Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2019/slides/aula_4.pdf ·...
Transcript of Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2019/slides/aula_4.pdf ·...
Rosa – 2019
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeVariáveis AleatóriasPMF, CDF Exemplos de v. a.: Bernoulli, Binomial,Geométrica, Poisson, Hipergeométrica
Rosa – 2019
Variáveis Aleatórias
Necessidade de expressar eventos de forma precisa
Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado
Idéia: Mapear eventos em números reais!
A B C D E
reais
Rosa – 2019
Definição de V.A.
Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S
v.a. é uma função (e não uma variável)
imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo)
função não precisa ser bijetora (umparaum)
X :S ℜ
Rosa – 2019
Função probabilidade de massa (pmf)
Associar probabilidade a valores de uma v.a.
Seja X uma v.a. (discreta)
Qual a probabilidade de X = x?Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x
notação de pmf (probability mass function)
{s∣X s=x }
pX x =P [X =x ]=P [{s∣X s=x }]= ∑X s=x
P [ s]
Rosa – 2019
Função distribuição cumulativa (cdf)
Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)
Dada v.a. X, temos
notação da cdf (cumulative distribution function)
FX(x) é não decrescente
Limite quando x tende a infinito é 1
F X x =P [X x ]=P [{s∣X sx }]= ∑X sx
P [ s ]
Rosa – 2019
Distribuições Importantes
V.A. discretas
Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
Usadas para modelar eventos que ocorrem na naturezaRepresentam v.a. que iremos usar
Relativamente fáceis de manipular
Rosa – 2019
Bernoulli
Somente dois eventos podem ocorrer
cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, etc.
v.a. binária (evento 0 ou evento 1)
Parâmetro p, (probabilidade de ocorrência de um dos eventos)
pmf: pX 0=1− p
pX 1= p
Rosa – 2019
Bernoulli
Rosa – 2019
BinomialContagem de eventos de Bernoullieventos independentes
Número de sucessos dado N experimentos
Dois parâmetros
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
N: número de experimentos
pmf:
Total de possibilidades de k eventos ocorrerem
Prob. que exatamente k eventos ocorram
pX k =Nk pk 1− pN−k
Rosa – 2019
Condições para uso da Binomial
Cada experimento tem como resultado dois eventos mutuamente exclusivos: falha ou sucesso
A probabilidade de sucesso em cada experimento é constante
O resultado de cada experimento é independente dos outros resultados
Rosa – 2019
Exemplo de uso da BinomialSuponha que um grupo de N usuários esteja sendo monitorado.
Rosa – 2019
Exemplo de uso da Binomial
Suponha que um grupo de N usuários esteja sendo monitorado.
Considere que a probabilidade de que um usuário esteja com seu roteador infectado seja p.
Qual a probabilidade de que k usuários estejam infectados?
Rosa – 2019
Geométrica
Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso (incluindo o sucesso)
Parâmetro
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
pmf:
Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1
eventos de falha
pX (k)=p(1−p)k−1 , k=1,2,. . .
Rosa – 2019
Geométrica Modificada
Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso (não incluindo o sucesso)
Parâmetro
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1
eventos de falha
pX (k)=p(1−p)k , k=0,1,2, .. .
Rosa – 2019
Geométrica: Propriedade memoryless
● Resultados de experimentos no futuro não depende de eventos no passado● Seja Z a v.a. que denota o número total de experimentos até e incluindo o primeiro sucesso.● Assuma que já ocorreram n experimentos. Seja Y o número de experimentos que faltam até o primeiro sucesso, logo Y=Zn.
Rosa – 2019
Geométrica: Propriedade memoryless
Yn Z
Z – v.a. geométricaY – v.a. que representa o número de eventos que faltam para o primeiro sucessoY=Z-n e Z=n+Y
P[Y=i | Z>n] = ?
pZ i= pqi−1
F Z i =1−qi
Rosa – 2019
Geométrica: Propriedade memoryless
Rosa – 2019
Geométrica: Aplicações● Considere o escalonamento de um sistema de computação onde cada processo recebe um slice de tempo fixo de CPU. ● Ao final do slice de tempo o processo pode sair da CPU com probabilidade p ou voltar para fila com probabilidade (1p). ● O número de slices de tempo necessários para que o processo termine a execução é uma variável aleatória geométrica.
Rosa – 2019
Geométrica: Aplicações
pZ (i)=p(1−p)(i−1)
Rosa – 2019
Poisson Representa o número de eventos em um intervalo (0,t] Considere l a taxa média de ocorrência dos eventos
Em um pequeno intervalo Dt, a probabilidade de um novo evento é lDt Se Dt é muito pequeno, a probabilidade de dois eventos ocorrerem no mesmo intervalo é desprezível
Suponha que o intervalo (0,t] possa ser dividido em n subintervalos de tamanho t/n Suponha que ocorrência de um evento em qualquer intervalo seja independente da ocorrência do evento em outro intervalo
Rosa – 2019
Poisson
Rosa – 2019
Poisson
Rosa – 2019
PoissonNúmero de eventos que ocorrem em um determinado intervalo de tempo
Parâmetros
t: intervalo de tempo
: taxa média de ocorrência de eventos por unidade de tempo
pmf:
Siméon-Denis Poisson (1781-1840)
PX (k)=(λ t)k
k !e(−λ t)
Rosa – 2019
Exemplo com Poisson Chegada de chamadas a um call center segue
a distribuição de Poisson
Taxa média de chegada é de 3 chamadas por minuto
Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto?
Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora?
Rosa – 2019
Exemplo com Poisson
Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto?
3 chamadas /minuto
pX 0=e−330
0 !=e−3
Rosa – 2019
Exemplo com Poisson
Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora?
3 chamadas /minuto
1−P [X ≤100]=1−F X 100
1−∑k=0
100 e−3∗603∗60
k
k !
Rosa – 2019
Exemplo com Poisson
Chegada de mensagens em um switch segue a distribuição de Poisson com taxa média de 12/ms.
Rosa – 2019
Exemplo com Poisson
Qual probabilidade de termos exatamente 12 chamadas em um milissegundo ?
pX 12=e−121212
12 !
Rosa – 2019
Exemplo com Poisson
Qual probabilidade de termos exatamente 100 chamadas em 10 milissegundos ?
pX 100=e−12∗1012∗10100
100 !
Rosa – 2019
Exemplo com Poisson
Qual probabilidade de termos mais do que 7 chamadas e menos do que 11 chamadas em 2 milissegundos ?
P [7X ≤10]=∑k=8
k=10pX k =∑k=8
k=10e−12∗2 12∗2
k
k !
Rosa – 2019
Hipergeométrica
N componentes, d defeituosos
Selecionar k defeituosos de um conjunto de m selecionados
Maneira de selecionar os defeituosos
Maneira de selecionar os não defeituosos
Rosa – 2019
Hipergeométrica
Rosa – 2019
Exemplo com Hipergeométrica
Rosa – 2019
Exemplo com Hipergeométrica
Rosa – 2019
Exemplo com Hipergeométrica
h(i ; k ,m,mn)=(m(n−1)
k−i )(mi )(mn
k )
Maneira de selecionar os canais que estão nas estações OK
Maneira de selecionar os canais que estão na estação que falhou
Maneira de selecionar k canais em uso de um total de mn
Probabilidade de i canais que estavam sendo usados pertencerem a estação que falhou