Ekuacioni i drejtezes ne planin kordinativ

= { ekuacioni kanonik } Ax+By+C=0 { ekuacioni pergjithshem }

x-x0=ka dhe y-y0=kb { ekuacione parametrike }1_Shkruani ekuacionet parametrike , kanonike dhe te pergjithshem te drejtezes d qe permban piken M dhe eshte paralel me vektorin :

a) M(2,4) dhe (1,3) b)M(-3,0) dhe (1,-2) c)M(4-2) dhe (0,3) ç) M(0,-2) dhe (4,0)

2- Jepen ekuacionet e drejtezave : a1) = a2) x-8= a3) =y+2

b1) b2) b3)

c1)3x-5y+10=0 c2)-3y+12=0 c3)3x-7=0 gjeni kordinatat e dy pikave qe ndodhen ne drejtezen dhe e dy pikave qe nuk ndodhen ne drejtezen e dhene. Gjeni kordinatat e dy vektoreve drejtues te saj. Shkruani ekuacionet ne trajta te tjera te mundshme.

1- Gjeni nje vektor pingul dhe nje vektor paralel me drejtezen e dhene me ekuacion:a) 4x-5y-3=0 b) 2x+7y=0 c) 3x-6=0 ç)2x+5=02- Duke gjetur vektoret drejtues , gjykoni se cilat nga çiftet e mëposhtme të drejtëzave janë prerëse, paralele të dalluara , apo paralele

puthitësea) 2x+3y+3=0 dhe 2x+3y+4=0 b) 3x-2y+1=0 dhe -6x+4y-2=0 c)x=7 dhe x+5=0 ç) y+2=0 dhe y=0 d)2x-5y+7=0 dhe 2x=53- Gjeni kulmet e trekëndëshit , brinjët e të cilit ndodhen në drejtëzat me ekuacione a) 2x+3y-6=0, 3x+4y-9=0, y-6=0 b) 3x+2y-3=0, x-2=0, 2x-3y-3=04-Shkruani ekuacionet parametrike dhe kanonike të drejtëzës d që përmban pikën M(x0,y0,z0) dhe është paralele me vektorina)M(2;4;-6) dhe v=(1;3;5) ; b)M(0;-2;2) dhe v(1;-3;5) c) M(-8;0;-4) dhe v(1,3,-5)

5-Gjeni ekuacionin e drejtëzës qe përmban pikën A(1,3,5) dhe është paralele me drejtëzën d me ekuacion a) b)

c)

6-Gjeni ekuacionet e brinjëve të trekëndëshit , kulme të të cilit kanë kordinata A(1,0,2) B(3,2,4) dhe C(-1,-2,-4)

Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika:

1- Gjeni ekuacioni e drejtëzës qe përmban dy pika të dhëna a) A(5,2) dheB(3,8) b) A(0,-2) dhe B(-4,0) c)A(0,0) dhe B(0,-2) d)A(6,1) dhe B(4,1) e) A(5,0) dhe B(0,3) f) A( 2,5) dhe B(2,7)2- Shkruani ekkuacionet e brinjëve të trekëndëshit në qoftë se janë dhënë kulmet e tij:a) A(-5,2) B(1,-4), C(1,2) b) A(-1,2) B(3,-4) C(1,-2) c) A(2,0) B(0,2) C(6,6)3-Jepen kulmetA(1,2) B(3,4) C(-1,-2) te trekëndëshit . a)shkruani ekuacionet e mesoreve te trekëndëshit dhe vërtetoni se ato priten në një pikë të vetme. b) shkruani ekuacionet e vijave të mesme të këtij trekëndëshi4-Gjeni ekuacionin e drejtëzës që përmban pikën M dhe është pingule me vektorin v(2,3)5- Gjeni ekuacionin e drejtëzës d1 që përmban pikën M dhe është pingule me drejtëzën d nqs : a) M(5,3) d: 2x+y+7=0 b) M(0,0) dhe d: -x+y-5=0 c) M(2,-4) d: x-7=0 d) M(3,4) dhe d: y=-56- Projeksioni këndrejtë i pikës A(1,4) në një drejtëz është pika B(0,-3). Gjeni ekuacionin e kësaj drejtëze7- Gjeni ekuacionin e bashkësisë se pikave të baraslarguara nga pikat a) A(4,1) dhe B(6,-5) b) A(0,-1) dhe B(0,3) c) A(4,0) dhe B(6,0) d) A(0,0) dhe B(2,-4)8- Gjeni ekuacionet e përmesoreve të brinjëve të trekëndëshit nqs kulme të tij janë pikat a) A(1,4) : B(9,2): C(1,8) b) A(2,0) B(9,7) C(8,0) c) A(-12,-6) B(13,-6) C( 4,6) vërtetoni se mesoret priten në një pikë.9- Shkruani ekuacionet e lartësive të trekëndëshit nqs a) A(3,-1) B(2,-7) C(4,-3) b)A(-1,2) B(2,3) C(1,4). Vërtetoni se lartësitë priten në një pikë.10- Gjeni kordinatat e pikës A” që është projeksioni këndrejtë i pikës A në lidhje me drejtëzën d dhe kordinatat e pikës A’ që eshtë simetrike e pikës A në lidhje me drejtëzën d nqs a) d:3x-4y+31=0 dhe A( 2,3) b) d: x+2y-2=0 dheA(-1,4)11-Gjeni ekuacionin e drejtëzës d1 që përmban pikën M dhe është paralele me drejtëzën d nqs :a) M(-2,5) dhe d: 4x-3y+4=0 b) M(0,4) d: 2x+3y=0 c) M(-5,1) d: 2x+6=0

Ekuacioni i thjeshtë i drejtëzës Ekuacioni i drejtëzës kur jepet koefiçenti këndor k dhe një pikë M0(x0,y0) ku kalon drejtëza është y-y0=k(x-x0)

y=kx+b dy dr janë paralele nq k1=k2 dhe jane paralele puthitese nqs kanë të njëjtë dhe parametrin b. Nqs janë prerëse atëhere k1#k2

Këndi ndërmjet dy drejtëzave cosφ= cosφ=

Kushti i pingulsisë së dy drejtëzave k1k2=-1 koefiçenti këndor i drejtëzës që përmban dy pika është k=

1- Gjeni koeficentin këndor të drejtëzës që përmban pikat A dhe B nqs a) A(-1,-3) dhe B(2,-1) b) A(3,-4) dhe B(3,1) c) A(-1,1) dhe B(2,1)2- Gjeni ekuacionin e drejtëzës që e ka koeficentin këndor k dhe përmban pikën M nqs a) k=3 dhe M(1,2) b) k=-1 dhe M(-7,3) c) k=0 dhe M( 6,1)3-Shkruani ekuacionin e drejtëzës që pret boshtin y’y në pikën M dhe formon me boshtin x’x këndin me masë α nqs a) M(0,2) dhe α=300

b) M(4,0) dhe α=1200

4- Gjykoni cili nga ciftet e mëposhtme te drejtëzave janë prerëse, paralele të dalluara , apo paralele puthitëse: duke gjetur koeficentin këndor të drejtëzave . pa gjrtur koeficentët këndor të drejtëzave.a) 2x+3y-3=0 dhe 2x+3y+4=0 b) 2x-5y+4=0 dhe 2x+5y=0 c) 3x-2y+1+0 dhe -6x+4y-2=0 d) x=7 dhe x+5=0 e) x-3=0 dhe y+6=0f) y+2+0 dhe y=05- Shkruani ekuacionin e drejtëzës , që përmban pikën M dhe është paralele me drejtëzën (d), duke gjetur koeficentin këndor.a) M(-1,3) dhe d: 4x-3y+6=0 b) M(2,-3) dhe d; x+5y=0 c) M(1,2 dhe d;2x-6=0 d) M(0,0) dhe d;-x+4y+8=0 e) M(0,1) d;y=-3x f) M(-5,0) dhe d; y=3x-16- Shkruani ekuacionin e drejtëzës , që përmban pikën M dhe është pingule me drejtëzën (d) duke gjetur koeficentët këndor të drejtëzave; a) M(-1,3) dhe d: 4x-3y+6=0 b) M(2,-3) dhe d; x+5y=0 c) M(1,2 dhe d;2x-6=0 d) M(0,0) dhe d;-x+4y+8=0 e) M(0,1) dhe Y=-3x f) M(-1,3) dhe 5y+8=07- Gjeni masën e këndit të ngushtë ndërmjet drejttëzave :a) 6x-2y+5=0 dhe 4x+2y-7=0 b) 4x-y+5=0 dhe 5x+3y-7=0 c) y=5 dhe 2x-3y-1=08- Vërtetoni se trekëndëshi ABC , brinjët e të cilit kanë ekuacione (AB): 3x-4y-12=0 (BC): 4x+3y-9=0 dhe (AC): x=6 , është trekëndësh këndrejtë dybrinjëshëm.

Largesa e një pike nga drejtëza: d= ׀׀

1-Gjeni largesën e pikës M nga drejtëza (d) nqs :a) M(2,-1) dhe d:-x-2y+5=0 b) M(0,0) dhe d: 15x-8y-51=0 c)M-4,3) dhe d: 3x+2y+6=0 d) M(5,7) dhe d: x=3 e)M1,6) dhe d: 3x+4y-12=0 f)M( 1,-2) dhe d: 3x=4y=0 g) M(-2,6) dhe d: y-4=02- Gjeni largesën ndërmjet drejtëzave paralele:a) 3x-4y-11=0 dhe 3x-4y+4=0 b) 12x-5y+13=0 dhe 12x-5y=0 c) y-7=0 dhe y=4 d) x=9 dhe x+2=03- Gjeni ekuacionet e drejtëzave paralele me drejtëzën 3x+4y-5=0, që kanë largesë 4 njësi mga ajo.4- Jepen ekuacionet e dy brinjëve të bjë drejtëkëndëshi 3x-2y+5=0 , 2x+3y+51=0 dhe një kulm C(2,-1). Gjeni brinjët dhe syprinën e këtij drejtëkëndëshi .5- Gjeni gjtësinë e lartësisë të ndërtuar nga kulmi A(5,4) mbi brinjën BC të ABC nqs B(0,-1) dhe C(3,3) . gjeni syprinën e këtij trekëndëshi .6- Jepen pikat A(7,-1) , B(7,5). Gjeni pikën C , të tillë që trekëendëshi ABC të jetë barabrinjës 7- Dy brinjë të një katrori ndodhen në drejtëzat paralele me ekuacione 3x+4y+22=0 dhe 3x+4y-13=0. gjeni gjatësinë e brinjës dhe syprinën e katrorit .8- Gjeni ekuacionet e përgjysmores së këndeve të formuara nga drejtëzat me ekuacione : a) 3x-y+5=0 dhe x-3y-9=0 b) x+2y-3=0 dhe -2x-y+6=0 c) x=3 dhe y-6=0

Ushtrime për kreun

1- gjeni ekuacionin e drejtëzës d1 që përmbzn pikën M(3,2) dhe ështëparalele me drejtëzën d me ekuacion

a) b) shkruani trajta të tjera të mundshme të ekuacionit

2- Jepen brinjët e brinjëve të një trekëndëshi 2x-y-1=0, x-8y-8=0 dhe 7x+4y-56=0 vërtetoni se ky trekëndësh është dybrinjëshëm.3-Gjeni S e trekëndëshit ABC , që ka për kulme pikat A(-2,1) B(5,3) dhe C(1,-1)4- Diagonalet e një katrori kanë gjatësinë 8 dhe ndodhen në boshtet kordinative . shkruani ekuacionet e brinjëve të këtij katrori.5-Gjeni ekuacionet e brinjëve dhe të mesoreve te trekëndëshit ABC, që ka për kulme A(-2,1), B(2,3) dhe C(0,-1). Vërtetoni se të tre mesoret priten në një pikë.6- Gjeni ekuacionin e drejtëzës d që përmban pikën M(5,9) dhe është : a) paralele me vektorin v(-2,6) b) pingule me këtë vektor c) pingule me drejtëzën a: 7x-6y+1=0 d) paralele me këtë drejtëz.7- Gjeni ekuacionin e drejtëzës d , të tillë që projeksioni këndrejtë në këtë drejtëz i pikës a) O(0,0) të jetë pika C(2,6) b) B(1,5) të jetë pika C(3,7).8- Gjeni ekuacionin e drejtëzës që është bosht simetrie për pikat: a) A(3,4) dhe B(-3,2) b) A(-1,4) dhe B(1,2) c) A(5,4) dhe B(-3,4)9- Gjeni projeksionin këndrejtë të pikës P (1,10) në drejtëzën -5x+6y+6=010- Gjeni simetriken e pikës A(1,6) në lidhje me drejtëzën 2x-3y+3=011- Jepen kulmet e një trekëndëshi A(-3,0) , B(2,5) dhe C(3,2) . gjeni a) ekuacionet e lartësive të këtij trekëndëshi b) vërtetoni se të tre lartësitë priten në një pikë.12-Jepen ekuacionet e dy brinjëve 2x+3y-7=0 dhe 3x-4y-2=0 të një paralelogrami si dhe kordinatat e një kulmi të tij C(-2,3) . gjeni ekuacionet e brinjëve të këtij paralelogrami.13- Gjeni largesën e pikës M (2,-1) nga drejtëza me ekuacion 8x-15y+3=014- Gjeni largesën ndërmjet drejtëzave 5x-12y-28=0 dhe 5x-12y+15=015- Gjeni ekuacionin e drejtëzave 3 njësi larg drejtëzës me ekuacion 5x+12y+2=016- Gjeni përgjysmoret e këndeve të formuar nga drejtëzat 3x+4y-9=0 dhe 12x+9y-8=0 vërtetoni se këto përgjysmore janë pingule.17- Dy kulme fqinjë të një katrori janë A(0,3) dhe B(1,1) . të gjenden ekuacionet e brinjëve të tij.18- Të gjendet këndi që formojnë drejtëzat: a) 5x-y+7=0 dhe 3x+2y-1=0 b) 4x-y-1=0 dhe x+4y-12=0 c) x-2y+1=0 dhe 2x-4y+9=019- Kulmet e trekëndëshit ABC janë : A(-1,0) , B(3,4) , C(0,3) . a) gjeni ekuacionet e përmesoreve , b) vërtetoni se ato priten në një pikë , c) gjeni kordinatat e qendrës së rrethit të jashtëshkruar tij dhe rrezen e këtij rrethi.20- Kulmet e trekëndëshit ABC janë A(1,1) B(7,1`) C(4,5) . a) gjeni ekuacionet e përgjysmoreve të këndeve të këtij trekëndëshi b0 vërtetoni se ato priten në një pikë c) gjeni koordinatat e qendrës se rrethit të brendashruar ABC dhe rrezen e këtij rrethi.

© Një vektor paralel dhe një vektor pingul me një drejtëz të dhënë Drejtëza d me ekuacion ax+by+c=0 është pingul me vektorin n(a,b). Por mqs vektori v(-b,a) është pingul me n , atehere drejtëza d me ekuacion ax+by+c=0 është paralel me vektorin v(-b,a)

© Ekuacioni i drejtëzë që kalon në Mo(x0,y0) dhe është paralel me ax+by+c=0 është a(x-x0)+b(y-y0)=0pingul me drejtëzën ax+by+c=0 është b(x-x0)-a(y-y0)=0