[101]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Soluzioni classiche Esercizi

1) Trovare tutte le soluzioni classiche dell’equazione dif-ferenziale y′(x) = 0 aventi per dominio l’insieme R deinumeri reali.

2) Trovare almeno una soluzione classica delle seguentiequazioni differenziali: (a) y

′(x) = y(x); (b) y′′(x) =

−y(x); (c) y′′(x) = y′(x) (in quest’ultimo caso, si sug-

gerisce di considerare la funzione z(x) = y′(x)).

(continua a fianco)

3) (a) Indicata con g una costante positiva, trovare l’inte-grale generale dell’equazione differenziale y′′(x) = −g.(b) Trovare la soluzione del seguente problema di Cau-chy:

y′′(x) = −g,

y′(0) = 0,

y(0) = 1.

(c) Dare un’interpretazione fisica della soluzione y(x),spiegando cosa possono rappresentare le variabili x

e y.

[102]

Analisi Matematica 3prof. Antonio GrecoProblema di Cauchy Esercizi

1) Trovare, se esiste, una soluzione dei seguenti problemi:

(a)

{

xy′ = y

y(1) = 1(b)

{

xy′ = y

y(0) = 0(c)

{

xy′ = y

y(0) = 1

2) Stabilire se esistono anche altre soluzioni oltre a quellaeventualmente trovata.

(continua a fianco)

3) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione y′ =2xy/(x2

− 1) ([BPS], pag. 16, n. 5).

[BPS] M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa,

Analisi Matematica 2, Zanichelli.

[103]

Analisi Matematica 3prof. Antonio GrecoEq. lineari del I ordine Esercizi

1) Determinare l’integrale generale della seguente equa-zione differenziale lineare, omogenea, del primo ordi-ne, in forma normale: y′ = 3y ([MS], pag. 204/139,n. 4.7).

2) Determinare l’integrale generale della seguente equa-zione differenziale lineare, non omogenea, del primoordine, in forma normale: y′ = −y + e−x ([MS], pag.205/140, n. 4.9).

(continua a fianco)

3) Risolvere il seguente problema di Cauchy ([MS], pag.207/141, n. 4.11):

{

y′ + y

x= x3

y(1) = 1/5

[MS] P. Marcellini, C. Sbordone,

Esercitazioni di matematica, vol. 2, parte I, Liguori/

Esercitazioni di analisi matematica due, prima parte,

Zanichelli.

[104]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Cambiam. di variabile Esercizi

1) Fissato α ∈ R, si consideri l’applicazione Fα : C2(R)

→ C2(R) che alla generica funzione y ∈ C2(R) associala funzione z ∈ C2(R) data da

z(x) = eαx y(x), x ∈ R.

Stabilire come deve essere preso α affinche Fα risultilineare e biunivoca, ed in tal caso verificare che l’appli-cazione inversa F−1

α soddisfa l’uguaglianza F−1

α (z) =F−α(z) per ogni z ∈ C2(R).

(continua a fianco)

2) Siano a, b, c tre numeri reali, con a 6= 0. Verificareche una funzione y ∈ C2(R) e una soluzione classicadell’equazione differenziale

ay′′ + by′ + cy = 0

se e solo se la funzione z(x) = ebx/2a y(x) soddisfa l’e-quazione

z′′ =b2 − 4ac

4a2z.

[105]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Indipendenza lineare Esercizi

1) (a) Stabilire se le funzioni y1(x) = 1 e y2(x) = x2 sonoelementi linearmente indipendenti dello spazio vetto-riale C2(R). (b) Risolvere l’equazione W (x) = 0 nelcampo dei numeri reali, essendo W (x) il determinantedato da

W (x) =

∣

∣

∣

∣

y1(x) y2(x)y′1(x) y′

2(x)

∣

∣

∣

∣

. (1)

(continua a fianco)

2) (a) Fissati tre numeri reali a, b, c, con a 6= 0, e indicatecon y1(x) e y2(x) due soluzioni linearmente indipen-denti dell’equazione

ay′′ + by′ + cy = 0 in R,

verificare che il determinante W (x) dato dalla (1) sod-disfa l’equazione aW ′(x) + bW (x) = 0 in R. (b) Ri-solvere l’equazione W (x) = 0 nel campo dei numerireali.

3) Trovare, se possibile, dei numeri interi e positivi n1 <

. . . < nk tali che le k funzioni yi(x) = xni , per i =1, . . . , k, siano elementi linearmente dipendenti dellospazio vettoriale C2(R). Il valore di k puo essere scel-to a piacere.

[106]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Metodo di somiglianza Esercizi

Si consideri la funzione

y(x) = A cosωx+ B senωx, (1)

con A, B e ω costanti.

1) Applicando le consuete regole di derivazione, trovarele derivate y′(x) e y′′(x).

(continua a fianco)

2) Fissata ω 6= 1, determinare A e B in modo tale che lafunzione y(x) data dalla (1) soddisfi l’equazione diffe-renziale

y′′ = −y + cosωx. (2)

Suggerimento: sostituire y(x) e y′′(x) nella (2).

3) Trovare l’integrale generale dell’equazione differenzia-le (2) nell’ipotesi che ω 6= 1.

[107]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Unicita della soluzione Esercizi

1) Trovare una soluzione del problema di Cauchy

{

y′(x) = f(x, y(x)) per x ∈ R,

y(0) = 0,(1)

sapendo che la funzione f ∈ C0(R2) soddisfa l’ugua-glianza f(x, 0) = 0 per ogni x ∈ R.

(continua a fianco)

2) Supponiamo, inoltre, che per ogni (x, y) ∈ R2 esista la

derivata parziale fy(x, y), e che esista L ∈ R tale che

sup(x,y)∈R2

|fy(x, y)| ≤ L.

Indicata con y(x) una qualunque soluzione limitatadel problema (1) in un intervallo (−δ, δ), con δ > 0, eposto

M = supx∈(−δ,δ)

|y(x)|,

verificare che |y(x)| ≤ M Lk |x|k/k! per ogni x ∈ (−δ,δ) ed ogni k ∈ N. Suggerimento: applicare il teoremadi Lagrange ad f e procedere per induzione.

3) Passare al limite per k → +∞ e dedurre l’unicita dellasoluzione.

[201]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Convergenza uniforme Esercizi

Si consideri la successione di funzioni yk(x) = xk perx ∈ (0, 1).

(a) Per ogni x ∈ (0, 1), calcolare il limite limk→+∞

yk(x).

(b) Indicata con y(x) la funzione limite, stabilire se yk →

y uniformemente in (0, 1).

(continua a fianco)

(c) Stabilire, calcolando gli integrali, se sussiste l’ugua-glianza

limk→+∞

∫1

0

yk(x) dx =

∫1

0

y(x) dx.

(d) Stabilire come deve essere preso il secondo estremo b <1 affinche yk → y uniformemente nell’intervallo (0, b).

[202]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Densita di Cauchy Esercizi

Si consideri la successione delle funzioni fk : R → R

date da

fk(x) =1

π

k

x2 + k2.

(a) Stabilire per quali valori di k = 1, 2, . . . la funzione fke integrabile nel senso improprio (detto anche genera-lizzato) di Riemann sull’intervallo (−∞,+∞).

(continua a fianco)

(b) Indicato con f(x) il limite puntuale di fk(x) per k →

+∞, stabilire se fk tende uniformemente ad f sull’in-sieme R.

(c) Stabilire, calcolando gli integrali, se sussiste l’ugua-glianza

limk→+∞

∫+∞

−∞

fk(x) dx =

∫+∞

−∞

f(x) dx.

[203]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Derivazione Esercizi

1) Stabilire per quali valori di k = 1, 2, . . . appartienealla classe C1(R) la funzione fk : R → R data da

fk(x) =

√

x2 +1

k.

2) Determinare il limite puntuale di fk per k → +∞.

(continua a fianco)

3) Indicata con f la funzione limite, stabilire se fk tendead f uniformemente(∗) sull’insieme R.

4) Determinare la successione numerica delle derivatef ′

k(x0) nel punto x0 = 0.

5) Stabilire se la funzione limite f e derivabile nel pun-to x0 = 0, ed in caso affermativo stabilire se sussistel’uguaglianza

f ′(0) = limk→+∞

f ′

k(0).

(∗)Esempio 3, pag. 22, in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,

Analisi Matematica due, Liguori.

[204]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Serie di potenze Esercizi

Scrivere le serie di Maclaurin delle seguenti funzioni:

ex

, log(1− x),1

1− x, sen x, cos x

e determinarne il raggio di convergenza.

[205]Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Teorema di Abel(∗) Esercizi

1) Indicati con x ed y due numeri reali soddisfacenti ladisuguaglianza |x|, |y| < ε con un certo ε > 0, stabilireper quali valori di λ ∈ [0, 1] risulta (1−λ) x+λy ≥ ε.

2) Fissato un polinomio P (λ) =∑n

k=0 ak λk, definiamo

bh = ah+1 per h = 1, . . . , n− 1, e b0 = a0 + a1. PostoQ(λ) =

∑n−1h=0 bh λ

h, stabilire per quali λ ∈ R risulta

P (λ) = (1− λ) a0 + λQ(λ). (1)

(continua a fianco)

3) Trovare, se possibile, un numero reale ε > 0 ed unpolinomio P (λ) =

∑n

k=0 ak λk tali che

maxλ∈[0,1]

|P (λ)| ≥ ε

e∣

∣

∣

∣

∣

k∑

i=0

ai

∣

∣

∣

∣

∣

< ε per ogni k = 0, . . . , n.

Suggerimento: esaminare innanzitutto i casi n = 0 en = 1, poi procedere per induzione usando la (1).

(∗)Cfr. pagg. 71-72 in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,

Analisi Matematica due, Liguori.

[206]Analisi Matematica 3prof. Antonio Greco

Serie di Fourier Esercizi

1) (a) Determinare la serie di Fourier della funzione f(x)= x sull’intervallo (−π, π). (b) Sapendo che la sud-detta serie converge puntualmente alla funzione gene-ratrice nell’intervallo (−π, π), posto x = π/2 verificarel’uguaglianza

+∞∑

k=0

(−1)k

2k + 1=

π

4,

la cui scoperta e attribuita a Leibniz: cfr. [K], pagg.511-512.

(continua a fianco)

2) Determinare la serie di Fourier della funzione f(x) =sen x sull’intervallo (−π, π).

3) (a) Determinare la serie di Fourier della funzione f(x)= |x| sull’intervallo (−π, π). (b) Sapendo che lasuddetta serie converge alla funzione generatrice uni-formemente nell’intervallo [−π, π], dunque anche nelpunto x = 0, verificare l’uguaglianza

+∞∑

k=0

1

(2k + 1)2=

π2

8,

trovata da Eulero (cfr. [K], pag. 523).

[K] M. Kline, Storia del pensiero matematico (vol. I), Einaudi.

[207]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Serie armonica gener. Esercizi

1) Determinare la serie di Fourier della funzione f(x) =x2 sull’intervallo (−π, π).

2) Sapendo che la suddetta serie converge alla funzio-ne generatrice uniformemente nell’intervallo [−π, π],dunque anche nei punti x = 0 e x = π, verificare leuguaglianze

+∞∑

k=1

(−1)k

k2= −

π2

12,

+∞∑

k=1

1

k2=

π2

6.

La seconda e attribuita a Eulero da M. Kline in Storia

del pensiero matematico, Einaudi (vol. I, pag. 524).

[301]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Punti fissi Esercizi

1) Digitando un numero a piacere in una comune calco-latrice elettronica, e premendo ripetutamente il tastodi radice quadrata (

√) si genera una successione di

valori numerici: stabilire se essa ammette limite, ed incaso affermativo calcolarlo. Suggerimento: fare mate-rialmente delle prove.

2) Posto f(x) = x+ ex, stabilire se l’equazione f(x) = 0ammette almeno una soluzione reale, ed in caso affer-

(continua a fianco)

mativo stabilire quante sono. Suggerimento: calcolareil limite di f(x) per x → ±∞ e sfruttare la continuitae la monotonia di f(x).

3) Determinare le prime tre cifre decimali della soluzionereale dell’equazione x = −ex. Suggerimento:(∗) digi-tare un numero a piacere x0 in una calcolatrice scien-tifica e calcolare xk+1 = −exk per k = 0, 1, 2, . . .

(∗)Lo studente e autorizzato ad utilizzare tutte le proprie co-

noscenze, ivi comprese, se lo preferisce, quelle acquisite in oc-

casione di altri corsi universitari.

[302]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

La norma-p in R2 Esercizi

Siano a e b due numeri reali soddisfacenti le disuguaglianze

0 ≤ a ≤ b. Stabilire se esiste il limite

limp→+∞

p√ap + bp

ed in caso affermativo calcolarlo.(∗)

(∗)Cfr. pag. 97 in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,

Analisi Matematica due, Liguori.

[303]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Teorema di Cauchy Esercizi

Fissata una funzione continua f : [0, 1]×R → R ed unnumero y0 ∈ R, si consideri l’applicazione F : C0([0, 1]) →C0([0, 1]) che alla funzione y ∈ C0([0, 1]) associa la funzio-ne z ∈ C0([0, 1]) data da

z(x) = y0 +

∫x

0

f(t, y(t)) dt. (1)

(continua a fianco)

Supponiamo che esista una costante L tale che

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2|

per ogni x ∈ [0, 1] ed ogni y1, y2 ∈ R (condizione di Lip-schitz).

1) Stabilire se l’applicazione F e una contrazione.(∗)

2) Stabilire se esiste b ∈ (0, 1) tale che l’applicazione F :C0([0, b]) → C0([0, b]) data dalla (1) sia una contra-zione.

(∗)Cfr. pag. 106 in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,

Analisi Matematica due, Liguori.

[401]Analisi Matematica 3prof. Antonio GrecoIntegrale di Riemann Esercizi

1) Stabilire se la funzione f data da

f(x) =

{

1, se x ≥ 0,

0, se x < 0

e integrabile secondo Riemann sull’intervallo [−2, 1],ed in caso affermativo calcolarne l’integrale.

2) Indichiamo con T = { (x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, 1], y ∈

[0, 1− x] } il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1).

(continua a fianco)

Fissato un numero naturale k, indichiamo con

Pk =⋃

Qk(i,j)⊂T

Qk(i, j)

l’unione di tutti i quadrati di lato 2−k aventi la forma(∗)

Qk(i, j) =[ i

2k,i+ 1

2k

]

×[ j

2k,j + 1

2k

]

con i, j ∈ Z

e inclusi nel triangolo T . (a) Trovare l’area |Pk| delplurirettangolo Pk. Suggerimento: e piu facile trovarel’area dell’insieme T \Pk. (b) Calcolare il lim

k→+∞

|Pk| e

stabilire se tale limite coincide con l’area di T .

(∗)Cfr. formula (91.3), pag. 494 in: N. Fusco, P. Marcellini,

C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori.

[402]Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Distanza da un chiuso Esercizi

La distanza dist(P, F ) di un punto P ∈ Rn da un sottoin-

sieme chiuso e non vuoto F ⊂ Rn e, per definizione, la

distanza di P dal (o dai) punto/i di F piu vicino/i a P .

1) Trovare la distanza di P = (0, 0) ∈ R2 dall’asse x.

2) Trovare la distanza del punto P = (0, 0) ∈ R2 dal

grafico della funzione y = cosx.

3) Fissato un sottoinsieme chiuso e non vuoto F ⊂ Rn,

stabilire come devono essere presi i punti P, Q ∈ Rn

(continua a fianco)

affinche risulti

dist(P, F ) ≤ ‖P −Q‖+ dist(Q,F ). (1)

Suggerimento: prendere un punto H ∈ F che sia il piuvicino possibile a Q, e usare la disuguaglianza trian-golare.

4) Fissato un sottoinsieme chiuso e non vuoto F ⊂ Rn,

stabilire se esiste una costante L tale che per ogniP,Q ∈ R

n risulti

| dist(P, F )− dist(Q,F )| ≤ L ‖P −Q‖.

Suggerimento: scambiare P con Q nella (1). Cfr. Pro-posizione 4, pag. 85, in: N. Fusco, P. Marcellini, C.Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori.

[403]Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Unione e intersezione Esercizi

1) Siano B2(−1, 0) e B2(1, 0) i dischi aperti di raggio 2centrati nei punti di coordinate (−1, 0) e (1, 0). (a) In-dicato con Q il quadrato Q = [−1, 1]×[−1, 1], stabilirese Q ⊂ B2(−1, 0) ∪B2(1, 0). (b) Stabilire se esiste unvalore x0 ∈ (−1, 1) tale che valgano entrambe le se-guenti inclusioni:

{ (x, y) ∈ Q | x ≤ x0 } ⊂ B2(−1, 0),

{ (x, y) ∈ Q | x ≥ x0 } ⊂ B2(1, 0).

(continua a fianco)

2) Stabilire per quali valori di k = 0, 1, 2, . . . l’intervalloIk = [k,+∞) e un sottoinsieme chiuso dell’insieme deinumeri reali.

3) Determinare la misura di Lebesgue dell’intervallo Ikper ciascun valore di k.

4) Determinare la misura di Lebesgue dell’insieme X da-to da

X =+∞⋂

k=0

Ik.

Suggerimento: cercare innanzitutto di individuare (seesiste) almeno un punto dell’insieme X. Cfr. esempio3, pag. 465, in: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone,Analisi Matematica due, Liguori.

[404]Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Funzioni misurabili Esercizi

Diciamo che una funzione f : R → R e misurabile sela controimmagine f−1((t,+∞)) dell’intervallo aperto (t,+∞) e un insieme misurabile, qualunque sia t ∈ R.

1) Trovare, se possibile, una funzione misurabile f0 : R →

R ed un intervallo chiuso [t0,+∞) tali che la contro-immagine f−1

0 ([t0,+∞)) non risulti misurabile. Sug-gerimento: l’intervallo chiuso [t0,+∞) e l’intersezionedegli intervalli aperti (t0 −

1

k, +∞) per k = 1, 2, . . .

(continua a fianco)

2) Si consideri una successione di funzioni misurabili fk :R → R, monotona nel senso che fk+1(x) ≥ fk(x) perogni x ∈ R ed ogni k ∈ N. (a) Trovare tutti i puntix ∈ R in corrispondenza dei quali esiste il limite

limk→+∞

fk(x).

(b) Indicato con f(x) il suddetto limite, e supponendoche risulti f(x) < +∞ per ogni x ∈ R, determinaretutti i valori di t ∈ R tali che la controimmagine E =f−1((t,+∞)) sia un insieme misurabile. Suggerimen-to: l’insieme E e l’unione degli Ek = f−1

k((t,+∞)).

(c) Trovare una particolare successione monotona difunzioni misurabili fk tali che l’insieme X = f−1([0,+∞)) non sia l’unione degli Xk = f−1

k([0,+∞)).

[405]Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Somma e rapporto Esercizi

1) Fissato c ∈ R, definiamo la funzione costante fc(x) =c per ogni x ∈ (−∞,+∞). Stabilire come deve esserepreso c affinche fc risulti misurabile.

2) Stabilire se e misurabile la funzione caratteristica χQ :R → R dell’insieme dei numeri razionali:

χQ(x) =

{

1, se x ∈ Q,

0, se x ∈ R \Q.

(continua a fianco)

3) Fissate due funzioni misurabili f, g : R → R, stabilireper quali valori di t ∈ R e di q ∈ Q sono misurabilientrambi gli insiemi Aq e Bt,q dati da

Aq = {x ∈ R | f(x) > q },

Bq,t = {x ∈ R | q > t− g(x) }.

4) Fissati due numeri reali a, b ∈ R, con a + b > 0, sta-bilire se esiste un numero razionale q ∈ Q che soddisfientrambe le disuguaglianze a > q e b > −q.

5) Data una funzione g : R → (0,+∞), misurabile e po-sitiva, stabilire per quali valori di q ∈ Q risulta misu-rabile l’insieme

{x ∈ R | 1/g(x) > q }.

[406]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Passaggio al limite Esercizi

1) Data una funzione misurabile e non negativa f : R →

[0,+∞), stabilire se

limb→+∞

∫ b

−∞

f(x) dx =

∫ +∞

−∞

f(x) dx.

Suggerimento: applicare il teorema della convergen-za monotona alla successione fk(x) = f(x)χ(−∞,k)(x),dove χ(−∞,k) denota la funzione caratteristica dell’in-tervallo (−∞, k).

(continua a fianco)

2) Si considerino le funzioni non negative fk : R → [0,+∞) date da

fk(x) =

1 + (−1)k, se x ∈ (−∞, 0);

1− (−1)k, se x ∈ [0,+∞).

Stabilire, calcolando gli integrali, se sussiste la disu-guaglianza

∫ +∞

−∞

(

lim infk→+∞

fk(x))

dx ≤ lim infk→+∞

∫ +∞

−∞

fk(x) dx.

[407]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

Derivazione Esercizi

Consideriamo la funzione f(x) =sen x

xper x > 0.

1) Stabilire per quali s ∈ (0,+∞) il prodotto e−sx f(x)e sommabile in dx secondo Lebesgue (ha integrale fi-nito) sull’intervallo (0,+∞). Suggerimento: sfruttarela disuguaglianza f(x) < 1 per x > 0.

(continua a fianco)

2) Determinare tutti i valori di s ∈ (0,+∞) in corrispon-denza dei quali sussiste l’uguaglianza

d

ds

∫

+∞

0

e−sx f(x) dx =

∫

+∞

0

( d

dse−sx

)

f(x) dx.

3) Calcolare il limite

lims→+∞

∫

+∞

0

e−sx f(x) dx.

[408]

Analisi Matematica 3

prof. Antonio Greco

G. Fubini, L. Tonelli Esercizi

Indicati con A e B gli intervalli A = (−1, 0) e B = (0, 1), eposto E = (A∪B)×B, si consideri la funzione f : E → R

data da

f(x, y) =|x|

xy.

1) Stabilire se f e misurabile, e calcolare gli integrali

∫

A×B

f(x, y) dx dy,

∫

B×B

f(x, y) dx dy,

∫

E

|f(x, y)| dx dy.

(continua a fianco)

2) Stabilire se e ben definito l’integrale di Lebesgue

∫

E

f(x, y) dx dy.

3) Stabilire, calcolando i seguenti integrali, se sussistel’uguaglianza

∫

A∪B

(∫

B

f(x, y) dy

)

dx =

∫

B

(∫

A∪B

f(x, y) dx

)

dy.