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Electromagnetismo de Alta Frecuencia 1

1.- LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

2.- GUÍAS DE ONDA

ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA

Grado en Física

PROFESOR: José Represa Fernández. Dpto. Electricidad y Electrónica. e-mail: [email protected]

Bibliografía: POZAR D. M.- "Microwave Engineering". Wiley. 1997

MARSHALL, S.V. & SKITEK, G.G.- "Electromagnetic Concepts and Applications". Prentice Hall International Editions. 1990. PAUL, C. R. ,NASAR, S. A. & WHITES, K. V.- “Introduction to Electromagnetic Fields”. Mcraw-Hill. 1997.


LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

ELECTROMAGNÉTISMO DE ALTA FECUENCIA

Grado en Física

Circuitos de parámetros distribuidos. Análisis de líneas de transmisión. Líneas sin pérdidas. La carta de Smith. Transformadores y desacoplo. Analogía entre líneas de transmisión y ondas planas. Líneas con pérdidas.



Introducción

Análisis: Utilizan conceptos de la teoría de circuitos.

Son una versión “especial” de las ecuaciones de campo.

Estructura: Dos o más conductores, separados por un medio material

Importancia: Son utilizadas en transmisión de señales, tanto en sistemas de microondas, como en interconexión de circuitos impresos

o en circuitería integrada.

Propósito: Guiado de la energía electromagnética entre

un generador y un receptor



Geometrías típicas

Bifilar Coaxial

Plano-paralela Microstrip



Diversas aproximaciones Variación lenta



Diversas aproximaciones Teoría de circuitos de baja frecuencia.

λ >>l. La variación espacial es inapreciable



Diversas aproximaciones Teoría de líneas de transmisión.

λ ≅ l. El efecto de la propagación es apreciable



Diversas aproximaciones Optica geométrica.

λ << l. Aproximación de rayos.



Ondas TEM en líneas sin pérdidas.

1.- Línea uniforme.

2.- Conductores perfectos.

3.- Medios sin pérdidas.




Principales hechos

1.- Para ω=0: Ez=0 , Hz=0. (Problema estático).

2.- Para ω ↑: Cabe esperar una distribución análoga.

3.- Pueden existir distribuciones de campo no TEM, pero solo ocurren a partir

de ciertas frecuencias (frecuencias de corte).

4.- El vector de Poynting del modo TEM está en la dirección z.

5.- Si los medios tienen pérdidas o los conductores no son perfectos no puede

haber onda TEM:

6.- La existencia de Jz implica Ez.

7.- La corriente de pérdidas en el dieléctrico implica Hz.




A pesar de las variaciones temporales, se pueden definir voltajes y corrientes, a partir de los campos transversales.

Voltajes y corrientes en la línea.

que para los campos transversales:

=0



Ondas TEM en líneas sin pérdidas. Consecuencias.

1.- Los campos satisfacen las ecuaciones estáticas en cualquier plano transversal.

2.- Pueden calcularse tensiones y corrientes funciones de z y t.



Ondas TEM en líneas sin pérdidas. Modelo de parámetros concentrados.



Ondas TEM en líneas sin pérdidas. Modelo de parámetros concentrados.

Parámetros por unidad de longitud L: Autoinducción. R: Resistencia

(Flujo magnético común) (Pérdidas óhmicas) C: Capacidad. G: Conductancia.

(Separación de cargas) (Pérdidas dieléctricas/magnéticas)



Modelo de parámetros concentrados. Ecuaciones de la línea. Caso sin pérdidas.

Las leyes de Kirchhoff:



Modelo de parámetros concentrados. Ecuaciones de la línea. Caso sin pérdidas.

La línea no es discreta. En el límite Δz→0:

Ecuaciones de la línea o del telegrafista. Desacopladas son:



Líneas sin pérdidas. Soluciones a la ecuación de la ondas.

Que son ondas de tensión y de corriente viajando en sentidos z+ y z- a la velocidad de fase.

Las tensiones y corrientes no son independientes:

donde es la resistencia característica



Líneas sin pérdidas. Las ondas de voltaje y de corriente.

Obsérvese el signo -, para la correcta propagación de la energía en ambos sentidos

En función de las ondas de tensión y



La línea terminada.

¿¿ v(0,t)= ??

En z=L (Ley de Ohm)

Debe existir onda reflejada, pues solamente con v+ no se verifica:

(salvo si RL=Rc, carga adaptada)




Puesto que

¿Cuanta onda existirá en z=L?

Una fracción (coeficiente de reflexión en la carga)

que haga

de donde




t=t0 t1>t0 t2>t1 t3>t2



Régimen temporal.

Entre 0 ≤ t≤ 2L/u no existe onda de vuelta al generador:


Entre L/u ≤t≤2L/u, la señal se ha reflejado en la carga y alcanzará el generador en t=2L/u !


Régimen temporal. Comportamiento de la fuente.

Volverá hacia la carga una fracción y se repetirá el proceso.

(Comportamiento como divisor de tensión).



Régimen temporal. Diagrama de rebotes.



Régimen temporal. Líneas con pérdidas.



Régimen temporal. Líneas con pérdidas.

que se desacoplan en:

atenuación propagación dependiente de pérdidas



Régimen armónico.

que combinadas:

Cuando las variaciones temporales son de la forma las ecuaciones de la línea se transforman en:

con

� ��



Régimen armónico. Soluciones a la ecuación de ondas.

no siendo independientes las amplitudes de las ondas:

donde es la impedancia característica de la línea



Régimen armónico. Caso sin pérdidas.

Para la línea sin pérdidas, R=0, G=0

que es real

Las ondas de tensión y corriente son:

teniendo



Parámetros de la línea. Pueden calcularse a partir de los propios campos o utilizando las energías.

Energías eléctrica y magnética almacenadas por unidad de longitud

tomando ondas

y, de la teoría de circuitos:



Parámetros de la línea.

Pérdidas en los conductores y en el dieléctrico:

donde Rs es la resistencia superficial, Rs=1/σδ y, de la teoría de circuitos:

Magnitudes que se miden en F/m, H/m, Ω/m y S/m, respectivamente



Parámetros de algunas líneas.

Coaxial Bifilar Plano-paralela



Régimen armónico. La línea terminada.

En la carga (z=L), la relación entre V e I es:

Si llamamos Γ(z) al coeficiente de reflexión en voltaje (complejo) en el punto z



Régimen armónico. La línea terminada. Magnitudes a lo largo de la línea.

Voltajes y corrientes:

Impedancia en cualquier punto:

Impedancia en z=L (impedancia de carga):



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. Relaciones de interés.

Coeficiente de reflexión:

que en la carga es:

En función de la posición:

expresado en términos del coeficiente de reflexión en la carga ΓL

(que está determinado por el valor de la carga) y midiendo su distancia a la misma (z-L).

Obsérvese que sólo varía el término de fase (en la línea sin pérdidas)



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. Relaciones de interés.

Impedancia a lo largo de la línea:

que explícitamente:

En función del valor de la carga y la distancia a la misma.



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. Transformación de impedancias.

A lo largo de la línea la impedancia se repite periódicamente:

ya que

de forma que



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. Voltajes y corrientes a lo largo de la línea.

Si expresamos V e I en función de sus valores en la carga:

o, llamando d=L -z, distancia a la carga:



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. Voltajes y corrientes a lo largo de la línea.

Los módulos de la tensión y la corriente a lo largo de la línea son:



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. Casos particulares.

1) Línea terminada en cortocircuito ZL=0 (ΓL=-1)

(Para V, debemos recurrir a su expresión en términos de )



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. Línea terminada en cortocircuito.

La impedancia vista en la línea varía como

siendo d la distancia a la carga: es reactiva pura




2) Línea terminada en circuito abierto ZL=∞ (ΓL=1)

(Para I, debemos recurrir a su expresión en términos de )



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. Línea terminada en circuito abierto.

La impedancia vista en la línea varía como

siendo d la distancia a la carga: es reactiva pura



Régimen armónico. Línea sin pérdidas. La línea λ/4.

Propiedades con carga cc o ca.

y siempre (para cualquier línea)




Solo hay onda progresiva; las amplitudes de V e I no varían a lo largo de la línea.

3) Línea terminada en carga adaptada ZL= Z0 (ΓL=0)




Un máximo (mínimo) de voltaje o corriente está exactamente en la carga

Si RL > Rc ⇒ ΓL> 0 ⇒ Máximo V, mínimo I en la carga Si RL < Rc ⇒ ΓL< 0 ⇒ Mínimo V, máximo I en la carga

4) Línea terminada en carga resistiva (ΓL es real)




No aparecen ni máximos ni mínimos de voltaje o corriente en la carga

5) Línea terminada en carga genérica (ΓL es compleja)



La razón de onda estacionaria (ROE).

Los patrones de onda estacionaria son sumas de funciones armónicas. Dependiendo de la cantidad de señal reflejada (en módulo y fase),

darán lugar a diagramas más “suaves” o más “acusados”, cuyos extremos aparecerán en unos puntos u otros.

Puede caracterizarse el patrón mediante la razón de onda estacionaria (ROE, SWR)

en voltaje (o VSWR)

¿Cuándo vale S=1 y cuándo S=∞?

De la forma de variación de ya vista,

Obsérvese que S no incluye información sobre la fase



El flujo de potencia. Valor medio de la potencia.

con

pero Γ�Γ� es imaginario puro (o nulo), luego:

que es independiente de la posición



El flujo de potencia.

Para cada onda (+ y -):

de forma que (línea sin pérdidas)

y la relación de potencias es:

La carga determina, asimismo, la potencia reflejada



El flujo de potencia. Casos particulares.

1) Línea terminada en cortocircuito o en circuito abierto:

¡Toda la potencia es reflejada!. (La carga no puede absorber potencia)

2) Línea terminada en carga adaptada:

¡Toda la potencia incidente se transfiere a la carga! (No hay onda reflejada)



La carta de Smith.

Es una representación gráfica (polar) del coeficiente de reflexión e impedancias (o admitancias) normalizadas a la característica.

La relación entre los coeficientes de reflexión en dos puntos z1 y z2 es:

con lo que la única variación es en la fase:

La impedancia (admitancia) normalizada es:



La carta de Smith.

Si el coeficiente de reflexión lo escribimos como , entonces:

lo que da lugar a dos familias de circunferencias:

que representan circunferencias en el plano complejo (Re(Γ), Im(Γ))



La carta de Smith. La primera es una familia de circunferencias de radio 1/(r+1),

centradas en (r/(r+1),0)



La carta de Smith.

La segunda es una familia de circunferencias de radio 1/x, centradas en (1,1/x)



La carta de Smith.

Γ se representa en circunferencias centradas en el origen de la carta.



La carta de Smith.

Dada una impedancia (admitancia), su localización nos permite determinar el coeficiente de reflexión (módulo y fase), así como todas las

impedancias, a lo largo de la línea.

Dado un coeficiente de reflexión, su localización nos permite determinar la impedancia (admitancia) en ese punto, así como TODAS

las impedancias a lo largo de la línea.

La carta dispone de escalillas auxiliares al pie, que permiten calcular otros parámetros.

La carta representa el coeficiente de reflexión en módulo y fase (mediante una escala externa auxiliar en grados o expresada en términos de longitudes de onda).



La carta de Smith. Ejemplo 1.

En un punto dado de la línea, se ha medido un coeficiente de reflexión

determinar la impedancia normalizada en ese punto:

1.- Localizamos el punto Γ con la ayuda de la escala .

2.- Leemos los valores de r y x

3.- El valor exacto es:

ZN=0.32+j0.63

ZN=0.30+j0.65




Dada una carga de valor ZN=2.4-j0.6 , encontrar el coeficiente de reflexión.

1.- Localizamos el punto de impedancia dada.

2.- Medimos su distancia al centro y lo trasladamos a la escala del coeficiente de reflexión.

3.- Medimos el ángulo, a partir del punto 0º

Obtenemos

4.- El valor teórico es




Una línea de transmisión de 10 m. de largo, con impedancia característica de 50 Ω, trabajando a una frecuencia, cuya longitud de onda es de 5.882 m. en la línea, termina en una carga de (50+j100) Ω. Determinar la impedancia de entrada.

2.- Expresamos la distancia en longitudes de onda:

3.- Nos movemos sobre la circunferencia que contiene a ZLN en sentido horario (hacia el generador) 1.70 λ . (Nótese que una vuelta completa es 0.5 λ)

1.- Localizamos ZLN=1+j2

10m. = 1.70 x 5.882m = 1.70 λ .

4.- Determinamos el punto, obteniendo ZinN=0.29-j0.82




5.- El valor de la impedancia es, por lo tanto Zin=(14.5 - j41) Ω+

frente el valor exacto de Zin=(14.52 - j40.52) Ω '

De paso, los coeficientes de reflexión en la carga y a la entrada, son:

frente a los valores teóricos



La carta de Smith. Razón de onda estacionaria.

La razón de onda estacionaria también puede representarse en la carta de Smith.

recordando que la tensión en la línea es:

en un la posición de un máximo de tensión será



La carta de Smith. Razón de onda estacionaria.

La impedancia normalizada en la posición de un máximo es:

La razón de onda estacionaria coincide con el máximo valor de r (está en el eje real positivo)

Análogamente, la impedancia normalizada en la posición de un mínimo es:

que está en el punto diametralmente opuesto.

Existe una escala adicional para la ROE, al pie de la carta. (En VSWR y dB).




Una línea de impedancia característica Zo=100 Ω termina en una carga ZL= (150 - j200) Ω. Encontrar la ROE y la distancia a la que la

impedancia aparece como resistiva pura.

1.- Normalizamos la impedancia: ZLN= (1.5 - j2)

2.- La localizamos en la carta de Smith.

3.- Medimos su distancia al centro de la carta y la trasladamos a la escala inferior VSWR.

(Alternativamente, podemos girar hasta el eje real positivo y medir el valor de r)

S=4.5

4.- Medimos el giro (en longitudes de onda) hasta el punto del eje real más próximo

d= 0.5 λ - 0.302 λ = 0.198 λ (hacia el generador)



La carta de Smith. Otras propiedades.

En la carta de Smith, un número complejo se invierte sin más que moverse al punto diametralmente opuesto:

Dada una impedancia

un desplazamiento de λ/4 (π radianes) hace con lo que:

Esto nos permite trabajar cómodamente con impedancias y admitancias.



La carta de Smith. Otras propiedades. Inversión de un número.



Adaptación.

Por adaptación entendemos establecer un coeficiente de reflexión nulo en algún punto de la línea (para lo cual debe existir alguna discontinuidad).

Por ejemplo: consideremos dos líneas de impedancias características Z0 y Z1 conectadas en serie, siendo la segunda de ellas infinita

(o terminada en carga adaptada).



Adaptación.

Los voltajes, referidos a la discontinuidad:

con como ya sabemos.

Igualando los voltajes en z=0:

(Τ puede medirse en algunas cartas de Smith)



Adaptación. El objetivo de la adaptación será conseguir Γ=0 ó Τ=1

Para ello aprovechamos las propiedades de transformación de la impedancia a lo largo de una línea, a fin de

conseguir que las impedancias a un lado y otro sean iguales.

Ejemplo: Transformador λ/4



Adaptación. Transformador λ/4.

Impedancia vista al final de la línea Zo: si tomamos l=λ/4

La adaptación entonces ocurre si:

y



Adaptación. Transformador λ/4. Observaciones.

1.- No existirá onda estacionaria en la línea Zo, pero sí en Z1.

2.- La condición de adaptación se repite cada (2n+1)λ/4.

3.- La adaptación es dependiente de la frecuencia (a través de λ).

4.- El método sólo adapta cargas reales (o líneas sin pérdidas).

Propuesta: Diseñar un transformador de λ/2+



Adaptación. Adaptación con “stubs”.

La adaptación con sintonizadores (stubs) se basa en dos puntos:

1.- Encontrar algún punto en la línea en que la parte real de la impedancia vista coincida con la impedancia característica.

2.- Añadir, entonces, una impedancia reactiva pura que anule la parte reactiva de la impedancia anterior.



Adaptación. Adaptación con “stubs”. “Stub” simple en paralelo.

En este caso, conviene trabajar con admitancias.

Deberá localizarse un punto en el que Re(Yin)=Yo. (Equivalente a que Re(YinN)= 1)

Allí se añade la parte reactiva, cambiada de signo.

Esa parte reactiva proviene de la transformación de un cortocircuito, conectado en paralelo, y de longitud

apropiada para que presente la parte reactiva buscada.




Admitancias normalizadas:




Procedimiento:

1.- Localizar, en su caso, ZLN. Encontrar YLN por inversión. (Punto diametralmente opuesto).

2.- Moverse hacia el generador hasta cortar la circunferencia de r=1. (Habrá más de una solución). Leer la distancia d (en λ)

3.- Localizar la admitancia correspondiente a un cortocircuito. (Ycc= ∞+j∞ : punto más a la derecha en la carta de Smith)

4.- Moverse hacia el generador hasta localizar la parte reactiva igual y de signo contrario a la encontrada en 2. Leer la distancia l (en λ).




Ejemplo:

Adaptar, mediante un stub simple en paralelo, una carga de ZL= (25 - j50) Ω en una línea de impedancia característica Zo=50 Ω .

3.- Necesitamos añadir - j1.6 Partiendo de Ycc, nos movemos hasta - j1.6:

1.- ZLN= 0.5 - j1 ⇒ YLN= 0.4 + j0.8

2.- Corte en r=1: Yin = 1+ j1.6

d= 0.179 λ - 0.115 λ = 0.064 λ+

l = 0.339 λ - 0.25 λ = 0.089 λ+




Ejemplo:



Adaptación. Adaptación con “stubs”. “Stub” doble en paralelo.

El stub simple adapta mediante la variación de su posición en la línea y su longitud.

Cuando no es posible, o no se desea, mover la posición del stub, puede utilizarse el stub doble, con dos ramas separadas una cierta

distancia y en el que se ajustan las longitudes de los brazos. Puede estar colocado en cualquier posición.




Procedimiento: En el plano de adaptación debemos conseguir YinN = 1+ j 0

YinN se compone de:

1.- La admitancia reactiva transformada del brazo 2 (-jX2) (Cortocircuito a lo largo de l2).

2.- La admitancia transformada (YTN), a lo largo de d, de TODO lo que hay en el plano de la carga (YN): 2.1.- La admitancia de carga YL.

2.2.- La admitancia reactiva jX1, procedente del brazo . (Cortocircuito a lo largo de l1).

Debemos conseguir que Re(YTN)=1, para compensar su parte reactiva con el brazo 2




Procedimiento:

1.- Puesto que Re(YTN)=1 está sobre la circunferencia r=1 y proviene de transformar YN a través de la línea (distancia d) hacia el generador YN estará

sobre la circunferencia r=1 girada la distancia d (en λ) hacia la carga.

2.- La parte real de YN sólo se debe a la carga YL (el stub sólo aporta parte reactiva).Como Re(YN)=gL y ha de estar en la circunferencia descrita en 1),

nos movemos sobre la circunferencia de valor gL hasta cortar la circunferencia descrita en 1)

3.- Así encontramos YN. Leemos su parte imaginaria. La diferencia con la carga la ha aportado el stub: Medimos la distancia necesaria

para ello (Igual que en el stub simple).

4.- Transformamos YN a lo largo de d hacia el generador, para obtener YTN. (Deberá tener parte real 1). Leemos su parte imaginaria y

determinamos la longitud del brazo 2




Ejemplo:

Adaptar, mediante un stub doble en paralelo, de longitud λ/8 sobre la carga una impedancia de carga de valor ZL= (25 + j40) Ω en una línea de

impedancia característica Zo=50 Ω .

2.- Giramos la circunferencia de adaptación (r=1) λ/8 hacia la carga.

3.- Movemos YLN siguiendo la linea gL=0.56 hasta cortar la circunferencia de 2)

5.- La admitancia que debe introducir el stub 1 es Y1= j 0.12 - (- j 0.9) = j 1.02

l1 = 0.25 λ + 0.126 λ = 0.376 λ+

1.- ZLN= 0.5 + j 0.8 ⇒ YLN= 0.56 - j0.9

4.- Obtenemos YN= 0.56 + j 0.12.




Ejemplo:

6.- Giramos YN hacia el generador λ/8 (hasta cortar a r=1), sobre la circunferencia de módulo del coeficiente de reflexión

constante.

7.- Leemos YTN = 1 + j 0.62

8.- El segundo brazo debe aportar - j 0.62 . Lo localizamos y leemos su distancia:

l2 = 0.41 λ - 0.25 λ = 0.16 λ+




Ejemplo:



Líneas con pérdidas. Características de propagación.

Constante de propagación compleja (modo cuasi-TEM)

para pérdidas pequeñas,



Líneas con pérdidas. Características de propagación.

Constante de atenuación:

de la línea sin pérdidas

Constante de fase:

Impedancia característica:

para



Líneas con pérdidas. Distorsión en la línea con pérdidas.

- Las aproximaciones para α y β son para pérdidas pequeñas.

- En general, ambas son dependientes de la frecuencia:

- Para una señal no monocromática, cada componente armónica sufrirá diferente atenuación y viajará con distinta velocidad de fase.

- Ello supone distorsión de la señal.

- En el caso particular R/L=G/C, la línea está libre de distorsión, aún teniendo pérdidas.



Líneas con pérdidas. La línea con pérdidas terminada.

Las ondas de tensión y corriente son:



Líneas con pérdidas. La línea con pérdidas terminada.

Impedancia a lo largo de la línea:

Coeficiente de reflexión:

El coeficiente de reflexión varía ahora tanto en módulo como en fase



Líneas con pérdidas. Relaciones de interés.



Líneas con pérdidas. Potencia.

Las pérdidas en un tramo de longitud d de la línea son:

expresadas en dB

o en nepers:



Líneas con pérdidas. La Carta de Smith en líneas con pérdidas.

- La principal diferencia con el caso sin pérdidas es que el módulo del coeficiente de reflexión no permanece constante

lo que hace que el lugar del coeficiente de reflexión no sea una circunferencia sino una espiral logarítmica.

- Se puede utilizar la carta de Smith si “reducimos” en el factor

al ir hacia el generador, o “aumentamos” en el factor al ir hacia la carga.




Ejemplo: Encontrar la impedancia de entrada en una línea de 30.48 m, de impedancia característica Zo=53.5 Ω y terminada en una

carga de ZL=(100+j150) Ω trabajando a una λ=2 m, si las pérdidas totales son de 4.5 dB.

α=1.70x10-2 dB/m

1.- nº dB=4.5 dB = 8.686 α d

2.- Atenuación




3.- Localizamos ZLN = 1.87 + j2.80.

Encontramos ZN = 0.17 - j0.35.

Encontramos ZinN = 0.62 - j0.21

4.- Nos movemos hacia el generador 15.24 λ (0.24 λ).

5.- Reducimos el radio en un 35.5%

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