Equações não Lineares
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Equacoes nao lineares
Metodos Numericos e EstatısticosParte I-Metodos Numericos
Equacoes nao lineares
Luısa Morgado
Lic. Eng. Biomedica e Bioengenharia-2009/2010
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Para determinarmos um valor aproximado das raızes de uma equacao nao linear,convem notar inicialmente que varias situacoes diferentes podem ocorrer no querespeita a existencia e unicidade de solucao:
Nao existe solucaosin x − 2 = 0;
Existe solucao e e unicax + 1− ex = 0;
Existe uma solucao multipla(x − 3)2 = 0;
Existem varias solucoes, algumas delas multiplas
(x − 1)(x − π)3 = 0;
Existe uma infinidade de solucoes
cos x = 0.8.
A maior parte dos metodos numericos para resolucao de equacoes nao lineares exige o
fornecimento de uma regiao que contenha as raızes procuradas. Como tal, na
utilizacao de tais metodos, e necessario um estudo preliminar mınimo da funcao
envolvida na equacao.
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Equacoes nao lineares
Metodo Grafico
Um dos metodos mais elementares para localizar um zero de umafuncao e o metodo grafico.Imaginemos que pretendemos localizar os zeros da funcao
f (x) = ex − 3x .
Notemos, em primeiro lugar que determinar os zeros de f eequivalente a determinar as raızes da equacao
f (x) = 0⇔ ex = 3x .
Assim sendo, ao utilizarmos o metodo grafico, em vez de fazermoso tracado do grafico de f e localizar os pontos onde este intersectao eixo dos xx , e mais simples se fizermos o tracado das funcoes ex
e 3x e localizar os pontos onde estes se intersectam.
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-0.5 0.5 1 1.5 2x
2
4
6
y
3x
ex
Por analise dos graficos, podemos palpitar queexistem duas raızes, x∗1 e x∗2 da equacao e que
x∗1 ∈ [0, 1] e x∗2 ∈ [1, 2].
Convem sempre verificar analiticamente a existencia e a unicidade de tais raızes nosrespectivos intervalos.Recordemos que
Se f e uma funcao contınua num intervalo [a, b] e se f (a) · f (b) < 0, entao f tempelo menos um zero em [a, b].Se alem disso, ∀x ∈]a, b[, f ′(x) 6= 0 entao, nesse intervalo, esse zero e unico .
Verifiquemos entao que sendo f (x) = ex − 3x , existe um unico x∗1 ∈ [0, 1] tal quef (x∗1 ) = 0.
f (0) = 1 > 0, f (1) = e − 3 < 0, logo f (0) · f (1) < 0;
f ′(x) = ex − 3 so se anula em ln 3 ' 1.1, logo ∀x ∈]0, 1[, f ′(x) 6= 0.
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Equacoes nao lineares
Metodos Numericos para equacoes nao lineares
Os metodos que iremos estudar sao iterativos, i.e., fornecem-nosuma sucessao de valores x1, x2, . . ., os quais, em caso deconvergencia da sucessao, se irao aproximar da solucao x∗ de umaequacao f (x) = 0.Esta sucessao e definida por recorrencia, necessitando de uma oumais aproximacoes iniciais, conforme o metodo.
A utilizacao de um metodo iterativo coloca-nos, a partida tresproblemas:
1 construcao do metodo;
2 estudo da convergencia da sucessao de aproximacoesx1, x2, . . . fornecida pelo metodo;
3 analise da velocidade de convergencia.
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Criterios de paragem
Como e impossıvel efectuar um numero infinito de iteracoes , seranecessario parar apos a obtencao de uma aproximacao xN . Istocoloca-nos outro problema: o da escolha de um criterio deparagem, dependente da precisao pretendida.Suponhamos que pretendemos determinar uma aproximacao xn daraız x∗ da equacao f (x) = 0, localizada num intervalo I = [a, b],tal que |xn − x∗| < ε.Existem varios criterios de paragem, p.e.:
(i) Criterio do erro absoluto: |xn − xn−1| < ε;
(ii) Criterio do erro relativo: |xn−xn−1||xn| < ε;
(iii) Numero maximo de iteracoes: n = nmax . Estecriterio costuma usar-se como factor de seguranca,para o caso do metodo divergir, e como tal e usualusa-lo juntamente com outro criterio;
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(iv) no caso de f ∈ C 1 (I ), sabemos, pelo teorema dovalor medio de Lagrange que
f (xn)−f (x∗) = f ′ (ξ) (xn − x∗) , para algum ξ ∈ I .
Sendo f ′ (ξ) 6= 0, podemos dizer
|xn − x∗| =|f (xn)− f (x∗)||f ′ (ξ)|
.
Como f (x∗) = 0 e ξ e desconhecido:
|xn − x∗| ≤ |f (xn)|minx∈I |f ′ (ξ)|
,
e desta forma obtem-se o criterio de paragem
|f (xn)|minx∈I |f ′ (ξ)|
< ε.
Note-se que se f ′ tomar valores muito pequenos,mesmo nao sendo nulos, este deixa de ser um criteriorazoavel;
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(v) Criterio do valor da funcao: |f (xn)| < ε.Este criterio pode nao ser uma boa escolha sempreque o grafico de f esteja muito proximo do eixo dosxx , pois assim pode ser verificado o criterio deparagem e no entanto xn estar ”longe” de x∗.
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Ordem de convergencia
Chamamos ordem de convergencia de uma sucessao conver-gente (xn)n∈N, a maior potencia p ≥ 1 tal que
|xn+1 − x∗| ≤ k |xn − x∗|p ,
para algum 0 < k < 1. A k da-se o nome de factor de con-vergencia.Se p = 1, dizemos que a convergencia e linear; se p > 1, aconvergencia diz-se supra-linear.
Assim, quanto maior for a ordem de convergencia de um metodo,mais rapido ele e no fornecimento de uma boa aproximacao dasolucao; Se dois metodos tiverem a mesma ordem de convergencia,e mais rapido aquele que apresentar um factor de convergenciamenor.
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Equacoes nao lineares
No caso de convergencia linear, sao validas as seguintes ma-joracoes:
|xn − x∗| ≤ 1
1− k|xn − xn+1|
|xn+1 − x∗| ≤ k
1− k|xn − xn+1|
No caso de convergencia supra-linear:
|xn − x∗| ≈ |xn − xn+1|
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Metodo da Bisseccao
O teorema de Bolzano sugere-nos um processo muito simples paraobter uma aproximacao do zero de uma funcao f :Supondo que
1. f e contınua em [a, b],2. f (a) · f (b) < 0,3. ∀ ∈]a, b[, f ′(x) 6= 0,
i.e existe um unico zero da funcao f no interior do intervalo [a, b],o processo consiste em dividir o intervalo dado ao meio,obtendo-se assim os dois subintervalos[
a,a + b
2
]e
[a + b
2, b
]e depois testar a condicao 2. nestes dois intervalos para determinarqual deles contem a raız.O processo e repetido para o novo subintervalo contendo a raız ateque se obtenha a precisao pretendida.
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Equacoes nao lineares
Condicao suficiente de convergencia:f contınua em [a, b]f (a)f (b) < 0
Inicializacao:a0 = a, b0 = bx0 = a ou x0 = b
Ciclo:Para m ≥ 0 fazer
xm+1 = am+bm2
Se |xm+1 − xm| ≤ ε ou f (xm+1) ≤ εentao fazer x∗ ≈ xm+1 e parar
caso contrarioSe f (xm+1) f (am) < 0 entao fazer
am+1 = am e bm+1 = xm+1
senaoam+1 = xm+1 e bm+1 = bm
Metodo da bisseccao
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Equacoes nao lineares
Se x∗ e o zero de f localizado no intervalo [an, bn], entao
|xn+1 − x∗| ≤ |xn+1 − xn| .
Por outro lado, prova-se facilmente que
|bn − an| =1
2n(b − a)
e que
|xn+1 − x∗| ≤bn − an
2ou |xn − x∗| ≤
b − a
2n, n ≥ 0.
No caso do metodo da bisseccao nao existe nenhuma constante k, 0 < k < 1 quesatisfaca
|xn+1 − x∗| ≤ k |xn − x∗| ou |xn − x∗| ≤ kn |x0 − x∗| , n ≥ 0.
No entanto, se considerarmos que um metodo tem convergencia linear quando
|xn − x∗| ≤ kn(b − a), n ≥ 0, podemos afirmar que o metodo da bisseccao converge
linearmente, com factor de convergencia k = 12
.
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Exemplo
O numero de indivıduos de uma populacao pode ser dado, numcurto perıodo de tempo, pela funcao
N(t) = N0eλt +ν
λ
(eλt − 1
),
onde ν representa a taxa anual de imigracao, λ a taxa anual denatalidade e N0 o numero de indivıduos no instante inicial.Sabe-se que uma dada populacao possui inicialmente um milhaode indivıduos, que 281× 103 imigraram para a comunidade duranteo primeiro ano e que no fim desse ano existem 1.780× 106 deindivıduos. Pretende-se determinar a taxa de natalidade dessapopulacao nesse ano.
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Equacoes nao lineares
Para determinarmos a taxa de natalidade, temos que resolver aequacao nao linear
1.780× 106 = 106eλ +281× 103
λ
(eλ − 1
).
Vamos faze-lo determinando o zero da funcao
f (λ) = 106eλ +281× 103
λ
(eλ − 1
)− 1.780× 106
no intervalo [0.1, 1], pelo metodo da bisseccao com x0 = 0.1.
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Equacoes nao lineares
Com o criterio de paragem |f (xn)| < 10−4:
x1 = 0.55 f (x1) = 327878.650632 x17 = 0.365216827393 f (x17) = 0.8283339x2 = 0.325 f (x2) = −63930.5493404 x18 = 0.365213394165 f (x18) = −4.735935x3 = 0.4375 f (x3) = 121336.159014 x19 = 0.365215110779 f (x19) = −1.9538028x4 = 0.38125 f (x4) = 26188.1277134 x20 = 0.365215969086 f (x20) = −0.5627351x5 = 0.353125 f (x5) = −19482.6488803 x21 = 0.365216398239 f (x21) = 0.1327992x6 = 0.3671875 f (x6) = 3197.7633636 x22 = 0.365216183662 f (x22) = −0.2149679x7 = 0.36015625 f (x7) = −8180.9199049 x23 = 0.365216290951 f (x23) = −0.0410844x8 = 0.363671875 f (x8) = −2501.2307709 x24 = 0.365216344595 f (x24) = 0.0458574x9 = 0.3654296875 f (x9) = 345.8490071 x25 = 0.365216317773 f (x25) = 0.0023865x10 = 0.36455078125 f (x10) = −1078.2946831 x26 = 0.365216304362 f (x26) = −0.0193489x11 = 0.364990234375 f (x11) = −366.3738534 x27 = 0.365216311067 f (x27) = −0.0084811x12 = 0.365209960938 f (x12) = −10.3001852 x28 = 0.36521631442 f (x28) = −0.0030473
x13 = 0.365319824219 f (x13) = 167.7649694 x29 = 0.365216316096 f (x29) = −3.304× 10−4
x14 = 0.365264892578 f (x14) = 78.7300319 x30 = 0.365216316935 f (x30) = 0.0010281
x15 = 0.365237426758 f (x15) = 34.2143333 x31 = 0.365216316516 f (x31) = 3.488× 10−4
x16 = 0.365223693848 f (x16) = 11.9569266 x32 = 0.365216316306 f (x32) = 9.2× 10−6
Sao necessarias 32 iteracoes.
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Equacoes nao lineares
Com o criterio de paragem |xn − xn+1| < 10−4:
Seriam necessarias 18 iteracoes para a aproximacao pedida, com a seguinte majoracaopara o erro:
|x∗ − x18| ≤1− 0.1
218= 3.4× 10−6.
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No scilab:
Exemplo
Exercıcio 18 dos problemas propostos:
x=[2:0.1:8]’;
function y=fun(t),y=7*exp(-2*t)+2*exp(-0.1*t)-1, endfunction;clf();
plot(x,fun(x))
a=6;b=7;it=0;h=10;
while h>10^(-8),
c=(a+b)/2;
if fun(c)*fun(a)>0 then a=c;else b=c;end;
printf(’it=%d\n’,it);
printf(’xi=%0.8f\n’,c);
printf(’f(xi)=%0.8f\n’,fun(c));
it=it+1;
h=abs(b-a);
end;
printf(’h=%0.8f\n’,h);printf(’valor aprox:%0.8f’,c)
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Metodo do ponto fixo
Muitas vezes, o problema da determinacao do zero de uma funcao f pode reduzir-se aprocura de um valor z que satisfaca a equacao g(x) = x . Diz-se entao que z e umponto fixo de g .O metodo do ponto fixo e um metodo iterativo para aproximar o zero de uma funcaof , localizado no intervalo [a, b], baseado na relacao de recorrencia
xn+1 = g(xn), n ≥ 0, x0 ∈ [a, b].
Existem varias maneiras de reescrever f (x) = 0 na forma g(x) = x .
Exemplo
Para aproximarmos a raız de ex − 1x
= 0 no intervalo [0.4, 0.6], pelo metodo do pontofixo, temos que inicialmente escolher a funcao de iteracao g.Ora ex − 1
x= 0 pode ser reescrita, p.e.,
x = e−x ;
x = − ln x.
O proximo teorema diz-nos quais as condicoes que teremos que impor a g por forma a
obter um metodo convergente.
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Teorema do ponto fixo
Seja g uma funcao definida no intervalo fechado [a, b] satis-fazendo
1 a ≤ g(x) ≤ b, para todo o x ∈ [a, b];
2 existe uma constante L, 0 < L < 1 tal que|g(x)− g(y)| ≤ L|x − y | para quaiquer x , y ∈ [a, b].
Nestas condicoes g possui em [a, b] um unico ponto fixo z , limiteda sucessao definida por recorrencia{
x0
xn = g (xn−1) , n ∈ N
qualquer que seja x0 ∈ [a, b].
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Equacoes nao lineares
Dem.: Comecemos por mostrar que a sucessao (xn)n∈N e convergente:Ora
|xn+1 − xn| = |g(xn)− g(xn−1)| ≤ L |xn − xn−1| ≤ L2 |xn−1 − xn−2| ≤ . . . ≤ Ln |x1 − x0| .
Sendo n > k
xn − xk = xn − xn−1 + xn−1 − xn−2 + . . .+ xk+1 − xk
pela desigualdade triangular
|xn − xk | ≤ |xn − xn−1|+ |xn−1 − xn−2|+ . . .+ |xk+1 − xk |
≤(
Ln−1 + Ln−2 + . . .+ Lk)
︸ ︷︷ ︸progressao geometrica de razao L
|x1 − x0|
= Lk 1− Ln−k
1− L|x1 − x0| <
Lk
1− L|x1 − x0| .
Desta forma, dado δ > 0, existe p ∈ N, tal que n, k ≥ p ⇒ |xn − xk | < δ, desde que
n > k. Podemos entao afirmar que (xn)n∈N e uma sucessao de Cauchy em R logo
convergente para um limite z que pertence a [a, b], pela condicao 1.
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Mostremos agora que z e um ponto fixo de g :
|g(z)− z| = |g(z)− xn+1 + xn+1 − z| ≤ |g(z)− xn+1|+ |xn+1 − z|= |g(z)− g(xn)|+ |xn+1 − z| .
Como g e contınua (pela condicao 2.) e como limn
xn = z, fazendo n→∞ na
desigualdade acima obtem-se g(z)− z = 0⇔ g(z) = z.Resta-nos mostrar que o ponto fixo e unico. Para tal suponhamos que existem doispontos fixos de g , z1 e z2.
|z1 − z2| = |g (z1)− g (z2)| ≤ L |z1 − z2| < |z1 − z2| ,
o que e absurdo. Logo teremos que ter z1 = z2.
Nota: Dividindo ambos os membros da inequacao da condicao 2. do teorema por
|x − y | e supondo que existe o limite limy→x
g(x)−g(y)x−y
, podemos concluir que
|g ′(x)| ≤ L < 1 em [a, b].
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Condicao suficiente de convergencia:f contınua em [a, b]f (a)f (b) < 0Escolher uma funcao g tal que f (x) = 0⇔ g(x) = x , com
g ∈ C 1 (]a, b[)g ([a, b]) ⊂ [a, b]maxx∈]a,b[ |g ′(x)| < 1
Inicializacao:x0 ∈ [a, b]
Ciclo:Para m ≥ 0 fazer
xm+1 = g(xm)ate
|xm+1 − xm| ≤ ε ou |f (xm+1)| ≤ ε
Metodo do ponto fixo
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Equacoes nao lineares
Supondo g ′(x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, o metodo do ponto fixo temconvergencia linear a admite a seguinte majoracao do erro
|z − xn+1| ≤ maxx∈[a,b]
∣∣g ′(x)∣∣ |z − xn| , n ≥ 0.
Se g e tal que
g ′(z) = . . . g (p−1)(z) = 0 e g (p)(z) 6= 0,
entao a ordem de convergencia do metodo e p e a estimativa parao erro e
|z − xn+1| ≤M
p!|z − xn|p , n ≥ 0,
com M = maxx∈]z−ε,z+ε[
∣∣g (p)(x)∣∣.
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Exemplo
Vamos resolver a equacao algebrica x2 − 100x + 1 = 0 pelo metodo do ponto fixo.Usando a formula resolvente, sabemos que as raızes desta equacao sao x∗1 ' 0.01 ex∗2 ' 99.99.Ora,
x2 − 100x + 1 = 0⇔ x =1
100
(x2 + 1
)︸ ︷︷ ︸
g1(x)
.
Como g ′1(x) = 0.02x a escolha desta funcaoiteradora g1 e boa para aproximarmos x∗1 .
O esquema iterativo
x0 = 1
xn+1 =1
100
(x2
n + 1), n ≥ 0,
fornece as seguintes aproximacoes:
xi g1(xi )0.02 0.0100040.010004 0.01000100080.0100010008 0.01000100020.0100010002 0.0100010002
Analizando os resultados obtidos, concluımos que a partir da quarta iteracao se tem
xn ≈ g1(xn).
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Equacoes nao lineares
A funcao iteradora g1 ja nao e uma boa escolha quando se pretende aproximar a raızx∗2 pelo metodo do ponto fixo. Vamos entao escrever
x2 − 100x + 1 = 0⇔ x = 100−1
x︸ ︷︷ ︸g2(x)
.
Comecando com a aproximacao inicial x0 = 10, como g ′2(x) = 1x2 , o esquema iterativo
x0 = 10
xn+1 = 100−1
xn, n ≥ 0,
convergira para x∗2 .
xi g2(xi )99.9 99.989989999.9899899 99.989998998999.9899989989 99.989998999899.9899989998 99.9899989998
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
No scilab:
Exemplo
Exercıcio 21 dos problemas propostos:
function y=f(x), y=exp(x)-4*x^2, endfunction;
x=[-6:0.1:6]’;
plot(x,f(x));
f(4)
f(5)
function z=g(x), z=log(4*x^2), endfunction;
g(4)
g(5)
a=[4:0.1:5]’;
plot(a,g(a));
x0=4;it=1;tol=1;
while tol>10^(-5)
xi=g(x0);tol=abs(xi-x0);
printf(’it=%d\n’,it);
printf(’xi=%0.8f\n’,xi);
x0=xi;
it=it+1;
end;
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Metodo de Newton
Seja f ∈ C 2[a, b], [a, b] ⊂ R e x∗ ∈ [a, b] a unica raız de f (x) = 0 nesse intervalo.Suponhamos que:
f (a)f (b) < 0
f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b)
f ′′(x) de sinal constante em (a, b).
Pela formula de Taylor, sendo x0 ∈ [a, b],
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(η)
2(x − x0)2, η ∈ I{x , x0}
Podemos entao escrever
f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0),
e obter uma aproximacao da raız de f (x) = 0 fazendo x = x1, de forma a que osegundo membro se anule, i.e.:
f (x0) + f ′(x0)(x1 − x0) = 0⇒ x1 = x0 −f (x0)
f ′(x0), f ′(x0) 6= 0.
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Equacoes nao lineares
Fazendo sucessivamente f (x) ≈ f (xn) + f ′(xn)(x − xn), vem a chamada formulaiteradora do metodo de Newton
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn), n = 0, 1, . . . ,
desde que f ′(x) nunca se anule em nenhuma das iteracoes.
Nota: Note que y = xn − f (xn)f ′(xn)
e a equacao da recta tangente ao grafico de f no
ponto xn, razao pela qual o metodo de Newton tambem e conhecido pelo metodo da
tangente.
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Equacoes nao lineares
Interpretacao geometrica
Suponhamos que f (a) < 0, f (b) > 0 ef ′′(x) > 0.
Sendo x0 = b, consideremos a recta tangente a curva em x0. A equacao desta rectatangente e entao y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0). Se considerarmos a interseccao destarecta com o eixo dos abcissas (fazendo y = 0), obtemos:
x = x0 −f (x0)
f ′(x0)︸ ︷︷ ︸x1
Se considerarmos a recta tangente a curva em x1:
y − f (x1) = f ′(x1)(x − x1)y=0=⇒ x = x1 −
f (x1)
f ′(x1)︸ ︷︷ ︸x2
e assim sucessivamente.Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Condicao suficiente de convergencia:f contınua em [a, b]f (a)f (b) < 0f ′(x), f ′′(x) 6= 0,∀x ∈ [a, b]f (x0)f ′′(x) > 0, ∀x ∈ [a, b]
Inicializacao:x0 escolhido de acordo com a ultimacondicao de convergencia
Ciclo:Para m ≥ 0 fazer
xm+1 = xm − f (xm)f ′(xm)
ate|xm+1 − xm| ≤ ε ou f (xm+1) ≤ ε
Metodo de Newton
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Exemplo
Dado a > 0, determinemos, pelo metodo de Newton, uma aproximacao do seuinverso, 1
a.
O problema proposto e equivalente a determinacao da raız da equacao a = 1x
.
Consideremos entao a funcao f (x) = 1x− a Com a = 7, f (x) = 1
x− 7 e pode
localizar-se o zero desta funcao no intervalo [0.1, 0.2]. Como
f e contınua em [0.1, 0.2] e f (0.1) = 3 > 0, f (0.2) = −2 < 0,
f ′(x) = − 1x2 < 0, ∀x ∈ [0.1, 0.2],
f ′′(x) = 2x3 > 0, ∀x ∈ [0.1, 0.2],
com x0 = 0.1,
o metodo de Newton sera convergente para a solucao do problema fornecendo asseguintes aproximacoes:
x1 = 0.13x2 = 0.1417x3 = 0.14284777x4 = 0.1428571422x5 = 0.1428571429x5 = 0.1428571429
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Condicoes suficientes de convergencia
Se f (a)f (b) < 0, f ′(x) 6= 0 e f ′′(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b], entao a sucessao {xn} econvergente para o unico zero de f em [a, b], desde que se considere a condicaof (x0)f ′′(x0) > 0.
Dem.: Suponhamos, sem perda de generalidade, quef (a) < 0, f (b) > 0, f ′(x), f ′′(x) > 0, x0 = b.Para provarmos que {xn} e convergente, mostraremos que {xn} e nao crescente elimitada inferiormente.
{xn} e limitada inferiormente: Usando a formula de Taylor
0 = f (x∗) = f (xn) + f ′(xn)(x∗ − xn) + f ′′(η)(x∗ − xn)2
2, ηn ∈ I{x∗, xn}
Dividindo tudo por f ′(x) 6= 0, temos:
0 = x∗ −(
xn −f (xn)
f ′(xn)
)︸ ︷︷ ︸
xn+1
+f ′′(ηn)
f ′(xn)
(x∗ − xn)2
2⇐⇒
⇐⇒ x∗ − xn+1 = −f ′′(ηn)
f ′(xn)
(x∗ − xn)2
2≤ 0
donde resulta que x∗ ≤ xn+1,∀n ∈ N0.
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Equacoes nao lineares
{xn} e nao crescente: Como x∗ ≤ xn, ∀n ∈ N, vem que f (xn) ≥ 0, ∀n ∈ N0.De
x1 − x0 = −f (x0)
f ′(x0)
e f (x0) > 0 resulta x1 < x0 e de
xn+1 − xn = −f (xn)
f ′(xn)(1)
e de f (xn) ≥ 0 resulta xn+1 < xn.
Provamos entao que a sucessao {xn} e convergente. Vejamos agora se xn −→ x∗.
Sendo α tal que xn −→ α, tomando o limite em (1) obtemos f (α) = 0. Mas como
este intervalo contem uma unica raız, temos que α ≡ x∗
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Convergencia quadratica
Nas condicoes do teorema anterior
|x∗ − xn+1| ≤ M|x∗ − xn|2, n ∈ N0
onde
M =1
2
maxx∈[a,b] |f ′′(x)|minx∈[a,b] |f ′(x)|
Dem.: Seja x0 ∈ [a, b] tal que f (x0)f ′′(x0) > 0. Vimos que
|x∗ − xn+1| =
∣∣∣∣−1
2
f ′′(ηn)
f ′(xn)(x∗ − xn)2
∣∣∣∣ , ηn ∈ I{x∗, xn}
donde resulta imediatamente o pretendido.
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
No scilab:
Exemplo
Exercıcio 21 dos problemas propostos:
function y=f(x), y=5*10^(-2)-(4+x)./(((25-x)^2).*(30-x)), endfunction;
x=[10:0.1:20];
plot(x,f(x));
f(18)
f(19)
x0=19;it=1;tol=1;
while tol>10^(-8)
xi=x0+(f(x0))/(((25-x0)*(30-x0)+2*(4+x0)*(30-x0)+(4+x0))/((25-x0)^3*(30-x0)^2));
tol=abs(xi-x0);
printf(’it=%d\n’,it);
printf(’xi=%f\n’,xi);
x0=xi;
it=it+1;
end;
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Metodo da secante
Este metodo conjuga a simplicidade do metodo da biseccao com arapidez do metodo de Newton, evitando as dificuldades desteultimo nos pontos onde nao se pode calcular a derivada.
Deduz-se tal como o metodo de Newton,mas em vez da tangente consideramos ainterseccao da recta secante que passapelos pontos (xn, f (xn)) e (xn−1, f (xn−1))com o eixo dos xx .obtendo-se a seguinte formula derecorrencia:
xn+1 = xn −f (xn)
f (xn)− f (xn−1)(xn − xn−1)
Tal como no metodo da bisseccao, este requer duas aproximacoesiniciais.
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Equacoes nao lineares
Condicao suficiente de convergencia:f contınua em [a, b]f (a)f (b) < 0f ′(x), f ′′(x) 6= 0,∀x ∈ [a, b]f (x−1)f ′′(x) > 0 e f (x0)f ′′(x) > 0, ∀x ∈ [a, b]
Inicializacao:x0 e x−1
Ciclo:Para m ≥ 0 fazer
xm+1 = xm − f (xm) xm−xm−1
f (xm)−f (xm−1)
ate|xm+1 − xm| ≤ ε ou f (xm+1) ≤ ε
Metodo da secante
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Pode provar-se que
|x∗ − xn+1| ≤1
2
maxx∈[a,b] |f ′′(x)|minx∈[a,b] |f ′(x)|
|x∗ − xn| |x∗ − xn−1|
e que o metodo da secante tem convergencia supra-linear, naochegando a ser quadratica.Mais ainda, pode provar-se que a ordem de convergencia dometodo da secante e
p = Φ =1 +√
5
2,
o numero de ouro.
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Equacoes nao lineares
No scilab:
Exemplo
Exercıcio 30 dos problemas propostos:
function y=f(x), y=sqrt(x).*log(10000./2.51*sqrt(x))-1.1513, endfunction;
x=[0.01:0.001:0.05]’;
plot(x,f(x));
clf();
function
z=df(x), z=0.5*x^(-0.5).*(1+log(10000./2.51*sqrt(x))),
endfunction;
plot(x,df(x));
clf();
function
w=d2f(x), w=0.5.*x^(-0.5).*(-0.25*x^(-1).*(1+log(10000./2.51*sqrt(x)))+1),
endfunction;
plot(x,d2f(x));
f(0.01)
f(0.02)
f(0.05)
xm1=0.01;x0=0.02;it=1;tol=1;
while tol>10^(-8)
xi=x0-f(x0)*((x0-xm1)/(f(x0)-f(xm1)));tol=abs(xi-x0);
printf(’it=%d\n’,it);
printf(’xi=%0.8f\n’,xi);
xm1=x0;
x0=xi;
it=it+1;
end;
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
![Page 41: Equações não Lineares](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051319/5874a7f71a28ab00638b67d3/html5/thumbnails/41.jpg)
Equacoes nao lineares
Equacoes algebricas
Um caso particular frequente de equacao nao linear e a equacaoalgebrica de grau n, com coeficientes reais:
p(x) = a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an = 0, a0 6= 0
Existem formulas de resolucao para n ≤ 4, mas sao em geral, dedifıcil implementacao e por vezes mal condicionadas do ponto devista numerico. Desta forma, e costume recorrer-se aos metodosnumericos para n ≥ 3, sendo estes obrigatorios sempre que n ≥ 5.
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
![Page 42: Equações não Lineares](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051319/5874a7f71a28ab00638b67d3/html5/thumbnails/42.jpg)
Equacoes nao lineares
Teorema Fundamental da Algebra
Seja p(x) um polinomio de grau n ≥ 1 de coeficientes reais.Entao existe x∗ ∈ C tal que p(x∗) = 0.
E seus corolarios:
Se p(x) e um polinomio de grau n de coeficientes reais, entaop(x) admite n zeros, reais ou complexos, iguais ou distintos.
Um polinomio de grau ımpar admite pelo menos um zero real.
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
![Page 43: Equações não Lineares](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051319/5874a7f71a28ab00638b67d3/html5/thumbnails/43.jpg)
Equacoes nao lineares
Teorema de Cauchy
Todos os zeros x∗ do polinomio p(x) =n∑
j=0
aj xn−j , com a0 6= 0, estao no interior
do circulo (do plano complexo) centrado na origem e raio
R = 1 + maxj=1,...,n
{∣∣∣∣ aj
a0
∣∣∣∣}
E seu corolario:
Os zeros x∗ do polinomio p(x) =n∑
j=0
aj xn−j , com a0 6= 0 e an 6= 0, estao no exterior
do circulo (do plano complexo) centrado na origem e raio
r =1
1 + maxj=0,...,n−1
{∣∣∣∣ aj
an
∣∣∣∣}
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Exemplo
Localizemos os zeros dep(x) = 8x6 − 4x5 − 22x4 + 5x3 − 3x2 + 9x + 27.
R = 1 + max
{27
8,
9
8,
3
8,
5
8,
22
8,
4
8
}= 1 +
27
8=
35
8
r =1
1 + max
{8
27,
4
27,
22
27,
5
27,
3
27,
9
27
} =1
1 +22
27
=27
49
entao
0.55 =27
44< |x∗| < 35
8= 4.375
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![Page 45: Equações não Lineares](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022051319/5874a7f71a28ab00638b67d3/html5/thumbnails/45.jpg)
Equacoes nao lineares
Regra de sinais de Descartes
O numero np de zeros reais positivos de um polinomio p(x) emenor ou igual ao numero de variacoes de sinal ν dos coeficientesde P(x). Mais ainda, ν−np e um inteiro par positivo. Da mesmamaneira, o numero de zeros reais negativos de P(x) e no maximoigual ao numero de variacoes de sinal dos coeficientes de P(−x).
Exemplo
p(x) = x4 − x3 − x2 + x − 1. Temos entao
1 3 zeros reais positivos um zero real negativo, ou
2 1 zero real positivo, 1 zero real negativo e dois zeros complexos conjugados.
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Equacoes nao lineares
Teorema de Newton
Se em c > 0 o polinomio p(x) =n∑
j=0
aj xn−j , com a0 > 0 e as suas sucessivas
derivadas pj (x), j = 1, 2, . . . , n − 1 sao nao negativas, entao qualquer zero realpositivo x∗ de p(x) e inferior a c.
Chamamos sequencia de Fourier de p(x) em [a, b], a sequencia formada por p epelas sucessivas derivadas p′, p′′, . . . , p(k) ate a primeira derivada p(k) que tem sinalconstante em [a, b].
O numero de raızes reais de p(x) = 0 em [a, b], onde p(a) 6= 0 e p(b) 6= 0, e igualao numero de variacoes de sinal perdidas pela sequencia de Fourier de p(x) de apara b ou um numero inferior e da mesma paridade.
Este ultimo resultado e o conhecido teorema de Fourier.
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Equacoes nao lineares
No caso de se pretender obter um zero real simples de umaequacao algebrica qualquer dos metodos numericos apresentadosanteriormente sao validos. No entanto para se determinar um zerocomplexo o metodo da bisseccao nao pode ser usado. O metodode Newton e o metodo da secante so convergirao para um zerocomplexo se a aproximacao inicial for um complexo (e obviamenteforem satisfeitas as condicoes de convergencia) sendo todo oprocesso realizado em aritmetica complexa. Note-se que uma vezdeterminada uma raız complexa, ficamos imediatamente aconhecer a sua conjugada.
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