INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESTATICA

FRANCISCO DE LA CRUZ DE LA CRUZ

GRUPO: 3CM8

PROFESORA: CAMARENA AMARO MA. ANGELICA

ESTATICA DE PARTICULAS

MECANICA Y ESTATICA

La mecánica es el estudio de fuerzas y sus efectos. La mecánica elemental se divide en estática que es el estudio de los cuerpos en equilibrio y dinámica que es el estudio de los cuerpos en movimiento.

Los resultados de la aplicación de la mecánica elemental se aplican en todos los campos de la ingeniería para el diseño de estructuras.

LEYES DE NEWTON

PRIMERA LEY DE NEWTON

Cuando la suma de la fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero o su velocidad constante se dice que la partícula esta en reposo o equilibrio.

F1+F2+F3………Fn=0

∑F=0

SEGUNDA LEY DE NEWTON

F1F3

F4

F5

F2

Cuando las sumas de las fuerzas es diferente de cero el cambio en la cantidad de movimiento es igual a la cantidad de masa por la aceleración

∑F≠0

F=m*a

A=g=9.81 N .ms2

TERCERA LEY DE NEWTON

A toda acción corresponde una reacción de igual magnitud pero de sentido contrario.

F1 F1´

F1+ (-F1´)=0

F1=F1´

SISTEMAS DE UNIDADES

Para determinar cualquier fuerza o medida es necesario adecuar ordenadamente el sistema internacional de medidas o cualquier sistema mediante factores de conversión. Para lo cual las unidades más comunes a manejar son:

Longitud (m)

Área (m2)

Volumen (m3)

Masa (Kg)

Tiempo (s)

Fuerza (N)

Presión (Pa)

unidades SI EQUIVALENCIALongitud 1 m 100 cm 0.001=103 39.37 3.281 1x1010

km inchplg

ftpie

°A=anstrog

Área 1m2 10000=104 cm2

1550¿2plg 2

10.76

ft2pie 2

Masa 1 kg 1000=103 gr 2.205 lbm 35.27 oz (onza)

6.85x10-2

slug6.024x1026

UMATiempo 1 s 3.169x10-8 año 1.157x10-5

día2.778x10-4 hora

6.85x10-2

minutoFuerza 1 N(

kg .ms 2

)105

kg .ms 2

)dina(gr .ms 2

)

0.2248 lbf

7.233poundal

102grf

0.102 kgf

Presión 1 Pa(Nm2

)

9.869x10-4 atm

10( dinacm2

) 4.105x10-3 plg de agua

7.507x10-4 mm de Hg

1 bar=1x105 Pa

1 MPa=1x106 Pa

1 milla= 1609 m= 1.609 km

1 m3=2.694x102 gal

1 ft=12 plg

1 slug= 14.59 kgf

1 N=0.102 kgf

Ejercicios

1.- 3m Plg

3 m ( ) = 118.11 plg

2.-57 plg ft

57 plg (1 ft12 plg

) = 4.75 ft

3.-65 kg lb

65 kg (2.205lb1kg ) = 143.33 lbm

39.37 plg1m

4. - 877.5 lbm grm

877.5 lbm (1kg

2.205lbm )(1000gr1kg ) = 397 959.18 gr

5. - 980 kgf N

980 kgf (1N

0.102kg f) = 9 607.84 N

6.- Si un corredor olímpico corre 100 m en 10 s y su velocidad es de 10 m/s , cual es su velocidad en millas/hora

10 ms

(1milla1609m

)(1 s

2.778x 10−4hora ) = 22.37 millashoras

7.- los trenes bala en Tokio viajan a 200 km/hora, cual es su velocidad en m/s

200 kmhr

(1milla1.609km

) (2.778x 10−4hr

1 s)=3.4x10-2

millas

8.-Expresar en SI el peso volumétrico de una muestra de material de 0.025 lb/plg3

0.025 lbplg 3

(1kg2.205lb

)(39.37 plg1m

)3= 691.88 kgm3

9.- La velocidad de la luz al vacío es de 186 000 m/s. Cual es la velocidad en pies/min

186 000 0.025 ms

(3.281 pie1m

)(1 s

1.667 x 10−2min )=36 608 638.27 piemin

10.- Cuantos barriles de petróleo están contenidos en 84 kilolitros ,si cada barril tiene 42 galones

84 000 lt (1m3

1000<¿¿ )(2.694 x10−2gal

1m3)(1barril42gal

)= 528.4 barriles

En unidades de SI la constante de gravitación universal G=6.67x10-11 N.m2/kg2 determinar en slug.pie3/lb2

6.67x10-11 N .m 2kg2

(0.102kgf1N

)(1 slug14.59kgf

)(10.76 ft 21m2

)(1kg2.205lb

)2=1.03x10-12 slug . ft 2lb2

FUERZA

Se puede definir como la acción de un cuerpo sobre otro, tal como jalar o empujar

La fuerza se puede ejercer mediante contactos físico o gravitacional, varias fuerzas forman un sistema de fuerzas. Los sistemas de fuerzas se pueden dar en el plano que es un sistema de dos coordenadas (x, y) o en el espacio (x, y, z).

Plano (x, y) plano (x, y, z)

DESCOMPOSICION DE FUERZAS

Una fuerza que no se encuentre exactamente sobre el plano (x,y,z) se tiene que descomponer en fuerzas que coinciden con los ejes de referencia y según sus ángulos.

F1X= 25 000 sen 28° = 11 736.79 kgF1y=25 000 cos 28°= 22 073.69 kg

F2x=3800 sen 62° = 3 355.20 kgF2y=3 800 cos 62° = 1 784 kg

F3x=502.95 cos 22°= 466.33 kgF3y=502.95 sen 22°= 188.40 kg

*FUERZA RESULTANTE

La fuerza resultante es la suma de dos o mas fuerzas que haya en un sistema, esto nos indica la intensidad y la dirección del sistema de fuerzas en general.

Esta resultante se puede obtener mediante dos métodos:

*Método del paralelogramo (limitado, se sugiere solo para 2

Fuerza resultante fuerzas)

*Método de descomposición de fuerzas (todas 2D y 3D)

1.-PARALELOGRAMO

El método consiste en dibujar a escala la magnitud de las fuerzas posteriormente se trazan líneas paralelas a estas dos fuerzas también a escala donde crucen ambas paralelas se ubica el punto donde convergerá la fuerza resultante partiendo del origen.

Esta fuerza resultante se puede evaluar mediante su medición a escala o encontrando su valor y sus ángulos aplicando la ley de senos y de cosenos.

ConversionesF1 9’=2.74 m; 4.5’= 1.37 m; h=3.06F2 h=4.09 mF3 40”=1.02 m; 56”=1.32 m; h= 1.75 m

F1X= 2(2.743.06

) = 1.76 T

F1y=2(1.373.06

) = 0.90 T

F2x=6(3.804.09

¿=5.57 T

F2y=6(1.54.09

) = 2.20 T

F3x=4(1.021.75

)= 2.33 T

F3y=4(1.421.75

) =3.25 T

Ley de senos

Ley de cosenos

asen α

= bsen β

= FRsen γ

FR=√a2+b2−2abcos γ

EJEMPLO:

1.-

γ=15°+90°+35°=140°

FR=√6002+9002−2 (600 ) (900 )cos 140°FR=1413.27 N

asen α

= FRsen γ

α=sen-1(600 sen140 °1413.27

) = 15.81°

Θx= α+35°Θx=15.84°+35°Θx= 50.84°

2.-

11 200 lb=5 079 kg = 5.08 T

γ=180°-40°-33.79°=106.21°

FR=√5.082+112−2 (5.08 ) (11) cos106.21 °FR= 13.34 T

asen α

= FRsen γ

α=sen-1(5.08 sen106.21 °

13.34) = 27.45°

Θx= 33.79°+ αΘx=33.79°-27.45°Θx= 12.34°

3.-

γ=180°-25°-40°=115°

FR=√962+622−2 (96 ) (62 )cos115 °FR= 134.50 kg

β=sen-1(96 sen 115°134.50

) = 40.30°

Θx=β+50°Θx=40.30°-50°Θx= 90.30°

DESCOMPOSICION DE FUERZAS

1.-

h1=6.5 m; h4=5.66 m

F1X= 11(66.5

) = 10.15 i

F1y=11(2.56.5

¿= -4.23 j

F2x=5 cos 40° = 3.83 i

F2y=5 sen 40° = 3.21 j

F3x=-7.8 sen 48°= -5.80 iF3y=7.8 cos 48°= 5.22 j

F4x=-4(45.66

) = -2.83 i

F4y=-4(45.66

) = -2.83 j

∑ Fx= 5.35

∑ Fy= 1.37

FR=√5.352+1.372FR=5.52 TANGULOS DIRECTORES

Θx=cos-1(∑fxFR

)=COS-1(5.355.52

)= 14.26°

2.-

Conversiones

7.85 klb=3560.1 kg =3.56 T

6185 kg= 6.2 T

h2=6.5 m; ca3=3.66 m

F1x=3.56 sen 35° = 2.04 iF2y=3.56 cos 35° = 2.95 j

F2X= 6.18(−55.39

) = -5.73 i

F1y=6.18(25.39

¿= 2.29 j

F4x=8(−3.684.75

) = -6.20 i

F4y=8(−34.75

) = -5.05 j

∑ Fx= -9.89

∑ Fy= 0.16

FR=√(−9.89)2+(0.16)2

FR=9.89 TANGULOS DIRECTORES

Θx=cos-1(∑fxFR

)=COS-1(5.355.52

)= 180°

*FUERZAS EN EL ESPACIO

1.-

F1= 21 cos 56°i +21 cos 40°j +21 cos 110° k =11.74 I +14.05 j -7.18 k

F2= 10 cos 95° i +10 cos 76° j +10 cos 43° k =-0.87 i + 2.42 j + 7.31 k

F3=12(−3−4.5+2.5

5.96) =-12(

35.96

) i -12(4.55.96

)j+12(2.55.96

)k

=-6.04 i -9.06 j + 5.03 k

F4=18(1.54.74

) i-18(4.54.74

)j +o k

=5.70 i-17.09 j +0 k

FR=∑ Fx + ∑ Fy +∑ Fz

FR=10.53 i -9.68 j + 5.16 k

|FR|=√10.532+(−9.68)2+5.162

|FR|=15.21 T

ANGULOS DIRECTORES

Θx=cos-1(∑fxFR )=COS-1(

10.5315.21)= 46.19°

Θy =cos-1(∑fxFR )=cos-1(

−9.6815.21 )=129.53°

2.-

F1= 20 cos 36°sen 33°i +20 cos 36°cos 33°j -20 sen 35° k = 8.81 i +13.57 j -11.76k

F2= -35 cos 28°sen 30° i +35 cos 28° cos 30° j +35 sen 28° k =-0.87 i + 2.42 j + 7.31 kF3=-28 cos 43°sen 46° i -28 cos 43° cos 46° j +28 sen 43° k =-14.73 i -14.23 j + 19.0 k

F4=18 cos 25°(46.4

) i-18 cos 25° (56.4

)j - 18 sen 25°k

=10.20 i-12.74 j – 7.61 k

FR=∑ Fx + ∑ Fy +∑ Fz

FR=-11.17 i -13.36 j + 16.16 k

|FR|=√(−11.17)2+(−13.36)2+16.162

|FR|=23.76 KN

ANGULOS DIRECTORES

θx=cos-1(∑fxFR

)=COS-1(−11.1723.76

)= 118.04°

Θy=cos-1(∑fxFR

)=cos-1(−13.3623.76

)=55.76°

3.-

F1= -70.3 i -100.4 j +10.26 k

F2= 0 i +50(3.54.61

) j +50 (34.61

) k

=0 i + 37.96 j + 32.54 k

F3=21 cos 28° (46.40

) i +21 cos 28° (66.40

) j -21 sen 28° k =11.59 i

+14.49 j -9.86 kF4=68 cos 41° i + 68 cos 41° j + 68 cos 41°k =51.31i-63.90 j +29.81 k

FR=∑ Fx + ∑ Fy +∑ Fz

FR=-7.39 i -111.85 j + 62.77 k

|FR|=√(−7.39)2+(−111.85)2+62.772

|FR|=128.47 KN

ANGULOS DIRECTORES

θx=cos-1(∑fxFR

)=COS-1(−7.39128.47

)= 93.30°

θy=cos-1(∑fxFR

)=cos-1(−111.85128.47

)=150.53°

θz=cos-1(∑fxFR

)=cos-1(16.1623.76

)=60.75°

EQUILIBRIO DE LA PARTICULA

Como ya se vio en la primera ley de Newton, la suma de las fuerzas que se encuentren en un sistema tienen que ser igual a cero para que se encuentren en equilibrio

∑FX=0

∑Fy=0

∑FZ=0

Sera necesario encontrar las fuerzas desconocidas del sistema y para ello haremos:

1.- dibujar el diagrama de cuerpo libre (DLC) donde se indique de forma esquemática magnitud y sentidos de la fuerzas.2.-Indicar que fuerzas son desconocidas y proponer los sistemas de ecuaciones 3.-Resolver el sistema de ecuaciones despejando todas las fuerzas que sean desconocidas

EJEMPLO:

Encontrar la fuerza desconocida para que el sistema se encuentre en equilibrio

∑FX=700 (45

)-F2 COS 40°-570 sen 50° -620(55.1

) =0

F2=560−436.65−607.84

cos40 °= -632.46 lb

∑Fy=700 (35

)-F2 sen 40°-570 cos 50° -620(15.1

) =0

F2=420−336.38−121.57

sen40 °= 227.55 lb

∑FX=-AB cos 44°-BC cos 18+300=0

∑Fy=AB sen 44°+BC sen 18°-196.2=0

¿=¿

=0.4384

AB=¿¿ =214.18 N

AB=¿¿ =153.43 N

∑FX=10(5

√52+s2)- 10(5

√52+s2)=0

∑Fy= 10(s

√52+s2) + 10(s

√52+s2) -15 =0

Despejando a s de 2

20(s

√52+s2) = 15

(s

√52+s2)=1520

(s

√52+s2)=34

(s

√52+s2) 2= (1520

) 2

s2

√52+s2=916

16 s2=9(52+s2)

16s2=(25)(9) +(9s2)

16 s2-9s2=225

7s2=22s

CC∑FX=--ED+DC cos 60=0

∑Fy=--2452.5+DC sen 60=0

DC=2831.9 N

ED=1415.5 N

∑FX=CB cos 38°-AC cos 55°-1415.5=0

∑Fy=CB sen 38°+AC sen 55°-2452.5=0

[cos38 ° −cos55 °sen38 ° sen55 ° ]=¿

=0.9986

A=[1415.95 cos55 °2452.5 sen55 ° ]

0.9986 =2570.17 N

AC=[cos38 ° 1415.95sen 38° 2452.5 ]

0.9986 =1 062.34 N

F1= F1 cos 37°sen 25°i + F1 cos 37°cos 25°j + F1 sen 37° k

F2= - F2 (3.55.02)i - F2 (

35.02) j + F2 (

25.02)k

F3=-0i - F3 cos 25° j + F3 sen 25° k

∑ Fx =F1 cos 37°sen 25°i - F2 (3.55.02)i +0=0

∑ Fy =F1 cos 37°cos 25°- F2 (35.02) + F3 cos 25°=0

∑ Fz=F1 sen 37° +F2 (25.02)+F3 sen 25° -160=0

−cos37 ° sen25 ° −( 3.55.02

) 0

cos 37° cos25 ° −(35.02

) −cos25 °

sen 37 ° ( 25.02

) 0

−cos37 ° sen25 ° −( 3.55.02

) 0

cos 37° cos25 ° −(35.02

) −cos25 °

∆ =556

0 −( 3.55.02

) 0

0 −(35.02

) −cos25 °

160 ( 25.02

) 0

0 −( 3.55.02

) 0

0 −(35.02

) −cos25 °

−cos37 ° sen25 ° 0 0cos 37° cos25 ° 0 −cos25 °

sen 37 ° 160 0

−cos37 ° sen25 ° 0 0cos 37° cos25 ° 0 −cos25 °

−cos37 ° sen25 ° −( 3.55.02

) 0

cos 37° cos25 ° −(35.02

) 0

sen 37 ° ( 25.02

) 160

−cos37 ° sen25 ° −( 3.55.02

) 0

cos 37° cos25 ° −(35.02

) 0

F2= -48.490.556=¿-88.02 KN

F3=113.010.556

=¿203.26 KN

F1=101.100.556

=¿181.33 KN

∑FX=-F1 (48.77

)+ 0F2 +F3 cos 60°=0

∑Fy=-F1 (68.77

)+ 0F2 +F3 cos 40°=0

∑Fz=-F1 (58.77

)+ F2 +F3 cos 50°=200

∆=0.007

−( 48.77

) 0 cos60 °

−( 68.77 ) 0 cos 40 °

58.77

1 cos50 °

= 00200

F1=[−( 48.77

) 0 cos 60 °

−( 68.77 ) 0 cos 40 °

58.77

1 cos 50° ]0.9986

=0

0.007 =0

F2=[−( 48.77

) 0 cos 60 °

−( 68.77 ) 0 cos 40 °

58.77

1 cos 50° ]0.9986

=1.4630.007

=209 lb

F3=[−( 48.77

) 0 cos 60 °

−( 68.77 ) 0 cos 40 °

58.77

1 cos 50° ]0.9986

= =0

FAB=(B- A)=(0,2.5,3)- (1.5,1.5,0)=(-1.5,1,3)

=FAB (33.5i+ 13.5

j+ 33.5k ¿

FAC=(C- A)=(4.5,0,3)- (1.5,1.5,0)=(3,-1.5,3)

=FAC (34.5i−1.54.5

j+ 34.5k ¿

FAD=(D- A)=(4.5,0,0)- (1.5,1.5,0)=(3,-1.5,0)

=FAB (33.35

i− 1.53.35

j+ 03.35

k)

∑FX=-FAB (1.53.5

) + FAC ¿) + FAD ( 33.35

¿=0

∑Fy =-FAB (13.5

) - FAC ¿) - FAD ( 1.53.35

¿=0

∑Fz =FAB (33.5

)+ FAC ¿) + FAD (0)=533.55

−(1.53.5

) 34.5

33.35

( 13.5 ) −1.54.5

−1.53.35

33.5

34.5

0

= 0.043

FAc=[−( 1.53.5

) 033.35

( 13.5 ) 0−1.53.35

33.5

533.55 0 ]0.043

=34.130.043

=793.67 lb

FAD=[−( 1.53.5

) 34.5

0

( 13.5 ) −1.54.5

0

33.5

34.5

533.55]0.043

= =-646.28 lb

FAc=(A- C)=(2,0,0)- (0,6,0)= (2,-6,0)

=FAC (26.32

i− 66.32

j+ 06.32

k ¿

FBC=(B-C)=(-2,0,0)- (0,6,0)=(-2,-6,0)

=FBC (−26.32

i− 66.32

j+ 06.32

k ¿

FCD=(D- A)=(0,12,8)- (0,6,0)=(0,6,8)

=FCD (0 i+ 610j+ 810k )

∑FX=0.3165 FCA – 0.3164 FBC + 0FCD =0∑Fy =-0.9494FCA - .9494FBC - 0.6FCD =0∑Fz =0FCA + 0FBC + 0.8 FCD =533.55

MOMENTO

Se conoce momento como el giro que se provoca por aplicar una fuerza a una distancia cualesquiera con respecto un punto de referencia .

M=F x d

Condición F d

[ 0.3165 −0.3165 0−.9494 −0.9494 0.60 0 0.8]=0.4807

FAc=[ 0 −0.3165 00 −0.9494 0.6500 0 0.8]

0.4807

=−94.950.4807

= -197.52 lb

FBC=[ 0.3165 0 0−.9494 0 0.60 500 0.8]0.4807

=−94.950.4807

= -197.52 lb

EJEMPLO: Obtener el momento en el punto E que provocan las siguientes cargas

∑ME =-70(1.5)+45(3) =30 kg-m

∑ME =-13(50)+25(50) =600 N-cm

Mp=?

∑Mp =30(2)+51.96 (18)-28.28 (6)+ 28.28 (12)

= 1164.96 lb-pulg

TEOREMA DE VARIGNON

Se aplica cuando tenemos dos fuerzas en el mismo punto y se desea obtener el momento de esas dos fuerzas con respecto al mismo punto, consiste primeramente en sumar las dos fuerzas y obtener una resultante. Posteriormente se multiplica por las distancias.

1 m

3 m

F1=2 T

F2=4 T

2 m

25°

48°

∑Fx= 2 cos 48° + 4 cos 25° = 4.96

∑Fy= 2 sen 48° + 4 sen 25° = 3.18

FR=5.89 T

∑MB = -4.96 (1) + 3.18 (3) = 4.58 T-m

Ө=32.64°

∑Mo =540 (1) + 305 (1.06) – 400(5.27)

= -12 44.7 N-m

=12 44.7 N-m

MOMENTOS EN 3D

F= (200,275,400)

=840 (200525

i +275525

j +400525

k )= 320 i + 440 j + 640 k

r= (0,0,0)- (375,250,-150)

= (-375,-250,150)

M = i j k320 440 640

−375 −250 150 =226 000 i – 288 000 j + 85 000 k

|M|=√ (226000 )2+(−288000 )2+(85000¿)2¿ =375 825.76 N-m

Өx=53.03°

Өy=140.02°

Өz=76.93°