Resolução de equações não lineares
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Resolução de equações não lineares
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Raiz de uma equação
Raiz exata Um número xr é raiz exata de uma equação f(x)=0 se
f(xr)=0 Raiz aproximada
Um número x’ é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x’-xr| e |f(x’)| forem ambos próximos de 0
Comparar o módulo da subtração da raiz é basicamente uma operação teórica, pois não se pode obter a raiz exata
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Calculando as raízes
Para calcular as raízes reais de uma equação f(x)=0 é necessário:
1) delimitar, enumerar e separar as raízes 2) utilizar um método numérico para
calculo de cada raiz
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Equações algébricas polinomiais
A) toda equação do tipo anxn+an-1xn-1
+...a1x1+a0 é algébrica e polinomial n é um número natural denominado grau
da equação Os coeficientes ai, i=0...n são números
reais
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Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade
Equações algébricas polinomiais
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Multiplicidade de raizes
Uma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a função que origina a equação
Anula as derivadas até a ordem m-1
Não anula a derivada de ordem m
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Exemplo
A equação f(x)=x3-5x2+8x-4 tem raízes x1=1 x2=2 e x3=2
f(2)=0 f’(2) = 3x2-10x+8 -> f’(2)=0 f’’(2)=6x-10 ->f’’(2)=2
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As raízes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi)
Toda equação polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real
Equações algébricas polinomiais
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Delimitação de raízes reais
Limite superior positivo-teorema de Lagrange Seja f(x)=0 uma equação polinomial de grau n, na
qual an>0 e a0 ≠ 0 Para limite superior de suas raízes positivas, caso
existam pode ser tomado o número
K= grau do 1º termo negativo M= módulo do menor coeficiente negativo
knna
ML 1
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Exemplo
Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
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Exemplo
Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
n=5,k=3,a5=1 e M=16
351
161 L 541161 2
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Delimitação das raízes reais
Limite inferior negativo Obter a equação auxiliar f1(x)=f(-x)=0
usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas raízes positivas L1
O limite inferior das raízes negativas é dado por –L1
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Exemplo
Calcule o limite inferior para as raízes negativas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
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Exemplo
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0
an<0 logo devemos multiplicar f1 por -1
f1(x) = x5-x4-8x3+16x2+7x-14 =0
n=5,k=4,a5=1 e M=14
Logo –L1=-15
451 1141 L 15141141 1
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Enumeração das raízes
Regra dos sinais de Descartes – O número de raízes positivas de equações polinomiais é igual ao número de variação de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um número par
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Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
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Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
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Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 2 variações -> 2 raízes ou nenhuma raiz
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Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?
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Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas raízes? 5 variações -> 5 raízes ou 3 ou 1 raiz
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Exemplo
5x5-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?
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Exemplo
5x5-16x2+7x-14=0 Quantas raízes? 3 variações -> 3 raízes ou 1 raiz positiva
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Enumeração de raízes
Para determinar o número de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equação e aplicar a regra dos sinais
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Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 3 raízes ou 1 raiz negativa
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Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0
Sem variação -> nenhuma raiz negativa
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Sucessão de Sturm
Dada a equação polinomial f(x)=0 a sucessão de Sturm a ela associada é o seguinte conjunto de polinômios:
f(x)f1(x)f2(x)... fm(x) f(x) é o polinômio que origina a equação f1(x) é a primeira derivada de f(x)
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Sucessão de Sturm
A partir de f2(x) cada termo é o resto, com o sinal trocado, da divisão dos 2 termos anteriores
f(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1x
f1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x
A sucessão procede até que seja obtido um resto constante
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Propriedades
Se a equação tiver raízes múltiplas então o último termo da sucessão é nulo
Para nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucessão não se anulam
Se, para algum x, um termo médio da sucessão se anula, então os termos vizinhos terão valores numéricos de sinais opostos
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Teorema de Sturm
Seja N(alpha) o número de variações de sinal apresentado pela sucessão de sturm. Para x = alpha
O número de raízes reais de uma equação polinomial, sem raízes múltiplas, situadas em um intervalo [a,b] é igual a N(a)-N(b)
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Exemplo
Determine o número de raízes reais da equação no intervalo (-15,5)
f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14
f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7
f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72
f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22
f4(x)=-68,42x-49,69
f5(x)=-2,88
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-15 0 5
f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 - + +
f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7 + + +
f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 - - +
f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 - + -
f4(x)=-68,42x-49,69 + - -
f5(x)=-2,88 - - -
N(x) 4 3 1
Raízes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1Raízes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2
As outras duas raízes são complexas
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Separação de Raízes reais
Teorema de Bolzano: seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]
Se f(a).f(b)<0 então a equação f(x)=0 tem um número impar de raízes no intervalo [a,b]
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Exemplo
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Exemplo
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Separação de Raízes reais
Se f(a).f(b) >0 então f(x)=0 tem um número par de raízes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
Separe as raízes positivas da equação f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Sabendo-se que estão situadas no
intervalo (0,5) e que o número de raízes positivas é 2
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f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78 Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5
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Equações não polinomiais
Duas possibilidades 1) Construir um esboço do gráfico da
função com o objetivo de detectar os pontos 2) Transformar a equação f(x)=0 em uma
equação equivalente da forma g(x)-h(x)=0 g(x)=h(x)
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Esboçar os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianos
As abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam é uma raiz de f(x)
Equações não polinomiais
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Exemplo
Seja a equação f(x)=x+ -5=0 Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))
x
x
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Metodo da Bisseção
Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]
O intervalo contém uma única raiz da equação f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)<0
Este método consiste em dividir de forma sucessiva o intervalo [a,b] ao meio, até que seja obtido (b-a) <= precisão estabelecida
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Graficamente
a b
- +
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a b
- ++
Graficamente
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a b
- +
b’
+
Graficamente
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a b
- +
b’
+-
Graficamente
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a b
- +
b’
+
a’
-
Graficamente
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Critério de parada
O processo para quando o intervalo [a,b] é suficientemente pequeno
Assim qualquer ponto no intervalo é tomado como raiz
Número máximo de passos – pré-estabelecido
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Convergência
Sendo f(x) contínua em [a,b] f(a).f(b)<0
O método da bisseção converge se as condições anteriores forem respeitadas
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Exemplo
Utilizando o método da bisseção calcule a maior raiz positiva da equação
f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Precisão 0,025, máximo de 10 iterações,
intervalo = [2,5;5] f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399
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k xk f(xk) b-a
2,5 -56,781 -
5 2399 2,5
1 3,75 332,706 1,25
2 3,125 28,875 0,625
3 2,813 -32,239 0,312
4 2,969 -7,224 0,156
5 3,047 9,307 0,078
6 3,008 0,679 0,039
7 2,989 -3,26 0,019
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Qualquer número no intervalo [2,989;3,008] pode ser tomado como raiz
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Método da Falsa Posição
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém um e só uma raiz da equação f(x)=0
Este método consiste em dividir o intervalo [a,b] no ponto onde a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta o eixo das abscissas
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Graficamente
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Graficamente
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Critério de parada
O processo iterativo é interrompido quando for obtido |f(xk)|, k=1,2,... Menor ou igual à precisão estabelecida e então xk é tomado como raiz
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Critério de convergência
Se f(x) é contínua em [a,b] e f(a).f(b)<0, então o método da falsa posição converge
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Calculando xk
No método da bisseção x é dado pela média aritmética do intervalo x= (a+b)/2
No método da FP o x é dado pela média aritmética ponderada
x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|) x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
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O cálculo de xk
Seja a matriz
bf(a) +x1f(b)-af(b)-x1f(a) x1=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
0
1)(
10
1)(
1 bfb
x
afa
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Generalizando
xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a)) Desde que a cada passo seja atualizado a
ou b O critério utilizado por este método para a
divisão do intervalo [a,b] é o da média ponderada
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Exemplo
Utilizando o método da falsa posição com precisão 0.006 e um máximo de 5 iterações encontrar a maior raiz positiva
f(x)=x4-14x2+24x-10=0
A) delimitação das raízes reais LSP = = 4,7 = 5kn
naM1
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LIN – equação auxiliar f(x) = x4 -14x2-24x-10 L1=6 Logo –L1=-6
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Enumeração das raízes reais
Raízes positivas:+1-14+24-10 3 variações -> 3 ou 1 raiz positiva Raízes negativas:+1-14-24-10 1 variação -> 1 raiz negativa
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Número de raízes positivas
Teorema de SturmSucessão de Sturm 0 5
f(x)=x4-14x2+24x-10 - +
f1(x)=4x3-28x+24 + +
f2(x)=7x2-18x+10 + +
f3(x)=7,24x-9,3 - +
f4(x)=1,5 + +
N(x) 3 0
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Número de raízes positivas
O número de raízes é dado por:
N(0)-N(5)=3-0=3
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Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção
0 5
- +
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Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção
0 5
- +
2,5
+
![Page 71: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/71.jpg)
Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção
0 5
- +
2,5
+
1,25
+
3,75
+
![Page 72: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/72.jpg)
Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção
0 5
- +
2,5
+
1,25
+
3,75
+
0,625
-
1,875
-
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Calculando a maior raiz positiva
Reduzindo um pouco mais o intervalo f(1,875)<0, f(2,5)>0, f(2,188)<0
Aplicando o método da falsa posição xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
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k a b f(a) f(b) xk f(xk)
1 2,188 2,5 -1,592 1,563 2,345 -0,467
2 2,345 2,5 -0,467 1,563 2,381 -0,085
3 2,381 2,5 -0,085 1,563 2,387 -0,016
4 2,387 2,5 -0,016 1,563 2,388 -0,005
Para a precisão estabelecida, 2,388 é a maior raiz positiva da equação
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Método de Newton-Raphson
Também conhecido como método das tangentes
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém uma e só uma raiz da equação f(x)=0
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Dada uma estimativa xk-1, k=1,2,..., para uma raiz de f(x)=0 a estimativa xk é a abscissa do ponto onde a reta tangente f(x) em [xk-1,f(xk-1)] intercepta o eixo das abscissas
Método de Newton-Raphson
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Critério de parada: O processo é interrompido quando for obtido um |xk-xk-1| ou |f(xk)| menor ou igual a uma precisão pré-estabelecida
Método de Newton-Raphson
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Graficamente
x0
x1
x0
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Graficamente
x0
x1
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Graficamente
x0
x1
![Page 81: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/81.jpg)
Convergência: se f(a)f(b)<0 e f’(x) e f’’(x) forem não nulas e mantiverem o sinal em [a,b], então partindo-se de uma estimativa inicial x0 є[a,b] tal que f(x0)f’’(x)>0 é possível construir, pelo método de Newton-Raphson uma sequência {xk}, k=1,2,..., que converge para a raiz de f(x)=0
Método de Newton-Raphson
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Seja o cálculo de x1
Para x2
Método de Newton-Raphson
)('
)()('
)(
0
0010
10
0
xf
xfxxxftg
xx
xf
)('
)()('
)(
1
1121
21
1
xf
xfxxxftg
xx
xf
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Generalizando
Método de Newton-Raphson
)('
)(
1
11
k
kkk xf
xfxx
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Exemplo
Calcule a raiz negativa de f(x)=x4-14x2+24x-10=0 utilizando o método de newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 5 iterações. Sabe-se que esta raiz está situada no intervalo (-6,0)
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Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
f(-6)=638 f(0)=-10
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Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
-3
-
f(-6)=638 f(0)=-10f(-3)=-127
![Page 87: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/87.jpg)
Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
-3
-
-4,5
+
f(-6)=638 f(-3)=-127f(-4,5)=8,562
![Page 88: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/88.jpg)
Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
-3
-
-4,5
+
-3, 75
-
f(-3)=-127f(-4,5)=8,562
f(-3,75)=-99.125
![Page 89: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/89.jpg)
Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
-3
-
-4,5
+
-3, 75
-
![Page 90: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/90.jpg)
Exemplo
f’(x)=4x3-28x+24 <0 no intervalo [-4,5;-3,75]
f’’(x)=12x2-28 >0 no intervalo [-4,5;-3,75]
Como f(-4,5)f’’(-4,5)>0 então x0=-4,5
![Page 91: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/91.jpg)
Exemplo
k xk f(xk) f'(xk) |xk-xk-1|
0 -4,5 8,562 -214,5 -
1 -4,460 0,153 -205,986 0,040
2 -4,459 0,018 0,001
![Page 92: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/92.jpg)
Notas
Com relação à convergência o que se faz na prática é:
1) toma-se uma estimativa inicial próxima da raiz; para isto basta diminuir suficientemente o intervalo que a contém
2) toma-se x0 є [a,b] de forma que seja obtido x1 є [a,b]
![Page 93: Resolução de equações não lineares](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062217/5681448f550346895db12ca0/html5/thumbnails/93.jpg)
Comparação - Bisseção
Apesar de sempre convergir, tem baixa velocidade de convergência
Utilizado de forma isolada quando se deseja um intervalo, tal que qualquer dos pontos pode ser tomado como raiz
Normalmente é utilizado para reduzir o tamanho do intervalo que contém a raiz
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Quando se deseja é um intervalo que contém a raiz o método da Falsa Posição não é adequado porquê não converge
Quando não houver problemas para trabalhar com a primeira derivada de f(x) deve-se usar o método de Newton-Raphson; caso contrário deve-se usar o método da Falsa Posição
Comparação – F.P. e N.R.
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Exercício
Determine os limites das raízes reais da equação f(x)=x3+4x2-10=0