SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA

ODJEL ZA FIZIKU

MARTINA JURANEK

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI U VAKUUMU

Završni rad

Osijek, 2015.

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA

ODJEL ZA FIZIKU

MARTINA JURANEK

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI U VAKUUMU

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku radi stjecanja

zvanja prvostupnika fizike

Osijek, 2015

Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Josipa Brane u

sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku

Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku.

SADRŽAJ

Sažetak: ................................................................................................................................................... 1

1.UVOD .................................................................................................................................................... 2

2.ELEKTROMAGNETSKI VALOVI DALEKO OD IZVORA .............................................................................. 3

a) Osnovne osobine elektromagnetskih valova izvedene iz Maxwellovih jednadžbi ...................... 5

I Maxwellova jednadžba .................................................................................................................. 6

II Maxwellova jednadžba ................................................................................................................. 6

III Maxwellova jednadžba ................................................................................................................ 6

IV Maxwellova jednadžba ................................................................................................................ 7

b)Kuglasti valovi ................................................................................................................................... 9

c) Valovi daleko od izvora – ravni valovi ....................................................................................... 11

Izvod valne jednadžbe za em valove ............................................................................................. 12

Rješenja valne jednadžbe .............................................................................................................. 15

3.VALNI PAKETI ...................................................................................................................................... 16

a) Minimalni valni paket ................................................................................................................ 16

b) Valni paket ................................................................................................................................. 17

c) Fourierova slika valnih paketa ................................................................................................... 18

4. ZAKLJUČAK ......................................................................................................................................... 20

5.LITERATURA ........................................................................................................................................ 21

POPIS SLIKA ........................................................................................................................................... 22

1

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Završni rad

Odjel za fiziku

ELEKTROMAGNETSKI VALOVI U VAKUUMU

MARTINA JURANEK

Sažetak: Tema ovog završnog rada naziva se Elektromagnetski valovi u vakuumu. Prvo ćemo

opisat povijest elektomagnetskih valova u vakuumu. Nakon toga ćemo promatrati

elektromagnetske valove daleko od izvora, pokazati koje su osnovne osobine

elektromagnetskih valova izvedene iz Maxwellovih jednadžbi te napraviti izvod valne

jednadžbe za eleketromagnetske valoveiz Maxwellovih jednadžbi.Na kraju ćemo opisati valne

pakete, minimalni valni paket te Fouirerovu sliku valnih paketa. Na kraju se nalazi zaključak.

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: gibanje naboja, klasična fizika, zračenje elektromagnetskh valova,

Larmoreova formula, Schwarzschildovo rješenje

Mentor: doc.dr.sc. Josip Brana

Ocjenjivači: doc.dr.sc. Josip Brana

2

1.UVOD

Elektromagnetski valovi su svi valovi čije se širenje odvija titranjem električnog i

magnetskog polja. Zajednička im je brzina širenja u vakuumu, a to je upravo brzina svjetlosti,

a razlikuju se po valnim duljinama i frekvencijama.

Cilj završnog rada je objasniti elektromagnetske valove te valne pakete.

Za izradu rada korištena je domaća stručna literature vezane uz elektromagnetske

valove.

Rad je podijeljen u četiri cjeline:

1. Uvod

2. Elektromagnetski valovi daleko od izvora

3. Valni paketi i slaganje ravnih valova

4. Zaključak

U uvodnom dijelu rada biti će prikazan cilj rada te izvori podataka.

U drugom dijelu opisan je povijesni dio po Maxwellovoj i Hertzovoj teoriji, zatim

osnovne osobine elektromagnetskih valova, kuglasti te ravni valovi.

U trećem dijelu prikazani su valni paketi te Fourierova slika valnih paketa.

U četvrtom dijelu dan je zaključak koji je donesen na temelju vlastitih promišljanja.

Na kraju rada nalazi se popis literature.

3

2.ELEKTROMAGNETSKI VALOVI DALEKO OD IZVORA

Za život na Zemlji potrebna je Sunčeva energija, a ta se energija od Sunca do Zemlje

prenosi u obliku elektromagnetskih valova. Svojstvo tih valova je da se oni mogu širiti kroz

prazan prostor te zbog toga i dolazi do nas Sunčeva svjetlost. Naime, elektromagnetsko

zračenje opisujemo sa stajališta prijenosa energije mnoštvom energetskih paketa ( fotona )

kroz prostor. Na ovaj način elektromagnetskom valu dajemo čestična obilježja jer se tako

ponaša mnoštvo mikro čestica kada se gibaju velikom brzinom.

Umjetno stvoreni elektromagnetski val nastaje kod vodiča kojim teče električna struja

stvara magnetsko polje, dok se na krajevima vodiča kojim teče električna struja inducira

električni napon. Uslijed tih pojava dolazi do prožimanja električnog i magnetskog polja pa to

novo polje zovemo zajedničkim imenom elektromagnetsko polje. Elektromagnetski valovi

poseban su oblik elektromagnetskog polja. To su početkom 19.- og stoljeća istraživali danski

fizičar OerstedHansCristian (1777.-1851.) i engleski fizičar Faraday Michael (1791.-1867.)

te su pokazali nerazdvojnost električnog i magnetskog polja. [1]

1846.godine James Clarc Maxwell (1831.-1879.) objavio je potpunu teoriju

elektromagnetizma kojom je cjelovito objasnio sve električne i magnetske pojave.

Elektromagnetske zakone objasnio je u matematičkom obliku, a poznajemo ih kao

Maxwellove jednadžbe. One se mogu objasniti u četiri kratke rečenice [1]:

Silnice električnog polja imaju svoj početak i kraj u električnim nabojima.

Silnice magnetskog polja su zatvorene

Promjenljivo magnetsko polje uzrok je nastanka električnog polja.

Promjenljivo električno polje i električni naboji u gibanju uzrok su nastanka

magnetskog polja.

Pravi smisao teorija elektromagnetskih valova dobila je 1888. godine kada je H. Hertz (1857.-

1894.) nizom sistematskih i pažljivih pokusa dokazao postojanje elektromagnetskih valova i

da se ponašaju točno onako kako je Maxwell predvidio. Valne duljine elektromagnetskih

valova protežu se od desetinke pikometra(0.1pm) do nekoliko stotina kilometara. Pripadne

frekvencije obuhvaćaju raspon od 1022 s-1do 103 s-1. Dio valnih duljina od 380nm do 780nm

pripada vidljivoj svjetlosti, a svakoj valnoj duljini unutar tog raspona pripada jedna od boja.

Cijeli spektar boja zastupljen je u bijeloj svjetlosti koja do nas dolazi sa Sunca. Cijeli raspon

mogućih valnih duljina elektromagnetskog vala zovemo spektar. Prema valnoj duljini i

4

frekvenciji sveukupni spektar elektromagnetskih valova može se podijeliti na nekoliko

područja, a to su [2]:

radiovalovi,

mikrovalovi,

infracrveno zračenje,

vidljiva svjetlost,

ultraljubičasto zračenje,

rendgensko zračenje,

gama zrake i

kozmičko zračenje.

Slika 1- Spektar elektromagnetskog zračenja

Putovanjem kroz prostor svi elektromagnetski valovi ponašaju se slično neovisno o valnoj

duljini. Razlika u valnoj duljini očituje se tek kad elektromagnetski val padne na neku tvar. Iz

tog međudjelovanja potječe mnoštvo fizikalnih pojava i procesa te velike mogućnosti

primjene.

5

a) Osnovne osobine elektromagnetskih valova izvedene iz Maxwellovih jednadžbi

Elektromagnetska teorija se temelji na Maxwellovim jednadžbama i konceptu polja.

Maxwell je u svojim jednadžbama elektromagnetne valove objasnio jednadžbama za

električna i magnetska polja. Prema tome elektromagnetski valovi nastaju zato što:

promjenljivo magnetsko polje �� stvara promjenljivo električno polje �� ,

promjenljivo električno polje �� stvara promjenljivo magnetno polje �� .

Na taj način iz Maxwellovih jednadžbi slijedi niz uzajamnih promjena električnih polja

koji se prostiru prostorom kao elektromagnetni valovi. Ti „lanci“električnih i magnetnih polja

mogu se odvojiti od električnih naboja i struja te se slobodno širiti prostorom u obliku

elektromagnetskih valova. Oni postoje i nakon što se ukloni njihov izvor. Polja su tada

samostalna i mogu postojati i širiti se bez postojanja električnih naboja i struja. [3]

6

I Maxwellova jednadžba

a) Integralni oblik

𝜀0 ∙ ∫ �� 𝑑𝑆 = 𝑞 (Gaussov zakon za elektricitet)

b) U vakuumu

∇𝐸 = 0

- Naboj je uzrok električnog polja

- Silnice električnog naboja su otvorene krivulje

- Istoimeni naboji se odbijaju, raznoimeni privlače

- Naboj izoliranog vodiča smješten je u na njegovoj površini

II Maxwellova jednadžba

a) Integralni oblik

∫ �� 𝑑𝑆 = 0 (Gaussov zakon za magnetizam)

b) U vakuumu

∇�� = 0

- Ne postoji magnetni monopol tj. razdvajanje polova magneta

- Silnice magnetnog dipola su zatvorene krivulje

III Maxwellova jednadžba

a) Integralni oblik

∫ �� 𝑑𝑙 = 𝜇0𝐼 + 𝜇0𝜀0𝑑Φ𝐸

𝑑𝑡 (Generalizirani Ampereov zakon)

b) U vakuumu

𝑐2𝛻x�� =𝑑��

𝑑𝑡

- Struja ili promjenljivo električno polje uzrokuju magnetno polje

7

IV Maxwellova jednadžba

a) Integralni oblik

∫ �� 𝑑𝑙 = −𝑑Φ𝐵

𝑑𝑡 (Faradayev zakon elektromagnetske indukcije)

b) U vakuumu

∇x�� = −𝑑��

𝑑𝑡

- Promjenljivo magnetno polje uzrokuje električno polje

U Maxwellovoj teoriji elektromagnetski valovi nalaze svoje prirodno objašnjenje.

Elektromagnetski val sastoji se od promjenljivog električnog polja E i magnetskog polja

opisanog magnetskim tokom ( magnetskom indukcijom ) B. Oba polja periodički se

mijenjaju, titrajući u fazi, a po smjeru su uvijek međusobno okomita. Smjer širenja vala

okomit je i na smjer električnog i na smjer magnetskog polja, a to znači da su

elektromagnetski valovi transverzalni valovi. U vakuumu se elektromagnetski val širi brzinom

svjetlosti c. Maxwell je pokazao da je u sredstvu (kristalu, tekućini, plinu ) brzina vala manja i

da ovisi o svojstvima tvari.

𝑣 =1

√𝜀𝜇 (1)

Formula (1) prikazuje kako izračunati brzinu elektromagnetskog vala u sredstvu. ε

označava električnu permitivnost sredstva, a µ označava magnetsku permeabilnost sredstva.

Znajući da su relativna električna permitivnost i relativna magnetska permeabilnost

vakuuma jednake jedinici, dobivamo brzinu širenja elektromagnetskog vala u vakuumu koju

prikazuje formula (2).

𝑐 =1

√𝜀0µ0

≈ 3 ∗ 108 ∗ 𝑚𝑠−1 (2)

Brzina elektromagnetskog vala (svjetlosti) c0, u vakuumu iznosi:

c0=299 792,458 km/s =3108ms-1

Uzrok nastanka elektromagnetskog vala je titranje električnih naboja. Zbog toga

zaključujemo da izvor elektromagnetskih valova može biti električni titrajni krug, ali isto tako

8

i titranje atoma i molekula u tvarima. Frekvencija kojom titra izvor određuje i frekvenciju

elektromagnetskog vala te je ona jednaka u svim sredstvima.

Period titranja T, dakle vrijeme titranjajednog titraja iznosi : 𝑇 =1

𝑣. Put kojeg val prevali

za vrijeme jednog perioda naziva se valna duljina λi u vakuumu ona iznosi: 𝜆 =𝑐

𝑣. [2]

Elektromagnetsko polje proizvode struje i naboji. Ograničimo li se na makroskopske

učinke polja, raspodjele struja i naboja u prostoru mogu se, unatoč korpuskularnoj prirodi

elektriciteta, opisati funkcijama koordinata i vremena koje su neprekinute i imaju neprekinute

derivacije u ordinarnim točkama. Pod ordinarnom točkom podrazumijeva se ona, u čijem su

okolišu fizikalna svojstva tvarinepromijenjena. Isključene su točke na rubnim plohama

materijalnih tijela.

9

b)Kuglasti valovi

Kod kuglastih valova valne fronte su koncentrične kugline plohe, a zrake radijalni

pravci.[4]

Iz dipola se širi kuglasti EM val čiji smjer širenja daje radijus-vektor.

Slika 2- Kuglasti val [5]

Valna jednadžba:

∆�� −1

𝑐2

𝜕��

𝜕𝑡2 = 0 , (1)

(analogno vrijedi i za �� ) za valni proces daleko od naboja i struje ima slučaj sferno

simetričnih-kuglastih valova oblik:

(𝜕2

𝜕𝑟2 +2

𝑟

𝜕

𝜕𝑟−

1

𝑐2

𝜕2

𝜕𝑡2) �� (𝑟, 𝑡) = 0 , (2)

Rješenje ove jednadžbe je u obliku kuglastih ( retardiranih) valova:

10

�� (𝑟, 𝑡) = 𝑅𝑒𝐸0 𝑒𝑖(𝑘𝑟−𝜔𝑡)

𝑟 , 𝜔 = 𝑐𝑘 (3)

(analogno vrijedi i za �� ).

Okomitost �� i �� , kao i �� =𝑟

𝑟 je također prisutna.

Slika -3 Kuglasti val

11

c) Valovi daleko od izvora – ravni valovi

Val koji se pravocrtno širi elastičnim sredstvom, a njegova valna fronta ima oblik ravnine

te nastaje istovjetnom pobudom na titranje točaka na ravnini zove ravni val.[4]

Slika 4- Rasprostiranje EMG ravnog vala

Električno i magnetsko polje su međusobno okomiti, a okomiti su i na smjer širenja vala.

Ako oko dipola zamislimo kuglu radijusa rtako da polarna os kugle prolazi kroz dipol, onda

jakost električnog polja u bilo kojoj točki kugle ima smjer tangente na meridijan,a jakost

magnetskog polja smjer tangente na paralelu.

12

Izvod valne jednadžbe za em valove

Promatrat ćemo EM valove u homogenom izotropnom prostoru bez struja I naboja tako

da je:𝑗 = 0, 𝜌 = 0, 𝜀 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡., 𝜇 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

Maxwellove jednadžbe u tom slučaju:

∯ �� 𝑆

∙ 𝑑𝑆 = 0 (1)

∯ �� 𝑆

∙ 𝑑𝑆 = 0 (2)

∮ �� 𝐾

∙ 𝑑𝑆 = −∬𝜕

𝜕𝑡𝑆�� ∙ 𝑑𝑆 (3)

∮ �� 𝐾

∙ 𝑑𝑆 = −∬𝜕

𝜕𝑡𝑆�� ∙ 𝑑𝑆 (4)

Promatrat ćemo harmonički ravni EM val,koji putuje u smjeru osi z (kao naslici(3)). Vekotri

električnog i magnetskog polja titraju okomito na smjer širenja vala.Odabiremo takav

koordinatni sustav da električno polje titra u smjeru osi x, a magnetsko u smjeruosi y – imamo

samo Ex i Bykomponente.

(1) i(2)su zadovoljene jer tokovi električnog i magnetskog polja kroz bilo koju zatvorenu

površinu su uvijek =0.

Gledamo(3): ∮ �� 𝐾

∙ 𝑑𝑆 = −∬𝜕

𝜕𝑡𝑆�� ∙ 𝑑𝑆

Slika 5- Izračunavanje krivuljnog integral u trećoj I četvrtoj Maxwellovoj jednadžbi

13

Površina integracije S je pravokutnik u x z ravnini sa stranicama∆x i ∆z.

∮ �� 𝐾

∙ 𝑑𝑆 = 𝐸𝑋(𝑧 + ∆𝑧)∆𝑥 − 𝐸𝑋(𝑧)∆𝑥

−∬𝜕

𝜕𝑡𝑆

�� ∙ 𝑑𝑆 =𝜕

𝜕𝑡𝐵𝑦∆𝑥∆𝑧

𝐸𝑋(𝑧 + ∆𝑧)∆𝑥 − 𝐸𝑋(𝑧)∆𝑥 = −𝜕

𝜕𝑡𝐵𝑦∆𝑥∆𝑧 / :∆𝑥∆𝑧/: lim

∆𝑧→0

lim∆𝑧→0

1

∆𝑧(𝐸𝑋(𝑧 + ∆𝑧) − 𝐸𝑋(𝑧)) =

𝜕

𝜕𝑧𝐸𝑋 = −

𝜕

𝜕𝑡𝐵𝑦

Gledamo (4): ∮ �� 𝐾

∙ 𝑑𝑆 = −∬𝜕

𝜕𝑡𝑆�� ∙ 𝑑𝑆

Slika 6- Izračunavanje krivuljnog integral u trećoj i četvrtoj Maxwellovoj jednadžbi

Za integraciju imamo pravokutnik sa stranicama ∆x i∆z u y z ravnini

∮ �� 𝐾

∙ 𝑑𝑆 = 𝐻𝑦(𝑧)∆𝑦 − 𝐻𝑦(𝑧 + ∆𝑧)∆𝑦

∬𝜕

𝜕𝑡𝑆

�� ∙ 𝑑𝑆 =𝜕

𝜕𝑡𝐷𝑋∆𝑦∆𝑧

𝐻𝑦(𝑧)∆𝑦 − 𝐻𝑦(𝑧 + ∆𝑧)∆𝑦 =𝜕

𝜕𝑡𝐷𝑋∆𝑦∆𝑧 /:∆𝑦∆𝑧 /: lim

∆𝑧→0

lim∆𝑧→0

1

∆𝑧(𝐻𝑦(𝑧) − 𝐻𝑌(∆𝑧)) =

𝜕

𝜕𝑧𝐻𝑦 =

𝜕

𝜕𝑡𝐷𝑋 ili

𝜕

𝜕𝑧𝐵𝑌 = −𝜀𝜇

𝜕

𝜕𝑡𝐸𝑥

Uz: D=𝜀𝐸 i B= 𝜇𝐻

14

Imamo 2 jednadžbe i iz jedne eliminiramo 𝐵𝑦 pa dobijemo jednadžbu samo za jedno polje 𝐸𝑋

𝜕

𝜕𝑧𝐸𝑋 = −

𝜕

𝜕𝑡𝐵𝑦 /

𝜕

𝜕𝑧

𝜕2

𝜕𝑧2 𝐸𝑋 = −𝜕

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝑧𝐵𝑦 −

𝜕2

𝜕𝑧2 𝐸𝑋 =𝜕

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝑧𝐵𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝐵𝑦 = −𝜀𝜇𝐸𝑥/

𝜕

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝑧𝐵𝑦 = −𝜀𝜇

𝜕2

𝜕𝑡2 𝐸𝑥 − 𝜀𝜇𝜕2

𝜕𝑡2 𝐸𝑥 =𝜕

𝜕𝑡

𝜕

𝜕𝑧𝐵𝑦

−𝜕2

𝜕𝑧2 𝐸𝑋 − 𝜀𝜇𝜕2

𝜕𝑡2 𝐸𝑥 = 0 valna jednadžba za električno polje

Slično eliminiramo 𝐸𝑥 pa dobijemo:

𝜕2

𝜕𝑧2𝐵𝑦 − 𝜀𝜇𝐵𝑦 = 0 valna jednadžba za magentsko polje

15

Rješenja valne jednadžbe

Najjednostavniji oblik valnog gibanja dobijemo kad izvor vala počne harmonički titrati.

Rješenja valne jednadžbe su analogna rješenjima za mehaničke valove:

𝐸𝑥 = 𝐸0 sin𝜔( 𝑡 −𝑧

𝑣 )𝜔 = 2𝜋𝑓

𝐻𝑦 = 𝐻0 sin𝜔( 𝑡 −𝑧

𝑣 ) E0, H0 –amplitude EM polja

Ako se val širi u nekom smjerukoji je određen jediničnim vektorom �� , rješenjevalne

Jednadžbe možem opisati kao:

𝐸𝑥 = 𝐸0

sin𝜔( 𝑡 −𝑟 ∙ ��

𝑣 ) = 𝐸0

sin(𝜔𝑡 − �� ∙ 𝑟 )

Također se rješenje valne jednadžbe možepisati u obliku :�� = 𝐸0 𝑒𝑖(�� ∙𝑟 −𝜔𝑡)

Ako znamo ovako općenita rješenja za električno polje onda možemo jednoznačno odrediti

rješenje za magnetsko polje iz Maxwellovih jednadžbi.

Također za ravni EM va lopćenito vrijedi:

�� = √𝜀𝜇(�� x�� ) i �� =1

√𝜀𝜇(�� x �� )

�� - jedinični vektor u smjeru širenja vala

Sada možemo rezimiriati svojstva rješenja elektičnog i magnetskog polja:

Vektori elektičnog i magentskog polja su međusobno okomiti

Oba rješenja su transverzalna

Polja su u fazi, to jest u istom trenutku iščezavaju i u istom trenutku postižu svoju

amplitudu

Amplituda magnetskog polja „reducirana “ je zafaktorc u odnosu na amplitude

elektičnogpolja: 𝐵0 =𝐸0

𝑐

Gornja rješenja predstavljaju rješenja monokromatskog vala samo jedne

frekvencije 𝑣 i valnog vektora 𝑘 =2𝜋

𝜆

16

3.VALNI PAKETI

Prostorno ogrančen valni poremećaj koji je sastavljen od niza superponiranih valova

vliskih susjednih valnih duljina.

a) Minimalni valni paket

Sinusoidalni valovi

𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑖(ℎ𝑥±𝜔𝑡)

tzv. ravni valovi nisu lokalizirani u prostoru već se prostiru od -∞ do + ∞.

Valni paket je valno gibanje lokalizirano u prostoru.Valni paket možemo dobiti

interferencijom sinusoidalnih valova- superponiramo više ravnih valova u valni paket koji se

prostorom širi određenom brzinom:

𝑠(𝑥, 𝑡) = ∑𝐴𝑛𝑒𝑡(ℎ𝑛𝑥−𝜔𝑡)

𝑛

Ako je raspodjela valnih brojeva k i frekvencija 𝜔 kontinuirana, umjesto ∑ 𝑖𝑚𝑎𝑚𝑜∫:

𝑠(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝐴(ℎ)𝑒𝑡(ℎ𝑥−𝜔𝑡)ℎ0+∆ℎ

ℎ0−∆ℎ

𝑑ℎ

Ako je A(h) prikazana Gaussovom funkcijom

𝐴(ℎ) = 𝐴0𝑒−𝛼2(ℎ−ℎ0)2

Tada to nazivamo minimalni valni paket, gdje su:

𝐴0 −amplituda

𝛼-područja valnih brojeva

∆ℎ −Širina krivulje

ℎ −centralni valni broj

Ako je ∆ℎ velik, valni paket je bolje lokaliziran. Što je∆ℎ manji slabija je i lokalizacija

valnog paketa[7].

17

b) Valni paket

Monokromatski val je idealan fizički model. U stavronosti se uvijek javljaju valni paketi ili

valni pulsovi koji su sastavljeni od valova iz nekog intervala frekvencija ili valnih duljina.

Prilikom širenja valnog paketa kroz sredstvo treba spoznati slijedeće činjenice:

Ako je sredstvo disperzivno tj., ako je dielektrična konstanta funkcija frekvencije

Em polja, fazna brzina je različita za valove različitih frekvencija

U disperzivnom sredstvu grupna brzina može se značajno razlikovati od fazne

Pretpostavimo da promatramo širenje komponente EM vala u jednoj dimenziji. Opće rješenje

valne jednadžbe u jednoj dimenziji koji se giba udesno ima oblik valnog paketa

𝑓(𝑥, 𝑡) =1

√2𝜋∫ 𝐴(𝑘)𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡)𝑑𝑘

+∞

−∞

Gdje smo kroz relaciju𝜔 = 𝜔(𝑘) uzeli u obzir da je sredstvo disperzivno. Frekvencija je

parna funkcija valnog vektora 𝜔(−𝑘) = 𝜔(𝑘) jer disperzija ne ovisi o smejru širenja vala.

Amplituda A(k) dana je Fourierovim transformatom za f(x,0)

𝐴(𝑘) =1

√2𝜋∫ 𝑓(𝑥, 0)𝑒−𝑖𝑘𝑥𝑑𝑥

+∞

−∞

Grupna brzina valnog paketa definirana je izrazom

𝑣𝑔 ≡𝑑𝜔

𝑑𝑘

Gdje se derivacija računa za valni broj k=k0 u kojem A(k) ima maksimum. U većini slučajeva

grupnu brzinu možemo poistovjetiti s brzinom prijenosa energije.[8]

18

c) Fourierova slika valnih paketa

Kada se zbroje dva ili više harmonička titranja čije su frekvencije višekratnici osnovne

frekvencije, dobiveno rezultantno titranje je složena periodička funkcija f(t) koja se ponavlja

nakon perioda T.

Frekvencija 𝜔, odnosno f je osnovna frekvencija. Višekratnici te frekvencije 2 𝜔, 3𝜔,

4𝜔, su viši harmonici.

Svaka periodična funkcija f(t) perioda t se može izraziti beskonačnim redom harmoničkih

članova [8]:

𝑓(𝑡) =𝑎0

2+ ∑(𝑎𝑛 cosn𝜔𝑡 + 𝑏𝑛 sin𝜔𝑡)

∞

𝑖=1

To je Fourierov red za periodičnu fju f(t) s periodom.𝑇 =2𝜋

𝜔

Fourierovikoejficijenti dani su kao

𝑎𝑛 =2

𝑇∫𝑓(𝑡) cos 𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡 ; 𝑛 = 0,1,2

𝑇

0

𝑏𝑛 =2

𝑇∫𝑓(𝑡) sin 𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡 ; 𝑛 = 0,1,2

𝑇

0

Valno gibanje je isto periodična funkcija, ali u dvije varijable:

u vremenu i

u prostoru.

Na periodičnu funkciju𝑓(𝑡 ±𝑥

𝑣 ) koja označava valno gibanje, primjenjujemo Fourierovu

analizu [7]:

𝑓 (𝑡 ±𝑥

𝑣) =

𝑎0

2+ ∑𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔 (𝑡 ±

𝑥

𝑣) + ∑𝑏𝑛𝑠𝑖𝑛𝑛𝜔(𝑡 ±

𝑥

𝑣 )

- a0, bn,an – Fourierovi koeficijenti

Svako valno gibanje se može prikazati zbrojem sinusoidalnih (harmoničnih) valova.

Ako računamo po kontinuiranom spektru frekvencija ∆𝜔 od (𝜔1 do 𝜔1) dobijemo grupu

valova ili valni paket.

19

𝑠(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝐴(𝜔)𝑠𝑖𝑛𝜔 (𝑡 −𝑥

𝑣) 𝑑𝜔

𝜔2

𝜔1

Dobiveno valno gibanje je ograničeno u prostoru od 𝑥0do 𝑥0 + ∆𝑥 te se s vremenom širi

određenom brzinom kroz prostor. Što je interval frekvencija veći odnosno što je interval

valnih brojeva veći, to je širina valnog pokreta manja.[8]

20

4. ZAKLJUČAK

Elektromagnetski valovi imaju četiri važna svojstva:

1. Za razliku od ostalih valova koji se šire nekim sredstvom, elektromagnetski se valovi

mogu širiti vakuumom.

2. Titrajuća električna i magnetska polja u linearno polariziranom elektromagnetskom

valu su u fazi.

3. Smjerovi električnoga i magnetnog polja u elektromagnetskom valu okomiti su jedan

na drugi i oba su okomita na smjer širenja vala, što ih čini transverzalnim valovima.

4. Brzina elektromagnetskih valova ovisi samo o električnim i magnetnim svojstvima

medija kojim se šire, a ne ovise o amplitudi elektromagnetnog polja.

21

5.LITERATURA

[1]http://www.phy.pmf.unizg.hr/~dandroic/nastava/diplome/drad_gorna_matonickin.pdf

(rujan, 2015.)

[2]TEHNIČKA KULTURA 4, udžbenik za osmi razred osnovne škole, grupa autora: Josip

Zdenko Hasenhörl, Renata Bradvica, Branka Hrpka, ALFA, Zagreb 2004.g. peto izdanje

[3]https://element.hr/artikli/file/1389(rujan, 2015.)

[4]https://hr.wikipedia.org/wiki/Mehani%C4%8Dki_valovi (rujan, 2015.)

[5]http://www.phy.pmf.unizg.hr/fizgeo/tonejc/valovi_tekst1.pdf (rujan, 2015.)

[6] https://www.fer.hr/_download/repository/TEV_5.pdf(rujan, 2015.)

[7] http://www.phy.uniri.hr/~vlabinac/files/index/skripte/valopt_pregled.pdf (rujan, 2015.)

[8] http://www.fkit.unizg.hr/_download/repository/KK-3-predavanje-beamer.pdf

http://www.phy.uniri.hr/~vlabinac/files/index/skripte/ele_pregled.pdf(rujan, 2015.)

[9]

Henč-

Bartolić,V.,Kulušić,P.:Valoviioptika,UdžbenikfizikezastudenteElektrotehničkogfakulteta,Škol

skaknjiga,Zagreb,1989.

22

POPIS SLIKA

Slika 1- Spektar elektromagnetskog zračenja

Slika 2- Kuglasti val [5]

Slika -3 Kuglasti val

Slika 4- Rasprostiranje EMG ravnog vala

Slika 5- Izračunavanje krivuljnog integral u trećoj I četvrtoj Maxwellovoj jednadžbi

Slika 6- Izračunavanje krivuljnog integral u trećoj i četvrtoj Maxwellovoj jednadžbi