ELE401/501 – 2016/17 GÜZ – ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER · Lyapunov kararlılık 1. soruda...
Transcript of ELE401/501 – 2016/17 GÜZ – ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER · Lyapunov kararlılık 1. soruda...
1
ELE401/501 – 2016/17 GÜZ – ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER
1-) Lyapunov kararlılığı için
• 0, ( ) 00, ( ) 0
x V xx V x= =
≠ > biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu
• *
0, ( ) 0x V x≠ ≤ eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için
• *
0, ( ) 0x V x≠ < şartı sağlanmalıdır.
Global kararlılık için ise ek olarak ışınsal sınırsızlık şartı sağlanmalıdır, yani
• x →∞ giderken ( )V x →∞ gitmelidir.
Doğrusal sistemler için kararlılığın daima global olduğunu hatırlayınız. Yani ekstradan
globallik koşulunu kontrol etmeye gerek yoktur, kararlılık gösterildiği anda otomatikman
global olur. Lyapunov kararlılığı sıfır giriş altında sistemin durumlarıyla ilgilenir. Bundan
dolayı doğrusal sistemler için durum uzayında ilgilenecek olan matris A matrisidir. *x A x=
doğrusal zamanla değişmez sistemi için Lyapunov fonksiyonu her zaman ( ) * *TV x x P x=
şeklinde seçilebilir; burada P pozitif tanımlı simetrik bir matristir.
Türev alındığında *( ) *[ * * ]*T TV x x A P P A x= + elde edilir. Buradaki * *TA P P A Q+ = −
olarak adlandırılırsa Q matrisi pozitif tanımlı ise sistemin asimptotik kararlılı, pozitif yarı
tanımlı ise Lyapunov kararlı olduğu söylenebilir.
Doğrusal sistemler için önemli bir kolaylık, bu analizde tersten gitmenin de mümkün
olmasıdır. Yani herhangi bir pozitif tanımlı Q seçilip, * *TA P P A Q+ = − denklemi P için
çözüldüğünde pozitif tanımlı bir P elde ediliyorsa sistem asimptotik kararlıdır denebilir.
Benzer şekilde herhangi bir pozitif yarı tanımlı Q seçilip, * *TA P P A Q+ = − denklemi P
için çözüldüğünde pozitif tanımlı bir P elde ediliyorsa sistem Lyapunov kararlıdır denebilir.
S1 sistemi için :
*
1
1
0 0A matrisix Ay x u
= → == +
2
• Durum sayısı 1n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q
matrisi birim matris yani 1 seçilerek P matrisi arayalım:
* * 0* *0 1TA P P A P P+ = + = − ifadesini sağlayan hiçbir pozitif tanımlı P yoktur
çünkü P ne olursa olsun bu ifade sağlanmaz. O halde sistem asimptotik kararlı değil.
• Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde
* * 0* *0 0TA P P A P P+ = + = − ifadese bakarsak bunu sağlayan pozitif tanımlı bir P
bulunabilir, örneğin 1P = alınabilir. O halde Lyapunov kararlıdır.
S2 sistemi için :
*
1
1
0A matrisix u Ay x
= → ==
• Durum sayısı 1n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q
matrisi birim matris yani 1 seçilerek P matrisi arayalım:
* * 0* *0 1TA P P A P P+ = + = − ifadesini sağlayan hiçbir pozitif tanımlı P yoktur
çünkü P ne olursa olsun bu ifade sağlanmaz. O halde sistem asimptotik kararlı değil.
• Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde
* * 0* *0 0TA P P A P P+ = + = − ifadese bakarsak bunu sağlayan pozitif tanımlı bir P
bulunabilir, örneğin 1P = alınabilir. O halde Lyapunov kararlıdır.
S3 sistemi için :
*
1 1
1
1A matrisix x u Ay x
= − + → = −=
• Durum sayısı 1n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q
matrisi birim matris yani 1 seçilerek P matrisi arayalım:
* * ( 1)* *( 1) 1TA P P A P P+ = − + − = − ifadesi pozitif tanımlı 0.5P = için sağlanır, o
halde asimptotik kararlıdır. Asimptotik kararlı olduğuna göre otomatikman
Lyapunov kararlıdır.
3
S4 sistemi için :
*
1 0A matrisix u Ay u
= → ==
• S1 ve S2’ye benzer şekilde asimptotik kararlı olmadığı ama Lyapunov kararlı
olduğu açıktır.
S5 sistemi için :
*
1 1*
2 2
2
1 00 1
2*
A matrisi
x x u
x x Ay x u
= +
= − → = − = +
• Durum sayısı 2n = olduğundan P ve Q 2 2× matrisler olacak. Asimptotik kararlılık
için Q matrisi birim matris seçerek 11 12
12 22
p pP
p p
=
matrisini çözelim:
11 12 11 12
12 22 12 22
1 0 1 0 1 0* *
0 1 0 1 0 1p p p pp p p p
− + = − − −
1111 22
22
2* 0 1 00.5, 0.5
0 2* 0 1Çözülürsep
p pp
− = → = − = − −
O halde 12
12
0.50.5p
Pp−
=
. Hiçbir 12p için P pozitif tanımlı olamayacağı için sistem
asimptotik kararlı değildir.
• Lyapunov kararlılık için Q’yu pozitif yarı tanımlı, mesela sıfır seçip P’yi çözelim:
11 12 11 12
12 22 12 22
1 0 1 0 0 0* *
0 1 0 1 0 0p p p pp p p p
− + = − − −
1111 22
22
2* 0 0 00, 0
0 2* 0 0Çözülürsep
p pp
= → = = −
4
O halde 12
12
00p
Pp
=
. Hiçbir 12p için P pozitif tanımlı olamayacağı için sistem
Lyapunov kararlı değildir.
S6 sistemi için :
*
1 1
1
1A matrisix x u Ay x
= + → ==
• Durum sayısı 1n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q
matrisi birim matris yani 1 seçilerek P matrisi arayalım:
* * 1* *1 1TA P P A P P+ = + = − ifadesinin çözümü 0.5P = − olup bu pozitif tanımlı
değildir. O halde sistem asimptotik kararlı değil.
• Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde
* * 1* *1 0TA P P A P P+ = + = − ifadesinin çözümü 0P = olup bu pozitif tanımlı
değildir. O halde Lyapunov kararlı değil.
2-) Sistemler için Lyapunov kararlık yukarıda incelenmişti. Diğer kararlılık tipleri için
aşağıdaki adımlar takip edilebilir.
S1 sistemi için :
*
1
1
0xy x u== +
verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılmalıdır.
• Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır.
( ) 0I Aλ λ λ∆ = − → = olarak elde edilir.
• Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonundan yararlanılabilir ve bunun için
Laplace dönüşümü kullanılır.
*11
11
( ) 0 ( )0 1( ) ( ) ( ) ( )
Laplace Transfer FonksiyonuX s Y sxY s X s U s U sy x u
== → → = = += +
5
Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutup olmadığı görülmektedir.
Sınırlı girdi-Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olması
gerekir. Burada sistemin kutbu yoktur. Kutup olmadığı durumlarda (sabit kazanç durumu)
sistemin çıkışı girişinin sabit bir katı (burada 1 katı) olur, yani tanım gereği SGSÇ kararlıdır.
Lyapunov kararlılık 1. soruda bulunmuştu, burada da teyit etmek gerekirse, Lyapunov
kararlılık için özdeğerlerin sol yarı düzlemde olması veya sanal eksen üzerinde çakışık kök
olmaması gerekir. Sistemimiz için özdeğer 0λ = olarak elde edildiğinde koşulu sağladığı için
Lyapunov kararlılık görülmektedir.
Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için 0
( )t B dt∞
Φ < ∞∫ ‖ ‖ şartı kontrol
edilebilir. ( ) 0Φ 1At tt e e= = = ve 0B = olduğundan integralin sonucu 0’dır. O halde SGSD
kararlıdır.
Global Asimptotik(GA) kararlılık incelenirken sistemin özdeğerlerine bakılır ve özdeğerlerin
hepsinin sol yarı düzlemde olması istenmektedir. İlgili sistem için özdeğer 0λ = olup sanal
eksen üzerinde olduğu için GA kararlılığa sahip değildir.
S2 sistemi için :
*
1
1
x uy x==
verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa.
• Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır.
( ) 0I Aλ λ λ∆ = − → = olarak elde edilir.
• Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için
Laplace dönüşümü kullanılır.
*11
11
* ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )
Laplace Transfer Fonksiyonus X s U s Y sx uY s X s U s sy x
== → → = ==
Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s=0 olarak elde edilir.
6
Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde
olmadığından dolayı ( Kutbumuz sanal eksen üzerinde ) sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip
değildir.
Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer 0λ = olarak elde edildiğinden dolayı
Lyapunov kararlılık görülmektedir.
Sınırlı Girdi- Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık
konusunda sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur,
sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir.
S3 sistemi için :
*
1 1
1
x x uy x= − +=
verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa.
• Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır.
( ) 1I Aλ λ λ∆ = − → = − olarak elde edilir.
• Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için
Laplace dönüşümü kullanılır.
*1 11 1
11
* ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) 1
Laplace Transfer Fonksiyonus X s X s U s Y sx x uY s X s U s sy x
= − += − + → → = = +=
Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz 1s = − olarak elde edilir.
Sınırlı girdi-Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olduğu
için SGSÇ kararlığına sahiptir.
Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğeri 1λ = − olarak elde edildiğinden
(özdeğerimiz sol yarı düzlemde) dolayı Lyapunov kararlığa sahiptir.
Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için 0
( )t B dt∞
Φ < ∞∫ ‖ ‖ şartı kontrol
edilebilir. ( )Φ At tt e e−= = ve 1B = olduğundan
7
00 0 0( ) 1| | |t t tdtt B d dtt e ee
∞ ∞ ∞− − − ∞Φ − == = =∫ ∫ ∫‖ ‖ . O halde SGSD kararlıdır.
Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimizin özdeğeri 1λ = − olduğu için GA
kararlılığı göstermektedir.
S4 sistemi için:
*
1x uy u==
verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa.
• Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır.
( ) 0I Aλ λ λ∆ = − → = olarak elde edilir.
• Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için
Laplace dönüşümü kullanılır.
*11
* ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( )
Laplace Transfer Fonksiyonus X s U s Y sx uY s U s U sy u
== → → = ==
Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında sistemin kutbunun olmadığı görülmektedir.
Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için ilgili sistem için kutup olmaması kararlılığı
bozmadığı için sistem SGSÇ kararlığını göstermektedir.
Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer 0λ = olarak elde edildiğinden dolayı
Lyapunov kararlılık görülmektedir.
Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için 0
( )t B dt∞
Φ < ∞∫ ‖ ‖ şartı kontrol
edilebilir. ( ) 0Φ 1At tt e e= = = ve 1B = olduğundan 0 0
( ) 1t B dt dt∞ ∞
Φ = = ∞∫ ∫‖ ‖ . O halde
SGSD kararlı değildir.
8
Global Asimptotik(GA) kararlılık sistemin özdeğeri 0λ = olup sol yarı düzlemde olmadığı
için GA kararlılığa sahip değildir.
S5 sistemi için :
[ ] [ ]
*
1 1 **
2 2
2
1 0 1* *
0 1 02* 0 2 * 1 *
x x ux x u
x xy x u y x u
= + = + −= − →
= + = +
verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa.
• Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır.
1 2( ) 1; 1I Aλ λ λ λ∆ = − → = − = olarak elde edilir.
• Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için
aşağıdaki eşitlikten yararlanabiliriz.
[ ]1
1 1 0 1 ( )( ) *( ) * 0 2 * * 1 10 1 0 ( )
İşlemlerYapıldığındas Y sTF s C sI A B D
s U s
−
− − = − + = + → = +
Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında sistemin kutbunun olmadığı görülmektedir.
Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için ilgili sistem için kutup olmaması kararlılığı
bozmadığı için sistem SGSÇ kararlığını göstermektedir.
Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğerlerinden biri sağ yarı düzlemde
olduğundan dolayı Lyapunov kararlılık görülmemektedir.
Sınırlı Girdi- Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık
konusunda sistemimiz Lyapunov kararlığa sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur
sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir.
S6 sistemi için:
*
1 1
1
x x uy x= +=
verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa.
9
• Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır.
( ) 1I Aλ λ λ∆ = − → = olarak elde edilir.
• Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için
Laplace dönüşümü kullanılır.
*1 11 1
11
* ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) 1
Laplace Transfer Fonksiyonus X s X s U s Y sx x uY s X s U s sy x
= += + → → = = −=
Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s=1 olarak elde edilir.
Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde
olmadığından dolayı ( Kutbumuz sağ yarı düzlemde) sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip
değildir.
Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer 1λ = olarak elde edildiğinden (
özdeğerimiz sağ yarı düzlemde) dolayı Lyapunov kararlılık görülmemektedir.
Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık
konusunda sistemimiz Lyapunov kararlılık ve Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığa
sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir.
Sistem Lyapunov
Kararlı
Sınırlı Girdi-Sınırlı
Çıktı Kararlı
Sınırlı Girdi-Sınırlı
Durum Kararlı
Global Asimptotik
Kararlı
S1 Evet Evet Evet Hayır
S2 Evet Hayır Hayır Hayır
S3 Evet Evet Evet Evet
S4 Evet Evet Hayır Hayır
S5 Hayır Evet Hayır Hayır
S6 Hayır Hayır Hayır Hayır
10
3-)
a-)
[ ]
*2 4 3 1 14 2 3 * 1 1 *4 4 4 0 2
2 2 3 *
x x u
y x
= + − −
= −
şeklinde verilen sistemin kontrol edilebilirliğini
incelemek için ilk olarak P matrisinin bulunması izlenecek adımdır. Öyleyse P kontrol
edilebilirlik matrisi sistemin derecesi n=3 olduğu için aşağıdaki gibi oluşmaktadır.
2
1 1 2 0 4 0* * 1 1 2 0 4 0
0 2 0 0 0 0P B A B A B
− = = − − −
Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin
derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği
göstermesi için ( ) 3Pδ = olmalıdır. Eğer kontrol edilebilirlik matrisinin her bir sütünü iα olarak
adlandırılırsa bu durumda 3 1 5 12* , 4*α α α α= − = şeklinde sütunlar arasında bağlılık
çıkmaktadır. Bu durumlara bağlı olarak ( ) 2 3Pδ = ≠ olmaktadır bundan dolayı sistemimiz
kontrol edilebilir bir sistem değildir.
Kontrol edilebilirlik için farklı bir yol ise sistemin her bir özdeğeri üzerinden elde edilen matris
rankının sistemin derecesine eşit olup olmadığının incelenmesidir. Matrisin elde edilmesinde;
[ ]* I A Bλ − formülasyonu kullanılmaktadır.
• İlk olarak karakteristik denklemin kökleri bulunmalıdır. Bunun için ( ) 0I Aλ λ∆ = − =
eşitliğinden yararlanılmaktadır. 3 2( ) 8* 20* 0I Aλ λ λ λ λ∆ = − = − − =
Yukarıdaki eşitlikten özdeğerler 1 2 30, 10, 2λ λ λ= = = − olarak elde edilir.
• İlk olarak 1 0λ = özdeğeri için inceleme yapılırsa;
[ ]2 4 3 1 1
0* 4 2 3 1 14 4 4 0 2
I A B− − − − = − − − − − − − −
11
Yukarıdaki matrisimizin rankı [ ]( )0* 3I A Bρ − = olarak elde edilmektedir ve bu da
sistemin derecesine eşit olduğunu göstermektedir. Diğer özdeğerler için inceleme yapılır.
• 10 özdeğeri için inceleme yapılırsa;
[ ]8 4 3 1 1
10* 4 8 3 1 14 4 6 0 2
I A B− −
− = − − − − − −
Yukarıdaki matrisimizin rankı [ ]( )10* 2I A Bρ − = olarak elde edilmektedir ve bu da
sistemin derecesine eşit olmadığını göstermektedir. Bundan dolayı sistemin kontrol edilebilir
olmadığı anlamına gelmektedir. ( Özdeğerlerin oluşturduğu matrislerden birinin sağlamaması
sistemimizi kontrol edilebilir bir sistem olmaktan çıkarır. Son özdeğer için işlem yapmaya
gerek yoktur.)
b- ) Sistemin Jordan biçimi çeşitli adımlar sonunda aşağıdaki gibi elde edilmektedir.
[ ]
*~ ~
~
0 0 0 0 10 10 0 * 0 0 *0 0 2 1 0
10 0 0 *
x x u
y x
= + −
=
Sistemimizin özdeğerleri çakışık olmadığı için burada bakmamız gereken ~B matrisinin
satırlarıdır. Satırlarından birinin 0’lardan oluşması bunun kontrol edilebilir olmadığını
göstermektedir. Sistemimiz için ~B matrisimiz :
~0 10 01 0
B =
olarak elde edilmiştir.
Elde edilen matrisin 2.satırı 0’lardan oluştuğu için bundan dolayı sistemimiz kontrol
edilebilir değildir.
c-) İlgili sistemin kontrol edilebilir/edilemez kısımlara ayırırken burada T benzerlik
dönüşümünden yararlanılmaktadır. T benzerlik dönüşüm matrisinin bulunmasında şu adım
izlenmektedir:
12
• T benzerlik dönüşümünün boyutunu sistemin derecesi (Durum sayısı) vermektedir ve
ilgili sistem için bu değer 3 olarak karşımıza çıkmatadır.
• T benzerlik dönüşümünün değerlerini bulunanan kontrol edilebilirlik matrisinin (P)
bağımsız sütunları ve yeterli sayıda sütün değeri oluşmaması durumunda ( derecesinden
küçük sütün matris sayısı olması) P matrisinden alınan sütun matrislerinden bağımsız
ve birbirinden bağımsız alınan sütun matrisleri oluşturmaktadır.
Yukarıdaki bilgilere göre inceleme yapılırsa;
• P kontrol edilebilirlik matrisi
2
1 1 2 0 4 0* * 1 1 2 0 4 0
0 2 0 0 0 0P B A B A B
− = = − − −
o Elde edilen bu matrisin bağımsız sütün matrislerini ilk iki sütun matrisi
oluşturmaktadır.
• T matrisinin boyutu 3 olduğundan 3 adet sütün matrisi bulunmalıdır bunun 2 tanesini P
matrisinden alıyoruz diğerini de biz belirlersek T benzerlik matrisi son halini şu şekilde
almaktadır.
1 1 01 1 1
0 2 1T
= − −
Artık kontrol edilebilir/edilemez kısımları görebileceğimiz durum uzayı modelini elde
edebiliriz. Bunun için aşağıdaki dönüşümlerden yararlanılacaktır:
~1
~1
~
~
* *
*
*
A T A T
B T B
C T C
D D
−
−
=
=
=
=
Yeni matris değerlerinin elde edilmesi sonucunda aşağıdaki durum uzayı modeli elde
edilmektedir. ( 1
~
cx ve 2
~
cx kontrol edilebilir kısımları ~~
cx ise kontrol edilemez kısmı
göstermektedir.)
13
[ ]
11
2 2
~~
1
2
~
~*
~
~* ~
~ ~*
~
~
~
2 0 6 1 00 0 1 * 0 1 *0 0 10 0 0
0 10 1 *
cc
c c
cc
c
c
c
x x
x x u
xx
x
y x
x
− = +
= −
Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır.
14
d-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak Q matrisinin bulunması izlenecek
adımdır. Q gözlenebilirlik matrisi matrisi sistemin derecesi n=3 olduğu için aşağıdaki gibi
oluşmaktadır.
2
2 2 3* 0 0 0* 0 0 0
CQ C A
C A
− = =
Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması
gerekmektedir. Problemimiz için ( ) 3Qρ = olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken
kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0’a eşit değil ise rankı
boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( ) 0Q = olduğu için
( ) 3 ( ( ) 1Q Qρ ρ≠ = 2 ve 3 satırlar sıfırdan oluştuğundan ) sistemimiz gözlenebilir bir sistem
değildir.
Gözlenebilirlik için farklı bir yol ise sistemin her bir özdeğeri üzerinden elde edilen matris
rankının sistemin derecesine eşit olup olmadığının incelenmesidir. Matrisin elde edilmesinde;
CI Aλ
−
formülasyonu kullanılmaktadır.
• İlk olarak 1 0λ = özdeğeri için inceleme yapılırsa;
2 2 32 4 34 2 34 4 4
CI Aλ
− − − − = − − − − − − −
Yukarıdaki matrisimizin rankı 3C
I Aρ
λ
= − olarak elde edilmektedir ve sistem derecesine
eşit olduğu görülmektedir.
• 2 10λ = özdeğeri için inceleme yapılırsa;
2 2 38 4 34 8 34 4 6
CI Aλ
− − − = − − − − −
15
Yukarıdaki matrisimizin rankı 2 3C
I Aλρ
= ≠ − olarak elde edildiğinden dolayı sistemimiz
gözlenebilir bir sistem değildir. ( Özdeğerlerin oluşturduğu matrislerden birinin sağlamaması
sistemimizi gözlenebilir bir sistem olmaktan çıkarır. Son özdeğer için işlem yapmaya gerek
yoktur.)
e-) Sistemimizin Jordan biçimini daha önceden elde etmiştik ve şu şekildeydi:
[ ]
*~ ~
~
0 0 0 0 10 10 0 * 0 0 *0 0 2 1 0
10 0 0 *
x x u
y x
= + −
=
Çakışık özdeğerimiz olmadığı için gözlenebilirlik için sadece ~C matrisinin sütun değerlerine
bakmamız yeterli olacaktır. Burada ~C matrisinin sütunlarının 0’dan oluşmaması sistemi
gözlenebilirliğe götürmektedir. Fakat mevcut gösterimde ~C matrisinin 2. ve 3. sütunları 0’dan
oluşmaktadır ve bundan dolayı sistemimiz gözlenebilir bir sistem değildir.
f-) İlgili sistemin gözlenebilir/gözlenemez kısımlara ayırırken burada T benzerlik
dönüşümünden yararlanılmaktadır. T benzerlik dönüşüm matrisinin bulunmasında şu adım
izlenmektedir:
• T benzerlik dönüşümünün boyutunu sistemin derecesi (Durum sayısı) vermektedir ve
ilgili sistem için bu değer 3 olarak karşımıza çıkmaktadır.
• T benzerlik dönüşümünün değerlerini bulunan gözlenebilir matrisinin (Q) bağımsız
satırları ve yeterli sayıda satır değeri oluşmaması durumunda ( derecesinden küçük satır
matris sayısı olması) Q matrisinden alınan satır matrislerinden bağımsız ve birbirinden
bağımsız alınan satır matrisleri oluşturmaktadır.
Yukarıdaki bilgilere göre inceleme yapılırsa;
• Q gözlenebilirlik matrisi
2
2 2 3* 0 0 0* 0 0 0
CQ C A
C A
− = =
16
o Elde edilen bu matrisin bağımsız satır matrislerini sadece ilk satır
oluşturmaktadır.
• T matrisinin boyutu 3 olduğundan 3 adet satır matrisi bulunmalıdır bunun 1 tanesini Q
matrisinden alıyoruz diğerlerini de biz belirlersek T benzerlik matrisi son halini şu
şekilde almaktadır.
1
2 2 31 0 11 1 0
T −
− =
Artık gözlenebilir/gözlenemez kısımları görebileceğimiz durum uzayı modelini elde edebiliriz.
Bunun için aşağıdaki dönüşümlerden yararlanılacaktır:
~1
~1
~
~
* *
*
*
A T A T
B T B
C C T
D D
−
−
=
=
=
=
Yeni matris değerlerinin elde edilmesi sonucunda aşağıdaki durum uzayı modeli elde
edilmektedir. (~
ox gözlenebilir kısımları, ~1
~
ox ve ~
2
~
ox ise gözlenemez kısımları
göstermektedir.)
[ ]
~ ~
1 1
~~ 22
~
1
~
2
~*
~
~* ~
~ ~*
~
~
~
0 0 0 0 103 2 14 * 1 1 *2 0 10 0 2
1 0 0 *
oo
o o
oo
o
o
o
x x
x x u
xx
x
y x
x
= − − + − −
=
17
Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır.
g-) Sistemin tam Kalman ayrışımını elde etmek için çeşitli dönüşüm matrisleri
kullanılmaktadır.
18
~13 ~11
21~
~ ~
~~ ~
*** c c
co
co T x coc T xT x
coc co
cco
xx xx
x xx xx x
−−−
→ → →
İlk adım sistemi kontrol edilebir/edilemez forma dönüştürmektir. Bunun için kontrol
edilebilirlik matrisinden yararlanılacaktır. Bunun için b şıkkında bulduğumuz dönüşüm
matrisinden yararlanacağız. Öyleyse;
1 11 1
1 1 0 0.75 0.25 0.251 1 1 0.25 0.25 0.25
0 2 1 0.5 0.5 0.5
Tersi AlınırsaT T T T− −
− = = − → = = − −
Dönüşüm matrisi kullanılarak sistemin kontrol edilebilir/edilemez ayrışımı aşağıdaki formda
karşımıza çıkmaktadır.
[ ]
11
2 2
~~
1
2
~
~*
~
~* ~
~ ~*
~
~
~
2 0 6 1 00 0 1 * 0 1 *0 0 10 0 0
0 10 1 *
cc
c c
cc
c
c
c
x x
x x u
xx
x
y x
x
− = +
= −
İkinci aşamada yapacağımız işlem ise kontrol edilebilir/edilemez ayrışımda elde edilen durum
uzayı modelinde kontrol edilebilir kısım için gözlenebilirlik matrisini bulmaktır. Kontrol
edilebilirlik kısım 2.derecedendir çünkü 2 durum kontrol edilebilmektedir. Öyleyse kontrol
edilebilir durumlar için durum uzayı gösterimi;
19
[ ]
1 1
22
1
2
~* ~
~ ~*
~
~
2 0 1 0* *
0 0 0 1
0 10 *
c c
cc
c
c
x xu
xx
xy
x
− = + =
Sistemimiz 2 derecen olduğu için gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilir.
0 10* 0 0C
CQ
C A
= =
T dönüşüm matrisinin boyutu 2 olacaktır ve bunu oluşturacak olan CQ matrisinin bağımsız
sütunları ve eksik olması durumunda da belirleyeceğimiz bağımsız satır matrisleri
oluşturmaktadır. Öyleyse;
• ( ) 1CQδ = olmaktadır ve bağımsız satır ilk satırdır ve bundan bağımsız bir satır
belirlediğimizde oluşan T dönüşüm matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilmektedir;
12
0 101 0
T T− = =
Son aşamada yapacağımız işlem ise kontrol edilebilir/edilemez ayrışımda elde edilen durum
uzayı modelinde kontrol edilemez kısım için gözlenebilirlik matrisini bulmaktır. Kontrol
edilemez kısım 1.derecedendir çünkü 1 durum kontrol edilemez. Öyleyse kontrol edilemez
durumlar için durum uzayı gösterimi;
[ ]~ ~
~
~* ~
~ ~
10* 0 0 *
1*
c c
c
x x u
y x
= +
= −
Sistemimiz 1 derecen olduğu için gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilir.
[ ]~ 1C
Q C= = −
T dönüşüm matrisinin boyutu 1 olacaktır ve bunu oluşturacak olan ~C
Q matrisi de tek satırdan
oluşup bu da bağımsız olduğu için T dönüşü matrisi aşağıdaki formda olmaktadır:
20
13 1T T− = = −
Kalman doğal ayrışımı için elde ettiğimiz dönüşüm matrislerini tek bir dönüş olarak aşağıdaki
şekilde yazabiliriz:
11 12
113
2.5 2.5 2.50
* 0.75 0.25 0.250
0.5 0.5 0.5
TT T
T
−− −
−
− = = − − − −
Sistemin kalman doğal ayrışımını oluşturacak olan matrisler için kullanacağımız dönüşümler
aşağıdaki gibidir:
~1
~1
~
~
* *
*
*
A T A T
B T B
C C T
D D
−
−
=
=
=
=
İşlemler gerçekleştirildiğinde kalman doğal ayrışımı yapılmış sistemin durum uzayı modeli
aşağıdaki gibi olmaktadır:
[ ]
*
*
~ ~
*
~~
~
~
~~
~ ~
~~
~
~
~
0 0 10 0 100 2 6 * 1 0 *0 0 10 0 0
1 0 1 *
coco
co co
coco
co
co
co
x x
x x u
xx
x
y x
x
− = − − + =
• Sitemimiz 3. dereceden olduğu için kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik
kombinasyonunun hepsi bulunmayacaktır. Elde etmiş olduğumuz kalman doğal
ayrışımında da kontrol edilemez-gözlenemez kısım bulunmamaktadır.
21
Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır.
h-) Minimal gösterim için sistemin hem kontrol edilebilir hem de gözlenebilir olması
gerekmektedir. Önceki incelemelerimizde tam kontrol edilebilir ve gözlenebilir olmadığı için
minimal gösterimi elde edilemez. Transfer fonksiyonu üzerinde uygun sadeleştirmeler
yapılarak minimal gösterim elde edilebilir. İlk olarak sistemimizin en sade şekildeki transfer
fonksiyonu elde edelim. Öyleyse;
22
1 ( ) 10*( ) * ( ) 0( )
Y sC sI A B D G sU s s
− − + = = =
Sistemimizin 2 girişli tek çıkışlı bir sistem olduğu görülmektedir ve girişleri 1 2( ) ( )U s ve U s
olarak adlandırırsak bu durumda çıkış giriş ilişkisi şu hale dönmektedir.
2
( ) 10( )
Y sU s s
=
Elde etmiş olduğumuz transfer fonksiyonu kontrol edilebilir doğal biçimde yazarsak;
[ ]*
1
2
0* 0 1 *
10*
ux x
uy x
= +
=
(Minimal Gösterim)
Elde etmiş durum uzayı modeli için minimal gösterim olduğunu teyit etmek için kontrol
edilebilirlik ve gözlenebilirlik matrislerine bakılabilir. [ ]0 1P = olup ( ) 1P nρ = = olduğundan
kontrol edilebilirdir. 10Q = olup ( ) 1Q nρ = = olduğundan gözlenebilirdir. Hem kontrol
edilebilir, hem gözlenebilir olduğundan gösterim minimaldir.
• Minimal gösterim üzerinden transfer fonksiyonu elde edilirse;
[ ]1 10( ) *( ) * 10* * 0 1 0TF s C sI A B ss
− = − = =
• Elde etmiş olduğumuz transfer fonksiyonu ile baştaki durum uzayı modeli ile elde
ettiğimiz transfer fonksiyonu ile örtüşmektedir.
4-)
a-)
[ ]
*1 3 4 10
0 1 0 * 2 *0 4 3 8
0 0 1 *
x x u
y x
− − = − + −
=
durum uzayında ifade edilen sistem için kontrol
edilebilirliğini incelerken ilk olarak kontrol edilebilirlik matrisi bulunur.
2 1* * ... *nP B A B A B A B− = matris içerisindeki n ifadesi sistemin derecesini
belirtmektedir. Öyleyse;
23
Sistem derecesi n=3 olduğu için kontrol edilebilirlik matrisi aşağıdaki gibi oluşmaktadır.
2
10 16 54* * 2 2 2
8 16 56P B A B A B
= = −
Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin
derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği
göstermesi için ( ) 3Pρ = olmalıdır. Elde etmiş olduğumuz matrisin rankı ( ) 3Pρ = olarak
karşımıza çıkmaktadır. Öyleyse ilgili sistem için şu yargıya varılabilir sistemimiz kontrol
edilebilir bir sistemdir.
b-) Sistemimiz kontrol edilebilir bir sistem olduğu için kontrol edilebilir doğal biçime
getirilebilir. Kontrol edilebilir biçimi aşağıdaki formda karşımıza çıkmaktadır.
*~ ~
1
~ ~
1
0 1 0 0 0: : : : :
* *0 0 ... 1 0
... 1
[ ... ]* *
n n
n n
x x u
y x D u
α α α
β β β
−
−
= + − − −
= +
Buradaki iα karakteristik polinomun ve iβ ise transfer fonksiyonun pay katsayılarını ifade
etmektedir. Öyleyse ilk olarak sistemimiz için karakteristik polinom bulunursa;
• Karakteristik polinom ( ) I Aλ λ∆ = − eşitliği ile elde edilmektedir. Sitemimiz için
oluşan karakteristik polinom; 3 2( ) 5* 3I Aλ λ λ λ λ∆ = − = − − − olarak elde edilmektedir.
• Bir diğer adımımız ise transfer fonksiyonunun pay katsayılarını bulmaktır. Burada ilk
olarak T dönüşüm matrisini bulmamız gerekecektir. ( ~
*C C T= eşitliği ile ~C matrisini
bulmak için)
• T dönüşü matrisi için 1~
*T P P−
= eşitliğinden yararlanılmaktadır. Buradaki ~P kontrol
edilebilir doğal biçim için kontrol edilebilirlik matrisini ifade etmektedir. Bu matrisin
bulunması için şu eşitlikten yararlanmaktayız: 2~ ~ ~ ~ ~ ~
* *P B A B A B
=
24
sistemin derecesi n=3 olduğundan 2~
A (1~ n
A−
) kadar gidilir. Öyleyse;
~0 0 10 1 11 1 6
P =
olarak elde edilir.
T dönüşüm matrisimiz ise;
1~12 6 10
* 6 4 20 8 8
T P P−
− = = − −
olarak elde edilir.
~*C C T= eşitliğiyle de
~C matrisimiz aşağıdaki gibi oluşur:
[ ]~
* 0 8 8C C T= =
• Elde ettiğimiz matrisleri toplarsak sistemimizin kontrol edilebilir doğal biçimi
aşağıdaki gibi oluşur:
[ ]
*~ ~
~
0 1 0 00 0 1 * 0 *3 5 1 1
0 8 8 *
x x u
y x
= +
=
c-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak yapmamız gereken gözlenebilirlik
matrisi bulunur.
2
1
**:
* n
CC A
Q C A
C A −
=
matris içerisindeki n sistemin derecesini ifade etmektedir. Sistemin derecesi 3
olduğundan gözlenebilirlik matrisi aşağıdaki gibi elde edilir.
2
0 0 1* 0 4 3* 0 8 9
CQ C A
C A
= = − −
Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması
gerekmektedir. Problemimiz için ( ) 3Qρ = olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken
kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0’a eşit değil ise rankı
25
boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( ) 0Q = olduğu için
( ) 3 ( ( ) 2 )Q Qρ ρ≠ = matrisin ilk sütunu sıfırlardan oluştuğu için diğer sütun matrisleri
birbirinden bağımsız) olarak elde edilir ve bu da sistemin gözlenebilir bir sistem olmadığını
göstermektedir.
d-) Sistemimiz gözlenebilir bir sistem olmadığı için gözlenebilir doğal biçime getirilemez.
e-) Eğer bir sistem minimal formda gösterilmek istenirse bu durumda sistemimiz hem kontrol
edilebilir hem de gözlenebilir olmalıdır. Minimal gösterimi bozan faktör kısacası transfer
fonksiyonundaki sadeleşmeden dolayıdır. Bu sadeleşmenin sonunda elde edilen yalın formdan
minimal gösterim elde edilir. Öyleyse ;
• Sistemimizin transfer fonksiyonu için 1( ) *( * ) *TF s C s I A B D−= − + eşitliğinden
yararlanmaktayız. Bu eşitliği kullandığımızda:
2
8 *( 1)( )( 3)*( 1)
s sTF ss s
+=
− +
• Elde edilen transfer fonksiyonunda sadeleşen kutbun olduğu görülmektedir ve ilgili
sadeleştirme yapıldığında elde edilen transfer fonksiyonu:
2
8 8( )( 3)*( 1) 2 3
s sTF ss s s s
= =− + − −
• Artık elde edilen transfer fonksiyonu kullanılarak minimal gösterim elde edilebilir.
Bunun için kontrol edilebilir doğal biçimden yararlanılacaktır çünkü kontrol edilebilir
doğal biçimi bulmamız sistemin de kontrol edilebilir olduğunu gösterir. Öyleyse:
[ ]
* 0 3 0* *
1 2 8
0 1 *
x x u
y x
= +
=
• Bu gösterime sahip sistemin minimal gösterimi için kontrol edilebilirliği sağlaması
gereklidir. Bunun için de kontrol edilebilir matrisinin rankına bakılacaktır. Yeni formda
sistem 2. dereceden olduğu için ( ) 2Pρ = olması istenilmektedir. Öyleyse
gözlenebilirlik matrisi elde edilirse:
8 00 8
P =
26
• Yukarıda elde etmiş olduğumuz kontrol edilebilirlik matrisinin rankı ( ) 2Pρ = olduğu
açıktır ve bu da elde etmiş olduğumuz gösterim sistemimizin bir minimal gösterimidir.
(Minimal gösterim tek değildir.)
5-)
a-)
[ ]
*3 4 6 102 1 2 * 4 *2 4 5 10
0 0.5 1 *
x x u
y x
− − = − − + − −
= −
durum uzayında ifade edilen sistem için kontrol
edilebilirliğini incelerken ilk olarak kontrol edilebilirlik matrisi bulunur.
2 1* * ... *nP B A B A B A B− = matris içerisindeki n ifadesi sistemin derecesini
belirtmektedir. Öyleyse;
Sistem derecesi n=3 olduğu için kontrol edilebilirlik matrisi aşağıdaki gibi oluşmaktadır.
2
10 14 58* * 4 4 4
10 14 58P B A B A B
= = −
Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin
derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği
göstermesi için ( ) 3Pρ = olmalıdır. Elde etmiş olduğumuz matrisin rankı ( ) 2Pρ = olarak
karşımıza çıkmaktadır. ( Eğer kontrol edilebilirlik matrisinin her bir sütünü iα olarak
adlandırılırsa bu durumda bağımlı olan sütun 3. sütun ( 1 23* 2*α α+ ) olarak karşımıza
çıkmaktadır. Ekstra bir yöntem olarak matris kare matris olduğu için determinantının 0’a eşit
olup olmadığı incelenir.) Belirtilen durumdan dolayı sistem kontrol edilebilir bir sistem
değildir.
27
b-) Sistem kontrol edilebilir bir sistem olmadığı için kontrol edilebilir doğal biçime
getirilemez.
c-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak yapmamız gereken gözlenebilirlik
matrisi bulunur.
2
1
**:
* n
CC A
Q C A
C A −
=
matris içerisindeki n sistemin derecesini ifade etmektedir. Sistemin derecesi 3
olduğundan gözlenebilirlik matrisi aşağıdaki gibi elde edilir.
2
0 0.5 1* 1 3.5 4* 2 8.5 7
CQ C A
C A
− = = − − −
olarak elde edilir.
Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması
gerekmektedir. Problemimiz için ( ) 3Qρ = olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken
kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0’a eşit değil ise rankı
boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( ) 8 0Q = ≠ olduğu için ( ) 3Qρ =
olarak elde edilir ve bu da sistemin gözlenebilir bir sistem olduğunu göstermektedir.
d-) Gözlenebilir bir sistem incelendiği için sistem gözlenebilir doğal biçime dönüştürülebilir.
Gözlenebilir doğal biçim için şu formda karşımıza çıkmaktadır.
*~ ~
1 1
1 1
~ ~
0 0 01 0 0
* *: : : : :0 0 1
[0 0 ... 1]* *
n n
n nx x u
y x D u
α βα β
α β
− −
− − = + −
= +
Buradaki iα karakteristik polinomun ve iβ ise transfer fonksiyonun pay katsayılarını ifade
etmektedir. Öyleyse ilk olarak sistemimiz için karakteristik polinom bulunursa;
• Karakteristik polinom ( ) I Aλ λ∆ = − eşitliği ile elde edilmektedir. Sitemimiz için
oluşan karakteristik polinom; 3 2( ) 5* 3I Aλ λ λ λ λ∆ = − = − − − olarak elde edilmektedir.
28
• Bir diğer adımımız ise transfer fonksiyonunun pay katsayılarını bulmaktır. Transfer
fonksiyonu için 1( ) *( * ) *TF s C s I A B D−= − + eşitliğinden yararlanmaktadır. Bu yol
sistem kontrol edilebilir olsaydı ideal bir çözüm olabilirdi fakat burada kontrol
edilebilirlik söz konusu olmadığında bunun için T dönüşüm matrisi bulunması
gerekmektedir. T dönüşüm matrisi için: 1~
1 *T Q Q−
− = eşitliği ile elde edilmektedir.
• İlk olarak ~Q bulunmasına ihtiyaç vardır. Bu matris gözlenebilir doğal biçimdeki
sistemin gözlenebilirlik matrisini ifade etmektedir ve aşağıdaki eşitlikle elde edilir. ~
~ ~
~2~ ~
1~ ~
*
*:
*n
C
C A
Q C A
C A−
=
Öyleyse gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilebilir. ~
~ ~ ~
2~ ~
0 0 1* 0 1 1
1 1 6*
C
Q C A
C A
= =
Öyleyse T dönüşüm matrisimiz 1~
1
3 2.5 2* 1 3 3
0 0.5 1T Q Q
−−
− − = = − − −
olarak elde edilir.
~B matrisimizin bulunmasında
~1 *B T B−= eşitliği kullanılmaktadır. O halde;
~088
B =
olarak karşımıza çıkmaktadır.
Son olarak yaptığımız işlemleri toplarsak ( Sistemimizi T dönüşüm matrisi kullanarak
gözlenebilir doğal biçime döndürmek) sistemin gözlenebilir doğal biçimi aşağıdaki
şekilde elde edilir:
29
[ ]
*~ ~
~
0 0 3 01 0 5 * 8 *0 1 1 8
0 0 1 *
x x u
y x
= +
=
e-) Eğer bir sistem minimal formda gösterilmek istenirse bu durumda sistemimiz hem kontrol
edilebilir hem de gözlenebilir olmalıdır. Minimal gösterimi bozan faktör kısacası transfer
fonksiyonundaki sadeleşmeden dolayıdır. Bu sadeleşmenin sonunda elde edilen yalın formdan
minimal gösterim elde edilir. Öyleyse ;
• Sistemimizin transfer fonksiyonu için 1( ) *( * ) *TF s C s I A B D−= − + eşitliğinden
yararlanmaktayız. Bu eşitliği kullandığımızda:
2
8 *( 1)( )( 3)*( 1)
s sTF ss s
+=
− +
• Elde edilen transfer fonksiyonunda sadeleşen kutbun olduğu görülmektedir ve ilgili
sadeleştirme yapıldığında elde edilen transfer fonksiyonu:
2
8 8( )( 3)*( 1) 2 3
s sTF ss s s s
= =− + − −
• Artık elde edilen transfer fonksiyonu kullanılarak minimal gösterim elde edilebilir.
Bunun için kontrol edilebilir doğal biçimden yararlanılacaktır çünkü kontrol edilebilir
doğal biçimi bulmamız sistemin de kontrol edilebilir olduğunu gösterir. Öyleyse:
[ ]
* 0 1 0* *
3 2 1
0 8 *
x x u
y x
= +
=
• Bu gösterime sahip sistemin minimal gösterimi için gözlenebilir de olması gereklidir.
Bunun için de gözlenebilirlik matrisinin rankına bakılacaktır. Yeni formda sistem 2.
dereceden olduğu için ( ) 2Qρ = olması istenilmektedir. Öyleyse gözlenebilirlik matrisi
elde edilirse:
8 00 8
Q =