i

Estadística I

1. Definición

Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones y aplicar los correctivos en caso fuera necesario.

5.1. Frecuencia Absoluta Simple (f

1)

También llamado simplemente frecuencia, es el número de veces que aparece repetido el valor: "x

i".

Se cumple:

f1 + f2 + f3 + ....... + fk = n

2. Población

Es un conjunto de elementos con una característica

en notación sigma:

k f n

común. Por ejemplo: Todos los alumnos matriculados

en el Colegio. 3. Muestra

Es una parte o subconjunto de la población. Generalmente se elige en forma aleatoria (al azar). Por ejemplo: una muestra de 40 alumnos del Colegio TRILCE elegidos al azar.

4. Variable estadística

Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en:

A. Cualitativa: Son variables cuyos valores son

cualidades que representa la población. Por ejemplo: la v ar ia bl e "p ro fe si ón " pu ed e ad op ta r la s modalidades: Ingeniero, Médico, Profesor, etc.

B. Cuantitativa: Son variables que pueden ser

expresadas mediante números. Por ejemplo: número de alumnos matriculados, estatura, peso, edad, etc.

i 1 i

5.2. Frecuencia Acumulada (Fi)

Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias absolutas simples. Así tenemos:

5.3. Frecuencia Relativa Simple (h

i)

Es el cociente de la frecuencia absoluta simple y el número total de datos. Sus valores son números reales que oscilan entre 0 y 1. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1.

Las variables cuantitativas pueden ser a su vez:

B.1. Discretas

Cuando toma valores enteros. Por ejemplo:

h fi n

0 hi 1

número de alumnos, número de colegios en

el distrito de Miraflores, etc.

B.2. Continuas Cuando puede tomar cualquier valor numérico,

enteros o decimales. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo, etc.

5. Distribución de frecuencias

Consideramos una muestra de tamaño "n" (número de elementos de la muestra) y la variable estadística "x" que puede tomar "k" valores diferentes:

x1, x

2, x

3, ......., x

k.

5.4. Frecuencia Relativa Acumulada (Hi)

Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas simples.

Así tenemos:

Nota: Las frecuencias relativas también se pueden expresar

en forma porcentual.

x i f

i F

i h

i H

i h

i % H

i %

2002 160

2003 360

2004 500

2005 300

100 %

n =

6. Representación de datos

Los datos pueden ser representados por:

6.1. Tablas estadísticas

Es un arreglo de filas y columnas en los cuales se encuentran distribuidos los datos.

Ejemplo 1:

De un grupo de 200 alumnos se obtuvo la siguiente información, respecto a sus edades.

Nivel I

I. Completa la siguiente tabla y responde las preguntas:

Los datos anteriores se tomaron de un consultorio médico.

= Variable estadística.

= Frecuencia absoluta simple.

6.2. Gráficos estadísticos

Puede representarse mediante barras o sectores circulares.

Ejemplo 2:

Con los datos del ejemplo 1, construimos los siguientes diagramas.

fi

60

50

1. ¿Cuántas personas se atendieron en los años 1995;

2003 y 2004?

Rpta.: 2. ¿Qué año se atendió a más pacientes?

Rpta.: 3. ¿Qué porcentaje representan los que se atendieron en

2005?

Rpta.:

II. A un seminario empresarial asistieron 80 personas y se registró las edades de los participantes en los

siguientes intervalos:

Intervalos Conteo fi Fi hi Hi

40

30

20

10

xi 14 15 16 17 18

Diagrama de Barras

[20;25>

[25;30>

[30;35>

[35;40> [40;45>

[45;50]

IIII III

IIII IIII

IIII IIII IIII IIII

IIII IIII IIII IIII IIII

IIII IIII II

IIII I

n =

16 años

17 años

Completa la tabla y responde: 4. ¿Cuántas personas cuyas edades varían entre 30 y 34

años inclusive, asistieron?

18 años

Rpta.: 5. ¿Cuántas personas menores de 40 años asistieron?

15 años

14 años

Rpta.:

Sector Circular

Intervalos

Conteo

f i

F i

h i

Hi

[02;05>

[05;08>

[08;11>

[11;14>

[14;17>

[17;20]

n = 40

10 15 11 08 12 10 13 10 12 10

12 17 10 12 11 14 15 20 10 12

a) 0,55 b) 0,125 c) 0,5 d) 0,75 e) 0,1

46 40 47 51 48 42 46 44 47 49 50 51 40 47 48 46 43 44 50 52

6. ¿Qué porcentaje de los asistentes son menores de 30 x

f F h

años? i i i i

ocupa ión número de lumnos c a

Rpta.:

7. ¿Qué porcentaje de los asistentes tienen entre 30 y 44

años, inclusive?

1º 180 2º 100 3º 140

Rpta.: III. A continuación se muestra las notas obtenidas por 40

alumnos de un aula en el último examen bimestral de Aritmética.

4º 200

5º 180

Completar la tabla y responda las siguientes preguntas:

12.¿Cuál es la frecuencia relativa de los alumnos de segundo

de secundaria?

10 20 14 13 06 16 06 06 14 18

07 05 12 11 02 04 14 18 16 17

Realice el conteo y complete el cuadro:

13.¿Qué porcentaje representan los alumnos de cuarto de

secundaria del total?

a) 40 % b) 30 % c) 25 % d) 60 % e) 80 %

14.Hallar "F3"

a) 180 b) 360 c) 420 d) 600 e) 280

15.Hallar el porcentaje de alumnos que no son de segundo

ni de cuarto de secundaria.

a) 50 % b) 62,5 % c) 70,5 % d) 42,5 % e) 25 %

Responde: 8. ¿Cuántos alumnos aprobaron el curso?

Rpta.:

Nivel II I. En una encuesta a 20 alumnos se obtuvo los siguientes

datos, respecto a sus pesos:

9. ¿Qué porcentaje desaprobó el curso?

Rpta.:

10. ¿Qué porcentaje del aula obtuvo 14 ó más en el examen?

Rpta.:

11. ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 08 en el

examen? ¿Qué porcentaje del total representan?

Rpta.:

IV. Se muestra la siguiente tabla de distribución del número

Completa la tabla y responde las preguntas:

Intervalos conteo fi

Fi

hi

Hi

40 ; 43

43 ; 46

46 ; 49

de alumnos de un colegio, según el grado de educación secundaria.

49;

52

a) 30 % b) 40 % c) 25 % d) 50 % e) 20 %

11.Hallar "F3"

a) 200 b) 220 c) 250 d) 400 e) 180

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

a) 62,5 % b) 75 % c) 87,5 % d) 72,5 % e) 90 %

a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9

a) 45 b) 48 c) 46 d) 43 e) 42

a) 240 b) 300 c) 340 d) 180 e) 280

a) 70 % b) 60 % c) 50 % d) 40 % e) 55 %

a) 24 % b) 30 % c) 18 % d) 15 % e) 20 % a) 40 % b) 30 % c) 35 %

d) 70 % e) 80 %

1. ¿Cuáles son los límites del intervalo de mayor

frecuencia? Completar la tabla y responda las siguientes preguntas:

9. ¿Cuál es la frecuencia relativa de Abogados?

a) 40 ; 43

c) 46 ; 49

e) 40 ; 5 2

b) 40 ; 46

d) 49 ; 52

a) 0,25 b) 0,20 c) 0,40 d) 0,70 e) 0,80

10.Hallar el porcentaje de Administradores.

2. Calcular "f1 + f4"

a) 8 b) 7 c) 9 d) 12 e) 14

3. Calcular "F2 + f2"

4. ¿Cuántos alumnos pesan menos de 46 kg?

12.Hallar el porcentaje de los que no son Ingenieros.

5. ¿Cuántos alumnos pesan más de 48 kg?

a) 9 b) 4 c) 6 d) 12 e) 14

6. Calcular el límite inferior de la tercera clase.

III. Enunciado Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de

400 empleados según su edad:

Edades 19 - 21 22 - 24 25 - 27 28 - 30 31 - 33

h

i 0,05 0,25 4k 2k k

13.¿Cuántos empleados tienen entre 22 y 30 años?

7. Calcular la suma del límite inferior de la cuarta clase

con el límite superior de la segunda clase.

14.¿Qué porcentaje de empleados tiene a lo más 27 años?

a) 95 b) 98 c) 90 d) 45 e) 72

8. ¿Qué porcentaje de alumnos pesan menos de 43 kg?

15.¿Qué porcentaje de empleados tiene por lo menos 25 años?

II. Enunciado Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de trabajadores de un Ministerio, de acuerdo a su ocupación.

IV. Dada la siguiente distribución de frecuencias, respecto

a las edades de empleados de una compañía.

xi

fi F h H

ocupación # de personas i i i

Administradores 120

Ingenieros 50

Abogados 80

Obreros 90

Secretarias 60

n = 400

Edades [19 - 21] [22 - 24] [25 - 27] [28 - 30] [31-33]

h

i 0,15 0,25 0,40 0,10 0,10

Además: F

5 = 300

16.¿Cuántos empleados tienen edades entre 22 y 30 años,

inclusive?

18.¿Qué porcentaje de los empleados tienen a lo más 24

años?

a) 175 b) 225 c) 450 a) 30 % b) 35 % c) 20 % d) 360 e) 250 d) 40 % e) 50 %

17. ¿Cuántos empleados tienen por lo menos 28 años? 19.Hallar "f1 + f3"

a) 40 b) 50 c) 60 a) 150 b) 160 c) 165

d) 80 e) 90 d) 170 e) 155

20.¿Cuántos empleados tienen más de 30 años?

a) 100 b) 20 c) 40 d) 50 e) 30

Estadística II (Gráficos)

I. Gráfico de barras

Ejemplo

A continuación se muestra el sueldo proyectado de una persona durante el año 2005.

1. ¿Cuál fue la población en 2002?

2. ¿Cuál era la población en 2004?

Sueldo

(cientos de soles)

20

16 15

13 11

10 8

3. ¿En cuánto aumenta la población de hombres del año

2003 al año 2005?

4. Del año 2002 al año 2005 la población de mujeres

¿aumentó o disminuyó? ¿en cuánto?

E F M A M J J A S O N D

1. ¿En qué mes ganó menos?

2. ¿En qué mes ganó más?

Mes III. Gráfico lineal

Ejemplo:

Rendimiento de la cosecha "x", a diferentes temperaturas e intensidades luminosas.

Rendimiento (%)

3. ¿Cuál fue su sueldo promedio durante el año 2005?

4. ¿En cuántos meses ganó más del sueldo promedio?

II.Gráfico de barras adecuadas

Ejemplo:

A continuación se muestran la población de hombres y mujeres de cierta localidad, durante el período 2002-

60

50

40

30

20

10

10 20 30 40 50

A

B

C Temperatura (°C)

2005.

# población

(miles)

25

20

15 15

10 10

8 5

hombres

mujeres

I. Intensidad luminosa A II. Intensidad luminosa B

III. Intensidad luminosa C

1. El máximo rendimiento, con intensidad luminosa A,

se alcanza aproximadamente con una temperatura de:

2. ¿Qué rendimiento se alcanza, aproximadamente con

una temperatura de 30 °C e intensidad luminosa C?

2002 2003 2004 2005

enero

febre

ro

marz

o

abril

mayo

junio

3. Para una mejor cosecha, ¿qué intensidad luminosa

conviene y a qué temperatura?

1. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefiere más el

producto "A" que el producto "C"?

IV. Sector circular

Ejemplo:

En una encuesta se obtuvo la siguiente información, acerca del consumo de los productos "A", "B", "C", "D" y "E"; de un total de 200 personas encuestadas.

2. ¿Cuántos de los encuestados prefieren el producto

"B"?

3. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefieren más

el producto "C" que el producto "E"?

C

B 15 %

D

30 % 10 %

5 % E

4. ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos

"D" y "E"?

40 %

A

Problemas para la clase

Enunciado 1

• La siguiente gráfica muestra el volumen de venta

obtenido durante los seis primeros meses del año, de un equipo de vendedores.

1. ¿Cuál es el volumen total de venta, durante esta

"Campaña de Medio Año"?

a) 160 000 b) 220 000 c) 200 000 d) 190 000 e) 242 000

Cantidad de artículos

45 000

40 000

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

Mes

2. Indicar el promedio (aprox.) de venta mensual durante

esta campaña.

a) 28 828 b) 33 300 c) 33 333 d) 30 300 e) 30 000

3. ¿Durante cuántos meses el volumen de venta estuvo

sobre el promedio mensual?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

4. ¿Cuál es el máximo volumen de venta logrado a lo

largo de toda la campaña, durante un mes?

a) 35 000 b) 40 000 c) 45 000 d) 50 000 e) 60 000

a) 40 % b) 50 % c) 45 % d) 30 %

Enunciado 4

e) 10 %

a) 40 % b) 25 % c) 33,3 %

d) 45 % e) 20 %

Enero

Febre

ro

Marz

o

Enero

Febre

ro

Marz

o

5. ¿Entre qué meses el volumen de venta tuvo la caída

más apreciable?

a) mayo y junio b) enero y febrero c) marzo y abril d) abril y mayo

e) mayo y enero Enunciado 2

• La inflación en un país mostró la siguiente evolución

entre febrero y junio:

Tasa de inflación (%)

8. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camote

entre febrero y marzo?

a) 40 % b) 25 % c) 33 %

d) 45 % e) 20 %

9. ¿Cuál fue la producción total de papa (en toneladas)

en los tres meses?

a) 60 b) 50 c) 80 d) 70 e) 45

10.¿Qué porcentaje más de camote, con respecto a la

papa, se produce en enero?

90

70

50 • El gráfico muestra la producción (en toneladas) de

30 arroz y cebada, en tres meses del año:

10 Producción (toneladas)

F M A M J

Mes 30

6. Halla la inflación promedio durante el periodo febrero- 25

junio. (aprox.) 20

a) 30 % b) 40 % c) 45,5 % 15

d) 66,5 % e) 36 % 10

7. ¿Cuál será la inflación de julio según la tendencia 5

mostrada?

cebada

arroz

Mes

a) 100 % b) 120 % c) 130 % d) 150 % e) 180 %

Enunciado 3 • El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos

tubérculos, en tres meses del año.

11.¿En qué porcentaje desciende la producción de arroz

entre febrero y marzo?

Producción (toneladas)

35

30

25

20

15

10

5

papa

camote

12.¿Cuál fue la producción total de cebada (en toneladas)

en los tres meses?

a) 60 b) 50 c) 80 d) 70 e) 45

Enunciado 5 • Sony analiza las ventas de TV de 43" en Lima

Metropolitana, en las últimas ocho semanas. La información se muestra a continuación:

Mes

# de TV

vendidos

35

30

25

20

15

10

5

1 2 3 4 5

6 7 8

Semana

a) 1 p.m. b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

18.¿Durante qué período tuvo el paciente más de 37° de

temperatura?

a) De 10 a.m. a 6 p.m. b) De 8 a.m. a 6 p.m. c) De 2 p.m. a 6 p.m. d) De 11 a.m. a 5 p.m. e) De 8 a.m. a 4 p.m.

19.¿Cuál fue aproximadamente la temperatura del

paciente a las 11 a.m.?

a) 37° b) 38,5° c) 37,5° d) 36° e) 38°

13.¿Cuántos TV se vendieron en las tres primeras semanas?

a) 55 b) 60 c) 65 d) 70 e) 75

14.¿En qué semana se vendió un mayor número de

televisores?

a) segunda b) tercera c) cuarta d) quinta e) sexta

15.¿En qué semana hubo una mayor variación en las

ventas?

a) 3ra y 4ta b) 5ta y 6ta c) 1ra y 2da d) 6ta y 7ma e) 2da y 3ra

16.¿Cuál es el promedio de TV que se vende por semana?

a) 19,75 b) 19,25 c) 18,25 d) 18,75 e) 19,5

Enunciado 6

20.¿Cuál fue la temperatura que más veces se presentó

en el paciente?

a) 36° b) 37° c) 38°

d) 39° e) 40°

21.¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura mínima

observada?

a) 6 a.m. b) 8 a.m. c) 12m. d) 2 p.m. e) 10 a.m.

Enunciado 7 • En el siguiente gráfico circular se muestra los

resultados de una encuesta acerca de las preferencias de ciertos géneros musicales, sobre un total de 800 encuestados.

Balada

20 %

• La siguiente gráfica muestra la temperatura de un

paciente en el Hospital del Niño, durante el transcurso de 12 horas:

40°

Rock

30 %

Salsa

35 %

Criollo 10 %

39°

38°

37°

36°

35°

34°

6 a.m.

8 10 2 4

12:00 m.

6 p.m.

22.¿Cuántos más prefieren salsa que rock?

a) 280 b) 240 c) 256 d) 80 e) 40

23.¿Cuántos de los encuestados prefieren más salsa y rock, que los demás géneros musicales?

a) 280 b) 520 c) 480 d) 360 e) 240

17. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura máxima observada?

24.¿Qué parte de los que no prefieren balada, representan

los que sí la prefieren?

1 1 1

a) b) c) 5 4 3

1

d) 2 e) 1

8

28.¿Qué porcentaje de los hogares tienen más de un TV

conectado al servicio?

a) 70 % b) 60 % c) 65 %

d) 75 % e) 80 %

29.¿Cuál es el número promedio de TV conectados?

25.¿Cuál es el ángulo central que tiene la porción de

baladas?

a) 36° b) 72° c) 49°

d) 20° e) 40°

Enunciado 8

• El siguiente gráfico nos muestra la distribución de

componentes en el cuerpo humano.

15 % Otros

materiales

a) 2,1 b) 2,2 c) 2,3 d) 2,35 e) 2,4

30.Si la instalación del primer TV es gratis y por cada TV adicional se cobra $ 10, ¿cuál ha sido el ingreso por instalación en los 100 hogares analizados?

a) $ 1 100 b) 1 000 c) 1 150 d) 1 200 e) 1 250

Enunciado 10

15 % Proteínas

secos • La t ab la m ue st ra l as t em pe ra tu ra s má xi ma s

registradas durante una semana del mes de abril.

70 % Agua

26.¿Qué fracción representan las proteínas y el agua?

Día Temperatura (°C)

Lunes 25°

Martes 28°

Miércoles 30°

Jueves 26°

Viernes 24°

Sábado 15°

1 a)

5

3 d)

20

17 b)

20

1 e)

2

1 c)

20 Domingo 20°

31.El mayor y menor dato registrado corresponden a los

días:

a) lunes y miércoles b) jueves y sábado 27. De acuerdo a este gráfico, una persona de 80 kg de

peso, ¿de qué peso de agua estaría compuesta?

a) 48 kg b) 40 c) 24 d) 56 e) 68

Enunciado 9 • La empresa "Super Cable" realiza un estudio para

conocer cuántos de los televisores de una casa utilizan su servicio, para ello visita a 100 clientes y obtuvo los siguientes resultados:

Número de Cantidad

TV conectados de hogares

1 30

2 35

3 20

4 15

c) martes y sábado d) martes y domingo e) miércoles y sábado

32.La temperatura promedio (media aritmética) en dicha

semana fue:

a) 25° b) 24° c) 22,5° d) 23,2° e) 25,6°

33.Si un día se considera frío cuando la temperatura

máxima registrada es menor que el valor promedio,

¿cuántos de estos días fueron fríos?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

34.La temperatura máxima observada diariamente fue decreciente:

a) a partir del miércoles b) de martes a jueves

Año toneladas

1998

40

1999 70

2000 100

2001 130

2002 160

2003 190

2004 220

2005 250

c) de viernes a domingo d) de miércoles a sábado e) de jueves a viernes

35.La temperatura "mediana", es decir la que ocupa el

centro cuando todas se ordenan de menor a mayor, corresponde al:

a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

Enunciado 11

39.¿Cuántos millones de km2 le falta a la superficie de

Oceanía, para igualar a la superficie de Sudamérica?

a) 8 b) 10 c) 6 d) 12 e) 5

Enunciado 12 • En el país se ha extraído, durante ocho años, las

siguientes cantidades anuales de cobre:

35

30

25

20

15

10

A B C D E F

• El diagrama anterior muestra la superficie de algunas

zonas geográficas en millones de km2.

Donde:

A = África B = Asia

C = Europa D = EE.UU.

E = Oceanía F = Sudamérica

Cobre (toneladas)

350

300

36.Entre Europa y Estados Unidos tienen aproxima-

damente (en millones de km2):

a) 35 b) 25 c) 20 d) 32 e) 40

37. ¿Por cuántos millones de km2 excede la superficie de

Asia a Oceanía?

250

200

150

100

50

98 99 00 01 02 03

04 05 06

Año

a) 10 b) 18 c) 15 d) 8 e) 12

38.África contiene, en proporción, a la superficie de

Oceanía:

a) igual b) el doble

40.Se puede asegurar que la producción en el año 2006:

a) Disminuirá. b) Será igual que el año anterior. c) Será de 280 toneladas. d) No se puede asegurar cuál será la producción. e) Ninguna de las anteriores.

c) el triple d) 1 1 2

veces