Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) ESTTICA Apuntes del curso Profesor: Mario Glvez H. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 1 CONTENIDOS pg INTRODUCCION3 I. INTRODUCCION A LA ESTATICA4 1.1. Fundamentos de la Mecnica4 1.2. Unidades (Sistema Internacional: SI)5 II. ALGEBRA VECTORIAL7 2.1. Vectores7 2.2. Suma de Vectores8 2.3. Descomposicin de una fuerza en sus componentes8 2.4. Producto punto de vectores9 2.5. Producto cruz de vectores9 III. EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA10 3.1. Equilibrio de Fuerzas10 3.2. Fuerza de Roce12 IV. CUERPOS RIGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS20 4.1. Introduccin20 4.2. Fuerzas Externas e Internas20 4.3. Momento de una fuerza respecto a un punto21 4.4. Momento de una fuerza respecto a un eje23 4.5. Momento de un par de Fuerzas24 V. EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS31 5.1. Introduccin31 5.2. Diagrama de cuerpo libre31 5.3. Reacciones en los puntos de apoyo y conexiones de una Estructurabidimensional32 5.4. Equilibrio de un cuerpo rgido en dos dimensiones33 5.5. Estabilidad y grados de indeterminacin36 5.6. Equilibrio de un cuerpo rgido en tres dimensiones40 VI. CENTRO DE GRAVEDAD, CENTROIDES Y FUERZAS DISTRIBUIDAS 45 6.1. Centro de Gravedad en Coordenadas Cartesianas46 6.2. Centroides de rea en Coordenadas Polares47 6.3. Cuerpos Compuestos48 6.4. Teorema de Pappus-Guldinus50 6.5. Resultantes de fuerzas paralelas distribuidas53 Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 2 pg VII. RETICULADOS60 7.1. Estabilidad y Determinacin Esttica61 7.2. Mtodos de Anlisis de Reticulados62 7.3.Reticulados Compuestos y Complejos73 VIII. ESFUERZOS INTERNOS EN VIGAS75 8.1. Esfuerzo de Corte y Momento Flector en Vigas76 IX. PRINCIPIOS DEL TRABAJO90 9.1. Principio del trabajo Virtual92 Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 3 INTRODUCCION Elpresentedocumentoesuncomplementoalasclasesdelcursode EstticaimpartidasenlaUniversidadDiegoPortales,esutilizadocomotexto gua. Sepresentanunaseriedetemasquepretendenintroduciralalumnoal mundo de las estructuras. Es el primer acercamiento que existe a las estructuras. Losfundamentosaqupresentadosson lasbasesparaloscursossiguientes comoMecnicadeSlidos,AnlisisEstructural(IyII)IngenieraAntissmicay todosloscursosdediseo,tantoenhormignarmadocomoenestructurasde acero. Enestaspginasseresumenlosprincipalescontenidosnecesariospara comenzarconelclculodeesfuerzosenloselementos,talescomocolumnasy vigas. Una vez determinados los esfuerzos en los elementos se procede al proceso de diseo. Dentrodeloscontenidossehaceunrepasodellgebravectorial, primordialparaloscursosdeingeniera,yaquelasfuerzas,momentosy desplazamientosestndefinidosapartirdemagnitudesvectoriales.Eneste cursoesimportanteelconceptodeequilibrio(deahelnombreesttica,a diferencia de la dinmica que estudia los cuerpos en movimiento), este concepto esaplicabletantoapartculascomoacuerposrgidos(queposeendimensiones medibles). Parapoderconcentrarlospesosdeloscuerposrgidos,esnecesario conocerunpunto,dentrodelmismo,apropiadoparatalfin.Estepuntose determina utilizando el concepto de centroide. Seanalizan,tambin,estructurasdetiporeticulado,utilizadaseneluso depuentesycerchas;yestructurasformadasporcolumnasyvigas,parala construccin de edificios. Finalmenteseanalizaelprincipiodeltrabajoparaladeterminacinde fuerzas externas (reacciones en los apoyos de las estructuras) e internas (para los procesos de diseo). Paraterminar,teinvitoaparticipardeestecursoparaquepuedas comprender el funcionamiento de las estructuras y as utilizar estos conceptos en tu vida profesional cuando ya seas un ingeniero. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 4 I.INTRODUCCIN A LA ESTTICA 1.1.Fundamentos de la Mecnica 1.1.1. Introduccin a la Mecnica Mecnicaeslacienciaquedescribe ypredicelascondicionesdereposoo movimientodeloscuerposbajolaaccindefuerzas.Lamecnicasedivideen tres partes: mecnica de los cuerpos rgidos, mecnica de cuerpos deformables y mecnica de fluidos. Lamecnicadeloscuerposrgidossedivideenestticaydinmica.La primeratratasobreloscuerposenreposoylasegunda,sobreloscuerposen movimiento. ElestudiodelamecnicaseremontaatiemposdeAristtelesy Arqumedes (siglos III y IV a. de C.). i) Fuerza Lafuerzarepresentalaaccindeuncuerposobreotro.Estapuedeser ejercidaatravsdeuncontactodirectooadistancia,comoelcasodelas fuerzas gravitacionales y magnticas. Una fuerza est caracterizada por un punto deaplicacin,sumagnitudysudireccin,yserepresentapormediodeun vector. ii) Ley del Paralelogramo para suma de fuerzas Dos fuerzas que actan sobre una partcula pueden ser reemplazadas por unasolafuerzallamadaresultante,queseobtienedibujandoladiagonaldel paralelogramo cuyos lados son iguales a las fuerzas dadas. Figura 1.1: Ley del Paralelogramo Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 5 iii) Leyes de Newton - 1 Ley de Newton Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula es cero, la partcula permanecer en reposo (si originalmente se encontraba en reposo) o se mover a velocidad constante y en lnea recta (si originalmente estaba en movimiento). - 2 Ley de Newton Silafuerzaresultantequeactasobreunapartculanoescero,la partculatendrunaaceleracinproporcionalalamagnituddelaresultantey en la misma direccin que esta ltima a m Frr donde: Fr: Fuerza resultante m : Masa de la partcula ar: Aceleracin de la partcula - 3 Ley de Newton Lasfuerzasdeaccinyreaccinentrecuerposencontactotienenla mismamagnitud,lamismadireccinysentidosopuestos(principiodeacciny reaccin). 1.2.Unidades (Sistema Internacional: SI) CantidadUnidadSmboloFrmula AceleracinMetro por seg al cuadrado----m/seg2 Ac. AngularRadin por seg al cuadrado----rad/seg2 AnguloRadinrad---- AreaMetro cuadrado----m2 DensidadKilgramo por metro cbico----kg/m3 EnergiaJouleJN*m EsfuerzoPascalPaN/m2 FrecuenciaHertzHzs-1 FuerzaNewtonNkg*m/seg2 ImpulsoNewton-segundo----kg*m/seg LongitudMetromm MasaKilgramokgkg MomentoNewton-metro----N*m Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 6 CantidadUnidadSmboloFrmula PotenciaWattWJ/seg PresinPascalPaN/m2 TiempoSegundosseg TrabajoJouleJN*m VelocidadMetro por segundo----m/seg Velocidad angularRadin por segundo----rad/seg Volmen SlidosMetro cbico----m3 Volmen LquidosLitroL10-3m3 Tabla 1.1: Unidades (Sistema Internacional) Lamasade1kgesatradaporlatierraconunaaceleracindeung (9.81 m/seg2) la que produce una fuerza dada por: F = m * a = 1 kg * 9.81 m/seg2 = 9.81 N = 1 kgf (kilofuerza) Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 7 II.ALGEBRA VECTORIAL Lamagnituddeunafuerzaestcaracterizadaporunciertonmerode unidades.Lalneade accineslalnearectainfinitaalo largodelacualacta la fuerza, sta est caracterizada por el ngulo que forma con respecto a un eje fijo. El sentido de la fuerza debe ser indicado por una punta de flecha. Figura 2.1: Elementos que componen una fuerza 2.1.Vectores Losvectoressonexpresionesmatemticasqueposeenmagnitudy direccin, las cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los desplazamientos,velocidades,aceleracin ymomentos soncantidades fsicasquesepuedenexpresarcomovectores,porotrolado,elvolumen,la masa, la energa, el tiempo son cantidades escalares. El vector negativo de un vectorPr dado se define como el vector que tiene la misma magnitud y direccin dePr pero con sentido contrario. Figura 2.2: Vector y su vector negativo Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 8 2.2.Suma de vectores Se tienen dos vectores: Se cumple que: P + Q = Q + P P Q = P + (-Q) P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S) niP1=n P Si P = (a , b) y Q = (c , d), entonces P + Q = (a , b) + (c , d) = ( a+c , b+d ) 2.3.Descomposicin de una fuerza en sus componentes Una fuerza se puede descomponer como: Figura 2.3: Descomposicin de una fuerzas en dos ejes ortogonales LafuerzaPtambinpuededescomponerseenejesxeyquenosean ortogonales. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 9 2.4.Producto punto de vectores (producto escalar) Si se tiene el vector) ,..., , , (3 2 1 na a a a A r y el vector) ,..., , , (3 2 1 nb b b b B r, el producto punto entre ambos vectores se define como: + + + + nii i n nb a b a b a b a b a B A13 3 2 2 1 1...r r 2.5.Producto cruz de vectores (producto vectorial) El producto cruz entre dos vectores es aquel vector resultante (ortogonal a ambos) calculado siguiendo la regla de la mano derecha. Se tienen los vectores unitarios (mdulo igual a la unidad) dados por: Figura 2.4: Vectores unitarios ortogonales Donde: i x j = k j x k = i k x i = j i x i = 0 Si se define: P = (Px,Py,Pz) Q = (Qx,Qy,Qz) Luego, P x Q= (Px*i + Py*j + Pz*k) x (Qx*i + Qy*j + Qz*k) = (Py*Qz Pz*Qy)*i + (Pz*Qx Px*Qz)*j + (Px*Qy Py*Qx)*k En forma ms didctica: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 10 III.EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA 3.1.Equilibrio de Fuerzas Cuando la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es cero, la partcula est en equilibrio Esto es0 F Ejemplo 3.1: Unbloquedepeso75kgfessoportadopordoscablesinextensiblesde masadespreciablequepasanporpoleassinroce.Determinelastensionesde ambos cables. Solucin: Sedebehacereldiagramadecuerpolibredelbloque(diagramaque incluye todas las fuerzas que se ejercen en el bloque) Figura E3.1: Diagrama de cuerpo libre 0 Fx T2*cos30 - T1*cos50 = 0 Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 11 0 Fy T1*sen50 + T2*sen30 - 75 = 0 Resolviendo, T1 = 65.948 kgf T2 = 48.966 kgf Pararesolverproblemasentresdimensionesesnecesariodeterminarel vector unitario de las fuerzas que se ejercen sobre el sistema. Sisetieneelvector) , , (z y xa a a A r,elvectorunitarioasociadoaAr (magnitudigualalaunidadcuyadireccinysentidoeslamismaqueAr)queda determinado por: 2 2 2) , , (z y xz y xAa a aa a aAA+ + rr Ejemplo 3.2: DeterminelastensionesenloscablesAB,ACylafuerzaP,paraqueel sistemaseencuentreenequilibrio.AsumaqueW=200kgf.Lospuntosestn ubicados en: A( 0 ; 1.2 m ; 2 m ), B( 8 m ; 0 ; 12 m) y C( -10 m ; 0 ; 12 m) Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 12 Solucin: ) 777 . 0 ; 0933 . 0 ; 6219 . 0 ( ) 10 ; 2 . 1 ; 8 ( ABABABAB ) 7045 . 0 ; 0845 . 0 ; 7045 . 0 ( ) 10 ; 2 . 1 ; 10 ( ACACACAC Para el equilibrio debe cumplirse que: 0 + + + W P T TAC AC AB AB 0 Fx TAB*0.6219 TAC*0.7045 = 0 0 Fy -TAB*0.0933 TAC*0.0845 + P = 0 0 Fz TAB*0.777 + TAC*0.7045 = 200 Resolviendo lasecuaciones. TAB = 142.97 kgf TAC = 126.2 kgf P = 24 kgf 3.2.Fuerza de Roce (friccin) 3.2.1. Roce en bloques Cuandodossuperficiesestnencontacto,siempresepresentanfuerzas tangenciales,llamadasfuerzasde friccin,cuandosetrata demoverunadelas superficiesconrespectodelaotra.Porotraparte,estasfuerzasdefriccin estnlimitadasenmagnitudynoimpedirnelmovimientosiseaplicanfuerzas lo suficientemente grandes. Se tiene el siguiente bloque: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 13 Figura 3.1: Diagrama de cuerpo libre de un bloque SiPespequeaelbloquenosemover,entoncesdebeexistiralguna fuerza horizontal que equilibra a P, esta fuerza es el roce esttico. Si se incrementa la fuerza P, tambin se incrementa la fuerza de roce Fr la cualcontinaoponindoseaP,hastaquesumagnitudalcanzaunciertovalor mximoFrm.SiPseincrementaanms,lafuerzaderoceyanolapuede equilibrar y el bloque comienza a deslizar. Ahora Fr cae de Frm a Frk. Frm = s * N Frk = k * N Donde: s : Coeficiente de roce esttico k : Coeficiente de roce cintico s > k Figura 3.2: ngulos de roce esttico y dinmico Se cumple que: ( ) ( ) ( )k k s ss rmstg tgNNNFtg Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 14 Ejemplo 3.3: Sobreel bloquedela figuraactandos fuerzas.Se tieneque ms= 0.35y mk = 0.25. Determinar P que se requiere para: a)el bloque comience a moverse hacia arriba a lo largo del plano inclinado. b)para que el bloque contine movindose hacia arriba. c)para prevenir que el bloque deslice hacia abajo a lo largo del plano. Solucin Parte a) Figura E3.2.1: Diagrama de cuerpo libre 0 Fy N P sen(25) 800 cos(25) = 0 0 Fx Fr + 800 sen(25) P cos(25) = 0 Para que el bloque comience a deslizar, entonces, debe cumplirse que: Fr = Frm = s * N = 0.35 N Reemplazando y resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: N = 1054.864 kgf Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 15 P = 780.416 kgf Parte b) Para que el bloque contine movindose entonces: Fr = Frk = k * N = 0.25 N Reemplazando y resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: N = 999.184 kgf P = 648.665 kgf Parte c) Figura E3.2.2: Diagrama de cuerpo libre 0 Fy N P sen(25) 800 cos(25) = 0 0 Fx -Fr + 800 sen(25) P cos(25) = 0 Fr = Frm = s * N = 0.35 N Reemplazando y resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: N = 758.852 kgf P = 80 kgf 3.2.2. Roce en bandas Seconsideraunabandaplanaquepasasobreuntamborcilndricofijo (Figura 3.2). Se desea determinar la relacin que existe entralas fuerzasT1 y T2 Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 16 delatensinenlasdospartesdelabandacuandoestaltimaestapuntode deslizar hacia la derecha. Figura 3.2: Banda plana sobre un tambor cilndrico SeseparadelabandaunsegmentoPPqueabarcaunngulo(Figura 3.3). Se representa con T la tensin en P y por T + T a la tensin en P. Figura 3.3: Segmento PP de la banda Con el diagrama de cuerpo libre sobre el segmento de la banda se pueden hacer las ecuaciones de equilibrio. ( ) 0 cos cos 02 2x sF T T T N _ _ + , ,(1) ( ) 0 02 2yF N T T sen T sen _ _ + , , (2) Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 17 Despejandode(2) Ny reemplazandoen(1),luego dividiendopor . Se obtiene: 2cos 02 22ssenT TT _ _ _ , + , , Luego, si cos 1220120senT _ , _ , Entonces: s sdT dT- T=0 dd T Integrando entre P1 y P2: 21TsT 0dT= dT 2 1 sln ln T T s2 1T T e ( en radianes) Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 18 Ejemplo 3.4: Determinar la fuerza P necesaria para mover el sistema Solucin Haciendo diagrama de cuerpo libre en el bloque: 0 Fx T = Fr = * N 0 Fy N = 700 kgf Resolviendo: T = 0.3 * 700 = 210 kgf La relacin entre P y T est dada por: 0.252311 kgf P T e Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 19 IV.CUERPOS RIGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS 4.1.Introduccin Elestudiodelasfuerzasejercidassobrecuerposrgidosconsisteen reemplazar un sistema de fuerzas dado, por un sistema equivalente ms simple. 4.2.Fuerzas Externas e Internas Las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido pueden dividirse en: fuerzas externas y fuerzas internas. 4.2.1. Fuerzas Externas Representanlaaccinqueejercenotroscuerpossobreelcuerporgido bajoconsideracin.Estasfuerzascausanqueelcuerposemuevaopermanezca en reposo. 4.2.2. Fuerzas Internas Son aquellas que mantienen unidas las partculas que conforman el cuerpo rgido. Para entender mejor lo anterior se presenta el siguiente ejemplo: Setieneunboteconruedasavelaque tieneunventiladorcomomecanismode propulsin.Elhechoqueestevehculose desplace, puede ser posible? LarespuestaesNO,yaque,comoel ventiladorestdentrodelbote.Slohaceque elboteseestire.Nohayningunafuerza externaalsistemaquehagaqueel vehculosemueva(slohayun esfuerzo interno). Porotrolado,sielventilador estfueradelbote,stesemover debido a que hay una fuerza externa alsistema(elvientodelventilador) que acta sobre el bote. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 20 4.3.Momento de una fuerza respecto a un punto ConsideremosunafuerzaFqueacta sobreuncuerporgido(Figura4.1). Elefectodelafuerzasobreelcuerporgidotambindependedesupuntode aplicacin A. Definimos como el vector de posicin A como aqul que va desde O a Ha llamado r. El vector posicin r y la fuerza F definen el plano mostrado en lafigura.ElmomentodeFconrespectoaOsedefinecomoelproductocruz entre r y F, esto es: Mo = r x F Figura 4.1: Fuerza que acta sobre un cuerpo rgido Expresando por q el ngulo entre las lneas de accin del vector posicin r y la fuerza F, se puede decir que la magnitud del momento Mo puede escribirse como: ( ) Mo r F sen F d LamagnitudMomidelatendenciadelafuerzaFahacerrotaralcuerpo rgido alrededor de un eje dirigido a lo largo de Mo. Ejemplo 4.1: Una fuerza vertical Pse aplica en el extremo de una palancade 24 cm de largo. Determinar: a)El momento que ejerce P (P = 100 kgf) con respecto a O. b)LafuerzahorizontalaplicadaenAqueoriginaelmismomomentocon respecto a O. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 21 c)LamnimafuerzaaplicadaenAqueoriginaelmismomomentocon respecto a O. d)QutanlejosdeOdebeactuarunafuerzaverticalde240kgfpara producir el mismo momento con respecto a O? Solucin: Parte a) ( ) 24 cos 60 12 cm1200 kgf cmdMo F d Parte b) ( )( )24 60120057.74kgf24 60Mo sen FFsen Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 22 Parte c) 24120050 kgf24Mo FF Parte d) ( )( )240 '1200' 5 cm cos 60240510 cmcos 60Mo dd OBOB Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 23 4.4.Momento de una fuerza respecto a un eje Recordando que el producto escalar entre 2 vectores est dado por: ( ) cosx x y y z zPQ P Q P Q P Q PQ + + Se requiere determinar el momento que ejerce la fuerza F con respecto al eje OL (Figura 4.2). Figura 4.2: Momento de una fuerza con respecto a un eje. Se sabe que: Mo = r x F SenecesitaproyectarelmomentoMoenladireccinunitaria (cosenos directores), es decir: ( ) ( )( )cosOLOLM Mo Mo r FM r F Desarrollando el triple producto escalar, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )x z y y x z z y xr F y F z F z F x F x F y F + + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 24 En forma ms simple este producto puede expresarse como: x y zOLx y zM x y zF F F donde:x, y, z: Cosenos directores del eje OL. x, y, z: Coordenadas del punto de aplicacin de F. Fx, Fy, Fz: Componentes de la fuerza F. ElmomentoMOLdeFconrespectoaOLmidelatendenciadelafuerzaF deimpartirlealcuerporgidounmovimientoderotacinalrededordelejefijo OL. 4.5.Momento de un par de fuerzas SedicequedosfuerzasFyF,quetienenlamisma magnitud,lneasdeaccinparalelasysentidosopuestos, formanunpardefuerzas.Aunquelafuerzaresultantede esteparde fuerzasescero,elmomentoresultantenoloes, ya que estas fuerzas generan un giro. Enunpardefuerzasentresdimensiones(Figura4.3),lasumade momentos con respecto al origen O, de ambas fuerzas, queda definida por: ( )A B A Br F r F r r F + Si se define r = rA rB, entonces el momento que genera el par de fuerzas es: M r F La magnitud del momento est dada por: ( ) M r F sen F d dondedesladistanciaperpendicularentrelaslneasdeaccindeFyF.El sentido de M est definido por la regla de la mano derecha. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 25 Figura 4.3: Momento de un par de fuerzas Tambinseconcluyequedosparesdefuerzas,unoconstituidoporlas fuerzas F1y F1 y el otro, porlas fuerzas F2 y F2,que seencuentran en planos paralelos(oenelmismoplano)ytienenelmismosentido,tendrnmomentos iguales si: 1 1 2 2F d F d UnafuerzaFpuededescomponerseenunafuerzadadaenOyenunpar de fuerzas que generan un momento (Mo = r x F) Tambin se puede hacer lo siguiente: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 26 Luego, Mo = Mo + s x F Estoesanlogosisequierereducirunsistemadefuerzasaunafuerzay un momento. Esto es: El sistema equivalente de fuerzas est definido por las ecuaciones: ( )RR F Mo Mo r F Ejemplo 4.2: Unalosade cimentacincuadrada soportalas4columnas mostradasenlafigura. Determinelamagnitudy elpuntodeaplicacinde laresultantedelas4 cargas. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 27 Solucin Se define la siguiente convencin: R = 40 + 12 + 8 + 20 = 80 tonf Mx = 20*4 + 8*10 + 12*10 = 280 tonf*m My = 20*10 + 8*5 = 240 tonf*m AhorasenecesitaubicarlaresultanteRdemododeeliminarlos momentos Mx y My. Haciendo equivalencia de momentos: 3.5 mx 3 mx R Ry R RM y R yM x R Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 28 Ejemplo 4.3: Un cuerpo homogneo de peso W, altura H y base de largo 2a es empujado por una fuerza horizontal F (como se muestra en la figura). El coeficiente de roce estticoes , determine la condicin para que, al romperse el equilibrio, debido al aumento de F, el cuerpo deslice o vuelque. Solucin: Paraqueelequilibrioserompapordeslizamientoyvolcamiento, respectivamente, debe cumplirse lo siguiente: (Condicindedeslizamiento)(Desliza)ddfr N N WF WF W > (Condicin de Volcamiento)v vWaF H W a FH > > Para que el equilibrio se rompa primero por deslizamiento, entonces: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 29 d vF FaW WHaH< < < Sisecumpleque>a/H,entonceselequilibrioserompepor volcamiento. Ejemplo 4.4: Unalmina depeso Wenformade tringuloequilterodeladoa,puede moverse en un plano vertical estando el vrtice A articulado en un punto fijo. Si enelvrticeCseaplicaunafuerzaverticalhaciaarribademagnitudF, determine el ngulo en la situacin de equilibrio. Solucin: La ubicacin del centro de gravedad del tringulo es: ( )( )602 2 3603 3 3a sen hhd a sen a Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 30 Se tiene lo siguiente: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )10cos cos 030cos cos 30cos 30 cos 30 cos 303cos cos 30 cos 3033 3 13 2 2633AM F a WdF a Wdsen senF a W a sen senF W tgFtgW + + 1 ] 1 + 1 ]1 1 ] Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 31 V.EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS 5.1.Introduccin Enelcaptuloanteriorsemostrquelasfuerzasexternasqueactan sobreuncuerporgidopuedenreducirsesunsistemadefuerzasymomentos equivalentes en un punto arbitrario O. Cuando la fuerza y el momento son iguales a cero, se dice que el cuerpo rgido se encuentra en equilibrio. Lascondicionesnecesariasysuficientesparaelequilibriodeuncuerpo rgido se pueden obtener igualando a cero las resultantes de fuerzas y momentos, esto es: ( ) 0 0 F M r F Separando por componentes: 0 00 00 0x xy yz zF MF MF M Lasecuacionesobtenidassepuedenemplearparadeterminarfuerzas desconocidasqueestnaplicadassobreelcuerporgidooreacciones desconocidasejercidassobresteensuspuntosdeapoyo.Parauncuerpoen equilibrio,elsistemadefuerzasexternasnoleimpartirunmovimiento traslacional o rotacional, es decir, est fijo en el espacio. 5.2.Diagrama de Cuerpo Libre Alresolver unproblema relacionadocon elequilibrio deun cuerporgido, es esencial que se consideren todas las fuerzas que actan sobre ste. Pararealizarunbuendiagramadecuerpolibreesimportantetener presente lo siguiente: a)Todas las fuerzas deben indicarse en el diagrama de cuerpo libre. b)Usualmentelasfuerzasexternasdesconocidasconsistenenlasreacciones atravsdelascualeselsueloyotroscuerposseoponenaunposible movimiento del cuerpo libre. c)Eldiagramadecuerpolibre tambindebeincluirdimensionespuestoque stas se pueden necesitar para el clculo de momentos de fuerzas. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 32 5.3.Reaccionesenlospuntosdeapoyoyconexionesdeunaestructura bidimensional Antesdecomenzarelanlisisesnecesariotenerencuentalostiposde apoyos que existen: 5.3.1. Apoyo fijo Esteapoyopresentaunartula,porestemotivosegeneranreacciones verticales y horizontales. No se generan momentos ya que se permite el giro. 5.3.2. Apoyo deslizante Igualalcasoanteriorperoeldesplazamientoverticalyhorizontalest permitido. Slo hay una reaccin y todas las dems son nulas. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 33 5.3.3. Empotramiento fijo Alestartodoslosdesplazamientosygirosimpedidostodaslasreacciones son distintas de cero. 5.3.4. Empotramiento deslizante Igualqueelcasoanterior,perounodelosdesplazamientosnoest impedido lo que no origina reaccin en ese sentido. 5.4.Equilibrio de un cuerpo rgido en dos dimensiones En el caso bidimensional se tienen las siguientes ecuaciones de equilibrio: 0 0 0x yF F M Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 34 Ejemplo 5.1: Determine las reacciones en los apoyos A y B. Solucin: En el diagrama de cuerpo libre se tiene: Sedibujantodaslasfuerzasqueactanenelcuerpo.Usandolas ecuaciones de equilibrio se tiene: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 35 ( )( )0 0 0 0 0 2 2 01 2 x ax x x x ax x x xy ay by y y y ay by y y yA by x x x y yby y y x x xF R P Q S R P Q SF R R P Q S R R P Q SM R a P Q S a Q a S aR S Q P Q S + + + + + + + + + + ( )1 2ay y y y by y y x x xR P Q S R P Q P Q S + + + + + + Porlogeneralseutilizandosecuacionesdesumadefuerzas(verticaly horizontal)yunademomentos.Larazndeutilizarslounademomentoses debidoaquemsecuacionespodranserlinealmentedependientesdela primera. Enunaestructuratridimensionalsenecesitamsdeunaecuacinde momentos. Enelejemploanteriorhabatresecuacionesytresincgnitas.Cuando estoocurresedicequeelsistemaesestticamentedeterminado.Enelcaso quehayamsincgnitasqueecuacionessedicequeelsistemaes estticamenteindeterminado.Enlaprcticatodaslasestructurasson estticamente indeterminadas, pero ese es tema de otro curso. Lafigura5.1muestraunprticosometidoaunciertoestadodecarga. Puede verse que el sistema tiene 6 incgnitas: Rax, Ray, Ma, Rbx, Rby y Mb. Slo existen tres ecuacionespara resolver este sistema. Sihubiesen tres incgnitas el sistemaseraestticamentedeterminado,porlotantoelsistemaposeetres redundantes (es tres veces estticamente indeterminado). Figura 5.1: Sistema Estticamente Indeterminado Figura 5.2: Estructura impropiamente restringida Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 36 Esimportantesealarqueelhecho queelnmerodeincgnitasseaigual alnmerodeecuacionesnogarantizaqueelcuerpoestcompletamenteen restringidooquelasreaccionesensusapoyossonestticamentedeterminadas (Figura5.2).Unaestructuraestimpropiamenterestringidasiemprequelos apoyos, aunque proporcionen un nmero suficiente de reacciones, estn ubicados deformatalquelasreaccionesseanconcurrentesoparalelas.Lafigura5.3 muestraunaestructuracuyasreaccionesRax,Ray,RbxyRcysonconcurrentes. Esto implica que la estructura puede girar libremente en torno al punto A. Figura 5.3: Reacciones concurrentes 5.5.Estabilidad y grados de indeterminacin Encualquierproblemaquesedebaresolversetienenecuaciones linealmenteindependientes(q)obtenidasdelequilibriodefuerzasymomentos; y reacciones (r) que se quieren determinar. La Esttica facilita tres ecuaciones (q=3) en el caso plano y seis en el caso tridimensional (q=6). Teniendo el cuanta lo anterior se presentan tres casos: a)rq:Laestructuraeshiperesttica.Senecesitanmtodosdeanlisis estructuralpara calcular las reacciones desconocidas. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 37 Figura 5.4: Tres casos de estabilidad en estructuras Ejemplo 5.2: Unagratieneunamasade1000kgyseusaparalevantarunacajade 2400 kg. Determine las reacciones en los apoyos A y B. Solucin: Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la gra se tiene: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 38 0 0 0 1000 240034003.4 0 1.5 1000 2 2400 6 010933.3310.93 -10933.33-10.93 x ax bx ax bxy ay ayA bx bxaxF R R R RF R R kgf tonfM R R kgf tonfR kgf tonf + + Ejemplo 5.3: El marco de la figura sostiene un techo de un pequeo edificio. Este marco est sujeto por medio de un cable que pasa por una polea sin roce. Determine la tensin del cable y las reacciones en los apoyos A y B. Solucin: Secortaelcableyserealizael diagramadecuerpolibredelaparte restante. ( )( ) ( ) ( )653.134.5020 4 1.8 20 3 1.8 20 2 1.820 1.8 cos 6 0100 AtgMTT kgf + + ++ Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 39 0cos 060 04 20 0160 x ax axy ay ayF R T R kgfF R T sen R kgf + Por otro lado, en el apoyo B: 0cos 060 0080 x bx bxy by byF R T R kgfF R T sen R kgf + Ejemplo 5.4: Un peso de 180 kgf se une a una palanca de 21 cm de largo en el punto A. LapalancaAOessostenidapormediodeuntamborcilndricode7.5cmde radio.LaconstantedelresorteesK=45kgf/cmyestenoseencuentra deformadocuando=0.Determineelnguloenelcualelsistemaesten equilibrio. Solucin: Haciendo el diagrama de cuerpo libre se tiene: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 40 Representandopor ladeformacin delresorte apartir dela posicinen que ste no se encuentra deformado y observando que = r, se tiene: F=K=Kr. 20 180 00.67180(85.22 , 0 ) 85.22OM L sen K r rK rsenL 5.6.Equilibrio de un cuerpo rgido en tres dimensiones Para el caso de tres dimensiones deben cumplirse las siguientes ecuaciones de equilibrio: 0 00 00 0x xy yz zF MF MF M Estas ecuaciones se pueden resolver para un mximo de seis incgnitas las cuales,generalmente,representarnreaccionesenlosapoyosoenlas conexiones. Enlamayoradelosproblemas,lasecuacionesescalaresanterioresse obtienendeunaformamsconvenientesiprimeroseexpresanenforma vectorial, ( ) 0 0 F M r F Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 41 yserepresentanlasfuerzasFylosvectoresdeposicinrentrminosde componentes escalares y vectores unitarios. Debetenerseencuentaparaelclculodereaccioneslacantidadde desplazamientosogirosqueestnimpedidos.Esimportanterecordarquecada restriccin (impedimento) genera una reaccin. Ejemplo 5.5: Unaescalerade20kgfdepesoqueseusaparaalcanzarlosestantes superioresenunabibliotecaestapoyadaendosruedasAyB,montadassobre un riel, y un punto C, apoyado en el estante. Un hombre de 80 kgf se para sobre laescalerayseinclinahacialaderecha.Asumaqueelpesodelhombreydela escalera se concentran en la fuerza W. Determine las reacciones en los apoyos A, B y C. Solucin: Primero se debe hacer el diagrama de cuerpo libre de la escalera. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 42 Puntos: ( )( )( )0,0,00;1.2;01.2;0.6;3ABC Fuerzas: ( ) ( ) ( )( )( )( )0;0; 20 0; 0; 80 0;0; 100, 0,, 0,, 0, 0a ax azb bx bzc cxWR R RR R RR R + Equilibrio de Fuerzas: 0000a b cax bx cxaz bzF R R R WR R RR R + + + + + + Equilibrio de Momentos: ( )( )( )( )0, 0, 00;1.2;01.2;0.6;30.6;0.9;0abcwrrrr 00a a b b c c wM r R r R r R r W + + + ( )00 1.2 0 0 1.2 1.2 ;0; 1.20 0a ab b bz bxbx bz bxr Ri j k i jr R R RR R R Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 43 ( )( )1.2 0.6 3 1.2 0.6 0;3 ; 0.60 0 00.6 0.9 0 0.6 0.9 90; 60;00 0 100 0 0c c cx cxcx cxwi j k i jr R R RR Ri j k i jr W Ordenando, ( )1.2 90 75 3 60 20 1.2 0.6 0 10 10 100 100 75 25 bz bzcx cxbx cx bxax bx cxazR R kgfR R kgfR R R kgfR R R kgfR Rbz kgf + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 44 VI.CENTRO DE GRAVEDAD, CENTROIDES Y FUERZAS DISTRIBUIDAS Uncuerpocualquieraentresdimensionesgenerafuerzasentodosu volumen.Hastaahorahemosvistofuerzasqueseaplicanenunpunto.Delo anterior, el tratamiento que se realiza a un cuerpo rgido es aplicar su peso en un punto llamado centro de gravedad. Sedefine,entonces,ejebaricntricodeuncuerpocomolalneade accin de la fuerza gravitacional que acta sobre ese cuerpo. Un punto interesante de ver consiste en que si hay un elemento que posee unplanodesimetra(Figura6.1),necesariamente,elejebaricntricocoincide con la recta que representa al plano. Figura 6.1: Elemento con un plano de simetra Unaplancha (Figura 6.2), por ejemplo, tiene dos ejes baricntricos ya que tiene dos planos de simetra. Figura 6.2: Plancha que posee dos planos de simetra Lafigura 6.3 muestra que el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de interseccin de todos los ejes baricntricos del cuerpo. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 45 Figura 6.3: Interseccin de ejes baricntricos Laubicacindelcentrodegravedadenelespacioseleconocecomo centroide. 6.1.Centro de Gravedad en Coordenadas Cartesianas Parauncuerpohomogneo,existeunpunto( ) , , x yz quecoincideconel centrodegravedaddelcuerpo,conocidocomocentroide.Estepuntosepuede determinar como (Figura 6.4): 111dV dx dy dzV dx dy dzx x dVVy y dVVz z dVV Figura 6.4: Elemento diferencial de un cuerpo cualquiera Ejemplo 6.1: Determine el centro de gravedad de un cono Solucin: Se muestra un cono formado por elementos infinitesimales. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 46 El diferencial de volumen est dado por: ( )( ) ( )( )22 2dV r x dxr x x tgdV tg x dx El volumen del cono es: ( )( )22 2 303h tgV tg x dx h Reemplazando, ( )( )2 22 301 3 34hx x dV x tg x dx hV tg h 6.2.Centroides de rea en Coordenadas Polares Figura 6.5: Elemento diferencial bidimensional en coordenadas polares Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 47 Lafigura6.5muestraunelementodiferencialplanoencoordenadas polares.Elreadeesteelementoes:dA=(dr)*(r*d)=r*dr*d.Delafigurase desprende que: x = r*cos e y = r*sen. Acontinuacinsemuestralaformaenquesedeterminaelcentroidede unelementosemicircular deradioa paraelcualresultaconvenienteusarlas coordenadaspolares. Se sabe, por simetra, que: 0 x El rea del elemento es: 20 02aA r dr d a _ , Luego, el centroide est dado por: ( )( )0 021 1 432a ay y dA r sen r dr dAa 6.3.Cuerpos Compuestos Uncuerpocompuestoconstadevariaspartescuyospesosycentrosde gravedad se conocen. La figura 6.6 muestra un cuerpo compuesto en que los centros de gravedad de las partes que lo componen son conocidos. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 48 Figura 6.6: Cuerpo cuyos componentes tienen centroides conocidos Hastaahorasehavistolaformaenquesedeterminaelcentroideen elementos continuos, la analoga para elementos discretos es la siguiente: 1 1 2 21 1 21 1 2 21 1 21 1 2 21 1 21 ......1 ......1 ......nn ni ii nnn ni ii nnn ni ii nx V x V x Vx x VV V V Vy V y V y Vy y VV V V Vz V z V z Vz z VV V V V + + + + + + + + + + + + + + + + + + Para el caso de la figura 6.6 se tiene que n = 6. Ejemplo 6.2: Determine la ubicacin del centroide de la siguiente figura Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 49 La figura anterior se puede descomponer de la siguiente forma: 21 1 122 2 223 3 324 4 41221.5 10.50.5 12.52.5 451 A m x m y mA m x m y mA m x m y mA m x m y m Reemplazando en la frmula: 12 2 1 0.5 1 2.5 4 52.928 12 1 1 412 1.5 1 0.5 1 2.5 4 11.357 12 1 1 4x my m + + + + 6.4.Teorema de Pappus-Guldinus 6.4.1. Teorema de Pappus-Guldinus para las reas de superficies Si un arco C de una curva que se encuentra en un plano gira cubriendo un ngulo (con entre 0 y 2) alrededor de un eje que tambin se encuentre en el plano y que no se intersecte con el arco C, el rea de la superficie generada por ese arcoC al girar cubriendoel ngulo esigual ala longitud de Cmultiplicada porlalongituddelatrayectoriarecorridaporelcentroidedeCdurantela rotacin . Considerandoladefinicinanterior,silalongituddelarcoesLyesla distancia deleje derotacin al centroidede esearco, el reaS dela superficie generadaporesteltimoalgirarcubriendoelnguloalrededordelejede rotacin es: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 50 S L ParademostrarelteoremasedefineunacuerdadelargoLquegiracon respecto al eje x (Figura 6.7) Figura 6.7: Cuerda de largo L que gira alrededor del eje x La superficie que se obtiene al girar la cuerda est dada por: 1 B BA AB BA AS y ds y dsy y ds y L y dsL Luego, S L y L 6.4.1. Teorema de Pappus-Guldinus para volmenes Siun reaAque seencuentra enunplano sehacegirar describiendoun ngulo (con entre 0 y 2) alrededor de un eje que tambin se encuentre en el planoyquenoseintersecteconelreaA,elvolumendelslidogeneradopor esareaAalgirarcubriendoelnguloesigualalreaAmultiplicadaporla longituddelatrayectoriarecorridaporelcentroidedelreaAdurantela rotacin . Considerando la definicin anterior, si es la distancia del eje de rotacin alcentroidedeesarea,elvolumenVdelslidogeneradoporesteltimoal girar cubriendo el ngulo alrededor del eje de rotacin es: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 51 V A ParademostrarelteoremasedefineunreaAquegiraconrespectoal eje x (Figura 6.8) Figura 6.8: rea A girada en torno al eje x El volumen que se obtiene al girar el rea A est dada por: 1 b ba ab b ba a aV y Ldy y Ldyy y dA y A y dA y LdyA Luego, V Ay A Ejemplo 6.3: Determine el volumen de un cono slido de altura a y radio basal b. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 52 Solucin: Se haba visto que el volumen de un cono de altura h es: ( )( )23233tgV hbtgah aabV El centroide del tringulo y su rea son: 1 3 2by A ab Aplicando Pappus: 2123 2 3b abV y A ab 6.5.Resultantes de fuerzas paralelas distribuidas Conlovistoanteriormentesepuededecirquesepuedehallarla resultanteylalneadeaccindeunafuerzadistribuidasobreunalneapor analoga conel centroidedeun rea plana (Figura 6.9). Tambin sepuede decir quesepuedehallarlaresultanteylalneadeaccindeunafuerzadistribuida sobre un rea plana por analoga con el centroide de un volumen. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 53 Figura 6.9: Fuerza distribuida sobre una lnea y un rea plana Enalgunoscasossepuedendeterminarlosefectosdeunafuerza distribuidaalreemplazarlaporsuresultante.Porejemplo,lafuerzaresultante tieneelmismoefectosobreelequilibrio(oelmovimiento)deuncuerporgido comoeldelafuerzadistribuida;enestecaso,losdossistemasdefuerzasson equivalentes. 6.5.1. Fuerzas Distribuidas sobre un segmento rectilneo Supongaunacargadistribuidaq(x)(fuerzaporunidaddelongitud)que actasobreunabarrarecta(Figura6.10).Considerandounelemento infinitesimal dx de la carga, a una distancia x del punto A. Se puede considerar la fuerzainfinitesimalcorrespondienteaq(x)dx,comounafuerzapuntualque acta en x. Figura 6.10: Carga distribuida que acta sobre una barra recta De esta forma, la resultante de la fuerza distribuida q(x) queda dada por: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 54 ( )0LR q x dx Para determinar la lnea de accin de R, su ubicacin,se debedeterminar elmomentoqueejercelacargadistribuidasobreelpuntoA.Elmomentoque ejercelacargaq(x)dxsobreelpuntoAesx*q(x)dx,porlotantoelmomento resultante es: ( )0LM x q x dx Si sedivide el momentoM por laresultante Rseobtendrlaubicacin de la lnea de accin: ( )01 L Mx x q x dxR R Puede verse que: ( )( ) 22 3Lq x cte xq x x x L 6.5.2. Carga Distribuida sobre un rea plana Considereunacargadistribuidaq(x,y)queactasobreunreaplanaA (Figura 6.11) Figura 6.11: Carga distribuida sobre un rea plana Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 55 Si se selecciona un rea infinitesimal dA = dxdy en el rea A, la resultante delacargadistribuidaasociadaaesareainfinitesimalesq(x,y)dxdy.La resultante R de la carga distribuida sobre el rea A est dada por: ( ) ,AR q xy dx dy Delmismomodo,losmomentosMxyMydelacargadistribuidaq(x,y), respecto a los ejes x e y, respectivamente, quedan dados por: ( )( ),,xAyAM y q xy dx dyM x q xy dx dy De esta forma, la ubicacin de la lnea de accin es: ( )( )1,1,yAxAMx x q xy dx dyR RMy y q xy dx dyR R Ejemplo 6.4: Unavigasimplementeapoyadasesometeaunacargadistribuidaq(x) definida por la ecuacin Kxn. a)Determinelamagnitudylalneadeaccindelaresultantedelacarga q(x). b)Para n=1 determine las reacciones en los apoyos de la viga. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 56 Solucin: Parte a) La fuerza sobre un elemento de longitud dx es: ( )ndR q x dx k xdx Por lo que la fuerza total sobre la viga se obtiene integrando lo siguiente: 101nLnLR k xdx kn+ + PuedeversequeelmomentodelafuerzadRconrespectoax=0es x*q(x)dx. Luego, el momento de la carga distribuida con respecto a x=0 es: 202nLnLM x k x dx kn+ + Para obtenerla ubicacin dela lnea de accinse procede dela siguiente forma: 211221nnLkM nnx LL R nkn++++ ++ Parte b) Para n=1 se tiene q(x)=kx 1 121 1 21 1 21 2 3L kF k Lx L L+ ++ + Haciendo equilibrio: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 57 22220 20020 2 3 3 6y ay byx axA bybyaykF R R LF RkM R L L LkR LkR L + Ejemplo 6.5: UnrearectangularAsesometeaunacargauniformementedistribuida q(x,y).DeterminelamagnitudRdelaresultanteylalneadeaccindela misma. Solucin: Yaquelacargadistribuidaesconstanteelvalordelaresultanteylos momentos es: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 58 0 020 020 01212a ba bxa byR q dxdy abqM q y dxdy ab qM q x dxdy a bq ParaobtenerlaubicacindelalneadeaccindeRsedeberealizarlo siguiente: 2212 212 2yxMa bq axR abqM ab q byR abq Ejemplo 6.6: Determinelasreaccionesenlosapoyosdelaestructuramostradaenla figura. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 59 Solucin: Primeroseprocede coneldiagramade cuerpolibreenel cualsecolocan las fuerzas equivalentes de las cargas distribuidas. Haciendo equilibrio: 0900 600 300 0800 4000 900 2 - 600 8 400 6 8 0675 525 y ayx ax cxA cxaxcxF R kgfF R RM RR kgfR kgf + + + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 60 VII.RETICULADOS Un reticulado es un montaje de elementos delgados y rectos que soportan cargasprincipalmenteaxiales(traccinocompresin)enesoselementos.La disposicindeestoselementoshaceunsistemaeficienteparasoportarcargas. Un reticulado puede soportar fuertes cargas en comparacin a su peso. A continuacin se muestran algunos tipos de reticulados (Figura 7.1) Figura 7.1: Tipos de reticulados Losreticuladosmostradosenlafigura7.1sedenominanreticulados planos,porquetodossuselementosytodaslascargasseencuentranenel mismo plano. Losmaterialesusadosenlosreticuladospuedensermadera,aceroo aluminio, entre otros. Debido a que el principio fundamental de los reticulados es el de soportar cargasaxiales(endireccinlongitudinal)enloselementosquelaconforman,se deben considerar algunas hiptesis para facilitar su anlisis: a)Todos los elementos de un reticulado son rectos. b)Losnudosenlosextremosdeloselementossepuedenrepresentarpor medio de puntos. c)Todos los nudos son rtulas (sin roce). d)Aunreticuladosloselepuedenaplicarcargasconcentradas,ystasse aplican en los nudos. Sisetienendosbarras(Figura7.2)(AyB)alascualesseleaplicauna carga de traccin F. Al separarlas se generan fuerzas Fab y Fba. Como el sistema est en equilibrio, necesariamente Fab + Fba = 0 (equilibrio en el nudo a). Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 61 Figura 7.2: Dos barras sometidas a una carga de traccin 7.1.Estabilidad y Determinacin Esttica Enlafigura7.3puedeversequeelreticuladoesestable,esdecir,no cambia su configuracin bajo la accin de la fuerza Figura 7.3: Reticulazo simple sometido a una carga horizontal En contraste con elcaso anterior, elreticulado mostradoen lafigura 7.4, formadoporcuatroelementos,noesestableyaqueestesistemasufreun cambiodeconfiguracin.Suselementossufrenunagrandeformacin.En consecuencia,sedicequeelsistemaconstituyeunreticuladoinestable.De modo ms general,cualquier sistema de cuatro o mselementos conectados por barras, que forman un polgono, no es estable. Figura 7.4: Reticulado Inestable Un reticulado formado por elementos triangulares se denomina reticulado simple (Figura 7.5 (a) y (b)). Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 62 Figura 7.5: Dos ejemplos de reticulados simples Cada uno de estos reticulados satisface la ecuacin: 2 m r j + m: Nmero de elementos r: Nmero de reacciones en los apoyos j: Nmero de nudos Reemplazando los valores correspondientes a los ejemplos de la figura 7.5: ( ) ( )( ) ( ): 5; 3; 45 3 2 4: 13; 3; 813 3 2 8a m r jb m r j + + Enelcasoquem+r>2jentonceselreticuladoesestticamente indeterminado. Por otro lado, si m + r < 2j, el reticulado es inestable (mecanismo). 7.2.Mtodos de Anlisis de Reticulados Elanlisisdeunreticuladoconsisteencalcularlasfuerzasenlos elementos, y las reacciones que surgen en los nudos y apoyos. Losmtodosqueseutilizanpararesolverestasestructurasson:mtodos de los nudos y mtodo de las secciones. 7.2.1. Mtodo de los nudos Elmtododelosnudosesunmtododeanlisisdeunreticulado estticamentedeterminadoalescribiryresolverlasecuacionesdeequilibrio para los nudos del reticulado. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 63 En este mtodo, se dibujan los diagramas de cuerpo libre de los nudos del reticuladoyseescribenlasecuacionesdeequilibrioparacadaunodeestos nudos. Para la resolucin de las ecuaciones es preferible colocar las fuerzas de los elementos(barras)saliendodelnudo.Esto asumequelabarraestentraccin. Sialresolverelsistemadeecuacionesresultaalgunafuerzadealgunabarra negativa, significa que esa barra se encuentra en compresin. Ejemplo 7.1: Determinelosesfuerzosencadaunadelasbarrasdelreticuladodela figura. Indique si estos esfuerzos son de traccin o compresin. Solucin: Enelmtododelosnudossedebenusardosecuacionesdeequilibrio: suma de fuerzas verticales y horizontales. Nudo A Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 64 ( )( )0cos 0030 03037.5 22.5 x ac aby ababacF T TF T senT kgf traccinsenT kgf compresin Nudo C ( )0 22.5 00x cd accdy bcF T TT kgf compresinF T Nudo B 0cos cos0.6 37.5 0.6x eb bd abeb bdF T T TT T + + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 65 ( )( )00 37.5 45 y bd abbd abbdebF T sen T senT TT kgf compresinT kgf traccin + Nudo E 00R 45 00x eb exexy deF T RkgfF T + Nudo D 0cos 0R 45 00R 30 x bd cd dxdxy bd de dydyF T T RkgfF T sen T Rkgf + + + + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 66 Ejemplo 7.2: Determinelosesfuerzosencadaunadelasbarrasdelreticuladodela figura. Indique si estos esfuerzos son de traccin o compresin. Solucin Primerose debendeterminarlasreacciones enlosapoyos.Para ellodebe realizarse el diagrama de cuerpo libre del reticulado completo. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 67 ( ) 012 3 200 12 24200 000400 200 A fyfyx axy ay fyayM RR kgfF RF R R kgfR kgf + + Nudo A ( )2 10 50.857cos 0.514512 30cos 00 0por simetra00 x acacdfy ay ab actg senF TT kgfT kgfF R T T sen + + ( )( )200compresin200por simetraabefT kgfT kgf Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 68 Nudo B ( )1022.622 121039.8120cos cos 00 624.82compresin520 x bc bdy bc bd abbc debd cetgtgF T TF T sen T sen TT T kgfT T kgf + + ( ) traccin Nudo C ( )0cos cos0 200 0960compresinx bc ce cdy bc cecdF T T TF T sen T senT kgf + + + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 69 7.2.2. Mtodo de las secciones Elmtododelasseccionesparaelanlisisdereticuladossebasaenel equilibrio de cuerpo rgido de una parte del reticulado. Si un reticulado completo est en equilibrio, bajo la accin de un conjunto defuerzascoplanares,cualquierpartedelmismotambindebeestaren equilibrio. As, se puede cortar elreticuladoen2o mspartes,cadaunadelas cuales es un cuerpo rgido en equilibrio. Ejemplo 7.3: DeterminelasfuerzasenloselementosAB,BCyCDdelreticuladodela figura. Indique si estas fuerzas son de traccin o compresin. SecortanlasbarrasCD,BCyABconsiderandoelsegmentoderechodel reticulado, esto es: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 70 Haciendo equilibrio en esta parte del reticulado: ( )01.2 30 0.9 022.5compresin00.9 00 B cdcdA bccdM TT kgfM TT kgf + ParadeterminarTABsepuedeobtenerapartirdeequilibriodefuerzas verticales u horizontales. ( )( )0cos 037.5traccin03037.5traccinx cd ababy ababF T TT kgfF T senT kgf + Ejemplo 7.4: Determine las fuerzas en los elementos BD, BE, BC, CE y DE del reticulado de la figura. Indique si estos esfuerzos son de traccin o compresin. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 71 Solucin: Primero se deben determinar las reacciones en los apoyos. 04 10 200 10 400 20250 000200 400350 A hyhyx axy ay hyayM RR kgfF RF R RR kgf + + + Luego, se escoge una parte segmento del reticulado y se hace equilibrio de cuerpo rgido. ( )( )012 400 10 250 3 10291.667traccin012 250 2 10 0416.667compresin0250 400B ceceE bdbdy beM TT kgfM TT kgfF T sen + + + ( )50.194195.256traccinbeT kgf Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 72 Para determinar TBC se puede hacer el siguiente corte (barras AC, BC, BE y BD): 012 350 10 2 200 10 100 E bd bcbcM T TT kgf + + ParadeterminarlatensinenlabarraDEesmssimplehacerequilibrio en el nudo D. ( )0400 0400compresiny dedeF TT kgf + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 73 7.3.Reticulados Compuestos y Complejos Conoyasemencion,unreticuladosimpleesaquelquesepuedearmar agregandosucesivamentedoselementosnocolinealesaunelementotriangular inicial. A medida que se agrega cada pareja de elementos se agrega otro nudo. Unreticuladocompuestoestformadopordosomsreticuladossimples unidos entre s por uno o ms nudos comunes o por elementos adicionales. A continuacin se muestran dos reticulados compuestos (Figura 7.6). Figura 7.6: Ejemplos de reticulados compuestos En lafigura 7.6(a), dosreticulados simples estn unidos en el nudo comn A.Enlafigura7.6(b),dosreticuladossimplesestnunidosentresportres elementosadicionales.Losreticuladossimplessemuestrancomoreas sombreadas. Figura 7.7: Ejemplos de reticulados complejos Lasconfiguracionesdereticuladosquenosepuedenclasificarcomo simplesocompuestosseconocencomoreticuladoscomplejos.Engeneral,un reticuladocomplejopuedeestarcompuestoporcualquiercombinacinde elementostriangulares,cuadradosypoligonales.Enlafigura7.7sepresentan Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 74 dostiposdereticuladoscomplejos.Esnecesariotenerenpresentequeambos casos son reticulados estticamente determinados y estables. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 75 VIII.ESFUERZOS INTERNOS EN VIGAS Una viga es un elemento estructural, recto o curvo, apoyado en uno o ms puntos en todo su largo. Las vigas se usan mucho en estructuras como edificios y puentes.Generalmente,lasvigassesometenacargasdirigidas perpendicularmente a sus ejes longitudinales. Se someten a cargas concentradas, momentos y fuerzas distribuidas. Algunos tipos de vigas se muestran en la figura 8.1. Figura 8.1: Tipos de vigas: (a) viga en voladizo; (b) viga simplemente apoyada Ejemplo 8.1: Determine las reacciones en los apoyos de la viga mostrada en la figura. Solucin: 02 4 10 2 20 4 35 10 1029.375 010 20 1010.625 00A bybyy ay byayx axM RR kgfF R RR kgfF R + + + + + + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 76 8.1. Esfuerzo de Corte y Momento Flector en Vigas El esfuerzo de corte y el momento flector son fuerzas internas en las vigas. Son causados por cargas transversales y momentos exteriores. La viga en voladizo mostrada en la figura 8.2tiene una deformacin en el extremo libre debido a flexin y a esfuerzo de corte. Figura 8.2: Deformacin por flexin y esfuerzo de corte en una viga en voladizo Paracalculaslasreaccionesenlosapoyosdeunavigasedebehacer diagramadecuerpolibredetodalavigayaplicarecuacionesdeequilibrio.En anlisis de fuerzas internas (o esfuerzos internos), tambin se usan diagramas de cuerpo libre, pero en partes de una viga. Lafigura8.2muestraunavigasometidaaunestadodecarga determinado, se muestran adems los valores de las reacciones en los apoyos. Se quieren determinar las fuerzas que existen en la seccin a-a. Figura 8.2: Viga sometida a un estado de carga Primero,seseparalavigaendospartes,cortndolaenlaseccina-aa una distancia x del apoyo izquierdo (Figura 8.3). Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 77 Figura 8.3: Viga cortada en la seccin a-a. Para que cada una de las partes est en equilibrio es necesario que existan una fuerza V (esfuerzo de corte) y un momento flector M. Eneldiagramadecuerpolibredelaparteaislada,VyMseconsideran comofuerzasexternas.Sinembargo,paralavigacomountodo,sonesfuerzos internos en la seccin a-a. Al hacer equilibrio en la parte izquierda de la viga se tiene: ( )0 150 10050 0150 100 250 200ya aF VV kgfM M x xM x + + Cabesealarqueestosvaloressonvlidospara2mx4m.Ahora, considerando el otro lado de la viga se tiene: ( ) ( ) ( )0200 100 - 25050 0250 8 200 4 100 8 250 200ya aF VV kgfM M x x xM x + + + Puede verse que tanto V como M son iguales independientemente del lado de la viga que se tome. Esto es debido a que en la seccina-a,necesariamente, los esfuerzos internos deben estar en equilibrio. Tomandodistintasseccionesa-a,alolargodelaviga,sepueden determinarlosdiagramasdeesfuerzodecorteymomentoflectordetodala viga. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 78 Parapoderdeterminarlosdiagramasesnecesariodefinirunaconvencin de signos. Figura 8.4: Viga simplemente apoyada con una carga central aplicada (deformacin por flexin) Lafigura8.4muestraunavigasimplementeapoyadaconunacarga concentradaaplicadaenelcentrodelaviga.Lalneapunteadarepresentala deformadadelavigaporflexin.Sisetomaunelementodeesadeformada puedeverseque,paraelcasodelmomentoflector,laparteinferioresten traccin(fibratraccionada)ylapartesuperior,encompresin(fibra comprimida). Como convencin de momentos flectores se supone que es positivo cuando lafibra traccionadase encuentraen elinferior dela viga (figura 8.5). El diagrama de momentos siempre se dibuja para el lado de la fibra traccionada, ya que es para ese lado donde se va a deformar la viga. Figura 8.5: Convencin para momento positivo Igual al caso anterior, la figura 8.6 muestra una viga simplemente apoyada con una carga concentrada aplicada en el centro de la viga. En este caso, la lnea punteada representa la deformada de la viga por esfuerzo de corte. Figura 8.6: Viga simplemente apoyada con una carga central aplicada (deformacin por corte) Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 79 Se asume que el corte es positivo cuando se cumple que > 0 (Figura 8.7). Figura 8.7: Convencin para esfuerzo de corte positivo Siguiendoconelejemploanterior,paradeterminareldiagramade esfuerzos internos de toda la viga, se procede con la seccin a-a ubicada en 0 x 2 m. 0 m x 2 m ( )( )0150 0150ya aF V x kgfM Mx x 2m x 4 m Ya se ha calculado. 4m x 8 m ( ) 0150 100 200 150 yF V x kgf Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 80 ( ) ( ) ( )( )0150 100 2 200 4150 1000a aM Mx x x xMx x + 8 m x 10 m ( )( ) ( )( )0100 0100 10100 1000ya aF V x kgfM Mx xMx x Luego, el diagrama de esfuerzos internos es: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 81 Ejemplo 8.1: Determine los diagramas de esfuerzos internos de carga axial (N), esfuerzo de corte (V) y momento flector (M) de la estructura de la figura. Solucin: Primero se determinan las reacciones en los apoyos: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 82 0 2 220 2A cycyy ay cyayaxL LM R L P P PLR PF R P RR PR P + + Ahora es necesario analizar las secciones por tramos: 0 y L/2 ( )( )( )020 02xya aF V y PF N y PM My P y 0 y L/2 ( )( )( )( )020 022 2xya aF V y P P PF N y PLM My P y P yPLMy P y _ , + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 83 0 x L/2 ( )( )( )( )0 020221.5yxa aF V x PF Nx P P PPLM Mx PL PxMx PL Px L/2 x L ( )( )0202yxF V x P P PF Nx P P P Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 84 ( )( )022 22 2a aPL LM Mx PL Px P xMx PL Px _ , Finalmente, los diagramas de esfuerzos internos son: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 85 Ejemplo 8.2: Determineeldiagramadeesfuerzosinternosdelaestructuradelafigura sometida a una carga distribuida constante q. Solucin: Las reacciones de la viga en los apoyos son: Puedeversequeparalosdiagramasdeesfuerzosinternosnoexistecarga axial (N = 0). Luego, ( )( )( )20 20 2 2 2 2ya aqLF V x q xqL xM Mx x q xqL xMx x q Puede verse que: ( )22 2qL xMx x q Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 86 ( )( )( )( )( )2 dMx qLq x V xdxdMxV xdxdV xqdx Finalmente los diagramas resultantes son: Puedeversequecuandoelmomentoflectoresmximo,elesfuerzode corte es cero. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 87 Ejemplo 8.3: Determinelosdiagramasdeesfuerzosinternos(momentoflectory esfuerzo de corte) de la estructura de la figura. Solucin: Primero deben determinarse las reacciones. ( ) ( )00206 120 2 0.5 36 4 4 18 4 63144 36 40120 18 42120 x axA bybyy ay byayF RM RR kgfF R RR kgf + + + + + Cortando la viga se tiene: 0 m x 2 m ( )( )( )( )23901202120 4.50120 92 3120 1.5ya ax xF V xV x xx xM Mx x xMx x x + Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 88 2 m x 4 m ( )( )( ) ( )( )2390120 12024.50120 9 120 22 3240 1.5ya ax xF V xV x xx xM Mx x x xMx x 4 m x 6 m ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )2018 8 1441880144 8 2 18 82288 9ya aF V x xV x xxM Mx x xMx x Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 89 6 m x 8 m ( ) ( )( )( ) ( )( )( )2018 8144 188018 82576 144 9ya aF V x xV x xxM Mx xMx x x + Finalmente los diagramas de esfuerzos internos son: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 90 IX.PRINCIPIOS DEL TRABAJO Comotrabajosedefinealproductoentrelafuerzayladistancia.Esuna cantidadescalar. Figura 9.1: Fuerza aplicada sobre una cuerda Si se tiene una cuerda en la cual existe una fuerza F aplicada (Figura 9.1), el trabajo que realiza la fuerza al trasladarse por la cuerda est dado por: costtC CdU F dsU F ds F ds Setieneunresortedelargonaturallo(Figura9.2)(elresortenoejerce fuerza). Sise deformauna distancia xentonces la fuerzaque debehacerse para deformarloesadistanciaesF=K*x(dondekeslaconstantedelresorte,aunk mayor, mayor deber ser la fuerza que debe aplicarse al resorte para deformarlo una distancia x) Figura 9.2: Fuerza aplicada a un resorte Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 91 El trabajo realizado al estirar el resorte una distancia x est dado por: 20 012x xFU F dx k x dx k x Alamagnitud0.5k*x2tambinseleconocecomoenergaelstica almacenada en el resorte. Ejemplo 9.1: Calculareltrabajoquehaceunafuerzacuandosetrasladaenunalnea recta de 3 m de largo. Solucin: ( )( )( )3 30 03cos 30213022 3 3 1 32 3 32 2 23 33 3 3 9.7 2 2dx ds dsdy ds sen dsFx kgf Fy kgfdU Fx dx Fy dy ds ds dsU dU ds J Joule _ + + + , _ _ + + , , Lafuerzadegravedadrealizauntrabajopositivocuandouncuerpo desciende una distancia determinada. El valor del trabajo es el producto entre el pesodel cuerpoyladistancia que desciende. Si elcuerpoasciende,entoncesla Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 92 fuerzadegravedadrealizauntrabajo negativo.Eltrabajoespositivocuandoel desplazamiento va en la misma direccin que la fuerza que lo produce. Los momentostambin realizantrabajo. Eltrabajo sobreun cuerpode un momentoesigualalproductoentreelmomentoyladeformacinangularque experimenta. Esto es: 21U Md 9.1.Principio del Trabajo Virtual El trabajo virtual de una fuerza real es el trabajo efectuado por esa fuerza durante un desplazamiento virtual (imaginario). Undesplazamientovirtualesundesplazamientoimaginarioynoocurre, necesariamente,como unmovimientoreal delsistema. Eltrabajode lasfuerzas realesqueactanduranteundesplazamientodeestetiposellamatrabajo virtual.Duranteundesplazamientovirtualseconsideraquelasfuerzasreales permanecenconstantes. Figura 9.3: Trabajo virtual en una balanza Unabalanzaproporcionaunaaplicacinprcticamssignificativadel principiodeltrabajovirtual.Sise hacegirarunabalanza horizontal(Figura9.3) de modo que describa un ngulo virtual , eltrabajo que realizan lospesos, en cada extremo de la balanza, es: 2 1U W b W a Puedeversequeelsistemaest enequilibriosisecumpleque U=0ya que W2b = W1a. 2 1W b W a Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 93 Loquemuestralafigura9.4sellamaBalanzadeRoberval.Enmuchos aspectosestabalanzaesdistintaalaanterior.SielpesoW2desciendeuna distancia s, el peso W1 asciendeesamismadistancia s. Por lo tanto el trabajo virtual efectuado por el sistema es: 2 1U W s W s Figura 9.4: Balanza de Roberval Puedeverseque UsehaceceroparaW2 =W1,estaes unacondicinde equilibrio,esdecir,pesosigualescolocadosenlabalanzadeRobervalestnen equilibrio sin importar sus ubicaciones b y c en las barras horizontales. Ejemplo 9.2: DeterminelareaccindelapoyoBusandoelmtododelostrabajos virtuales. Solucin: Para resolver este problema se quita el apoyo B y se rota la viga un ngulo con respecto al punto A. Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 94 4004 4bybybyLU P R LLU P R LPR + + Ejemplo 9.3: Determine el valor de x para que el valor de P no dependa de la ubicacin del bloque de peso W (que sea independiente del valor de s). Solucin: Sise deformala barraAC unngulo afavorde lasmanecillasdelreloj se obtienen los siguientes desplazamientos 2 33 3 /A B CD E Fx Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 95 3 3 1FFx x Grficamente se tiene: El ascenso del peso W es: ( )3 3 D FW FWLsx L x + _ + , El trabajo virtual de las fuerzas P y W es: 3 323 32 1A WU P WsP Wx L xW WsPx L x _ _ + , , 1 _ 1 , ] Para el equilibrio se debe cumplir que U = 0. 3 32 1 0W WsPx L x _ , ParaqueelvalordePnodependadelaubicacindeWdebecumplirse que: Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 96 31 03x mx _ , Luego, despejando P se tiene: 32 0 2W WP Px Ejemplo 9.4: Determineelvalordelmomentoflectorenunaseccinubicadaenla mitad de la viga utilizando el mtodo de los trabajos virtuales. Solucin: Paradeterminarelmomentoflectorenlamitaddelaviga,debe quebrarsestahaciendoquesolamentehagatrabajoelmomentoylafuerzaP conocida. Es importantetener presenteque lafuerza externarealiza untrabajo externo y el momento, por ser un esfuerzo interno, realiza un trabajo interno. En este caso debe cumplirse que el trabajo interno es igual al trabajo externo. En el ejemplo 9.2 el trabajo interno era cero, por eso se tena U = 0 (UE=UI=0). 22EILU PU M Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 97 22 4E ILU U P MPLM Ejemplo 9.5 Determine el valor de la fuerza P para que el sistema est en equilibrio. Solucin: Se rota el sistema en un ngulo virtual . Luego queda: ( )( )2 1.5 40021.7891.5 40EIE IU W P senUWU U P Wsen Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 98 Ejemplo 9.6 Determineel valordel esfuerzodecorte enla seccina-a,ubicado auna distancia x=6 m del punto A. Considere q = 5 kgf/m. Solucin: Utilizando para el corte la siguiente convencin: Cortandoenlaseccina-aydesplazando,paraqueslohagatrabajoel esfuerzo de corte (trabajo interno). 5 2 2 202V 10 EIE IUU VU U kgf Esttica Apuntes del curso (Profesor Mario Glvez H.) 99 Ejemplo 9.7: Usando el mtodo de los trabajos virtuales, determine la reaccin vertical del apoyo B. Solucin: Primerosecalculanlascargasresultantesapartirdelascargas distribuidas. Desplazando el apoyo B en 1 se tiene: by1 4 48 1 3 2 4.5 1 13 9 90R 3.333 E byIE IU RUU U kgf + +