Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa –...
Transcript of Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa –...
![Page 1: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/1.jpg)
Rosa – 2011
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeVariáveis aleatóriasdiscretas PMF, CDF Exemplos de v. a.:Bernoulli, Binomial,Geométrica
Aula passadaIndependênciaProb. CondicionalTeorema da Probabilidade TotalLei de BayesVariáveis aleatórias
![Page 2: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/2.jpg)
Rosa – 2011
Função probabilidade de massa (pmf)
Associar probabilidade a valores de uma v.a.
Seja X uma v.a. (discreta)
Qual a probabilidade de X = x?Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x
notação de pmf (probability mass function)
{s∣X s=x }
pX x =P [X=x ]=P [{s∣X s=x }]= ∑X s=x
P [s]
![Page 3: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/3.jpg)
Rosa – 2011
Propriedades da função probabilidade de massa
onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir
![Page 4: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/4.jpg)
Rosa – 2011
Exemplo: 2 dados
Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados
Defina a pmf de X
Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)?
= 1/36
= 2/36
= 3/36
X=2 : {(1,1)}
X=3 : {(1,2), (2,1)}
X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}
. . .
pX x =P [X=x ]
pX 2=P [X=2]
pX 3=P [X=3]px 4=P [X=4]
![Page 5: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/5.jpg)
Rosa – 2011
Exemplo: 2 dadospmf, graficamente
x (valor que X pode assumir)
P [
X =
x]
![Page 6: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/6.jpg)
Rosa – 2011
Função distribuição cumulativa (cdf)
Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual)
Dada v.a. X, temos
notação da cdf (cumulative distribution function)
FX(x) é não decrescente
Limite quando x tende a infinito é 1
F X x =P [Xx ]=P [{s∣X sx }]= ∑X sx
P [ s ]
![Page 7: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/7.jpg)
Rosa – 2011
Propriedades da função distribuição cumulativa
![Page 8: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/8.jpg)
Rosa – 2011
Exemplo: 2 dados
Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados
Defina a cdf de X
= 1/36
= 3/36
= 6/36
X=2 : {(1,1)}
X=3 : {(1,1), (1,2), (2,1)}
X=4 : {(1,1), ..., (1,3)}
. . .
F X x =P [Xx ]
F X 2=P [X2 ]F X 3=P [X3]
F X 4=P [X4]
![Page 9: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/9.jpg)
Rosa – 2011
Exemplo: 2 dadoscdf, graficamente
x (valor que X pode assumir)
P [
X <
= x
]
![Page 10: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/10.jpg)
Rosa – 2011
Distribuições Importantes
V.A. discretas
Bernoulli
Binomial
Geométrica
Poisson
Usadas para modelar eventos que ocorrem na naturezaRepresentam v.a. que iremos usar
Relativamente fáceis de manipular
![Page 11: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/11.jpg)
Rosa – 2011
Bernoulli
Somente dois eventos podem ocorrer
cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, etc.
v.a. binária (evento 0 ou evento 1)
Parâmetro p, ocorrência de um dos eventos)
pmf:pX 0=1− p
pX 1= p
![Page 12: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/12.jpg)
Rosa – 2011
Bernoulli
![Page 13: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/13.jpg)
Rosa – 2011
BinomialContagem de eventos de Bernoullieventos independentes
Número de sucessos dado N experimentos
Dois parâmetros
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
N: número de experimentos
pmf:
Número de vezes que exatamente k eventos podem ocorrer
Prob. que exatamente k eventos ocorram
pX k =Nk pk1− pN−k
![Page 14: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/14.jpg)
Rosa – 2011
Condições para uso da Binomial
![Page 15: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/15.jpg)
Rosa – 2011
Exemplo de uso da Binomial
![Page 16: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/16.jpg)
Rosa – 2011
Geométrica
Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso
Parâmetros
p: prob. de ocorrência do evento (sucesso)
N: número de experimentos
pmf:
Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1
eventos de falha
pX k = p 1− pk−1
![Page 17: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/17.jpg)
Rosa – 2011
Geométrica Modificada
![Page 18: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/18.jpg)
Rosa – 2011
Geométrica: Propriedade memoryless
![Page 19: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/19.jpg)
Rosa – 2011
Geométrica: Propriedade memoryless
Yn Z
Z – v.a. geométricaY – v.a. que representa o que falta para o primeiro sucessoY=Z-n e Z=n+Y
P[Y=i / Z>n] = ?
pZ i= pqi−1
F Z i =1−qi
![Page 20: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/20.jpg)
Rosa – 2011
Geométrica: Propriedade memoryless
![Page 21: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/21.jpg)
Rosa – 2011
Geométrica: Aplicações
![Page 22: Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241classes/est-prob-2011/slides/aula_5.pdf · Rosa – 2011 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha,](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060412/5f10d5257e708231d44b0867/html5/thumbnails/22.jpg)
Rosa – 2011
Geométrica: Aplicações