기회비용과 화폐의 시간가치

현재의 \100,000의 가치 > \100,000의 가치

why? 현재 화폐는 욕구 충족 사용가능, 다른 곳 투자하여 이득 기회보유

기회비용(opportunity costs)

- 여러 가지 대안 중에서 하나의 대안을 선택하였을 때 그 선택으로 인해

포기해야 하는 가치

- 지금 당장 현금을 가진 경우 그 현금을 다른 곳에 투자하여 벌 수 있는

최대수익

- 지금 당장 \100,000이 있어서 다른 곳에 투자하여 1년 동안 투자수익율

10% 이상 가능자 → 1안이 바람직

10% 미만 가능자 → 2안이 바람직 cf. 이자(interests)

외상매출금의 회수 방안 1안. 지금 당장 \100,000을 받는다 2안. 1년 후에 \110,000을 받는다

단리(simple interests)

이자 : 현재의 화폐획득이나 사용을 보류하고 미래현금을 기다림에 대한 보상

(화폐의 시간가치)

원금(principle: p ) : 차입, 대여, 투자 등의 화폐 금액

이자 :

- 원금을 초과하여 상환되거나 수입되는 금액

- 원금의 일부/전부를 잃게 될 위험에 대한 보상

- 위험에 따라 이자율 상이함( cf)회사채등급)

이자율 : 원금에 대한 이자액의 비율, 통상 연이율(annual rates: r )

단리 : 자금의 대여기간/차입기간 동안의 원금에 대한 이자

• 이자율과 기간은 공통단위로 표현(연단위/월단위)

cf) \100을 6개월간 월1% : I = \100 X 0.01 X 6 = \60

= \100 X 0.12 X 6/12

실무에서 이자계산은 1년은 360일, 1개월은 30일, 초일불산입/말일산입

단리는 1년 이하의 단기부채, 투자에 대한 이자 계산시 주로 사용

(단리)이자( I ) = 원금( P ) X 이자율( r ) X 기간( t )

복리(compound interests)

어느 한 기간 동안 창출된 이자가 다음 기간의 이자계산 시에 원금과 합산되

어 증가된 이자를 창출시키는 이자

(단리이자에 이자가 붙어 계속 누적되므로 매 기간마다 이자총액이 증가)

예제 13-1

20X4년초 \1,000을 연 10% 이자가 보장되고 이자지급은 매년 말에 이뤄지는

저축성예금에 들었다. 2년간 이자를 복리로 계산하시오.

최초 예금액(원금) \1,000

20X4년도 이자 \1,000 X 0.1 = \100

20X4년도말 원리금 합계 \1,100

20X5년도 이자 \1,100 X 0.1 = \110

20X5년도말 원리금 합계 \1,210

복리(compound interests) : 시간가치 계산시 적용(이자수입 투자 반영)

복리 계산 횟수의 최대는 일단위 복리계산, 원금증가율의 최대 또한 일단위.

→ 복리 계산 횟수가 늘수록 원금증가율 증가(통상 월/분기 단위)

예제 13-2

20X4년초 \1,000을 연 10% 이자가 보장되고 이자지급은 분기 말에 복리계산

될때 1년 후의 원리금 합계액은?

최초 예금액(원금) \1,000.00

20X4년도 1분기에 대한 이자 (1,000 X 0.1 X 3/12) \25.00

20X4년도 1분기 말 원리금 합계 \1,025.00

20X4년도 2분기에 대한 이자 (1,025 X 0.1 X 3/12) \25.63

20X4년도 2분기 말 원리금 합계 \1,050.63

20X4년도 3분기에 대한 이자 (1,050.63 X 0.1 X 3/12) \26.27

20X4년도 3분기 말 원리금 합계 \1,076.90

20X4년도 4분기에 대한 이자 (1,076.90 X 0.1 X 3/12) \26.92

20X4년도 4분기 말 원리금 합계 \1,103.92

미래가치와 현재가치의 관계

화폐의 실질가치 하락

- 미래가치를 현재가치로 전환

- 현재가치를 미래가치로 전환

현재가치

0 1년후 2년후

￦125,000 ￦100,000

할인율 2년간 20%

미래가치

￦100,000 ￦80,000

(책 4권 구입)

(책 5권 구입) (책 5권 구입)

(책 4권 구입)

일정한 할인율을 매개

미래가치

(이자율 복리 계산)미래의 일정시점에서의 원금과 이자 합계액

- 원금보다 더 큰 금액

- 특정 시점에 발생한 화폐금액을 그 이후 특정 시점의 가치로 전환한 가치

* p 는 원금, i 는 기간별 이자율, n은 복리계산횟수

< 미래가치 계산>

기간이자( I ) = 원금( P ) X 연이자율( r ) X 기간( t ) = 원금( P ) X 기간이자율( i )

한 기간 후의 미래가치(fv1) = 원금 + 기간이자 = p + ( p x i ) = p( 1+i )1

< n기간 후의 미래가치는 fvn = p( 1+i )n >

fv2 = fv1( 1+i ) = p( 1+i )( 1+i ) = p( 1+i )2

fv3 = fv2( 1+i ) = p( 1+i )2( 1+i ) = p( 1+i )3

fvn = fvn-1( 1+i ) = p( 1+i )n-1 ( 1+i ) = p( 1+i )n

예제 13-3

연이율 8%이고 원금이 \10,000일 때 4년 후의 미래가치를 계산하시오.

(단, 복리계산은 1년마다 이루어진다고 가정함)

- t선 중심선 아래 수직화살표( )은 원금투입

- t선 중심선 아래 사선화살표( )은 이자발생하여 원금에 투입

- t선 중심선 위 수직화살표( )은 원금과 이자금 투자금액의 회수로 원금감소

1기간 8%, \10,000의 미래가치(fv1 ) = \10,000 X (1.08)1 = \10,800

2기간 8%, \10,000의 미래가치(fv2 ) = \10,000 X (1.08)2 = \11,664

3기간 8%, \10,000의 미래가치(fv3 ) = \10,000 X (1.08)3 = \12,597

4기간 8%, \10,000의 미래가치(fv4 ) = \10,000 X (1.08)4 = \13,605

0 1 2 3 4

fv

4년 후 현재

\10,000

t

원금 X (1 + i )n = 미래가치

예제 13-4

연이율 6%이고 분기별로 복리계산이 되는 저축에 \2,500,000입금하였다.

지금부터 3년 후에 통장에 남금 금액을 \1의 미래가치표를 이용하여 계산하시오

- 3년간 분기별 복리계산이므로 총 분기수(n)는 12회

- 년이자율 6%이므로 분기별 1.5%

- \1의 미래가치표에서 n=12, i=1.5% 값은 1.19562

→ fv = p x f 인데, \2,500,000 X 1.19562 이므로

= \2,989,050

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fv ?

3년 후 현재

\2,500,000

t ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥

\1의 미래가치표 : 원금 \1을 기준으로 이자율,기간에 따른 계수를 부록에 계산

미래가치( fv ) = 원금( P ) X \1의 미래가치계수( f )

예제 13-5

5년 전에 연이자 10%에 반 년마다 복리계산이 되는 저축에 한 번만 입금을 한

통장금액이 현재 \81,445이 되어 있었나. 최초 입금액은 얼마이며 이자수입은

얼마인지 \1의 미래가치표를 이용하여 계산하시오.

- 반년마다 복리계산되므로 총 10회 이자계산

→ n=10, i = 5 인 미래가치표 값을 구하면, 1.62889

→ fv = p x f 인데, fv=81,445, f=1.62889 이므로

→ p = 81,445 / 1.62889

= 50,000 , 이자수입은 31,445

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

\81,445

5년후 현재 p ?

t

‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥

예제 13-6

\1,000,000을 연 이자율 6%인 장기저축에 10년간 예치한다면 10년 후의

얼마가 되는지 계산하시오.

①연 1회 복리의 경우 ②6개월 복리의 경우 ③분기별 복리의 경우

①연 1회 복리계산이므로, \1의 미래가치표에서 n=10, i = 6 인 f 값은 1.79085

→ fv = p x f 인데, p=\1,000,000, f=1.79085 이므로

= \1,790,850

②연 2회 복리계산이므로, \1의 미래가치표에서 n=20, i = 3 인 f 값은 1.80611

→ fv = p x f 인데, p=\1,000,000, f= 1.80611 이므로

= \1,806,110

③연 4회 복리계산이므로, \1의 미래가치표에서 n=40, i = 1.5 f 값은 1.81402

→ fv = p x f 인데, p=\1,000,000, f= 1.81402 이므로

= \1,814,020

현재가치(present value: pv)

미래 특정 시점의 현금흐름액을 그 이전 특정 시점의 가치로 전환한 금액

- 미래 발생할 수입에 대한 현재가치이므로, 투자 결정이 중요한 기준

미래수입액의 현재가치 = 미래가치를 현재시점으로 할인

• 할인(discount) : 미래가치 – 이자증식액 = 현재가치(pv), 원금(p)

현재가치 = 미래가치 / 미래가치계수

< 현재가치 계산>

fv = p( 1+i )n pv = fv ( 1+i )n

4년후의 가치가 \10,000이고 이자는 매년 8% 복리로 계산될 때 현재가치

를 구해보면,

1기간 8%, \10,000의 현재가치 = \10,000 / (1.08)1 = \9,259

2기간 8%, \10,000의 현재가치 = \10,000 / (1.08)2 = \8,573

3기간 8%, \10,000의 현재가치 = \10,000 / (1.08)3 = \7,938

4기간 8%, \10,000의 현재가치 = \10,000 / (1.08)4 = \7,350

0 1 2 3 4

fv= \10,000

4년 후 현재

pv ?

t

원금 / (1 + i )n = 현재가치

\1의 현재가치표 : 원금 \1을 기준으로 이자율,기간에 따른 현가계수를 계산

현재가치( pv ) = 미래가치( fv ) X \1의 현재가치계수( p )

예제 13-7

김복동 씨는 자동차를 구입하려고 하는데 당장 일시불로 현금을 지급할 경우

\15,000,000에 구입할 수 있다. 다른 대안은 계약금 \7,000,000을 지급하고 3

년후에 \10,000,000을 지급하는 방법이 있다. 연 이자율 6%이며 , 연 1회 복리

계산을 할 경우 김복동 씨는 어느 방법을 선택하는 것이 유리한지 계산하라.

- 현금구입의 현재가치는 \15,000,000

- 다른 대안의 가치 : \7,000,000의 현재가치 + 3년후 \10,000,000의 현재가치

→ \7,000,000 + \10,000,000 X pv(n=3, i =6)

→ \7,000,000 + \10,000,000 X 0.83962

→ \15,396,200 따라서, 현금구입이 유리

예제 13-8

A회사와 B회사는 5년 후 \7,500,000이 필요하여 적절한 투자안을 찾고 있다.

A회사는 연이율이 8%이며 연 2회 복리계산이 되는 저축에, B회사는 같은 이율

에 연 4회 복리계산이 되는 저축에 투자를 하려고 한다. 5년 후 \7,500,000을

확보하기 위해서는 A, B 두 회사는 각각 얼마의 최초투자가 필요한지 \1의

현재가치표를 이용하여 계산하라.

- A회사: 총이자계산횟수는 10회(연간 2회 5년간), 기간별 이자는 4%

→ pv = fv X p(n=10, i =4%)

→ \7,500,000 X 0.67556 = \5,066,700

- B회사: 총이자계산횟수는 20회(연간 4회 5년간), 기간별 이자는 2%

→ pv = fv X p(n=20, i =2%)

→ \7,500,000 X 0.67297 = \5,047,275

(복리계산횟수가 많을 수록 더 적은 원금을 불입해도 된다)

연금(annuity)의 의미

동일금액의 투자(지급)나 회수(상환)가 주기적으로 이루어지는 것

- 주기적으로 투자(지급)나 회수(상환)가 되는 금액: 렌트(rent: R)

회사가 은행에서 장기차입하고 상환을 위해 특정 기간 동안 수회에 걸쳐 정기

적으로 동일금액 납부, 목돈마련 위해 적금을 동일금액을 정기적으로 납입 등

정기적/일정금액/특정이자율 조건: 퇴직연금, 연금보험, 정기적금, 장기사채

① 정상연금(ordinary annuity) : 일반적

- 각 렌트가 매 기말에 지급/수입되는 연금

: 연금보험 가입시 첫 거래기간 말일까지 입금하고, 두 번째 거래기간말 이자 발생,

마지막 계약기간 말에 마지막 불입 즉시 계약된 연금 수령. 일정기간 말 현금흐름 발생

② 선불연금(prepaid annuity)

- 각 렌트가 매 기 첫날에 지급/수입되는 연금

: 연금보험 가입시 첫 거래기간 첫날에 입금하고, 첫 번째 거래기간말 이자 발생,

마지막 계약기간 첫날에 마지막 불입후 기간말 계약된 연금 수령.

연금의 미래가치(future value of annuity: FV )

일정 기간 정기적으로 일정액을 복리 불입/회수 과정 동안 누적된 미래 특정

시점의 가치(fv와 다른점은 매기말 이자 뿐만 아니라 원금도 투입)

초등학생이 매달 \10,000씩 연 24%의 이자가 보장되고, 월복리로 이자 계산되는 어린이적금을 불입할때, 5개월후 적금만기시 받는 금액은?

(마지막 불입액은 이자 미발생됨)

첫 번째 렌트, 4기간 동안 2%의 미래가치(fv4 ) = \10,000 X (1.02)4 = \10,824

두 번째 렌트, 3기간 동안 2%의 미래가치(fv3 ) = \10,000 X (1.02)3 = \10,612

세 번째 렌트, 2기간 동안 2%의 미래가치(fv2 ) = \10,000 X (1.02)2 = \10,404

네 번째 렌트, 1기간 동안 2%의 미래가치(fv1 ) = \10,000 X (1.02)1= \10,200 다섯 번째 렌트, \10,000의 이자창출 없음(fv0 ) = \10,000 X (1.02)0= \10,000

다섯 개의 렌트에 대한 총계(연금의 미래가치 : FV ) \52,040

0 1 2 3 4 5

FV ?

\10,000 현재

t

렌트 X (1 + i )n = 미래가치

\10,000 \10,000 \10,000 \10,000 \10,000 5개월 후

< 연금 \1의 미래가치>

FV = ( 1+i )n - 1 i

정상연금의 미래가치( FV ) = 렌트( R ) X 정상연금 \1의 미래가치계수( F )

< 정상연금 \1에 대한 미래가치표 이용>

예제 13-9

김여사는 새로 태어난 아기의 대학등록금을 마련하기 위해 첫돌 날부터 시작해

매년 생일에 \1,000,000씩 불입하는 정기적금에 가입하려고 한다. 아기가 만

18세가 되었을 때 찾을 수 있는 적금액은 얼마인가? 연이자율 6%

- 적금 불입 총 18회, 이자율 6%인 정상연금의 미래가치표 이용

- FV = R X F (n=18, i=6 )

→ \1,000,000 X 30.90565

→ \30,905,650

예제 13-10

미달이는 20X4년 1월 초 대학에 합격하였다. 20X7년 1월 초에 2달간 유럽 배낭여행을 계획하고 있다. 배낭 여행에 필요한 항공권, 숙박비등 제비용이 \4,200,000이 필요할 것으로 추산된다. 목돈마련을 위해 아르바이트를 하고, 분기별 복리로 계산되며 연이율

12%가 보장되는 적금에 들기로 했다. 3년후 목표금액에 도달할 수 있는지 정상연금

\1원의 미래가치료를 이용하여 계산하라.

- 적금의 실제불입은 20X4년 4월부터 시작, 20X7년 1월까지 총 12번 불입

- 이자율 연 12%이므로 분기는 3%, 정상연금 미래가치표 이용

→ FV = R X F (n=12, i=3 )

→ \300,000 X 14.19203

→ 미달이는 목돈으로 \4,257,609을 받게 되므로 여행갈 수 있음.

0 1 2 ---------- 11 12

FV ?

현재

t

\300,000 \300,000 \300,000 \300,000

연금의 현재가치( present value of annuity: PV )

미래 일정기간에 정기적으로 일정액을 복리 불입/회수 되는 현금액을 발생시

키기 위하여 일시에 투자되어야만 하는 현재의 금액

회사에서 연초에 새로운 장비를 구입. 이 장비는 내년부터 5년의 내용연수가 다할 때까지 매년 \300,000씩 유지보수비가 필요하다. 구입과 동시에 내용연수 동안 유지보수비를 마련하기 위하여 기금을 조성. 이자율은 연 10%, 연복리 이자계산시 현재 필요금액은?

첫 번째 렌트, 1기간 동안 10%의 현재가치(pv1 ) = \3000,000 / (1.1)1 = \272,727

두 번째 렌트, 2기간 동안 10%의 미래가치(pv2 )= \3000,000 / (1.1)2 = \247,934

세 번째 렌트, 3기간 동안 10%의 미래가치(pv3) = \3000,000 / (1.1)3 = \225,394 네 번째 렌트, 4기간 동안 10%의 미래가치(pv4 ) = \3000,000 / (1.1)4 = \204,904

네 번의 렌트에 대한 총계(연금의 현재가치 : PV ) \950,961

렌트 / (1 + i )n = 현재가치

0 1 2 3 4

\300,000

PV ?

\300,000 \300,000 \300,000

< 연금 \1의 현재가치>

1 1 – PV = ( 1+i )n i

정상연금의 현재가치( PV ) = 렌트( R ) X 정상연금 \1의 현재가치 계수( p )

< 정상연금 \1에 대한 현재가치표 이용>

예제 13-11

화성기업은 기계장치를 구입하고 다음 3년 동안 매분기 말에 \1,000,000씩 지급하기로

하였다. 화성기업이 구매한 기계장치의 취득원가는? 연이자율 8%, 복리계산

- 지급횟수 총 12회, 분기 이자율 2%인 정상연금의 현재가치표 이용

- PV = R X P (n=12, i=2 )

→ \1,000,000 X 10.57534

→ \10,575,340

예제 13-12

왕당첨 씨는 20X4년 초에 복권에 당첨되었다. 복권 당첨금은 일시불로 받을 경우

1억원을 당첨 즉시 지급하며, 연금형태로 받기를 원할 경우 매년 말에 1천만원씩 20년간

지급한다. 시중의 연이자율은 8%라고 할때, 왕당첨 씨는 어느 것을 선택하는 것이 유리할

것인지 계산하라.

- 정상연금의 현재가치가 얼마인지 계산하여 비교

- 렌트 1천만원, 이자율 연 8%, 기간은 20인 정상연금 현재가치표 이용

→ PV = R X P (n=20, i=8 )

→ \10,000,000 X 9.81815 = \98,181,500

→ 연금의 현재가치가 1억원 보다 작으므로 일시분 1억을 받는것이 더 유리.