Estudo da Resposta

HOMEWORK 4

RESPOSTA NO TEMPO DE UM

SISTEMA MECNICO DE 3 GDL

Christian Grimm Balaniuc 386740

Danilo Henrique Ribeiro Leite 559008

Fbio Tommasini 414930

Guilherme Camargo 496618

Junho de 2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SO CARLOS UFSCAR CENTRO DE CINCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA - CCET

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA ____________________________________________________________________________

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Sumrio

Introduo .................................................................................................................... 3

Objetivos ...................................................................................................................... 4

Metodologia ................................................................................................................. 4

Resultados e Discusses ............................................................................................... 8

Resultados e Discusses ............................................................................................. 13

Apndice .................................................................................................................... 14

Bibliografia ................................................................................................................. 15



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Introduo

A previso do comportamento de um determinado sistema

essencial em um projeto. O estudo desse comportamento de vital

importncia em problemas de engenharia e pode ser feito atravs de

modelo fsicos, matemticos e computacionais.

(...) o estudo da Dinmica de Sistemas pode ser entendido como

o estudo do comportamento, em funo do tempo, de grandezas que

esto relacionadas com parte do universo que foi imaginariamente

separada para este fim. (FELICIO, 2010).

Em sistemas dinmicos analisa-se respostas, em funo do

tempo, com relao a uma ou mais entradas. A forma que um sistema

fsico, sob determinadas condies iniciais, responde uma excitao

conhecida como Resposta no Domnio do Tempo. A anlise de tal

resposta pode ser dividida em duas partes: anlise transitria e regime

estacionrio. O primeiro dependente no s da excitao, ms

tambm das condies iniciais enquanto o segundo depende somente

da entrada do sistema. Esse estudo pode ser feito de forma separada,

ou seja, estuda-se primeiramente as respostas para um condio inicial

no nula e excitaes nulas e, posteriormente, estuda-se as respostas

para uma determinada entrada, considerando nulas as condies

iniciais. A resposta real do sistema pode ser obtida atravs da

superposio desses resultados.



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Objetivos

Realizar os clculos necessrios para obter uma resposta dos

deslocamentos em x, para cada massa, em funo no tempo, aps sofrer a

ao de um carregamento f1(t). Ainda, utilizar o software MATLAB para

obter grficos das respostas no tempo, permitindo assim uma anlise mais

detalhada.

Metodologia

Primeiramente, foi feita a anlise do problema, efetuando todos os

clculos das relaes matemticas necessrias para a obteno do modelo

a partir dos diagramas de corpo livre.

Abaixo temos as hipteses usadas para a resoluo do problema.

Massas rgidas e constantes

Molas puras e lineares

Amortecedores puros e lineares

Movimento unidirecional

Pequenas variaes das grandezas

CIs nulas.

Figura 1: Esquema do modelo fsico



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Desconsideram-se atritos, exceto o indicado.

Considerando ento as variveis:

F1= fora de entrada

Fat= fora de atrito

M1=massa do corpo 1

M2=massa do corpo 2

M3=massa do corpo 3

K1=constante elstica da mola 1




Bat= constante de amortecimento do atrito

B2= constante do amortecedor 2



X1=deslocamento do corpo 1



Outras variveis so indicadas nas figuras. Partindo para a modelagem

temos:

Massa 1

Figura 1 Diagrama de Corpo Livre da massa 1

(1)

No qual temos as seguintes relaes:



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Assim, o modelo matemtico para essa massa dado por:

(8)

Massa 2


A partir do DCL e das leis de Newton temos:

(9)

E as seguintes relaes:



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O modelo matemtico dado por:

(15)

Massa 3


Seguindo as Leis de Newton temos:

(16)

Com as relaes:

Temos:

Dadas os modelos matemticos para as massas do problema, e

as variveis envolvidas, pode-se reescrever as equaes (8),(15) e (19)

matricialmente.

O sistema dado por:



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(20)

No qual:

A matriz de sadas pode ser escrita como:

E as foras aplicadas como:

Utilizando o software Matlab, e o mtodo de Cramer, calcularam-se as

Funes de Transferncia.

Resultados e Discusses

Encontrado as Funes de Transferncia foi criado, ento, uma rotina no

MATLAB (Anexo 1) e um modelo no Simulink, como mostrado na Figura 4.

A partir da obteve-se as respostas para as massas M1, M2 e M3 atravs do

mtodo iterativo de resoluo de EDOs e atravs do uso das Funes de

Transferncia.



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Figura 4 Esquema criado no Simulink para resoluo e comparao dos dois mtodos de anlise

As figuras 5 e 6 mostram a resposta no tempo da massa M1 pelo mtodo

iterativo e pelo mtodo de Laplace, respectivamente.

Figura 5 Resposta no tempo de M1 pelo mtodo iterativo



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Figura 6 Resposta no tempo de M1 pelo mtodo de Laplace

Observa-se que as curvas dos dois mtodos so idnticas. O mesmo

acontece com as massas M2 e M3, como mostrado nas figuras 7, 8, 9 e 10.




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Para melhor anlise do sistema, plotou-se as respostas pelo mtodo

iterativo das 3 massas simultaneamente, obtendo-se o grfico de resposta no

tempo apresentado na Figura 11. A comparao dos deslocamentos das

massas pelo mtodo das Funes de Transferncia no se faz necessria j

que os resultados foram idnticos e a anlise seria, portanto, a mesma. Nota-

se a maiores deslocamentos da massa M3 quando comparado s demais. Isso

ocorre devido ao fato de que as foras de amortecimento e elsticas so

aplicadas apenas em uma extremidade de M3 enquanto M1 e M2 sofrem foras

nas duas extremidades e sempre em sentidos opostos.

Figura 11 Comparao das respostas de todas a massas do sistema pelo mtodo iterativo

Deslocamento M1

Deslocamento M2

Deslocamento M3



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Alm disso, podemos observar que no sistema subamortecido analisado

as massas M1 M3 se estabilizam no mesmo perodo de tempo e tem

comportamento semelhante a partir dos 5 segundos.

Resultados e Discusses

O uso do software MATLAB-Simulink se fez essencial na obteno dos

resultados j que o desenvolvimento de forma analtica muito complexo e

demorado. Foram analisadas as respostas obtidas pelo mtodo interativo e o

mtodo das Funes de Transferncia e as respostas de ambos os mtodos

caracterizam o sistema massa-mola de 3 graus de liberdade. Alm disso,

atravs da anlise das respostas obtidas podemos concluir que o sistema

subamortecido j que todas as massas oscilam e tem suas amplitudes

diminudas exponencialmente, tendendo ao equilbrio quando analisado em um

tempo suficientemente grande. Alm disso, como obtivemos resultados

idnticos atravs de mtodos distintos, conclui-se que o desenvolvimento do

problema se deu de maneira assertiva.



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Apndice

Rotina MATLAB: clear; clc;

syms D f1 %aqui permitimos o clculo com smbolos no Matlab,

assim no precissamos calcular os determinantes manualmente. t=0:0.1:10;

m1 = 10; m2 = 5; m3 = 5; k1 = 100; k2 = 200; % Dados do problema k3 = 200; k4 = 150; B1 = 20; B2 = 10; B3 = 10; B4 = 5;

%Matriz de equaes, vide modelo matemtico no relatrio.

A = [m1*D^2+(B2+B3+B1)*D+(k1+k2+k3), -B2*D-k2, -B3*D-k3; ... -B2*D-k2, m2*D^2+(B2+B4)*D+(k2+k4), 0; ... -B3*D-k3, 0, m3*D^2+B3*D+k3];

%Matriz a serem utilizadas na regra de Cramer, para x1, x2 e x3, %respectivamente:

A1 = [f1, 0, 0; ... -B2*D-k2, m2*D^2+(B2+B4)*D+(k2+k4), 0; ... -B3*D-k3, 0, m3*D^2+B3*D+k3];

A2 = [m1*D^2+(B2+B3+B1)*D+(k1+k2+k3), -B2*D-k2, -B3*D-k3; ...

%Troca de colunas para Cramer, vide coluna zerada f1, 0, 0; ... -B3*D-k3, 0, m3*D^2+B3*D+k3];

A3 = [m1*D^2+(B2+B3+B1)*D+(k1+k2+k3), -B2*D-k2, -B3*D-k3; ... -B2*D-k2, m2*D^2+(B2+B4)*D+(k2+k4), 0; ... f1, 0, 0]; % Fazendo Cramer:

x1 = det(A1)/det(A); x2 = det(A2)/det(A); x3 = det(A3)/det(A);



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Bibliografia

Felicio, L.C.; Modelagem da Dinmica e de Sistemas e Estudo da Resposta, 2 Ed. Rima,

2010.

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