EU-8-60 – DERIVACE FUNKCE XVI (průběh funkce - asymptoty)
description
Transcript of EU-8-60 – DERIVACE FUNKCE XVI (průběh funkce - asymptoty)
Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace
Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616
Název projektu: Inovace výuky
Číslo a název šablony klíčové aktivity:
EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol
Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)
EU-8-60 – DERIVACE FUNKCE XVI(průběh funkce - asymptoty)
AnotaceAsymptoty jako nástroj zpřesnění rýsování grafu funkce v úlohách o průběhu funkce. Animace a obrázky názorně ukazují problematiku asymptot funkce. Asymptoty bez směrnice, asymptoty se směrnicí, jejich zjišťování.
Autor PaedDr. Milan Rieger
Jazyk Čeština
Očekávaný výstupŽák chápe význam asymptot při rýsování grafu funkce, dovede určovat asymptotu bez směrnice pomocí nevlastní jednostranné či oboustranné limity v bodě nespojitosti funkce či asymptotu se směrnicí, dovede vypočítat koeficienty a, b v rovnici asymptoty y = a x + b.
Klíčová slova Asymptota grafu funkce, asymptota bez směrnice, asymptota se směrnicí.
Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy
Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace
Cílová skupina Žák
Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání
Typická věková skupina 17 – 19 let
Datum vytvoření 22. 12. 2013
PŘIPOMENUTÍ 1 - GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE f(x) V BODĚ x0
směrnice kTL sečny TLsměrnice tečny t
)()()(
lim 00
0
0
xfxx
xfxfk
xxt
tgxx
xfxfkTL
0
0 )()(
Derivace funkce f(x) v bodě x0 udává směrnici tečny t (kt) k funkci f(x)v bodě T[x0; f(x0)]. Rovnice tečny t: y – f(x0) = f'(x0) (x – x0).
– SMĚRNICE k PŘÍMKY p
– SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY p qxkyp :
PŘIPOMENUTÍ 2 – směrnice přímky, směrnicový tvar rovnice přímky
Přímky rovnoběžné s osou y nemají definovanou směrnici.
ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE
jsou přímky, které zpřesňují sestrojení grafu funkce
asymptoty bez směrnice jsou asymptoty, které nemají definovanou
směrnici (k = tg ; je-li = 90, potom tg není definováno), takové přímky
jsou rovnoběžné s osou y
asymptoty se směrnicí jsou přímky určené rovnicí y = a x + b (a = tg , kde
je směrový úhel přímky), takové přímky jsou různoběžné s osou
y a protínají ji v bodě [0; b]
asymptota bez směrnice
asymptota se směrnicík = tg 0 = 0
xy
1
ASYMPTOTA BEZ SMĚRNICE grafu funkce f
je přímka o rovnici x = a tehdy, když má funkce f v bodě a aspoň jednu
jednostrannou nevlastní limitu.
1
12:
x
xyf
Funkce f není definována v bodě x = 1.
)(lim xfax
Příklad:
1
12lim1 x
xx
1
12lim1 x
xx
Funkce f má asymptotu bez směrniceo rovnici x = 1.
DEFINICE ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ grafu funkce f
Přímka y = a x + b se nazývá asymptota se směrnicí grafu funkce f,
jestliže . 0)()(lim
baxxfx
0)(
lim0)(
lim
0)()(
lim0)()(lim
ax
xf
x
ba
x
xfx
baxxfbaxxf
xx
xx
x
xfa
x
)(lim
0)()(lim baxxfx
axxfbx
)(lim
Určení konstant a, b v rovnici přímky y = a x + b:
DEFINICE ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ grafu funkce f
Přímka y = a x + b se nazývá asymptota se směrnicí grafu funkce f,
jestliže . 0)()(lim
baxxfx
0)(
lim0)(
lim
0)()(
lim0)()(lim
ax
xf
x
ba
x
xfx
baxxfbaxxf
xx
xx
x
xfa
x
)(lim
0)()(lim baxxfx
axxfbx
)(lim
Určení konstant a, b v rovnici přímky y = a x + b:
DALŠÍ PŘÍKLADY ASYMPTOT SE SMĚRNICÍ grafu funkce f
axxfbx
xfa
xx
)(lim,
)(lim
Přímka o rovnici y = a x + b je asymptotou se směrnicí grafu funkce f právě tehdy, když existují limity
nebo axxfbx
xfa
xx
)(lim,
)(lim
ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1
Je dána funkce f. Určete:a) definiční obor funkce,b) průsečíky funkce s osami souřadnými,c) asymptoty funkce,d) monotónnost funkce a lokální extrémy.Narýsujte graf funkce.
2
33:
x
xyf
102
330)(;
2
3)0()
xx
xxffb
2)() RfDa
32
363lim2
33
lim)(
lim)2
2
xx
xx
xx
x
x
xfac
xxx
02
3lim3
2
363lim3)(lim
2
x
xx
xxxxfb
xxx
22
2/
2
313
2
343)
x
xx
x
xxyd
Funkce f je rostoucí v intervalech (–; 1>, <3;+),
klesající v intervalech <1; 2), (2;3>.
V bodě 1 má funkce f ostré lokální maximum, f(1)=0.
V bodě 3 má funkce f ostré lokální minimum, f(3)=12.
Funkce f má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 2,
asymptota se směrnicí je určena rovnicí y = 3 x.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.
p1)
p3)
p5)
p2)
p4)
ÚLOHY K PROCVIČENÍ
3
1:
2
x
xyf
Je dána funkce f. Určete:a) definiční obor funkce,b) průsečíky funkce s osami souřadnými,c) asymptoty funkce,d) monotónnost funkce a lokální extrémy.Narýsujte graf funkce.
23
12:
x
xyf
xx
xyf
12:
2:
2
x
xyf
2
1:
xyf
MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 82, úloha 3.12. ISBN 80-7196-063-2.
p6) 3
1:
xyf