ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA … Electromagnéticas Guiadas 1 GUÍAS DE ONDA...

Ondas Electromagnéticas Guiadas 1

GUÍAS DE ONDA

ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA

Grado en Física

Teoría general de guías de onda. Guías rectangular, cilíndrica y coaxial. Líneas tira y microtira. Guía dieléctrica. Resonadores. Cavidades rectangulares y cilíndricas. Teoría de perturbaciones.

Bibliografía: POZAR D. M.- "Microwave Engineering". Wiley. 1997

MARSHALL, S.V. & SKITEK, G.G.- "Electromagnetic Concepts and Applications". Prentice Hall International Editions. 1990. WALDRON, R.A.- "Theory of Guided Electromagnetic Waves". Van Nostrand. 1969.


GUIAS DE ONDA

Introducción

Análisis: En la mayoría se propagan modos no TEM.

El análisis, en términos de campos, aprovecha la simetría.

Estructura: Poseen diferentes geometrías: rectangular, cilíndrica, coaxial...

Son sistemas con simetría cilíndrica (de traslación).

Importancia: Resultan imprescindibles en el rango de microondas ( λ ≈ cm)

Están relativamente libres de pérdidas e interferencias..

Propósito: Las líneas de transmisión vistas son, en general,

sistemas abiertos. Puede ser conveniente confinar los campos. Totalmente: guías cerradas. (guías metálicas)

Parcialmente: guías abiertas. (microstrip, guías dieléctricas...)


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Geometrías típicas


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Análisis general

Aprovechamos la simetría de traslación.

Suponemos guía uniforme (no varía ni la geometría ni las propiedades del medio en la dirección z)

Tomamos medios ideales (dieléctricos sin pérdidas y conductores perfectos) Trabajamos en régimen armónico estacionario.


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Análisis general

- Para la onda propagante en z+ (factor e-jβz)

donde hemos separado los campos transversales

y longitudinales - Podríamos incluir la onda propagándose en z-.

En el caso de pérdidas, sustituiríamos jβ

Separación de los campos:

por γ=α+jβ$


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Análisis general En ausencia de fuentes:

que separado en componentes, habida cuenta de la dependencia con z:


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Análisis general Ecuaciones análogas se deducen del rotacional de H:

- Las ecuaciones obtenidas son completamente generales, con las suposiciones hechas de régimen armónico y

propagación en z+.


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Análisis general Podemos expresar las componentes transversales en función de las longitudinales


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Análisis general El número kc recibe el nombre de constante de corte:

Con (nº de onda en el medio libre)

constante de fase en la guía

Si asociamos kc a una “longitud de onda de corte”

de forma que, si


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Análisis general Ecuaciones para los campos

Siguen sujetos a la ecuación de Helmholtz:

Para las componentes longitudinales Ez, Hz y teniendo en cuenta que

Resolveremos las componentes longitudinales y encontraremos las transversales a partir de aquellas.


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Ondas TEM

Para las ondas TEM de forma que:

A no ser que

La constante de propagación es la misma que en el medio libre y las ondas TEM pueden propagarse desde frecuencia nula.

Para resolver la indeterminación (0/0), recurrimos a las ecuaciones de Maxwell:


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Ondas TEM Resolución de los campos:

Las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

de forma que e(x,y) corresponde a la solución de un problema estático en el plano transversal. De la ecuación rotacional:

y con la condición sobre la divergencia


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Ondas TEM Resolución de los campos:

1.- Resolvemos la ecuación de Laplace en el plano transversal

2.- Determinamos las constantes de integración con las condiciones de contorno.

3.- Calculamos el campo eléctrico

4.- El campo magnético se deduce de la relaciones ya vistas o de:


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Ondas TEM Características de propagación

- La constante de fase ya se ha visto: la velocidad de fase es, por tanto, la misma que en el medio libre así como la longitud de onda, cumpliéndose

- La relación de amplitudes de los campos eléctrico y magnético, o impedancia de onda, coincide con la del medio libre

de forma que, en general


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Ondas TEM Características de propagación

dependiente de la geometría

y distinta de


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Ondas TEM Inexistencia del modo TEM en guías monoconductoras

Argumento 1: La circulación de h (sólo transversal) es igual a la corriente longitudinal (de conducción y de desplazamiento). Si la onda es TEM no hay desplazamiento longitudinal. Como no hay conductor encerrado en C no hay corriente de conducción. Luego no hay campo h transversal

Argumento 2: Puesto que el potencial φ cumple la ecuación de Laplace, sujeta a una condición de contorno metálica y cerrada (φ =cte en el contorno), el potencial es constante en el interior de la guía. El campo eléctrico es, por tanto, nulo. Luego no hay campo e transversal


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Ondas TM

- Las ondas (modos) Transversales Magnéticas (TM ó modos E) no poseen componente longitudinal del campo magnético (Ez≠ 0; Hz=0).

con kc≠ 0 y dependiente de la geometría y el modo.


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Ondas TM Campo longitudinal

De la ecuación de Helmholtz:

y con la derivación con respecto a z

donde


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Ondas TM Características de propagación

β es real (onda propagante) a partir de una frecuencia tal que:

conocida como frecuencia de corte del modo

La longitud de onda en la guía y la velocidad de fase son:


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Impedancia de onda:

que es real (resistiva pura) para onda propagante

- Para frecuencias por debajo del corte, β es imaginario puro. El modo es evanescente .

- Notar que por debajo del corte ZTM es imaginario puro (reactivo) y no hay flujo de potencia.

- La guía se comporta como un filtro pasa-alto.


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Ondas TE

- Las ondas (modos) Transversales Eléctricas (TE ó modos H) no

poseen componente longitudinal del campo eléctrico (Ez=0; Hz≠0).

con kc≠ 0 y dependiente de la geometría y el modo.


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Ondas TE Campo longitudinal

De la ecuación de Helmholtz

y con la derivación con respecto a z

donde


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Ondas TE Características de propagación

β es real (onda propagante) a partir de una frecuencia tal que:

conocida como frecuencia de corte del modo.

La longitud de onda en la guía y la velocidad de fase son:


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Impedancia de onda:

que es real (resistiva pura) para onda propagante y distinta de ZTM

- Para frecuencias por debajo del corte, β es imaginario puro. El modo es evanescente .

- Notar que por debajo del corte ZTE es imaginario puro (reactivo) y no hay flujo de potencia.

- La guía se comporta como un filtro pasa-alto.


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Ondas TE y TM

Procedimiento general de resolución

1.- Resolver la ecuación de Helmholtz reducida (para ez ó hz).

2.- Obtener los campos transversales de las relaciones apropiadas.

3.- Determinar las constantes de integración a partir de las condiciones de contorno más adecuadas. Entre ellas aparecerá kc.

4.- A partir de kc obtener las características de propagación (β y Z).


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Guías particulares

La guía de placas plano-paralelas

- Puede soportar tanto modos TEM como TE y TM.

- Asumimos que w>>d. (Equivale a despreciar efectos de borde y variaciones con la coordenada x).


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Guías particulares La guía de placas plano-paralelas

El modo TEM:

1.- Resolvemos entre

2.- Las condiciones de contorno son:

3.- No hay dependencia con x:


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Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM

Solución para el potencial:

4.- El campo eléctrico reducido:

y el campo total:

donde ya sabemos que


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5. – El campo magnético:

con ηo la impedancia de onda del medio.

- Obsérvese que no existen campos longitudinales y que la dependencia transversal de los mismos es idéntica a los campos estáticos.

- Puede efectuarse el análisis en términos de voltajes y corrientes, si calculamos las circulaciones de los campos eléctrico y magnético, respectivamente.

- De ello obtendríamos la impedancia característica de la línea de transmisión.


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Efecto de borde en la guía


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Aspecto de los campos en la dirección de propagación


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Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: potenciales y corrientes


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Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TM

- En este caso, hz=0 y resolvemos la ecuación de Helmholtz reducida para ez. La “simetría” con x hace

cuya solución general es:

Sujeta a las condiciones de contorno:

en con n≥0


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- Para cada valor de n, designamos al modo con el subíndice n: TMn .

- Para cada modo, su frecuencia de corte es, por tanto:

La constante de corte es y la constante de propagación

- Notar que el modo TM0 coincide con el modo TEM.


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Campo (eléctrico) longitudinal:

Los campos transversales se deducen de las relaciones ya vistas


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La impedancia de onda

que es real para onda propagante e imaginaria pura para onda evanescente. El flujo de potencia:

Podemos calcular el vector de Poynting a través de la sección transversal de la guía:

para n>0 (para n=0 es el doble). Obsérvese que es nulo para onda evanescente.


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Caso particular: el modo TM1.

Examinemos la componente Ez:

que indica que se trata de dos ondas viajando oblicuamente según (-y,+z) y (+y,+z) con componentes π/d, β1, es decir:

que es la relación de dispersión ya vista (0º<θ<90º para onda propagante).


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Caso particular: el modo TM1.

- La velocidad de fase en la dirección del rayo es

mientras que en la dirección z es

- A medida que nos acercamos a la onda sube y baja.


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Campo eléctrico en la guía: modo TM1.

Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos) en la guía. Modo TM1.


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Diagrama de dispersión en la guía: modo TM1

Constantes de atenuación y de fase en función de la frecuencia


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Guías particulares La guía de placas plano-paralelas: modos TE

- En este caso, ez=0 y resolvemos la ecuación de Helmholtz reducida para hz.

- La “simetría” con x hace

cuya solución general es:

Si aplicamos las condiciones de contorno al campo eléctrico (Ex)

en con n>0


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- Las constantes de corte y propagación, así como la denominación de los modos, es análoga al caso TM.


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La impedancia de onda

que es real para onda propagante e imaginaria pura para onda evanescente.

El flujo de potencia: Podemos calcular el vector de Poynting a través de la sección transversal de la guía

para n>0 (No existe modo TE0). Obsérvese que es nulo para onda evanescente.


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Campo magnético en la guía: modo TE1

Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos) en la guía. Modo TE1.


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Pérdidas por conductividad finita en las paredes

Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud

con

El coeficiente de atenuación será:

(la mitad para modos TEM)


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Pérdidas por conductividad finita en las paredes


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Guías particulares La guía rectangular

- Al ser una guía monoconductora no soporta el modo TEM. - Fue una de las primeras guías desarrolladas y continua siendo muy utilizada.

- Su rango de aplicación va desde 1 Ghz a 200 Ghz.


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Guías particulares La guía rectangular. Modos TE

- Suponemos a>b.

Resolvemos la ecuación de Helmholtz para hz(x,y).

y utilizamos la técnica de separación de variables:


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Ello da lugar a dos ecuaciones separadas, con constantes de separación kx, ky.

cuyas soluciones generales combinadas dan:


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- Resulta más cómodo aplicar las condiciones de contorno sobre los campos eléctricos:

en

en

que conducen a

y la constante de corte, por tanto:


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- Cada par de índices m,n determinan un modo diferente, denotado por TEmn.

- La constante de propagación es ahora, para cada modo:

Por tanto, cada modo tiene una frecuencia de corte

- Llamamos modo fundamental al de menor frecuencia de corte.


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Guías particulares La guía rectangular. Modos TE. Expresiones generales de los campos


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El modo fundamental: - Para a>b el modo fundamental es el TE10. (Notar que no puede existir el modo

TE00). - Utilizado en la práctica, pues dispone de una banda en la que sólo él es propagante. (Hasta que no aparezca el siguiente que, dependiendo de las dimensiones de la guía,

será el TE01, el TE20 ó un modo TM).


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El modo fundamental:

La impedancia de onda es, según la relación general:

y el flujo de potencia:


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El modo fundamental

Distribución de campos en la guía. Modo TE10.


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Nueva visión de los campos en la guía. Modo TE10.

El modo fundamental


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Distribución de los campos en la guía.

El modo TE11


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Constantes de atenuación y de fase en función de la frecuencia, para los tres primeros modos.

Diagrama de dispersión


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Pérdidas por conductividad finita en las paredes. Modo TE10.

Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud:



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Pérdidas por conductividad finita en las paredes.

Atenuación por pérdidas conductoras. Modos TE10 y TM11. (Guía estándar de la banda X).


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Guías particulares La guía rectangular. Modos TM

- Suponemos a>b.

Resolvemos la ecuación de Helmholtz para ez(x,y).



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La solución para ez(x,y):

que con las condiciones de contorno:

en

que conducen a:

Donde ahora m=n=0 no está permitido. La constante de corte, por tanto:


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Guías particulares La guía rectangular. Modos TM. Expresiones generales de los campos


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- Cada par de índices m,n determinan un modo diferente, denotado por TMmn.

- La constante de propagación es, de nuevo, para cada modo:

por tanto, cada modo tiene una frecuencia de corte


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- No existen los modos TM00, TM01 ó TM10. - El modo TM de frecuencia de corte más baja es el TM11, cuya frecuencia de corte

- Los modos TM y los modos TE que tengan la misma frecuencia de corte se dice que son degenerados.

La impedancia de onda:


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Distribución de los campos en la guía. Modo TM11.


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Guías particulares La guía cilíndrica

Como guía monoconductora, no soporta el modo TEM. Históricamente es la primera guía analizada.

Conviene emplear coordenadas cilíndricas para su estudio.


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Guías particulares La guía cilíndrica

Las relaciones entre campos transversales y longitudinales, en coordenadas cilíndricas, son:


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Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE

Resolvemos la ecuación reducida de Helmholtz para hz, en coordenadas cilíndricas.


Recordemos que la constante de corte sigue siendo:


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La separación de variables conduce a:

Si introducimos la constante de separación kϕ : función solo de ρ función solo de ϕ


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La ecuación para la parte radial es:

conocida como ecuación de Bessel. Soluciones

a) Parte angular:

b) Parte radial:

donde Jn, Yn son las funciones de Bessel de 1a y 2a especie, de orden n.


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Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE Determinación de constantes.

- Para la parte angular, es evidente que la solución debe tener periodicidad 2π.!

- Una adecuada elección del origen de ángulos nos permite eliminar una de las dos funciones (equivalente a hacer A ó B=0).

- La condición de contorno natural se aplica sobre eϕ. !- Obtenemos ésta a partir de las relaciones campo transversal-longitudinal.

-Deberá ser eϕ=0 para ρ=a. - Por otra parte, la función Yn es singular en el origen ⇒ D=0

Por lo tanto:!


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- En lo anterior, J’ es la derivada de la función de Bessel y p’nm (qnm) es el cero m-ésimo de la función de Bessel de orden n.

n p’n1 p’n2 p’n3

0 3,832 7,016 10,174

1 1,841 5,331 8,536

2 3,054 6,706 9,970

Ceros de las funciones derivadas de Bessel

- Denominamos modo TEnm donde el índice n denota la

dependencia

(multiplicidad) angular (y el orden de la función de Bessel)

y el índice m la dependencia radial (orden del cero de J’).

- No pueden existir modos TEn0 (siempre es m>1), pero si TE0n.


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- La constante de corte es

y la constante de fase


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Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE. Expresiones de los campos


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Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TE. Expresiones de los campos

(Elección apropiada de origen de ángulos, i.e. B=0)


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El modo fundamental

Las frecuencias de corte son:

y, a la vista de los ceros de J’, resulta el modo fundamental el TE11.

- Sobre el valor de los campos en ρ=0.

- La presencia de ρ en el denominador afecta a los campos que varían como Jn.

- Dado que cuando se resuelve la posible singularidad.

- Notar que no hay modos TEn0. (m ≥ 1), pero sí TE0n.


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Guías particulares La guía cilíndrica. El modo TE11


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Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos).

Campo magnético


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Transición desde el modo TE10 en guía rectangular al TE11 en guía cilíndrica.


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Guías particulares La guía cilíndrica. Diversos modos TE


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Aunque no es el modo fundamental, es de importancia como del que derivan modos de resonancia de interés en cavidades cilíndricas.


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Guías particulares La guía cilíndrica. El modo fundamental

- Impedancia de onda

- El flujo de potencia.


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Pérdidas por conductividad finita

Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud



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Pérdidas por conductividad finita


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Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM

Resolvemos la ecuación reducida de Helmholtz para ez, en coordenadas cilíndricas.


- Las soluciones se obtienen de la misma forma que para los modos TE. - Ahora varía el resultado de aplicar las condiciones de contorno:


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- Ahora llamamos pnm al cero m-ésimo de la función de Bessel de orden n.

n pn1 pn2 pn3

0 2,405 5,520 8,654

1 3,832 7,016 10,174

2 5,135 8,417 11,620

Ceros de las funciones de Bessel - Denominamos modo TMnm donde el índice n denota la dependencia

(multiplicidad) angular (y el orden de la función de Bessel) y el índice m la dependencia radial (orden del cero de J).

- No pueden existir modos TMn0 (siempre es m>1), pero si TM0n. - El primer modo TM es el TM01 (p01 =2.405), luego el modo dominante es el TE11.

- Nótese que los modos TM1m son degenerados con los TE0m.


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- La constante de fase

y las frecuencias de corte:

- La constante de corte es:


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Guías particulares La guía cilíndrica. Modos TM. Expresiones de los campos


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Frecuencias de corte de los primeros modos.


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Guías particulares La guía coaxial

- Ya analizada en términos de línea de transmisión. - Como guía biconductora, soporta modos TEM.

- También pueden estar presentes modos superiores. - Utilizada, en la práctica, en cables.


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Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM

2.- Las condiciones de contorno son:

1.- Resolvemos en coordenadas cilíndricas.

3.- Separamos variables


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- La ecuación de Laplace en el plano transversal resulta:

que se separa en dos ecuaciones:

donde las constantes de separación verifican:


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- Solución para la parte angular:

ya que la solución debe tener, al menos, periodicidad 2π.

- Por otro lado, las condiciones de contorno del problema exigen que no haya variación con ϕ, ya que las superficies son equipotenciales.

- La parte radial admite como solución:


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Las condiciones de contorno sobre el potencial conducen a;

y, en consecuencia, el campo eléctrico reducido:

que es de la misma forma que el campo estático en un cable coaxial.


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Expresiones completas de los campos.

- Ya sabemos que la constante de fase es

que, de nuevo, resultan análogas a las expresiones estáticas.


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Potenciales y corrientes.

- Podemos evaluar, en la forma habitual, la diferencia de potencial y corriente a lo largo de la guía. (Tratamiento en términos de línea de transmisión).

de donde la impedancia característica:


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Guías particulares La guía coaxial. El modo TEM. Atenuación en las paredes

- Calculado en la forma habitual, se obtiene

Atenuación por conductividad finita, frente a la relación b/a.


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Guías particulares La guía coaxial. Modos superiores

- Para modos TE, resolvemos:

cuya solución, ya vista, es:

- A diferencia de la guía cilíndrica, ρ=0 está excluido de la región de cálculo, luego no hay por que descartar Yn.

- Las condiciones de contorno a aplicar son: para


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Guías particulares La guía coaxial. Modos superiores

Las condiciones anteriores dan:

sistema que admite solución no trivial si:

ecuación trascendente, cuya solución proporciona las constantes de corte de los modos TEnm.

- Una solución aproximada es:


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Guías particulares La guía coaxial. El modo TE11

Líneas del campo eléctrico (continua) y magnético (a trazos).


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Otros tipos de guías La línea “strip”

Generalmente la tira (“strip”) está centrada Se suele tomar b ≈ w; a >> w

El análisis desprecia efectos de borde Suponemos las placas exteriores conectadas a tierra

y la tira a un potencial V0. Se puede aproximar la distribución de campos por encima y debajo de la tira como un modo TEM (al igual que en la guía plano paralela)


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Distribución ideal de los campos

en –w/2≤x≤w/2; 0≤y≤b/2

en –w/2≤x≤w/2; -b/2≤y≤0


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El tratamiento en términos de voltajes y corrientes da:

donde η0 es la impedancia intrínseca del vacío y suponemos que el dieléctrico tiene una permitividad εr

de forma que la impedancia característica:


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Líneas de campo sin despreciar efectos de borde

Un cálculo realista, que no desprecie efectos de borde, proporciona:

Donde K y K’ son la función elíptica de primera especie y su complementaria

También existen resultados para tiras de grosor no despreciable


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Representación de la impedancia característica frente a w/b (parámetro t/b). La línea a trazos es la aproximación sin efectos de borde.


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Otros tipos de guías La línea “microstrip”

Suelen utilizar sustratos dieléctricos de alta permitividad (concentra el campo en la región del sustrato y permite reducir el tamaño de la tira)

Son utilizadas en circuitería integrada y se realizan con técnicas fotolitográficas Las condiciones de contorno impuestas en la interfaz entre los dos dieléctricos

no permiten, estrictamente, la existencia de un modo TEM Sin embargo, si el sustrato dieléctrico es delgado y de elevada permitividad

se puede realizar un análisis cuasi-TEM La propagación real es a base de modos híbridos TE-TM


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Efecto del dieléctrico: superior εr=1; inferior εr=10


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Equivalente a un único medio en el que estuviera la línea

El análisis cuasi-TEM supone que la velocidad de fase y constante de propagación pueden expresarse como:

donde 1<εe<εr es una permitividad “efectiva” (Nótese que existe propagación tanto en el vacío como en el sustrato)

La permitividad efectiva se aproxima por:


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La impedancia caracerística

se suele utiliar la impedancia característica de la microstrip vacía y escribir:

La siguiente gráfica representa la impedancia y la constante dieléctrica efectiva en función de la relación w/h para distintos sustratos


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Impedancia característica en vacío y constante dieléctrica efectiva


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Impedancia característica frente a w/h para diversos sustratos

32.0 34 90 2.63 2.0 47.5 51 130 2.55 1.0 67.5 74 185 2.50 0.4

w/h

Cálculo cuasi-TEM y medidas (Microstrip de alúmina εr=9.74; h=0.635 cm.)


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Longitud de onda en la línea w/h para diversos sustratos


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Diagrama de dispersión en una línea microstrip


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Líneas de campo en una microstrip “encerrada” (Modo cuasi-TEM)


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Otros tipos de guías La guía dieléctrica

También conocida como “fibra óptica”, está formada por un núcleo (core) de permitividad ε1(ρ) superior a la de la cubierta (cladding)

No emplea elementos metálicos, por lo que no son afectadas por interferencias exteriores. Por ello, también se usan para enlaces en presencia de tensiones elevadas

El guiado se efectúa a base de reflexión total en la interfaz núcleo-cubierta

Pueden ser de salto de índice (ε1 constante) o de índice gradual


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El seno del mayor ángulo de incidencia de un rayo, de forma que sea guiado por la fibra (alcanzando el otro extremo) se conoce como apertura numérica

Pueden existir modos TE0n y TM0n sin dependencia angular

Los modos con dependencia angular son híbridos TE y TM y se denominan modos HE ó EH. Entre ellos el fundamental es el HE11, cuya frecuencia de corte es nula

Los campos en la cubierta decrecen exponencialmente, pero el decrecimiento es mas lento a medida que baja la frecuencia

Dependiendo del tamaño del núcleo y de la frecuencia pueden ser fibras monomodo o multimodo (típicamente para frecuencias ópticas entre 1-10 micras)


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Diagrama de dispersión de una fibra de salto de índice Δ=0.1; εr1=2.34


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Resonadores Introducción

Los circuitos resonantes constituidos por elementos concentrados no son eficaces como sistemas resonantes de alta frecuencia

Poseen elevadas pérdidas por radiación La penetración de los campos en los conductores

aumentan las pérdidas por conductividad Los valores prácticos de R, C y L no permiten conseguir

resonancias a frecuencias elevadas

En su lugar se emplean sistemas en los que los campos se confinan (casi) totalmente en una región dieléctrica que puede

estar rodeada por paredes metálicas

Concentran elevadas densidades de energía Presentan resonancia a varias frecuencias

Poseen elevados factores de calidad (pequeñas pérdidas)


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Resonadores Circuitos resonantes de baja frecuencia

Recordamos las principales características.

i.e. Circuito RLC serie


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Se produce resonancia a la frecuencia

en la cual ya que


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La relación entre energía almacenada en los elementos reactivos y la potencia disipada en los elementos resistivos mide la “bondad”

de la resonancia y se conoce como factor de calidad o de mérito Q.

Para factores de calidad grandes se pueden aproximar la impedancia y el factor Q por:


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Resonadores Resonadores de cavidad

Este tipo de resonadores está formado por un recinto dieléctrico encerrado en paredes metálicas.

Debe tener elementos de acoplo para inserción y extracción de energía.

Pueden analizarse con la teoría general del campo pero como, con frecuencia, derivan de estructuras de guías cortocircuitadas, se pueden añadir a las

soluciones encontradas las condiciones de contorno nuevas impuestas por los cortocircuitos.

La situación corresponderá así a una onda que se propaga en la guía bajo el modo escogido y que se reflejará en los contornos metálicos transversales.

La resonancia se alcanzará cuando se forme una onda estacionaria en la dirección longitudinal para lo cual serán necesarias determinadas condiciones

sobre la longitud fe onda en la guía.


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Resonadores La cavidad rectangular

Deriva de la guía rectangular, cortocircuitada en dos planos perpendiculares a la dirección de propagación.

Tendremos dos ondas viajando en z+ y z- e impondremos condiciones de contorno al campo tangencial a las nuevas paredes:


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Las condiciones de contorno en z=0,l imponen:

Es decir: la longitud de la cavidad debe ser un número entero de semilongitudes de onda.

Utilizando la relación de dispersión de la guía base se obtienen las frecuencias de resonancia de los distintos modos denotados como TEnmp ó TMnmp

y por tanto:


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Nótese que el desarrollo anterior es válido tanto para modos TE como TM. Las expresiones de los campos se derivan ahora de las de la guía base

sustituyendo la dependencia con z, de tipo exponencial, por la forma seno o coseno, según corresponda.

Ejemplo: Modos TE10p.


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Resonadores La cavidad rectangular. Factor de calidad

Si consideramos únicamente pérdidas en las paredes es sencillo obtener el factor de calidad de un cavidad rectangular.

1.- Energía almacenada: En resonancia la energía almacenada en el campo eléctrico iguala a la del campo magnético (comprobar por integración de los campos).

donde el uso de la relación de dispersión y el valor de ZTE demuestra la igualdad


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La potencia disipada en las paredes

y el factor de calidad es:

que en cavidades prácticas puede alcanzar valores de 1000-10000


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Si existiera otra fuente de pérdidas (i.e.: dieléctricas), pueden calcularse éstas y añadirlas a las anteriores.

es decir:

Si la cavidad está acoplada al exterior también habrá pérdidas por los iris, que se añadirán al factor de calidad: se conoce como QL (factor de calidad con carga).


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Resonadores La cavidad cilíndrica

Tendremos dos ondas viajando en z+ y z- e impondremos condiciones de contorno al campo tangencial a las nuevas paredes:

Al igual que la cavidad rectangular, deriva de la guía cilíndrica por adición de dos cortocircuitos perpendiculares a la dirección de propagación.


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Las condiciones de contorno en z=0,l imponen:

y por tanto:

Es decir: la longitud de la cavidad debe ser un número entero de semilongitudes de onda.

Utilizando la relación de dispersión de la guía base se obtienen las frecuencias de resonancia de los distintos modos denotados como TEnmp ó TMnmp

(Recordar que las relaciones de dispersión son diferentes para modos TE y TM)


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Modos TE

El modo fundamental es el TE111

Modos TM


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Ejemplo: Modos TEnmp


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Resonadores La cavidad cilíndrica. Factor de calidad

Considerando solo pérdidas en las paredes:

1.- Energía almacenada:


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Considerando solo pérdidas en las paredes:

2.- Pérdidas en las paredes:


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Factor de calidad debido a pérdidas en las paredes:


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Resonadores Factores de calidad


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Resonadores Cavidades cilíndricas: Carta modal


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Resonadores La respuesta de un resonador

La presencia de pérdidas da lugar a que un resonador dado responda a frecuencias en torno a la de resonancia.

Si consideramos un resonador que tenga almacenada una energía W0 y al que se corta bruscamente la alimentación, la potencia disipada

igualará al decrecimiento de energía almacenada.

y, por tanto el factor de calidad:


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Desde el punto de vista frecuencial se trata de un conjunto de oscilaciones en torno a la frecuencia de resonancia, de

importancia decreciente

y, por tanto cualquier magnitud de campo variará de la forma:

El decrecimiento de la energía es, así:


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de forma que cada componente espectral tendrá una amplitud:

Escribiendo A(t) en el dominio de la frecuencia:


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La potencia es, por tanto:


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Resonadores Perturbaciones en cavidades

Pequeños cambios en las propiedades de los medios o en la geometría de una cavidad conducen a pequeñas variaciones en sus características de resonancia.

Estas variaciones (aun siendo grandes) pueden afectar a pequeñas regiones (i.e.: introduciendo una muestra en la cavidad) o afectar a una región grande con un pequeño cambio de las propiedades (i.e.: rellenar toda la cavidad con un gas).

La teoría de perturbaciones permite obtener las características de resonancia sin necesidad de recalcular los campos en toda la cavidad.

Tomamos, para la cavidad sin perturbar, las soluciones correspondientes al modo de resonancia concreto como:


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La modificación en la cavidad varía ligeramente los campos y las frecuencias de resonancia:

donde la perturbación se representa por los términos adicionales E1, H1.

En ambos casos los campos han de cumplir las ecuaciones de Maxwell:

donde el vector D puede incluir corrientes de conducción a través de una permitividad compleja equivalente


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Operando adecuadamente se obtiene:

Integramos al volumen de la cavidad y, utilizando el teorema de la divergencia, habida cuenta de que:

debido a las condiciones de contorno metálicas en las paredes


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Finalmente obtenemos:

Expresión que es exacta si las paredes de la cavidad son perfectamente conductoras. Las aproximaciones que se realizan consisten en suponer:

a)  La perturbación es pequeña en todo el volumen

o

b) La perturbación es grande en una región pequeña


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En ambos casos podemos despreciar las contribuciones de D1 y B1 en el denominador

Finalmente la expresión perturbativa resulta:

En general para un problema dado la dificultad residirá en determinar los campos adicionales debidos a la

perturbación: E1, D1, H1, B1.


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Caso con pérdidas

Puede tratarse como una extensión de lo visto anteriormente introduciendo una “frecuencia compleja”

de resonancia.

La variación relativa de la “frecuencia compleja” es ahora:


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Ejemplo: Cavidad cilíndrica TM010 llena de un gas (εr≈1)

Campos sin perturbar:

Campos perturbados:

ya que no hay perturbación magnética


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y finalmente:

mientras que el cálculo exacto proporciona:

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