. Se os bares fossem 20 e se cada um deles recebesse 15 litros, durante quantos dias a destilaria poderia abastecê-los? 10. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5 Resolução: 01. C 02. A 03. 15 dias 04. 60m e 48m 05. 5min 37,5seg 06. E 07. C 08. 2 000m 09. 42 dias 10. E

Regra de Três Simples e Composta

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Regra de Três Simples

O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples .

Exercício de fixação da definição:

Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?

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Grandeza 1: Distância percorrida

Grandeza 2: Tempo necessário

Cálculo:

Distância 1 = 480 Km - 02 horas

Distância 2 = ? Km - 06 horas

01 hora percorrida = 240 km

06 horas percorrida = 240 Km x 6

Resultado: 1440 Kms

Método mais prático de solução da regra de três sim ples

Faça um X na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km

480 km - 02 horas

X

? km - 06 horas

Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km

Regra de três composta

Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.

Exercícios de fixação da definição:

1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?

Grandeza 1 : Número de homens trabalhando

Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho

Grandeza 3 : Tamanho do muro

2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??

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Grandeza 1: Número de carros

Grandeza 2: Número de dias

Grandeza 3: Quantidade combustível

Método mais prático de solução da regra de três com posta

Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.

A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.

Veja:

1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração

2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?

Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)

Assim: 22 metros custarão R$ 110,00

3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas

Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)

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Exercícios de regra de três simples e composta

As respostas estão no final da página.

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

05 – Paguei R$ 6,00 por 1,250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?

06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?

07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?

09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?

10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?

12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?

b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?

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c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?

17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?

18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?

19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?

20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?

21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?

22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?

23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?

24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?

25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?

27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?

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28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).

29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?

30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Mia mi, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?

31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?

32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?

33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?

34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?

35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?

36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :

a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?

b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?

37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?

38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?

39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?

40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?

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41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 cm3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?

42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?

43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?

44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?

45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?

46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?

47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?

48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?

49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?

50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?

51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?

52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?

53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?

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54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?

55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?

56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?

57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?

58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?

60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?

61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?

62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?

63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?

64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?

65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?

66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.

67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

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68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?

69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?

70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?

72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?

73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?

74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?

75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?

76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?

79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?

80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.

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81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?

82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.

Regra de Três – Questões Objetivas

84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:

a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias

85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa:

a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50

86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:

a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000

87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:

a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km

88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?

a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas

89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?

a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias

90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?

a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias

91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se

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sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:

a) 2 min b) 2 min e 19 segundos

c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos

92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros

93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18

94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?

a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas

95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?

a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00

c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00

96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :

a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.

c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.

97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :

a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.

c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00

98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?

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a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5

99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :

a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.

100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:

a) 8 dias b) 9 dias

c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.

101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?

a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos

102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos

d) 5 gatos e) 6 gatos

102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :

a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias

103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :

a) triplicar o nº de operários

b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia

c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de

operários

d) duplicar o nº de operários

47

e) duplicar o nº de operários e o número de horas

trabalhadas por dia

104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?

a) 7h 42 min

b) 7h 44 min

c) 7h 46 min

d) 7h 48 min

e) 7h 50 min

105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:

a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias

d) 45 dias e) 180 dias

106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?

a) 30 b) 40 c) 45 d) 50

107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :

a) 

Respostas dos Exercícios:

01) 40 kg 02) 14 sacas 03) 42 litros 04) 60 min

37) 14 dias 38) 10 dias 39) 4 horas 40) 60 km/h

73) 24 ovos 74) 5 min 75) 12 máquinas 76) 5 kg

48

05) R$ 3,60 06) 8 máquinas 07) 702 litros 08) 77 caixas 09) 532 km 10) 15 litros 11) 33 h 20 min 12) 6 minutos 13) 9 min / 54 min / 15 dias 14) 14 cm 15) 10 cm 16) 40 m3 17) 5.250 voltas 18) 110 g 19) 18 cm 20) 55 fitas 21) 56.250 litros 22) Nota 8 23) 9 metros 24) 30 m 25) 371 cm ou 3,71 m 26) 7.840 litros 27) 43.925 cm 28) 3.600 g 29) 300 azulejos 30) 40 graus 31) 770 m2 32) 42,5 m/s 33) 108 km/h 34) 270 recenseadores 35) 1.034 voltas 36) a)84 min b) 1 h 24 min

41) 20 caminhões 42) 41 m 43) 20 metros 44) 40 dias 45) 14 peças 46) 16 pessoas 47) 4 h 15 min 48) 96 horas 49) 25 operários 50) 40 latas 51) 3 minutos 52) 10 caminhões 53) 4 horas 54) 25 m 55) 14 m 56) 16 dias e 16 horas 57) 320 páginas 58) 420 páginas 59) 80 km/h 60) 75 voltas 61) 2.170 km 62) 2 horas 63) 4 dias 64) 150 kg 65) 50 dias 66) 250 litros 67) 32 operários 68) 15 dias 69) 16 dias 70) 4 dias 71) 216 caixas 72) 7 kw

77) 9 horas 78) 1.800 toneladas 79) 18 dias 80) 300 litros 81) 360 famílias 82) 96 colares 83) 40 km/h 84) letra b 85) letra b 86) letra c 87) letra d 88) letra b 89) letra c 90) letra b 91) letra c 92) letra d 93) letra c 94) letra c 95) letra b 96) letra a 97) letra a 98) letra d 99) letra c 100) letra a 101) letra c 102) letra a 103) letra e 104) letra d 105) letra d 106) letra d 107) letra e

Razão e Proporção

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Exercícios sobre razão e proporção

Leia o artigo: Proporção Áurea

Questões:

01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é: a) 20 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32

49

02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais. 03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. 04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos. 05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é: a) 90 b) 96 c) 180 d) 72 e) -124 06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6 b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2 e) x = 8 e y = 12 07. Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual: a) a sentença que relaciona y com x?

b) o gráfico da função f: [-2; 3] ® ℝ definida pela sentença anterior? c) o valor de y quando x = 2? 08. (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a: a) 1, 2 e 3 b) 1, 2 e 5 c) 1, 3 e 4 d) 1, 3 e 6 e) 1, 5 e 12

50

09. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é: a) 35 b) 49 c) 56 d) 42 e) 28 10. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente: a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00 b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00 c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00 d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00 e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00 Resolução: 01. E 02. x = 3 e y = 6 03. As partes são: 32, 48 e 80. 04. A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00. 05. B 06. C 07. a) y = 2x

c) y = 4 08. C

51

09. B 10. Cvg

Fatoração

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Questões:

01. Fatorar: (a + b) . x + 2(a + b) 02. Fatorar: (x + y)2 - (x - y)2 03. Fatorar: x4 - y4 04. Fatorar: 25x2 + 70x + 49 05. Calcular 2 4992 06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2 é igual a: a) a2 + 2 b) 2a + 1 c) a2 + 1 d) 2a -1 e) a2 07. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente: a) -1 e -1 b) 0 e 0 c) 1 e 1 d) 1 e -1 e) -1 e 1 08. Decomponha em fatores do primeiro grau: 6x2 - 5xy + y2 09. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine: a) O produto dos dois números. b) A soma dos dois números.

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10. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Resolução: 01. (a + b) . (x . 2) 02. 4xy 03. (x2 + y2) . (x + y) . (x - y) 04. (5x + 7)2 05. 6 245 001 06. A 07. E 08. (3x - y) . (2x - y) 09. a) 2 10. C

Exercícios de Frações

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01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ?

02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?

03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?

04 – Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos ?

05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ?

06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

53

07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ?

08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?

09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?

10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?

12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?

13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.

14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?

16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ?

17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?

18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.

19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.

20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?

21 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 da terceira.

22 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?

23 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?

24 – Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30. Quanto possuía ?

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25 – Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro.

26 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro.

27 – O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em cada turma ?

28 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ?

29 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse?

30 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ?

31 – Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto ficou ?

32 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.

33 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira

34 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ?

35 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ?

36 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?

37 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?

38 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?

39 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?

40 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ?

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41 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ?

42 – Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Em quanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ?

43 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ?

44 – Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ?

45 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ?

46 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ?

47 – Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?

48 – Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordado sozinha.

49 – Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ?

50 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ?

51 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500.

52 – Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina ?

Resolução dos exercícios de frações

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01) 18 garrafas 02) 30 cintos 03) 135 04) 14 meninos 05) 5.115 06) R$ 8.344,00 07) 165 km 08) 15 09) R$ 170,00

10) 11) 600 e 250 12) 189 13) 810 14) R$ 2.500,00 15) 48 16) 72 17) 128 18) 117 e 27 19) 180 e 165 20) R$ 1.722,00 21) R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,50 22) R$ 165,00 23) R$ 139,50 24) R$ 34,40 25) 34 , 51 e 68 26) 945, 1260 e 1512 27) 35 , 34 e 36 28) R$ 600,00 29) 4.662 30) 108 31) R$ 128,00 32) R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,00 33) R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,00 34) R$ 136,00 35) 3/20 36) 1 horas e 12 minutos 37) 1/4 h ou 15 min 38) 1/6 h ou 10 min 39) 17/180 40) 13 h 30 min 41) 12 h

42)  h

43) R$ 120.000,00 44) 75 e 1 45) R$ 6.930,00, R$ 1.540,00 e R$ 1.890,00 46) 1h 30 min 47) 2 h 30 min 48) 18 horas 49) 12/35 e 2 h 55 min 50) 98

57

51) 160 , 100 e 240 52) 18 maçãs

Função Polinomial do primeiro grau

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Exercícios sobre função polinomial do primeiro grau

Leia o artigo: Polinômios

Questões:

01. (UNIFOR) A função f, do 1° grau, é definida por f( x) = 3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02. (EDSON QUEIROZ - CE) O gráfico abaixo representa a função de ℝ em ℝ dada

por f(x) = ax + b (a, b Îℝ). De acordo com o gráfico conclui-se que:

a) a < 0 e b >0 b) a < 0 e b < 0 c) a > 0 e b > 0 d) a > 0 e b < 0 e) a > o e b = 0 Resolva, em R, as inequações de 03 a 05 03. 2x - 10 < 4 04. -3x + 5 ³ 2 05. -(x - 2) ³ 2 - x

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Resolva, em R, as inequações de 06 a 08 06. x - 3 ³ 3 + x 07. -x + 1 £ x + 1 08. -x - 4 > -(4 -x) 09. (MACK) Em R, o produto das soluções da inequação 2x - 3 £ 3 é: a) maior que 8 b) 6 c) 2 d) 1 e) 0 10. (UNICAMP) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e anota da terceira prova é multiplicada por 3. Os resultados após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação? Resolução: 01. E 02. A 03. V = (x Î R| x < 7) 04. V = (x Î R| x £ 1) 05. V = R 06. V = f 07. V = R 08. V = R* 09. E 10. No mínimo 7,9

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Função Polinomial do Segundo Grau

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Exercícios sobre função polinomial do segundo grau

Leia o artigo: Polinômios

Questões:

01. (UNIFORM) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = x2 + 3x - 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a: a) 3 b) 5 c) 7

60

d) 8 e) 9 02. (CEFET - BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Então, os valores de a e b obedecem à relação: a) b2 = 4a b) -b2 = 4a c) b = 2a d) a2 = -4a e) a2 = 4b 03. (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo, tangente ao eixo das abscissas: a) y = x2 b) y = x2 - 4x + 4 c) y = -x2 + 4x - 4 d) y = -x2 + 5x - 6 e) y = x - 3 04. A solução da inequação (x - 3) (-x2 + 3x + 10) < 0 é: a) -2 < x < 3 ou x > 5 b) 3 < x < 5 ou x < -2 c) -2 < x < 5 d) x > 6 e) x < 3 05. Os valores de x que satisfazem à inequação x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) (x2 - 16) < 0 são: a) x < -2 ou x > 4 b) x < -2 ou 4 < x < 5 c) -4 < x < 2 ou x > 4 d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 06. (VIÇOSA) Resolvendo a inequação (x2 + 3x - 7) (3x - 5) (x2 - 2x + 3) < 0, um aluno cancela o fator (x2 - 2x + 3), transformando-a em (x2 + 3x - 7) (3x - 5) < 0. Pode-se concluir que tal cancelamento é: a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade; b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita; c) incorreta porque foi cancelado um trinômio do segundo grau; d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3;

e) correto, pois (x2 - 2x + 3) > 0 , " x Îℝ. 07. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:

61

a) mínimo, igual a -16, para x = 6; b) mínimo, igual a 16, para x = -12; c) máximo, igual a 56, para x = 6; d) máximo, igual a 72, para x = 12; e) máximo, igual a 240, para x = 20. 08. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 - x) (x - 4). O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de: a) 7 peças b) 10 peças c) 14 peças d) 50 peças e) 100 peças 09. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = -2x2 + 4x + 12, o valor máximo desta função é: a) 1 b) 3 c) 4 d) 12 e) 14 10. (ACAFE) Seja a função f(x) = -x2 - 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: a) [0, 3] b) [-5, 4] c) ]-¥, 4] d) [-3, 1] e) [-5, 3] Resolução:

01. D 02. A 03. C 04. A 05. D 06. E 07. C 08. A 09. E 10. B

Análise Combinatória Fatorial de um número: Definições especiais:

n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

0!=1 1!=1

62

Arranjo simples:

ades.possibilid 242.3.4 lugar 3º o para adespossibilid

2 elugar 2º o para adespossibilid 3 sobrando lugar, 1º o para adespossibilid 4 Existem :R

lugares? primeiros trêsos para adespossibilid as são Quantas mundo. do campeões

dos torneioo disputam Flamengo) e Paulo São Santos, (Grêmio, futebol de timesQuatro 3)

negativo. número um de fatorial existe não pois ,7 :Resposta

-8x

7x

2

151

2

2251 056

56 x 56))(1( 56)!1(

)!1)()(1( 56

)!1(

)!1(

.56)!1(

)!1( equação a Resolva 2)

1020010100100100.101100!99

!99.100.101!99.100

!99

!101!100

.!99

!101!100 expressão da valor o Calcule 1)

2

2

=→

=

==

⇒±−=⇒

±−=⇒=−+⇒

⇒=+⇒=+⇒=−

−+⇒=

−+

=−+

=+=+=+=+

+

x

xxxx

xxxx

xxx

x

x

x

x

)!(

!, pn

nA pn −

=

40

17

80

34

872

202430

)!18(

!8

)!29(

!9)!25(

!5

)!34(

!4

)!26(

!6

. Calcule )4

1,82,9

2,53,42,6

1,82,9

2,53,42,6

==+

−+=

−+

−

−−

−+

−=+

−+

+−+

AA

AAA

AA

AAA

63

números. 3366.7.8!5

!5.6.7.8

!5

!8

)!38(

!81.

:então s,disponívei

números 8 existem ainda trêsoutros os para e (2), adepossibilid uma apenas existe algarismo

primeiro o Para 3000). e 2000 entre está (pois algarismos quatro ter deve número O :R

9? e 6,7,81,2,3,4,5, entre escolhidos distintos

algarismospor formados 3000 e 2000 entre doscompreendi números os são Quantos 6)

números. 1366472 é 5por divisíveis de número O :Resposta

números. 648.8!7

!7.8.

!7

!7.8

!7

!8.

!7

!8

)!18(

!8.

)!18(

!8.1.

0).ser pode algarismo segundo (o adespossibilid 8 existem tambémalgarismo segundo

o para E ).algarismos 2 de número um seria (senão 0 comcomeçar pode não número o pois

ades,possibilid 8 ainda existem algarismo primeiro o Para (5). adepossibilid uma apenas existe

algarismo terceiroo para :5 com terminam5por divisíveis quantos calculamos Agora

números. 728.9!7

!7.8.9

!7

!9

)!29(

!91.

:é 0 com terminamque 5por divisíveis de número o Portanto s.disponívei números 9 existem

ainda primeiros dois os para e (0), adepossibilid 1 apenas existe algarismo terceiroo Para

:0 com terminamque 5por divisíveis de número ocalcular vamos

ntePrimeirame 5. comou 0 com terminar deve ele 5, divisívelser número um Para :R

5. POR DIVISÍVEIS SEJAM c)

números. 8!7

!7.8

!7

!8

)!18(

!81.1.

:adespossibilid 8 existem ainda segundo o Para (5). adepossibilid 1 apenas existe

também terceiroo para e (2), adepossibilid 1 apenas existe algarismo primeiro o Para :R

5. COM TERMINEM E 2 COM COMECEM b)

números. 728.9!7

!7.8.9

!7

!9

)!29(

!91.

:sdisponívei números 9 existem ainda dois outros os para e (1) adepossibilid

1 apenas existe primeiro o para que sendo ,algarismos êspossuir tr pode número O :R

1. COM COMECEM a)

:que modo de repetir, os sem ),5,6,7,8,9(0,1,2,3,4 decimal sistema

do algarismos o comformar podemos distintos algarismos 3 de números Quantos 5)

3,8

1,81,8

2,9

1,8

2,9

====−

=

=+

====−−

=

→

====−

=

→

===−

=

====−

=

A

AA

A

A

A

64

Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

!nPn =

maneiras. 1152576576 é totalo Portanto

maneiras. 57624.24!4!.4.

: também temosposição primeira na dama uma Colocando

maneiras. 57624.24!4!.4.

:maneiras de totalnúmero como temosposição primeira na cavalheiro um Colocando

C-D-C-D-C-D-C-Dou D-C-D-C-D-C-D-C

:issofazer de maneiras duas Existem:R

damas. duas e scavalheiro dois juntos fiquem não que forma

de fila, numa s,cavalheiro 4 e damas 4 dipostasser podem maneiras quantas de Calcule 8)

anagramas. 1201.2.3.4.5!5.1.1.1.1

:é totalo Então ades.possibilid 5 existem letras 5 outras as para e

(E), 1 existe só tambémúltima para e (A), adepossibilid 1 existe letra primeira a Para

E. com terminameA POR COMEÇAM b)

anagramas. 7201.2.3.4.5.6!6.1.1

:é totalo Então ades.possibilid 6 existem

letras 6 outras as para e (A), adepossibilid uma apenas existe letra primeira a Para

A. POR COMEÇAM a)

:EDITORA palavra da anagramas Quantos 8)

números. 1201.2.3.4.5!5

8? e 1,2,3,5por formadosser podem distintos algarismos 5 de números Quantos )7

44

44

5

6

5

=+===

===

===

===

===

PP

PP

P

P

P

)!(!

!, pnp

nC pn −

=

65

comissões. 52515.352

30.

!3

210

!2!.4

!4.5.6.

!4!.3

!4.5.6.7

)!46(!4

!6.

)!37(!3

!7

.. produto o é resultado O

- MOÇAS

- RAPAZES

moças? 4 e rapazes

3 comformar podemos comissões quantas moças, 6 e rapazes 7 com reunião Numa 11)

saladas. de tipos21024

5040

!4

5040

!4!.6

!6.7.8.9.10

)!610!.(6

!10

feitas?ser podem

diferentes espécies 6 contendo salada, de tiposquantos frutas, de espécies 10 Com 10)

.Chaver pode não porque resposta a é não 1 :obs

.5 :Resposta

1''

5'

2

166 056

056 06

3323

026

22

0!2

)1.(

!3

)2).(1.(

0)!2(!2

)!2).(1.(

)!3(!3

)!3).(2).(1.(

0)!2(!2

!

)!3(!3

!

.0 equação aResolver 9)

4,63,7

4,6

3,7

6,10

1,3

2

23223

2223

2,3,

====−−

====−

=

==

==

⇒±=⇒=+−

=+−⇒=+−+−

=−−+−−

=−−−−

=−

−−−−

−−−

=−

−−

=−

CC

C

C

C

m

m

m

mmmm

mmmmmmmm

mmmmmm

mmmmm

m

mmm

m

mmmm

m

m

m

m

CC mm

66

1) Um prisma triangular tem todas as arestas congru entes e 48m² de área lateral. Seu volume vale:

Resolução:

2) Calcular em litros o volume de uma caixa d’água em forma de prisma reto, de aresta lateral 6m, sabendo-se que sua base é um losango cujas diagonais medem 7m e 10m.

Resolução:

3) Petróleo matou 270 mil aves no Alasca em 1989

Da redação

O primeiro – e mais grave – acidente ecológico ocor rido no Alasca foi provocado pelo vazamento de 42 milhões de litros de petróleo do navio tanque Exxon Valdez, no dia 24 de março de 1989. O petroleiro co meçou a vazar após chocar-se com recifes na baia Principe Willian. Uma semana depois , 1300km² da superfície do mar já estavam cobertos de petróleo.

Supondo que o petróleo derramada se espalhasse unif ormemente nos 1300km² da superfície do mar, a espessura da camada de óleo teria aproximadamente:

Resolução:

67

4) Qual é a distância entre os centros de duas face s adjacentes de um cubo de aresta 4?

Resolução:

5) Diminuindo-se de 1 unidade de comprimento a ares ta de um cubo, o seu volume diminui 61 unidades de volume. A área total desse cubo, em unidades de área é igual a:

Resolução:

6) Se um cubo tem suas arestas aumentadas em 20% ca da uma, então seu volume fica aumentado em:

Resolução:

68

7) Uma caixa d´água tem forma cúbica com 1metro de aresta. De quanto baixa o nível da água ao retirarmos 1 litro de água da caix a?

Resolução:

8 ) Um paralelepípedo retângulo tem 142 cm² de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo qu e os seus lados estão em progressão aritmética, eles valem:

Resolução:

9) O volume de um paralelepípedo retângulo é 1620 m ³. Calcular as arestas sabendo que estas são proporcionais aos números 3, 4 e 5.

Resolução:

69

10) Um tanque em forma de paralelepípedo tem por ba se um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um individuo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075m. Então o volume do individuo , em litros, é:

Resolução:

11) Se o apótema de uma pirâmide mede 17m e o apóte ma da base mede 8m, qual é a altura da pirâmide?

Resolução:

12) Calcular a área lateral de uma pirâmide quadran gular regular que tem 12cm de altura e 40cm de perímetro da base.

Resolução:

70

13) Qual é a área total de uma pirâmide quadrangula r regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o apótema da pirâmide me de 26cm?

Resolução:

14) A área lateral de uma pirâmide quadrangular reg ular de altura 4m e de área da base 64m² vale:

Resolução:

15) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas med indo 2. A altura mede:

Resolução:

71

16) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18cm. A altura dessa pir âmide, em cm, é igual a:

Resolução:

17) As projeções ortogonais de um cilindro sobre do is planos perpendiculares são, respectivamente, um circulo e um quadrado. Se o lado do quadrado é 10, qual o volume do cilindro?

Resolução:

18) Uma fábrica de tintas está estudando novas emba lagens para o seu produto, comercializado em latas cilíndricas cuja circunferê ncia mede 10 π cm. As latas serão distribuídas em caixas de papelão ondulado, d ispostas verticalmente sobre a base da caixa, numa única camada. Numa caix a de base retangular medindo 25cm por 45cm, quantas latas caberiam?

Resolução:

72

19) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio ig ual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta secção retangular equivalente à base. O volume dess e cilindro, em centímetros cúbicos, é:

Resolução:

20) Um retângulo girando em torno de cada um dos se us lados gera dois sólidos, cujos volumes medem 360 π m³ e 600π m³. Calcular a medida dos lados do retângulo.

Resolução:

73

21) A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8 πcm, então o volume do cone, em centímetros cúbicos, é:

22) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se em cartolina, um seto r circular para a superfície lateral e um circulo para a base. A medida do ângul o central do setor circular é:

23) Ao se girar um triangulo retângulo de lados 3m, 4m e 5m em torno da hipotenusa, obtém-se um sólido cujo volume, em m³, é igual a:

24) Um copinho de sorvete em forma de cone tem diâm etro igual a 5cm e altura igual a 15cm. A empresa fabricante diminuiu o diâme tro para 4cm, mantendo a mesma altura. Em quantos por cento variou o volume?

25) Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 21 dm³ de volume. A altura do tronco mede 30cm e o lado do quadrado da base ma ior, 40cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede:

26) A base de uma pirâmide tem área igual a 225cm². A 2/3 do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. A área da se cção é igual a:

27) Um copo de chope é um cone(oco), cuja altura é o dobro do diâmetro da base. Se uma pessoa bebe desde que o copo está chei o até o nível da bebida ficar exatamente na metade da altura do copo, a fra ção do volume total que deixou de ser consumida é:

28) Um copo de papel, em forma de cone, é formado e nrolando-se um semicírculo que tem um raio de 12cm. O volume do co po é de, aproximadamente:

29) O raio de um cone circular reto e a aresta da b ase de uma pirâmide quadrangular regular têm mesma medida. Sabendo que suas alturas medem 4cm, então a razão entre o volume do cone e o da pi râmide é:

30) Considere um triangulo isósceles ABC, tal que A B = BC = 10cm e CA = 12cm. A rotação desse triangulo em torno de um eixo que c ontém o lado AC gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é:

31) O volume de uma esfera cresce 72,8% quando o ra io dessa esfera aumenta:

32) A intersecção de um plano com uma esfera é um c irculo de 16 πdm² de área. Sabendo-se que o plano dista 3dm do centro da esfer a, o volume da esfera é:

33) Um cálice com a forma de um cone mantém V cm³ d e uma bebida. Uma cereja de forma esférica, com diâmetro 2cm, é coloc ada dentro do cálice, supondo que a cereja repousa apoiada nas laterais d o cálice, e o liquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V.

74

34) Um fuso esférico, cujo ângulo equatorial mede π/3 rad faz parte de uma superfície esférica de 12cm de raio. A área desse f uso esférico, em cm², é igual a:

35) O volume de uma esfera inscrita num cubo cuja a resta mede 6cm é:

36) Um cubo está inscrito uma esfera de raio R. Sua área total é:

37) Em um cilindro reto, de 4m de altura e 0,5m de raio, foi inscrito um prisma quadrangular regular. Qual a razão entre os volumes ?

38) Um cilindro está inscrito em um cubo cuja diago nal mede 20cm. Calcule a área lateral do cilindro.

39) No retângulo ABCD, temos AB = 5cm e BC = 2cm. C alcular a área total do sólido gerado pela revolução de 360° da região do r etângulo ABCD em torno do eixo e paralelo ao lado AB e distante 1cm de AB com o mostra a figura.

40) Calcule a área e o volume gerados pela rotação da figura dada em torno do eixo XY.

75

GABARITOS:

1) 16√3

2) 210.000litros

3) 0,032mm

4) 2√2

5) 150

6) 72,8%

7) 1mm

8 ) 3,5,7

9) 9,12, 5

10) 72

11) 15m

12) 260cm²

13) 1440cm²

14) 64√2 m²

15) √2

16) 3√7

17) 250π

18) 08

76

19) 625π²

20) 6m e 10m

21) 64π

22) 288°

23)48π/5

24) diminui 36%

25) 10

26) 100

27) 1/8

28) 385cm³

29) π

30) 256π

31) 20%

32) 500π/3

33) 4π/3

34) 96π

35) 36π

36) 8R²

37) π/2

38) 400π/3

39) 56πcm²

40) A = 9πa² e V = 3√3 .π.a³/4

Exercícios de Frações

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01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ?

02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?

77

03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?

04 – Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos ?

05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ?

06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ?

08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?

09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?

10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?

12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?

13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.

14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?

16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ?

17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?

18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.

19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.

20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?

21 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 da terceira.

78

22 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?

23 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?

24 – Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30. Quanto possuía ?

25 – Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro.

26 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro.

27 – O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em cada turma ?

28 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ?

29 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse?

30 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ?

31 – Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto ficou ?

32 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.

33 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira

34 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ?

35 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ?

36 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?

37 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?

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38 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?

39 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?

40 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ?

41 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ?

42 – Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Em quanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ?

43 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ?

44 – Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ?

45 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ?

46 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ?

47 – Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?

48 – Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordado sozinha.

49 – Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ?

50 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ?

51 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500.

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52 – Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina ?

Resolução dos exercícios de frações

01) 18 garrafas 02) 30 cintos 03) 135 04) 14 meninos 05) 5.115 06) R$ 8.344,00 07) 165 km 08) 15 09) R$ 170,00

10) 11) 600 e 250 12) 189 13) 810 14) R$ 2.500,00 15) 48 16) 72 17) 128 18) 117 e 27 19) 180 e 165 20) R$ 1.722,00 21) R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,50 22) R$ 165,00 23) R$ 139,50 24) R$ 34,40 25) 34 , 51 e 68 26) 945, 1260 e 1512 27) 35 , 34 e 36 28) R$ 600,00 29) 4.662 30) 108 31) R$ 128,00 32) R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,00 33) R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,00 34) R$ 136,00 35) 3/20 36) 1 horas e 12 minutos 37) 1/4 h ou 15 min 38) 1/6 h ou 10 min 39) 17/180 40) 13 h 30 min

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41) 12 h

42)  h

43) R$ 120.000,00 44) 75 e 1 45) R$ 6.930,00, R$ 1.540,00 e R$ 1.890,00 46) 1h 30 min 47) 2 h 30 min 48) 18 horas 49) 12/35 e 2 h 55 min 50) 98 51) 160 , 100 e 240 52) 18 maçãs

A Matemática está presente em diversas situações cotidianas, mas às vezes, as pessoas não conseguem associar os fundamentos propostos pelo livro didático, pelo intermédio do professor, com tais situações. O MMC (mínimo múltiplo comum) e o MDC (máximo divisor comum) possuem inúmeras aplicações cotidianas. Vamos relembrar como calcular o MMC e o MDC entre números, observe: Mínimo múltiplo comum entre 12 e 28

Os números são fatorados ao mesmo tempo, isto é, divididos pelo mesmo número. O quociente da divisão é colocado abaixo do dividendo. Esse processo deve ocorrer até a simplificação total do dividendo. MMC (12, 28) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84 O mínimo múltiplo comum entre os números 12 e 28 é igual a 84. Máximo divisor comum entre 75 e 125

75 = 3 * 5 * 5 125 = 5 * 5 * 5 Observe que a multiplicação dos fatores primos coincidentes nas duas fatorações, formam o maior divisor comum, então:

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O MDC entre (75, 125) = 5 * 5 = 25 Vamos apresentar algumas aplicações cotidianas envolvendo MMC e MDC. Exemplo 1 Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? Devemos encontrar o MDC entre 156 e 254, esse valor corresponderá à medida do comprimento desejado.

Decomposição em fatores primos 234 = 2 * 3 * 3 * 13 156 = 2 * 2 * 3 * 13 MDC (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78 Portanto, os retalhos podem ter 78 cm de comprimento. Exemplo 2 Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.

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Decomposição em fatores primos 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 36 = 2 * 2 * 3 * 3 30 = 2 * 3 * 5 MDC (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6 Determinando o número total de equipes: 48 + 36 + 30 = 114 → 114 : 6 = 19 equipes O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. Exemplo 3 (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia. Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.

MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12 Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro. Exemplo 4 Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos? Calcular o MMC dos números 2, 3 e 6.

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MMC(2, 3, 6) = 2 * 3 = 6 O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6. De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola

Problemas de Aritmetica I

I Verao Matematico na UESC 27 de Janeiro de 2011

Problema 1 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 1) Um estacionamento para carros cobra 1 real pela primeira hora e 75 centavos a cada hora ou fracao de hora seguinte. Andre estacionou seu carro as 11h 20min e saiu as 15h 40min. Quantos reais ele deve pagar pelo estacionamento?

Problema 2 (21a OBM 1999 - Primeira Fase - Nıvel 1) Numa certa cidade, o metro tem todas suas 12 estacoes em linha reta. A distancia entre duas estacoes vizinhas e sempre a mesma. Sabe–se que a distancia entre a terceira e a sexta estacoes e igual a 3 300 metros. Qual e o comprimento dessa linha?

Problema 3 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 1) Para fazer 12 bolinhos, preciso exatamente de 100g de acucar, 50g de manteiga, meio litro de leite e 400g de farinha. A maior quantidade desses bolinhos que serei capaz de fazer com 500g de acucar, 300g de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilogramas de farinha e:

Problema 4 (19a OBM 1997 - Primeira Fase Junior) Joao e Pedro sao vendedores e ganham R$ 100,0 de salario e comissao de 8% sobre as vendas. Em setembro, Joao ganhou R$ 20,0 e Pedro ganhou R$ 250,0. Nesse mes, as vendas de Pedro superaram as de Joao em: a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 50%

Problema 5 (21a OBM 1999 - Primeira Fase - Nıvel 1) Um pequeno caminhao pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhao 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

Problema 6 Jacira consegue datilografar 20 paginas de um manuscrito em 4 horas e Joana o faz em 5 horas. Ainda restam 900 paginas do manuscrito para datilografar. Se as duas comecarem a datilografar no mesmo instante essas paginas, quantas paginas devera pegar a mais lenta, de forma que ambas terminem juntas?

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Problema 7 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 1) Numa competicao de ciclismo, Carlinhos da uma volta completa na pista em 30 segundos, enquanto que Paulinho leva 32 segundos para completar uma volta. Quando Carlinhos completar a volta numero 80, Paulinho estara completando a volta numero:

Problema 8 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 1) No planeta Z todos os habitantes possuem 3 pernas e cada carro possui 5 rodas. Em uma pequena cidade desse planeta, existem ao todo 97 pernas e rodas. Entao podemos afirmar:

a) E possıvel que existam 19 carros nessa cidade. b) Existem no maximo 16 carros nessa cidade. c) Essa cidade tem 9 habitantes e 14 carros. d) Essa cidade possui no maximo 17 carros. e) Nessa cidade existem mais carros do que pessoas.

Problema 9 (19a OBM 1997 - Primeira Fase Junior) A fortuna de Joao foi dividida da seguinte forma: um quinto para seu irmao mais velho, um sexto do restante para seu irmao mais novo e partes iguais do restante para cada um de seus 12 filhos. Que fracao da fortuna cada filho recebeu?

Problema 10 (19a OBM 1997 - Primeira Fase Junior) Em certo paıs a unidade monetaria e o pau. Ha notas de 1 pau e moedas de meio pau, um terco de pau, um quarto de pau e um quinto de pau. Qual a maior quantia, em paus, que um cidadao pode ter em moedas sem que possa juntar algumas delas para formar exatamente um pau?

Problema 1 (20a OBM 1998 - Segunda Fase - Nıvel 1) Que fracoes devem ser para que a soma das restantes seja igual a 1?

Problema 12 (20a OBM 1998 - Segunda Fase - Nıvel 2) Que fracoes devem ser para que a soma das restantes seja igual a 1?

De todas as solucoes.

Problema 13 (19a OBM 1997 - Primeira Fase Junior) Se p e q sao inteiros positivos

, o menor valor que q pode ter e:

Problema 14 (21a OBM 1999 - Primeira Fase - Nıvel 1) Letıcia vendeu todos seus CDs de videogames para tres amigos, que lhe pagaram, respectivamente, R$ 240,0, R$ 180,0 e R$ 320,0. Todos os CDs tinham o mesmo preco. Quantos CDs tinha Letıcia no mınimo? a) 20 b) 37 c) 28 d) 21 e) 25

Problema 15 (21a OBM 1999 - Segunda Fase - Nıvel 1) Um edifıcio muito alto possui 1000 andares, excluindo–se o terreo. Do andar terreo partem 5 elevadores:

1. Mostre que, excetuando–se o andar terreo, nao existe nenhum andar onde param os 5 elevadores.

2. Determine todos os andares onde param 4 elevadores.

Problema 16 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 2) Seu Horacio resolveu incrementar a venda de CDs em sua loja e anunciou uma liquidacao para um certo dia, com descontos de 30% sobre o preco das etiquetas. Acontece que, no dia anterior a liquidacao, seu Horario aumentou o preco marcado nas etiquetas, de forma que o

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desconto verdadeiro fosse de apenas 9%. De quanto foi o aumento aplicado por seu Horacio? apos a vırgula na representacao decimal de 437 ?

Problema 18 (21a OBM 1999 - Primeira Fase - Nıvel 2) Quantos sao os possıveis valores inteiros de x para que x+9 x+19 seja um numero inteiro?

Problema 19 (21a OBM 1999 - Segunda Fase - Nıvel 2) Um professor de matematica passou aos seus alunos a adicao AB + CD onde A, B, C e D sao inteiros positivos, as fracoes estao simplificadas ao maximo e os denominadores sao numeros primos entre si. Os alunos adicionaram as fracoes tirando o mınimo multiplo comum dos denominadores das parcelas e escrevendo este como o denominador do resultado. Mostre que a fracao que os alunos encontraram como resultado esta simplificada.

Problema 20 (19a OBM 1997 - Primeira Fase Senior) Se seu salario sobe 26% e os precos sobem 20%, de quanto aumenta o seu poder aquisitivo?

Problema 21 (19a OBM 1997 - Primeira Fase Senior) O preco de um estacionamento e formado por um valor fixo para as duas primeiras horas e um adicional por cada hora subsequente. Se o estacionamento por 3 horas custa R$5,0 e por 5 horas custa R$6,0, quanto custa o estacionamento por 8 horas? tecla A transforma o numero x que esta no visor em 1x e a tecla B multiplica por 2 o numero

que esta no visor. Se o numero 2 esta no visor e digitamos a sequencia ABABABAB AB

(total de digitacoes: 998), obteremos no visor um numero que e igual a:

0,4 = a) 0, 2 b) 0, 3 . . . c) 0, 4 . . . d) 0, 5 . . . e) 0, 6 Problema 24 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 3) Se x homens fazem x embrulhos em x segundos, em quantos segundos y homens farao y embrulhos?

Problema 25 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 3) Voce entra em um restaurante para comer pizza e espera pagar uma quantia proporcional a quantidade de comida pedida. Se uma pizza com 20 cm de diametro custa R$ 3,60, quanto voce espera pagar por uma outra do mesmo sabor com 30cm de diametro?

Problema 26 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 3) Vendi dois radios por precos iguais. Em um deles tive lucro de 25% sobre o preco de compra e no outro tive prejuızo de 25%. Em relacao ao capital investido:

Problema 27 (20a OBM 1998 - Primeira Fase - Nıvel 3) Barcas vao do Rio a Niteroi em 25 minutos e lanchas fazem a viagem em 15 minutos. A que horas a barca que partiu do Rio as 10h 01min e alcancada pela lancha que saiu do Rio as 10h 07min? a) 10h 15min b) 10h 16min c) 10h 17min d) 10h 18min e) 10h 20min

Problema 28 (4a OdeM 1998 - Segundo Nıvel) O planeta X31 tem so dois tipos de notas, mas o sistema nao e tao mau ja que so ha quinze precos inteiros para os quais o pagamento nao pode ser feito de forma exata (nesses casos deve-se pagar a mais e

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receber o troco). Se 18 e um dos precos para os quais nao se pode fazer pagamento exato, encontre o valor de cada tipo de nota.

Problema 29 (10a OMCS 1999) Achar o menor inteiro positivo n tal que as 73 fracoes

, ,

sejam todas irredutıveis.

Problema 30 Prove que todo numero racional positivo pode ser escrito como soma de um certo numero de fracoes distintas de numerador 1.

Exercícios de Matemática

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