Esperanza,Varianza y Covarianza
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Probabilidad y Estadıstica:Esperanza Matematica, Varianza yCovarianza
Dr. Juliho Castillo26 de septiembre de 2017
Universidad LaSalle Oaxaca
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1 Definicion de Esperanza Matematica
2 Funciones de Variables Aleatorias
3 Algunos temas sobre esperanza matematica
4 Varianza y Desviacion Estandar
5 Covarianza
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Definicion de EsperanzaMatematica
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Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, laesperanza matematica se define como
E(X) =n∑
j=1xjP (X = xj) =:
∑xP (X = x), (1.1)
o de manera equivalente
E(X) =n∑
j=1xjf(xj) =:
∑xf(x), (1.2)
donde f(x) = P (X = x).
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Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, laesperanza matematica se define como
E(X) =n∑
j=1xjP (X = xj) =:
∑xP (X = x), (1.1)
o de manera equivalente
E(X) =n∑
j=1xjf(xj) =:
∑xf(x), (1.2)
donde f(x) = P (X = x).
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Como un caso especial, cuando f(x) ≡ 1n, obtenemos la
media aritmetica:
E(X) =∑n
i=1 xi
n. (1.3)
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Caso Discreto Numerable
En el caso en que X tome un cantidad (infinita) numerable devalores x1, x2, ..., definimos
E(X) =∞∑
i=1xif(xi),
siempre y cuando dicha serie converja.
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Caso Continuo
Para una variable aleatoria continua X que tenga funcion dedensidad f(x), la esperanza de X se define como
E(X) =∫ ∞−∞
xf(x)dx (1.4)
siempre y cuando dicha integral converja.
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La esperanza de X es llamada a menudo media de X y esdenotada por µx, o simplemente µ, cuando la variablealeatoria subyacente se sobreentiende.
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La media o esperanza de X da un unico valor que representael promedio de los valores de X,y por esta razon decimos quees una medida de tendencia central.
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La media o esperanza de X da un unico valor que representael promedio de los valores de X,y por esta razon decimos quees una medida de tendencia central.
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Ejemplo 1.1.
Supongamos que un juego se juega con un dado unico que sesuponen justos. En este juego, un jugador gana $20 si un saleun 2; $40 con un 4; $30 con un 6; y no gana ni pierde concualquier otra cara. Encuentre la suma esperada de dinero queganarıa.
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Ejemplo 1.2.
La funcion de densidad de una v.a. X esta dada por
f(x) =
12x 0 < x < 20 en otro caso
Encuentre el valor esperado de X.
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Funciones de VariablesAleatorias
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Sea X una v.a. discreta con funcion de probabilidad f(x).Entonces Y = g(X) es una v.a. discreta con funcion deprobabilidad
h(y) = P (g(X) = y) =∑
{x|g(x)=y}g(x)f(x) (2.1)
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Entonces, en el caso discreto.
E (g(X)) =∑
x
g(x)f(x) (2.2)
De manera similar, en el caso continuo
E (g(X)) =∫ ∞−∞
g(x)f(x)dx. (2.3)
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Entonces, en el caso discreto.
E (g(X)) =∑
x
g(x)f(x) (2.2)
De manera similar, en el caso continuo
E (g(X)) =∫ ∞−∞
g(x)f(x)dx. (2.3)
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Ejemplo 2.1.
Si X es la v.a. del ejemplo 1.2, encuentre E (3X2 − 2X) .
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Algunos temas sobre esperanzamatematica
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Linealidad
Teorema 3.1.
Si c, d son constantes y X, Y son variables aleatorias, entonces
E (cX + dY ) = cE (X) + dE (Y ) (3.1)
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Esperanza e independencia
Teorema 3.2.
Si X, Y son v.v.a.a. independientes, entonces
E (XY ) = E(X)E(Y ) (3.2)
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Varianza y Desviacion Estandar
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Ya vimos que la espereza matematica de una v.a. X es unamedida de tendencia central y que generaliza a la media µ.
Observacion: Por esta razon, de aquı en adelantedefiniremos
µ = µX = E(X).
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Ya vimos que la espereza matematica de una v.a. X es unamedida de tendencia central y que generaliza a la media µ.
Observacion: Por esta razon, de aquı en adelantedefiniremos
µ = µX = E(X).
20
![Page 25: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/25.jpg)
Otra cantidad de gran importancia es la varianza que sedefine como
σ2X = Var(X) = E
((X − µX)2
)(4.1)
Entonces, la desviacion estandar se definira como
σX =√
VarX (4.2)
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Otra cantidad de gran importancia es la varianza que sedefine como
σ2X = Var(X) = E
((X − µX)2
)(4.1)
Entonces, la desviacion estandar se definira como
σX =√
VarX (4.2)
21
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Observacion: Si la variable aleatoria X se sobreentiendedel contexto, omitiremos el subındice correspondiente, esdecir,
µ = µX , σ = σX , σ2 = σ2
X .
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Observacion: Si la variable aleatoria X se sobreentiendedel contexto, omitiremos el subındice correspondiente, esdecir,
µ = µX , σ = σX , σ2 = σ2
X .
22
![Page 29: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/29.jpg)
Si X es una v.a. discreta, la varianza esta dada por
σ2 = E((X − µ)2
)=∑
(x− µ)2 f(x), (4.3)
siempre y cuando esta suma converja.
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En el caso de que todas las probabilidades sean iguales y lav.a. X sea finita tenemos
σ2 = (x1 − µ)2 + ...+ (xn − µ)2
n(4.4)
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Si X es una v.a. continua con funcion de densidad f(x),entonces la varianza esta dada por
σ2 = E((X − µ)2
)=∫ ∞−∞
(x− µ)2 f(x)dx (4.5)
siempre y cuando la integral converja.
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![Page 32: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/32.jpg)
Tanto la varianza como la desviacion estandar es una medidade dispersion.
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Ejemplo 4.1.
Encuentre la varianza y la desviacion estandar de la v.a. delejemplo 1.2.
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Algunos teoremas sobre Varianza
σ2 = E(X2)− µ2 (4.6)
Var (cX) = c2 Var (X) (4.7)σ2 = mın
a
{E((X − a)2
)}(4.8)
Si X, Y son independientes
Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) (4.9)
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Variables Aleatorias Estandarizadas
Sea X una v.a. con media µ y desviacion estandar σ > 0.Diremos que la v.a. estandarizada asociada esta dada por
X∗ = X − µσ
. (4.10)
E (X∗) = 0, Var(X∗) = 1. (4.11)
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Variables Aleatorias Estandarizadas
Sea X una v.a. con media µ y desviacion estandar σ > 0.Diremos que la v.a. estandarizada asociada esta dada por
X∗ = X − µσ
. (4.10)
E (X∗) = 0, Var(X∗) = 1. (4.11)
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Covarianza
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Los resultados dados anteriormente para una variable aleatoriapueden extenderse a dos variables.
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µX = E(X) =∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
xf(x, y)dxdy
µY = E(Y ) =∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
yf(x, y)dxdy(5.1)
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σ2X = E
((X − µX)2
)=∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
(x− µX)2f(x, y)dxdy
σ2Y = E
((Y − µY )2
)=∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
(y − µY )2f(x, y)dxdy
(5.2)
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![Page 41: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/41.jpg)
Covarianza
σXY = Cov(X, Y ) = E ((X − µX)(Y − µY )) (5.3)
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σXY =∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
(x− µX)(y − µY )f(x, y)dxdy (5.4)
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![Page 43: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/43.jpg)
Caso Discreto
µX =∑
x
∑y
xf(x, y)
µY =∑
x
∑y
yf(x, y)(5.5)
σXY =∑
x
∑y
(x− µX)(y − µY )f(x, y) (5.6)
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Caso Discreto
µX =∑
x
∑y
xf(x, y)
µY =∑
x
∑y
yf(x, y)(5.5)
σXY =∑
x
∑y
(x− µX)(y − µY )f(x, y) (5.6)
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![Page 45: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/45.jpg)
σXY = E(XY )− E(X)E(Y ) = E(XY )− µXµY (5.7)
Si X, Y son independientes, entonces
σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8)
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![Page 46: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/46.jpg)
σXY = E(XY )− E(X)E(Y ) = E(XY )− µXµY (5.7)
Si X, Y son independientes, entonces
σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8)
37
![Page 47: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/47.jpg)
Var(X ± Y ) = Var(X)± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9)
De manera equivalente,
σ2X±Y = σ2
X ± 2σXY + σ2Y (5.10)
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![Page 48: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/48.jpg)
Var(X ± Y ) = Var(X)± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9)
De manera equivalente,
σ2X±Y = σ2
X ± 2σXY + σ2Y (5.10)
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![Page 49: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/49.jpg)
Coeficiente de correlacion
ρ = σXY
σXσY
(5.11)
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![Page 50: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/50.jpg)
Teorema 5.1.
|σXY | ≤ σXσY (5.12)
|ρ| ≤ 1. (5.13)
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![Page 51: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/51.jpg)
Teorema 5.1.
|σXY | ≤ σXσY (5.12)
|ρ| ≤ 1. (5.13)
40
![Page 52: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/52.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
41
![Page 53: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/53.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
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![Page 54: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/54.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
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![Page 55: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/55.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
41
![Page 56: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/56.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
41
![Page 57: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/57.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
41
![Page 58: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/58.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
41
![Page 59: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/59.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
41
![Page 60: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/60.jpg)
Problema Resuelto 5.1.
Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
2x+ y
42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3
0 en otro caso.(5.14)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
41
![Page 61: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/61.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 62: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/62.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 63: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/63.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 64: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/64.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 65: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/65.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 66: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/66.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 67: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/67.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 68: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/68.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 69: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/69.jpg)
Problema Resuelto 5.2.
Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta
f(x, y) =
1
210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.
(5.15)
Encuentre los siguientes estadısticos:
(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)
(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )
42
![Page 70: Esperanza,Varianza y Covarianza](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022021417/5a6cf9487f8b9abd418b4b0d/html5/thumbnails/70.jpg)
Bibliografıa
M. Spiegel, L. Stephens; Estadıstica; Serie Schaum;McGraw-Hill/Interamericana Editores; 4a edicion; 2009.M. Spiegel, J. Schiller, R. Alu Srinivasan; Probability andStatistics; Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill; 4thEdition; 2013.
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