EQUATIONS DE DROITES & SYSTEMES...

EQUATIONSDEDROITES&SYSTEMESLINEAIRESenRéalitéAugmentée

1HOUPERTN.

Problématiquespédagogiques:

Ø Commenttracerunedroitedansleplanrepéré?Ø Commentdéterminerl’équationd’unedroite?Ø Commentmontrerquetroispointssontalignés?Ø Commentreconnaîtrequedeuxdroitessontsécantesouparallèles?Ø Commentdéterminerlescoordonnéesdupointd’intersectiondedeuxdroitessécantes?

Algorithmique:

Ø InstructionsconditionnellesØ InitiationàPython

Histoire:

Ø CarlFriedrichGauss,XVIIIème

Achaquefoisquevousrencontrerezunpictogramme ,flashezleavecl’appliaurasma.Lecourssurlanotionapparaîtraenréalitéaugmentée.Prenezsoindemettrevosécouteursafindenepasperturbervoscamarades.


2HOUPERTN.

CarlFriedrichGauss,XVIIIè

SurnommélePrincedesmathématiciens,CarlFriedrichGaussétudiatouslesdomainesdesmathématiquesetcontribuaàdévelopperlaplupartdesbranchesdessciences.

Gaussnaîtle30avril1777àBrunswickdansunefamilled’artisans.Enfantprodige,ilapprendàlireetàcompterdèsl’agedetroisansetonracontequ’àcetage,ilcorrigeuneerreurdanslescomptesdesonpère.UnesecondeanecdoterelateégalementcommentGausssaitfairepreuved’untalentremarquablepourlecalculmental.Voulantoccupersesélèves,leprofesseurdemanded’effectuerdesadditions,plusexactementd’effectuerlasommedesnombresde1à100.Aprèstrèspeudetemps,lejeuneGauss,alorsâgéde10ans,impressionnesonprofesseurendonnantlaréponsecorrecte.Agéseulementde19ans,Gaussdécouvreunesolutionauproblèmedeconstructionàlarègleetaucompasd’unpolygonerégulierà17côtés.Poursuivantlestravauxcommencésparlessavantsgrecsdel’Antiquité,ildémontreégalementquecetypedeconstructionpourunnombreimpairdecôtésn’estpossiblequ’avecunnombredecôtéségalàl’undesnombrespremiers3,5,17,257,65567ouunproduitdesesnombres.

En1799,Gaussproposecommesujetdethèsesapremièredémonstrationduthéorèmefondamentaldel’algèbrequiénoncequelenombrederacinesd’uneéquationestégalaudegrédecetteéquation.Sadémonstrationleconduitàconcevoirunereprésentationgéométriquedesnombrescomplexescommepointduplan.Parexemple,l’équationx4+3x2-5x+3=0possède4solutions(nonnécessairementréelles).C’estdansledomainedesprobabilitésquelenomdeGaussrestelepluscélèbre.Ilconçoituneloistatistiquecontinue,appeléeloinormaleouloideLaplace-Gauss,dontlarépartitionestreprésentéeparlafameusecourbeencloche.L’adjectif«normale»s’expliqueparlefaitquecetteloidécritetmodélisedessituationsstatistiquesaléatoiresconcrètesetnaturelles.

Apartirde1801,Gaussprêteunintérêtostensiblepourl’astronomie.Lamêmeannéel’astéroïdeCérès,découvertrécemment,disparaîtsubitementdestélescopes.Gaussendéterminelatrajectoireetpréditleretourdel’astéroïdesanssetromperenappliquantlaméthoded’approximationdesmoindrescarrés.Cetteméthodeconsisteàcréerunmodèlemathématiqueàpartirdedonnéesexpérimentalesetpermetdeminimiserl’impactdeserreursexpérimentales.Elleestencoreutiliséeaujourd’huipourlessciences.


3HOUPERTN.

Tracerlesdroitesd’équations:

𝑦 = 3𝑥 + 1

𝑦 = −2𝑥 − 1

𝑦 = 𝑥 − 2

𝑦 = −𝑥 + 2

𝑦 = !!𝑥 + 3

𝑦 = −12𝑥 −

32

𝑦 = 6

𝑦 =75𝑥 − 1

𝑥 = −2

Commenttracerunedroitedansleplanrepéré?

Niveaudecompétences


4HOUPERTN.

Pourchaquedroite,complétezletableausuivant:

Commentdéterminerl’équationd’unedroitegraphiquement?



5HOUPERTN.

Nomdeladroite Ordonnéeàl’origine(lecturegraphique)

Coefficientdirecteur(lecturegraphique)

Equationdedroite𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Onconsidèrelafigureci-contre:

1. UtiliserlegraphiquepourlireleséquationsdesdroitesD1,D2etD3.

2. DonneruneéquationdesdroitesD4etD5.

3. Déterminerlepointd’intersectiondesdroitesD4etD5.

4. Détermineruneéquationdeladroite∆parlecturegraphique.

Soit𝐴 −1,−1 ,𝐵(2,5).

1. Ecrireuneéquationdeladroite(𝐴𝐵).

Commentdéterminerl’équationd’unedroiteparlecalcul?



6HOUPERTN.

2. Lepoint𝐶(10,21)appartient-ilà(𝐴𝐵)?

Soientlespoints𝐴 2,−3 ,𝐵 5,6 ,𝐶(2,6) .

1. PlacerlespointsA,BetCdansunrepèreorthonormé.2. Tracerlesdroites 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 𝑒𝑡 𝐵𝐶 .3. Déterminerleséquationsdechaquedroiteparlecalcul.

Soit𝐴 −2,−3 ,𝐵 3,6 ,𝐶 6,11 ,𝐷 −3,−4 ,𝐸(1; 2,7).

1. Ladroite(BC)apouréquation𝑦 = !!𝑥 + 1.LespointsB,CetEsont-ilsalignés?

2. QuediredespointsB,CetD?3. Construireladroite(AB)dansunrepèreorthonormé,puistrouverl’équationdeladroite

(AB)parlecturegraphique.4. LespointsA,BetCsont-ilsalignés?

Soit𝐴 −4,−2 ,𝐵 −5,−10 ,𝐶 1,2 , 𝐿 5,−5 ,

1. Trouverl’équationdeladroite(AL)parlecalcul.2. DémontrerqueA,LetCsontalignés.3. DéterminerlescoordonnéesdeKmilieude 𝑂𝐶 etdePmilieude 𝐵𝐶 .4. LespointsK,LetPsont-ilsalignés?

Commentmontrerquetroispointssontalignés?



7HOUPERTN.

Soit𝐴 −4,−3 ,𝐵 8,1 ,𝐶 6,−4 ,𝐷(−2,2).Démontrerquelesdroites 𝐴𝐶 𝑒𝑡 (𝐷𝐵)sontparallèles.

Parsimpleobservation,lesdroitesdetd’sont-ellesparallèles?

𝑑: 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑒𝑡 𝑑!: 𝑦 = 3𝑥 − 1

𝑑: 𝑦 = −4𝑥 + 5 𝑒𝑡 𝑑!: 𝑦 = −4𝑥 + 1𝑑: 𝑦 =

25𝑥 − 3 𝑒𝑡 𝑑!: 𝑦 = 0,4𝑥 + 2

𝑑: 𝑦 = 3 𝑒𝑡 𝑑!: 𝑦 = 3𝑥

Al’aideducalculdecoefficientdirecteur,ditessilesdroites 𝐴𝐵 𝑒𝑡 (𝐷𝐶)sontparallèles.

1. 𝐴 −3,1 ,𝐵 5,4 ,𝐶 2,−2 ,𝐷(5,−1).2. 𝐴 −4,−5 ,𝐵 5,−2 ,𝐶 −1,2 ,𝐷(5,4).

3. 𝐴 −3,−1 ,𝐵 0,− !!,𝐶 2,0 ,𝐷(−2,1).

Ecrireuneéquationdeladroiteparallèleàladroite𝑑: 𝑦 = 3𝑥 − 4etpassantpar:

1. 𝐸(3,−2) 2. 𝐹(0,3) 3. 𝐺(2,1).

Ecrireuneéquationdeladroited’passantparlepointAetparallèleàladroited:

1. 𝑑: 𝑦 = −𝑥 + 3 𝑒𝑡 𝐴(−2,6)2. 𝑑: 𝑦 = −5𝑥 𝑒𝑡 𝐴(1,−4)

Surunlogicieldegéométrie,tracerlaparaboled’équation𝑦 = 𝑥².

1. PlacerdeuxpointsAetBsurlaparabolenonsymétriquesparrapportàl’axe(𝑂𝐽).

Commentmontrerquedeuxdroitessontparallèles?



8HOUPERTN.

2. ConstruirelepointCdelaparaboletelque (𝐴𝐵) 𝑒𝑡 (𝑂𝐶) soientparallèles.3. ConjecturerunerelationentrelesabscissesdespointsA,BetC.4. Démonstration:Onnote𝑥!, 𝑥! , 𝑥! lesabscissesdeA,BetC.

a. Quellessontleursordonnées?b. Endéduirelescoefficientsdirecteursdesdroites(𝐴𝐵) 𝑒𝑡 (𝑂𝐶).c. Démontrerlarelationconjecturéeàlaquestion3.

Onconsidèrelesdroites𝑑: 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑒𝑡 𝑑!: 𝑦 = −𝑥 + 4.

1. Montrerquelesdroitessontsécantes.2. Préciserleurpointd’intersection.

Onconsidèrelesdroites𝑑: 𝑦 = −3𝑥 + 4 𝑒𝑡 𝑑!: 𝑦 = !

!− 1.

1. Montrerquelesdroitessontsécantes.2. Préciserleurpointd’intersection.

Leplanétantmunid’unrepèreorthogonal(O;𝚤,𝚥),d’unités2cmsurl’axedesabscisseset0,5cmsurl’axedesordonnées:

1. Tracerladroite(𝐷)d’équationy = 3x + 5.2. Lepoint𝐵(1 ; 7)appartient-ilà(𝐷)?3. DéterminerlescoordonnéesdupointAde (𝐷) dontl’ordonnéeestégaleà2.4. Déterminerlescoordonnéesdespointsd’intersectionIetJde(𝐷)avecl’axedesabscisses,

avecl’axedesordonnéesrespectivement.5. Déterminerlescoordonnéesdupointd’intersectiondeladroite∆!d’équation

y = −3x + 7etdeladroite∆!d’équation𝑦 = x + 5.

Résolutiongraphiqued’équationsOndonnedansunrepèreorthonormal(O;𝚤,𝚥)duplan:

• lespoints𝐴 −1 , 2 ,𝐵 −2,2 ,𝐶 1,−2 𝑒𝑡 𝐷 3,2

Commentdéterminerlescoordonnéesdupointd’intersectiondedeuxdroites

sécantes?



9HOUPERTN.

• lesdroites: ∆d’équation2x − 5y + 4 = 0et∆′d’équation2x + y = 0 .1. Donnerleséquationsréduites𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 desdroites∆et∆′.2. Vérifierqueladroite∆′passeparAetC.3. Endéduireuneéquationdeladroite(𝐴𝐶).4. Calculerlescoordonnéesdupointd’intersectiondesdroites(𝐴𝐶)et∆.

EnglishcornerExercise1ThefollowinggraphrepresentsabikeridefromBournemouthtoNewForestNationalPark.

1. Sketchthisgraphonyourownpaper.2. What’stheaveragespeedofthecyclistinmilesperhour?3. AnothercyclististravelingfromNewForesttoBournemouthataconstantspeedof12miles

perhour.At1pm,thecyclistis15milesfromBournemouth.Onthesamediagram,drawthegraphthatshowsthejourneyofthiscyclisttoBournemouth.

4. AtwhattimedoesthecyclistgettoBournemouth?5. AtwhattimearebothcyclistsatthesamedistancefromBournemouth?

Exercise2

Tocleantheupstairswindowonthesideofahouse,itisnecessarytopositiontheladdersathatittouchestheedgeofthelean-toshed.Thecoordinatesrepresentdistancesbetween0inmeters,inthexandydirectionsshownbelow.


10HOUPERTN.

1. FindtheheightofpointBreachedbythetopoftheladder.2. Determinethelengthoftheladdertothenearestcentimeter.3. Asecondladder,touchingthetopoftheroof(7metershigh)isparalleltothefirstone.

Wheredoesittouchtheground?

Exercise3

Intheframeofreference,𝐴 2,1 ,𝐵 5,−3 ,𝐶 0,3 ,𝐷(6,−5).Showthatlines 𝐴𝐵 and 𝐷𝐶 areparallel.

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