Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má...
Transcript of Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má...
![Page 1: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/1.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Matematická analýza III.4. Extrémy funkcí více promenných
Miroslav Hušek, Lucie Loukotová
UJEP 2010
Matematická analýza III.
![Page 2: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/2.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Úvod
Tato kapitola nás seznámí s metodami urcování lokálních extrémufunkcí více promenných a ukáže využití techto metod v praxi.
Co bychom meli znát
metody rešení soustav rovnic
lokální extrémy funkcí jedné promenné
parciální derivace
funkce dané implicitne
Klícová slova kapitoly
lokální extrémy, kvadratická forma, Lagrangeuv multiplikátor, Tayloruvpolynom
Matematická analýza III.
![Page 3: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/3.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Definice extrému
Definice 1
Mejme funkci f dvou promenných. Ríkáme, že v bode p ∈ D(f ) máfunkce f lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existujeokolí U bodu p takové, že f (p) je maximální (resp. minimální)hodnota f na U ∩ D(f ).
Funkce f má v p lokální extrém, jestliže má v p lokální maximumnebo lokální minimum.
Nahradíme-li v definici lokálních extrému slovo maximální slovemnejvetší (resp. slovo minimální slovem nejmenší), dostáváme definiciostrých lokálních extrému.
Matematická analýza III.
![Page 4: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/4.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Kritické body
Veta 2.1 (Existence extrému)
Funkce f definovaná na množine A muže mít lokální extrém pouzev následujících bodech:
1 v hranicním bode A, patrí-li do definicního oboru;2 ve vnitrním bode A, ve kterém f nemá nekterou z parciálních
derivací 1.rádu;3 ve vnitrním bode A, kde má f všechny parciální derivace 1.rádu
rovny 0.
Definice 2
Body popsané v predchozí vete se nazývají kritické body (pro lokálníextrémy).
Matematická analýza III.
![Page 5: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/5.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Urcení extrému
Veta 2.2 (Nutná podmínka)
Necht’ v otevrené množine G má funkce f všechny parciální derivace1.rádu. Má-li f v bode p ∈ G lokální extrém, jsou v tomto bodevšechny parciální derivace 1.rádu (i smerové) rovny 0, tj.grad f (p) = 0.
Dukaz
Naopak ale tato veta neplatí!
Napríklad funkce f (x , y) = x3 má v bode (0,0) obe parciální derivacerovny 0, ale v tomto bode lokální extrém nemá.Naopak parciální derivace funkce g(x , y) = |x |+ |y | v bode (0,0)neexistují, a presto má funkce v tomto bode lokální extrém.
Zduvodnení
Matematická analýza III.
![Page 6: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/6.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Veta 2.3 (Postacující podmínky)
Necht’ má funkce f (x , y) spojité parciální derivace 2.rádu v otevrenémnožine G a pro p ∈ G je ∂f
∂x (p) = ∂f∂y (p) = 0. Oznacme F (h, k)
kvadratickou formu h2fxx(p) + 2hk fxy (p) + k2fyy (p).1 Je-li F pozitivne definitní, nabývá f v p ostré lokální minimum.2 Je-li F negativne definitní, nabývá f v p ostré lokální maximum.3 Je-li F indefinitní, nenabývá f v p lokální extrém.4 Je-li F semidefinitní, nelze o lokálním extrému f v p pomocí F
rozhodnout.
Více o kvadratických formách naleznete v Doplncích.
Matematická analýza III.
![Page 7: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/7.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Tato veta umožnuje urcit definitnost kvadratické formy prímo podleparciálních derivací druhého rádu.
Veta 2.4 (Rozeznání definitnosti forem)
Kvadratická forma F z predchozí vety je1 pozitivne definitní práve když
fxx(p) > 0 a fxx(p) · fyy (p) > f 2xy (p);
2 negativne definitní práve kdyžfxx(p) < 0 a fxx(p) · fyy (p) > f 2
xy (p);3 indefinitní práve když fxx(p) · fyy (p) < f 2
xy (p);
4 semidefinitní práve když fxx(p) · fyy (p) = f 2xy (p);
Dukaz
Matematická analýza III.
![Page 8: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/8.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Následující veta udává postacující podmínky pro existenci ostrýchextrému dané funkce.
Veta 2.5 (Postacující podmínky pro ostré extrémy)
Necht’ má funkce f (x , y) spojité parciální derivace 2.rádu v otevrenémnožine G a pro p ∈ G je grad f (p) = 0.Jestliže fxx(p) · fyy (p) > f 2
xy (p), pak f má v bode p ostrý lokální extrém(maximum pro fxx(p) < 0, minimum pro fxx(p) > 0).
Dukaz
Matematická analýza III.
![Page 9: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/9.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Vázané extrémy
Vázanými extrémy rozumíme nejvetší a nejmenší hodnoty reálnéfunkce na dané množine (tj. tato množina je tedy vazbou).
Predpokládejme, že f je funkce dvou promenných definovanána kompaktní množine M, pricemž f je na M spojitá.Potom f na množine M nabývá svého maxima i minima.
Hledáme tedy podezrelé body, v nichž funkce f muže techto extrémunabývat.Podezrelé body jsou dvojího druhu:
1 body z vnitrku množiny M, jsou to kritické body, nebo body,v nichž nekterá parciální derivace neexistuje
2 body z hranice množiny M, v nichž muže být extrém vzhledemk hranici nebo její cásti
Práve hledání podezrelých bodu z hranice množiny M budepredmetem vet v této kapitole.
Matematická analýza III.
![Page 10: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/10.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Extrémy na parametrických krivkách
Následující veta hovorí o hledání extrému na hranici (množiny), kteráje dána parametricky.
Veta 2.6 (Extrémy funkcí na krivkách)
Necht’ A je grafem parametricky zadané krivkyx = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ J.Pak extrémy funkce f definované na A jsou extrémy funkcef (ϕ(t), ψ(t)), t ∈ J.
Všimnete si, že tato veta prevede puvodní úlohu na hledání extrémufunkce jedné promenné.
Matematická analýza III.
![Page 11: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/11.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Metoda Lagrangeových multiplikátoru
V prípade, že hranice množiny je dána implicitne, není vždy možnévyjádrit z její rovnice neznámou y a dosadit ji do funkce f (x , y).Pro tyto prípady se využívá tzv. metoda Lagrangeovýchmultiplikátoru.
Veta 2.7 (Extrémy na implicitních krivkách)
Necht’ A je grafem implicitne zadané krivky g(x , y) = 0, funkce f jedefinována na nejaké otevrené množine U obsahující A a platí:
1 f ,g mají spojité parciální derivace prvního rádu na U;2 pro každý bod (x , y) ∈ A je bud’ ∂g
∂x (x , y) 6= 0 nebo ∂g∂y (x , y) 6= 0.
Má-li f v bode p ∈ A lokální extrém, pak existuje reálné císlo λ tak, že
∂(f + λg)
∂x(p) = 0 ,
∂(f + λg)
∂y(p) = 0 , g(p) = 0 .
Matematická analýza III.
![Page 12: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/12.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Definice 3 (Lagrangeovy multiplikátory)
Za predpokladu predchozí vety se funkce
F (x , y , λ) = f (x , y) + λg(x , y)
nazývá Lagrangeova funkce a parametr λ Lagrangeuv multiplikátor.
Podrobné vysvetlení a porovnání obou zmínených metod naleznetev úloze 2.
Matematická analýza III.
![Page 13: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/13.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Protože derivace podle tretí promenné funkce F (x , y , λ) v príslušnékvadratické forme vypadnou, dostaneme následující postacujícípodmínky:
Veta 2.8 (Postacující podmínky)
Za predpokladu predchozí vety oznacíme
H(h, k) = h2Fxx(p) + 2hk Fxy (p) + k2Fyy (p) .
V kvadratické forme H nahradíme h nebo k druhou promennou zrovnice h ∂g
∂x (p) + k ∂g∂y (p) = 0 a dostaneme kvadratickou formu
H(t) = at2 jedné promenné.1 Je-li a > 0, nabývá f v p ostré lokální minimum.2 Je-li a < 0, nabývá f v p ostré lokální maximum.3 Je-li a = 0, nelze o lokálním extrému f v p pomocí H rozhodnout.
Matematická analýza III.
![Page 14: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/14.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Necht’ napr. ∂g∂y (p) 6= 0. Potom k = −h gx (p)
gy (p) .
Kvadratická forma H bude ve tvaru
H(h) = h2fxx(p)− 2h2fxy (p)gx(p)
gy (p)+ h2fyy (p)
g2x (p)
g2y (p)
=
=
(fxx(p)− 2fxy (p)
gx(p)
gy (p)+ fyy (p)
g2x (p)
g2y (p)
)h2.
Koeficient a z predchozí vety se tedy rovná
fxx(p)− 2fxy (p)gx(p)
gy (p)+ fyy (p)
g2x (p)
g2y (p)
.
Matematická analýza III.
![Page 15: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/15.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Extrémy na plochách
Budeme predpokládat, že všechny parciální derivace 1.rádupoužívaných funkcí existují a jsou spojité.
Hledáme-li extrémy funkce trí promenných f (x , y , z) na množine Aurcené rovnicí g(x , y , z) = 0, hledají se extrémy funkce
F (x , y , z, λ) = f (x , y , z) + λg(x , y , z) .
Predpokladem je nenulovost alespon jedné z derivací gx ,gy ,gz
v každém bode A (tj. hodnost 1 matice grad g v každém bode A).
Matematická analýza III.
![Page 16: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/16.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, jerovnost grad F (p) = 0.
Postacující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H dvoupromenných, která vznikne z kvadratické formy trí promenných
H(h, k , l) =
(h∂F∂x
(p) + k∂F∂y
(p) + l∂F∂z
(p)
)2
dosazením za jednu promennou z rovnice
h∂g∂x
(p) + k∂g∂y
(p) + l∂g∂z
(p) = 0 .
Matematická analýza III.
![Page 17: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/17.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Extrémy na krivkách v prostoru
Hledáme-li extrémy funkce trí promenných f (x , y , z) na množine Aurcené rovnicemi g(x , y , z) = 0,h(x , y , z) = 0, hledají se extrémyfunkce
F (x , y , z, λ, µ) = f (x , y , z) + λg(x , y , z) + µh(x , y , z) .
Predpokladem je hodnost 2 matice s rádky grad g,grad h v každémbode A.
Matematická analýza III.
![Page 18: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/18.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, jerovnost grad F (p) = 0.
Postacující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H jednépromenné, která vznikne z kvadratické formy trí promenných
H(h, k , l) =(
h ∂F∂x (p) + k ∂F
∂y (p) + l ∂F∂z (p)
)2dosazením za dve
promenné z rovnic
h∂g∂x
(p) + k∂g∂y
(p) + l∂g∂z
(p) = 0 ,
h∂h∂x
(p) + k∂h∂y
(p) + l∂h∂z
(p) = 0 .
Matematická analýza III.
![Page 19: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/19.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Tayloruv polynom
Veta 2.9 (Rozvoj funkce v polynom)
Má-li f spojité parciální derivace až do rádu n + 1 v intervalu J okolobodu (a,b), pak pro (a + h,b + k) ∈ J platí
f (a + h,b + k) =n∑
j=0
(h ∂∂x + k ∂
∂y )j f (a,b)
j!+
+(h ∂
∂x + k ∂∂y )n+1f (c,d)
(n + 1)!,
kde (h∂
∂x+ k
∂
∂y
)j
f (a,b) =
j∑i=0
(ji
)hik j−i ∂ j f
∂x i∂y j−i (a,b) .
Matematická analýza III.
![Page 20: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/20.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Extrémy funkcí více promennýchExtrémy na otevrené množineVázané extrémyTayloruv polynom
Definice 4
Polynom promenných h, k na pravé strane se nazývá Tayloruvpolynom funkce f v bode (a,b) rádu n, poslední clen na pravé stranese nazývá zbytek.
Matematická analýza III.
![Page 21: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/21.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
Otázky a úlohy
Úloha 1
Naleznete lokální extrémy funkce f (x , y) = x3 + y3 − 3xy .
Rešení
Úloha 2
Urcete vázané lokální extrémy funkce f (x , y) = x2 + 3y2 pri vazbex − 2y + 7 = 0.
Rešení
Úloha 3
Rozložte císlo 64 na tri cinitele tak, aby jejich soucet byl co nejmenší.
Rešení
Matematická analýza III.
![Page 22: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/22.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
V literature . . .
1 Teorie:Jarník – Diferenciální pocet (II), kap. X.Kopácek – Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 9.
2 Úlohy:Demidovic – Sbírka úloh a cvicení z matematické analýzy, kap. VI.Kopácek – Príklady z matematiky pro fyziky (II), kap. 3.Pelikán, Zdráhal – Matematická analýza – funkce vícepromenných, cvicení III., kap. 10
Matematická analýza III.
![Page 23: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/23.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Kvadratické formy
Definice 5
Je-li A symetrická matice typu n×n, pak funkci F : Rn → R,definovanou predpisem
F (h) =n∑
i,j=1
aijhihj
nazveme kvadratickou formou s maticí A.(Znacíme h = (h1,h2, . . .hn).)
Pro úcely výpoctu lokálních extrému budeme využívat kvadratickouformu druhého diferenciálu funkce f v bode p, tj. matice A bude rovna:
A =
(a11 a12
a21 a22
)=
(fxx(p) fxy (p)fyx(p) fyy (p)
)Matematická analýza III.
![Page 24: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/24.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Dosadíme-li do výrazu v definici kvadratické formy, dostaneme:
F (h) =2∑
i,j=1
aijhihj = fxx(p)h1h1 + fxy (p)h1h2 + fyx(p)h2h1 + fyy (p)h2h2 =
= fxx(p)h12 + fxy (p)h1h2 + fyx(p)h2h1 + fyy (p)h2
2
Protože f má spojité parciální derivace 2. rádu, platí fxy (p) = fyx(p).Tedy
F (h) = fxx(p)h12 + 2fxy (p)h1h2 + fyy (p)h2
2.
Protože h = (h1,h2), mužeme napsat
F (h1,h2) = fxx(p)h12 + 2fxy (p)h1h2 + fyy (p)h2
2.
V tomto tvaru budeme kvadratickou formu dále využívat.
Matematická analýza III.
![Page 25: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/25.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Vlastnosti kvadratických forem
Definice 6
Kvadratická forma se nazývá pozitivne definitní, platí-li pro každoudvojici h, k , kde (h, k) 6= (0,0), F (h, k) > 0.
Kvadratická forma se nazývá negativne definitní, platí-li pro každoudvojici h, k , kde (h, k) 6= (0,0), F (h, k) < 0.
Kvadratická forma se nazývá pozitivne semidefinitní, platí-li prokaždou dvojici h, k , F (h, k) ≥ 0 a v nejakém nenulovém bode jeF (h, k) = 0.
Kvadratická forma se nazývá negativne semidefinitní, platí-li prokaždou dvojici h, k , F (h, k) ≤ 0 a v nejakém nenulovém bode jeF (h, k) = 0.
Kvadratická forma se nazývá indefinitní, jestliže nabývá jakzáporných, tak kladných hodnot.
zpet
Matematická analýza III.
![Page 26: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/26.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Dukaz vety 2.2
Pro funkce jedné promenné platí následující veta:Jesliže má funkce g v bode c lokální extrém, pak g′(c) = 0.
Protože ∂f∂xi
(p) je dle definice rovna derivaci funkce jedné promennéf (p1, . . . ,pi−1, xi ,pi+1, . . . ,pn) v bode pi , vztahuje se na ni uvedenáveta, a tedy je ∂f
∂xi(p) = 0.
zpet
Matematická analýza III.
![Page 27: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/27.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Dukaz vety 2.4
Vyjdeme z kvadratické formy
F (h, k) = fxx(p)h2 + 2fxy (p)hk + fyy (p)k2.
Predpokládejme, že k 6= 0. Vytknutím k2 upravíme kvadratickouformu do tvaru
F (h, k) = k2
(fxx(p)
(hk
)2
+ 2fxy (p)hk
+ fyy (p)
).
Pro zprehlednení výpoctu položíme fxx(p) = a, fxy (p) = b, fyy (p) = ca h
k = x . Kvadratická forma tedy bude mít tvar
F (h, k) = k2(ax2 + 2bx + c).
Matematická analýza III.
![Page 28: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/28.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
1 Aby kvadratická forma byla pozitivne definitní, musí platitF (h, k) > 0 pro všechna x , neboli
k2(ax2 + 2bx + c) > 0.
To nastane, pokud diskriminant kvadratické rovniceax2 + 2bx + c = 0 bude menší než 0 a zároven a > 0 (parabolabude „ležet celá nad osou x “).
Platí tedy, že D = 4b2 − 4ac < 0, tj. b2 < ac.
Z toho plynefxx(p) · fyy (p) > (fxy (p))2
Protože a > 0, je i fxx(p) > 0.
Za techto podmínek je kvadratická forma pozitivne definitní i prok = 0, nebot’ nabývá tvaru F (h, k) = h2fxx(p) (a fxx(p) > 0).
Matematická analýza III.
![Page 29: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/29.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
2 Dukaz negativní definitnosti kvadratické formy je analogickýs predchozím, opet musí platit D = 4b2 − 4ac < 0, ale tentokráta < 0 (parabola bude „ležet celá pod osou x “).
Dostáváme tedy podmínky fxx(p) · fyy (p) > (fxy (p))2 a fxx(p) < 0.
3 Aby kvadratická forma byla indefinitní, musí mít rovnicek2(ax2 + 2bx + c) = 0 dve rešení, tj. D = 4b2 − 4ac > 0, nebolib2 > ac.
Z toho vyplývá podmínka fxx(p) · fyy (p) < (fxy (p))2.
4 Kvadratická forma semidefinitní, jestliže je bud’ f (h, k) > 0 a pronejaký nenulový bod (u, v) je f (u, v) = 0 nebo f (h, k) < 0a f (u, v) = 0. Platí tedy D = 4b2 − 4ac = 0, tj. b2 = ac.
Z toho plyne podmínka fxx(p) · fyy (p) = (fxy (p))2.
zpet
Matematická analýza III.
![Page 30: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/30.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Dukaz vety 2.5
Veta je dusledkem vet 2.3 a 2.4.
zpet
Matematická analýza III.
![Page 31: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/31.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Zduvodnení
Parciální derivace funkce f v bode (0,0) jsou rovny nule:
∂f∂x
= 3x2, a tedy∂f∂x
(0,0) = 0
∂f∂y
= 0, a tedy∂f∂x
(0,0) = 0
Z obrázku je ale zrejmé, že funkce f v bode (0,0) lokální extrémnemá.
Matematická analýza III.
![Page 32: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/32.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Pri výpoctu parciálních derivací funkce g v bode (0,0) budemepostupovat podle definice:
∂g∂x
(0,0) = limh→0
g(0 + h,0)− g(0,0)
h= lim
h→0
|h|+ 0− 0h
= limh→0
|h|h
Tato limita neexistuje, nebot’ pro h → 0+ je rovna 1 a pro h → 0− jerovna −1. Analogicky pro ∂g
∂y .
Presto má funkce g v bode (0,0) minimum (viz obrázek).
Matematická analýza III.
![Page 33: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/33.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
funkce f funkce g
Zpet
Matematická analýza III.
![Page 34: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/34.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Rešení úlohy 1
Nejprve urcíme parciální derivace funkce f podle obou promenných:
∂f∂x
= 3x2 − 3y
∂f∂y
= 3y2 − 3x
Nalezneme kritické body, tj. položíme obe parciální derivace rovny 0a rešíme soustavu rovnic
3x2 − 3y = 0
3y2 − 3x = 0.
Tato soustava má dve rešení, body A(0,0) a B(1,1).
Matematická analýza III.
![Page 35: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/35.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Pro zjištení, zda je v A a B lokální extrém, urcíme ješte parciálníderivace 2. rádu v bodech A a B.
∂2f∂x2 = 6x
∂2f∂x∂y
= −3∂2f∂y2 = 6y
∂2f∂x2 (A) = 0
∂2f∂x∂y
(A) = −3∂2f∂y2 (A) = 0
∂2f∂x2 (B) = 6
∂2f∂x∂y
(B) = −3∂2f∂y2 (B) = 6
Matematická analýza III.
![Page 36: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/36.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Kvadratická forma v bode A bude ve tvaru:
F (h, k)(A) = h2fxx(A) + 2hk fxy (A) + k2fyy (A) =
= h2 · 0 + 2hk · (−3) + k2 · 0 =
= −6hk
Kvadratická forma v bode A je indefinitní, nebot’ pro ruzná h, k muženabývat jak kladných, tak i záporných hodnot.Funkce f tedy nemá v bode A lokální extrém (bod A je sedlovýmbodem).
Matematická analýza III.
![Page 37: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/37.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Analogicky urcíme kvadratickou formu v bode B:
F (h, k)(B) = h2fxx(B) + 2hk fxy (B) + k2fyy (B) =
= h2 · 6 + 2hk · (−3) + k2 · 6 =
= 6h2 − 6hk + 6k2 =
= 3h2 + 3k2 + 3h2 − 6hk + 3k2 =
= 3h2 + 3k2 + 3(h2 − 2hk + k2) =
= 3h2 + 3k2 + 3(h − k)2
Kvadratická forma v bode B je pozitivne definitní, nebot’ pro libovolnáh, k , kde (h, k) 6= (0,0), nabývá pouze kladných hodnot.Funkce f má tedy v bode B lokální minimum.
Matematická analýza III.
![Page 38: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/38.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Graf funkce f vypadá takto (je znázornen ze dvou pohledu):
zpet
Matematická analýza III.
![Page 39: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/39.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Rešení úlohy 2
Uvedomte si, že množinou, na níž hledáme extrémy, je pouze krivka(v našem prípade jde dokonce o prímku).
Pri rešení této úlohy mužeme postupovat dvema zpusoby. Ukážemeoba.
1 Tento postup se opírá o vetu 2.6 (extrémy na parametrickýchkrivkách).
Z rovnice vazby vyjádríme x , tj. x = 2y − 7 a dosadíme dopredpisu funkce f (x , y).Dostaneme funkci g jedné promenné y :
g(y) = (2y − 7)2 + 3y2 = 7y2 − 28y + 49.
Hledáme tedy extrémy funkce jedné promenné g(y) pro y ∈ R.Využijeme napr. diferenciálního poctu.
Matematická analýza III.
![Page 40: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/40.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Derivace funkce g je rovna
g′(y) = 14y − 28.
Položíme g′(y) = 0, tj. 14y − 28 = 0, odkud plyne, že bod y = 2je kritickým bodem.
Protože g′′(y) = 14, a tedy g′′(2) = 14 > 0, má funkce gv bode y = 2 minimum.
Z rovnice vazby pak plyne, že x = 2 · 2− 7 = −3
Tudíž pri dané vazbe má funkce f vázané lokální minimumv bode (−3,2).
Poznámka: Pri urcování extrému funkce g se obejdeme i bez diferenciálníhopoctu. Stací si uvedomit, že grafem funkce g je parabola, která má minimum(nebot’ koeficient u y2 je vetší než 0). Souradnice bodu, v nemž je minimum,urcíme snadno úpravou na ctverec
7y2 − 28y + 49 = 7[(y2 − 4y + 4) + 3] = 7(y − 2)2 + 21.
Minimum je pak v bode y = 2.
Matematická analýza III.
![Page 41: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/41.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
2 Napodruhé budeme tuto úlohu rešit metodou Lagrangeovýchmultiplikátoru, tj. v souladu s vetou 2.7.
Predpoklady této vety jsou splneny, nebot’ derivace obou funkcíjsou spojité na R2 a pro každý bod (x , y) ∈ A je ∂g
∂y = −2 6= 0.
Má-li f v bode p ∈ A lokální extrém, pak existuje reálné císlo λtak, že
∂(f + λg)
∂x(p) = 0 ,
∂(f + λg)
∂y(p) = 0 , g(p) = 0 .
Hledáme tedy bod p = (x , y) ∈ A a λ tak, aby platily predchozípodmínky.
Matematická analýza III.
![Page 42: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/42.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Lagrangeova funkce má tvar
F (x , y , λ) = x2 + 3y2 + λ(x − 2y + 7)
Parciální derivace funkce F jsou rovny:
∂F∂x
= 2x + λ
∂F∂y
= 6y − 2λ
Rešíme tedy soustavu trí rovnic o trech neznámých x , y a λ:
2x + λ = 0
6y − 2λ = 0
x − 2y + 7 = 0
Matematická analýza III.
![Page 43: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/43.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Vyjádríme-li z prvních dvou rovnic x , resp. y a dosadíme-li dotretí rovnice, má soustava rešení λ = 6, x = −3 a y = 2.
Bod p podezrelý z extrému má tedy souradnice (−3,2).
To, zda je v p lokální extrém, mužeme zjistit napr. metodoukvadratických forem.
Protože
∂2f∂x2 (p) = 2
∂2f∂x∂y
(p) = 0∂2f∂y2 (p) = 6,
kvadratická forma v bode p má tvar
H(h, k) = 2h2 + 6k2,
je tedy pozitivne definitní a v bode p = (−3,2) nabývá funkce fpri dané vazbe lokální minimum.
Matematická analýza III.
![Page 44: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/44.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Obrázek znázornuje geometrickou interpretaci výpoctu – hledámeextrémy na parabole, která vznikla jako rez funkce f (paraboloidu)rovinou kolmou na rovinu xy a obsahující prímku x − 2y + 7 = 0.
zpet
Matematická analýza III.
![Page 45: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/45.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Rešení úlohy 3
Oznacíme a, b, c jednotlivé cinitele, na než máme rozložit císlo 64.Soucet a + b + c oznacíme S.
Protože soucet S má být co nejmenší, hledáme minimum funkceS = a + b + c pri vazbe a · b · c = 64.Opet budeme postupovat dvema zpusoby.
1 Budeme postupovat podle vety 2.6. Z rovnice vazby vyjádrímenapr. neznámou c
c =64ab
(a,b 6= 0)
a dosadíme ji do predpisu funkce. Dostaneme
S = a + b +64ab,
jde tedy o funkci dvou promenných.
Matematická analýza III.
![Page 46: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/46.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Parciální derivace funkce S jsou rovny
∂S∂a
= 1 +64b· (−1) · 1
a2 = 1− 64a2b
∂S∂b
= 1− 64ab2
Pro urcení kritických bodu položíme obe parciální derivace rovnynule a po úpravách dojdeme k soustave rovnic
64 = a2b
64 = ab2
Z první rovnice vyjádríme napr. b(b = 64
b2
)a dosadíme do druhé.
Po úpravách dostaneme
64 = a ·(
64a2
)2
a3 = 64
a = 4.Matematická analýza III.
![Page 47: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/47.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Protože a = 4, plyne z poslední soustavy, že i b = 4. Kritickýmbodem je tedy bod (a,b) = (4,4).
Overíme, zda je v tomto bode lokální minimum.
Parciální derivace druhého rádu jsou rovny:
∂2S∂a2 =
128a3b
∂2S∂a∂b
=64
a2b2
∂2S∂b2 =
128ab3
Príslušné funkcní hodnoty v bode (4,4) jsou
∂2S∂a2 (4,4) =
12
∂2S∂a∂b
(4,4) =14
∂2S∂b2 (4,4) =
12
Matematická analýza III.
![Page 48: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/48.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Pri urcení, zda je v bode (4,4) lokální minimum, se opreme ovetu 2.5.
Funkce S má v rovine krome os x a y spojité parciální derivacedruhého rádu (dle predpokladu je a,b 6= 0) a navíc pro ne platí
Saa(4,4) · Sbb(4,4) > S2ab(4,4),
nebot’ 12 ·
12 >
(14
)2.
Predpoklady vety jsou splneny a funkce S má tedy v bode [4,4]ostrý lokální extrém. Protože je
Saa(4,4) =12> 0,
jde o ostré lokální minimum.
Rozklad císla 64 na tri cinitele má tedy nejmenší soucet proa = b = c = 4.
Matematická analýza III.
![Page 49: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/49.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
2 Podruhé budeme tuto úlohu rešit metodou Lagrangeovýchmultiplikátoru, tj. budeme se opírat o vetu 2.7.
Rovnici vazby prevedeme do implicitního tvaru,tj. a · b · c − 64 = 0.
Predpoklady vety jsou splneny, nebot’ derivace obou funkcí jsouspojité na R3 a pro každý bod (a,b, c) ∈ A je ∂g
∂c = ab 6= 0,protože rozklad nemuže obsahovat nulu.
Matematická analýza III.
![Page 50: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/50.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Lagrangeova funkce má tvar
F (a,b, c, λ) = a + b + c + λ(abc − 64)
Parciální derivace funkce F jsou rovny
∂F∂a
= 1 + λbc
∂F∂b
= 1 + λac
∂F∂c
= 1 + λab
∂F∂λ
= abc − 64.
Matematická analýza III.
![Page 51: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/51.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Rešíme tedy soustavu ctyr rovnic o ctyrech neznámých
1 + λbc = 0
1 + λac = 0
1 + λab = 0
abc − 64 = 0.
Strucne nastíníme postup rešení.Z poslední rovnice vyjádríme a (a = 64
bc ) a dosadíme do druhéa tretí rovnice. Získáme soustavu trech rovnic o trechneznámých:
1 + λbc = 0
1 + λ64bAc
Ac = 0
1 + λ64
AbcAb = 0
Matematická analýza III.
![Page 52: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/52.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Z druhé rovnice vyjádríme b (b = −64λ), ze tretí rovnice c(c = −64λ) a dosadíme do první rovnice:
1 + λ · (−64λ) · (−64λ) = 0
1 + 4096λ3 = 0
λ = − 116
Potom b = c = 4 a a = 4.
Bod podezrelý z extrému má souradnice (4,4,4).
Matematická analýza III.
![Page 53: Matematická analýza III.Veta 2.5 (Postaˇ cující podmínky pro ostré extrémy)ˇ Necht’ má funkce f(x,y) spojité parciální derivace 2.ˇrádu v otev ˇrené množine G a](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050506/5f97cd1a39347128a02eee6e/html5/thumbnails/53.jpg)
ÚvodTeorie
Otázky a úlohyV literature . . .
Doplnky
O kvadratických formáchDukazyRešení a odpovedi
Zkontrolujeme správnost našeho výsledku.Možné rozklady císla 64 (nehledíme-li na poradí cinitelu) jsouznázorneny v následující tabulce.Druhý sloupec udává soucet techto císel.
Rozklad Soucet1 · 1 · 64 661 · 2 · 32 351 · 4 · 16 211 · 8 · 8 172 · 2 · 16 202 · 4 · 8 144 · 4 · 4 12
I z tabulky je patrné, že nejmenšího souctu dosáhneme pro rozklad64 = 4 · 4 · 4.
zpet
Matematická analýza III.