ekonometri ders notları 9

t SınamalarıF Sınamaları

Diger Sınama ve Konular

Çoklu Baglanım ÇözümlemesiÇıkarsama Sorunu

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA

TOBB Ekonomi ve Teknoloji ÜniversitesiIktisat Bölümü

IKT351 – Ekonometri I

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010) Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)



Kullanım Sartları

Isbu ekonometri ders malzemesi, A. Talha Yalta tarafından,"Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License"

(CC-by-SA-3.0) lisans sartları altında bir açık ders malzemesi olarakgenel kullanıma sunulmustur. Yani, eserin ilk sahibinin belirtilmesi vegeçerli lisansın korunması sartıyla özgürce kullanılabilir, çogaltılabilir,degistirilebilir. Creative Commons örgütü ve “CC-by-SA-3.0” lisansıile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresindebulunmaktadır. Ders notlarının “pdf” biçimindeki en yeni sürümüne

“http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ulasabilirsiniz.

Dr. A. Talha Yalta, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi (2010)


http://creativecommons.org

http://yalta.etu.edu.tr



Ders Planı

1 t SınamalarıTek Bir Katsayının SınanmasıIki Katsayının Esitliginin Sınanması

2 F SınamalarıBaglanımın Bütününün Anlamlılık SınamasıSınırlamalı En Küçük Kareler YöntemiChow Sınaması

3 Diger Sınama ve KonularMWD SınamasıDiger Bazı Sınama ve Konular




Çoklu Baglanımda Önsav Sınaması

Bu bölümde daha önce iki degiskenli baglanım modelleriiçin ele almıs oldugumuz aralık tahmini ve önsav sınamasıkavramlarını çok degiskenli modellere genisletecegiz.

Bilindigi gibi amacımız yalnızca baglanım katsayılarınıtahmin etmek degil, aynı zamanda bu katsayılara iliskinçesitli çıkarsamalar ve önsav sınamaları da yapmaktır.

Bu dogrultuda ui hatalarının sıfır ortalama ve σ2 sabitvaryanslı normal dagılıma uydukları varsayımını çoklubaglanım modelleri için de sürdürecegiz.




Önsav Sınaması: Genel Bilgiler

Ikili baglanım modelinin basit dünyasından dısarı çıkıldıgındaönsav sınaması asagıdaki gibi farklı sekiller almaktadır:

1 Tek bir kısmi baglanım katsayısına iliskin önsav sınaması,2 Tahmin edilen baglanım modelinin bütününün sınanması,3 Iki ya da daha çok katsayının esitliginin sınanması,4 Katsayıların belli sınırlamalara uygunlugunun sınanması,5 Modelin farklı veri setlerindeki kararlılıgının sınanması,6 Baglanım modellerinin islev biçimlerinin sınanması.

Izleyen bölümde bu sınama çesitleri ayrı ayrı ele alınacaktır.




Tek Bir Katsayının SınanmasıIki Katsayının Esitliginin Sınanması

Kisisel Harcama ve Kisisel Gelir Iliskisi Örnegi

Farklı önsav sınama biçimlerini gösterebilmek için, 64ülkelik bir örneklem kullanılarak tahmin edilmis olan sumodeli ele alalım:

Yi = 263,6416 −0,0056X2i −2,2316X3i R2 = 0,7077öh (11,5932) (0,0020) (0,2099) R2 = 0,6981t (22,7411) (−2,8187) (−10,6293)p (0,0000) (0,0065) (0,0000)

Burada:Y çocuk ölümleri sayısını,X2i kisi basına düsen gayrisafi milli hasılayı,X3i ise kadınlardaki okuryazarlık oranını

göstermektedir.





Tek Bir Katsayının Sınanması

ui ∼ N(0, σ2) varsayımı altında, herhangi bir tekil baglanımkatsayısına iliskin önsavlar için t sınamasını kullanabiliriz.

Örnek olarak kadınlarda okuryazarlık oranının çocukölümleri üzerinde bir dogrusal etkisi olmadıgı varsayımınısınayalım: H0 : β3 = 0, H1 : β3 6= 0

t =β3 − β∗

3

öh(β3)=

−0,00560,0020

= −2,8

α = 0,05 kabul edersek, 61 (64-3) sd ile tα/2 = 2,000 olur.

Hesaplanan t degeri kritik t degerini astıgı için, istatistikselolarak β3’ün anlamlı oldugunu ya da diger bir deyislesıfırdan anlamlı ölçüde uzak oldugunu söyleyebiliriz.





Tek Bir Katsayının Sınanması

Bilindigi gibi önsav sınamasına diger bir yaklasım da güvenaralıgı yöntemidir.

Örnek olarak β3’nin yüzde 95 güven aralıgı söyledir:

β3 − tα/2öh(β3) ≤ β3 ≤ β3 + tα/2öh(β3)

−0,0056 − 2,000(0,0020) ≤ β3 ≤ −0,0056 + 2,000(0,0020)

−0,0096 ≤ β3 ≤ −0,0016

64 gözlemli 100 farklı örneklem seçilir ve β3 ± tα/2öh(β3)gibi böyle 100 güven aralıgı bulunursa, bunlardan 95’ininanakütledeki gerçek β2’yi içermesi beklenir.





Iki Katsayının Esitliginin Sınanması

Iki katsayının esitliginin sınanması konusu ile ilgili olarak suçoklu baglanım modelini ele alalım:

ln Yi = β1 + β2 ln X2i + β3 ln X3i + β4 ln X4i + ui

Simdi, β3 ve β4 gibi iki egim katsayısının birbirine esit olupolmadıgını sınamak istedigimizi varsayalım:

H0 : β3 = β4

H1 : β3 6= β4

H0 : (β3 − β4) = 0H1 : (β3 − β4) 6= 0

Uygulamada böyle önsav sınamaları sıklıkla kullanılır.Örnek olarak Y bir mala olan talebi, X3 ve X4 de sırasıylatüketicinin gelir ve servetini gösteriyor olsun.Log-dogrusal model için yukarıdaki sıfır önsavları talebingelir ve servet esnekliklerinin aynı oldugu anlamına gelir.






Iki katsayı tahmininin esitligini sınamak için t sınamasıyöntemi kullanılabilir:

t =(β3 − β4) − (β3 − β4)

∗

öh(β3 − β4)

Klasik varsayımlar altında n − k sd (örnegimizde k = 4) ilet dagılımına uyan yukarıdaki istatistik söyle de yazılabilir:

t =β3 − β4√

var(β3) + var(β4) − 2cov(β3, β4)

Yukarıda, öh(β3 − β4) =

√var(β3) + var(β4) − 2cov(β3, β4) ve

H0’a göre β3 − β4 = 0 özdesliklerinden yararlanılmıstır.






Asagıda verilen küplü baglanım tahminlerini ele alalım:

Yi = 141,7667 +63,4777Xi −12,9615X2i +0,9396X3

iöh (6,3753) (4,7786) (0,9857) (0,0591)

cov(β3, β4) = −0,0576 R2 = 0,9983

Y ve X burada toplam üretim ve maliyeti göstermektedir.Kısa dönem marjinal ve ortalama maliyet egrilerinin “u”biçiminin gözlenebilmesi için (β3 < 0); (β1, β2, β4 > 0) ve(β2

3 < 3β2β4) kısıtlarının geçerli olması gereklidir.β3 = β4 sıfır önsavını sınarsak t = −13,3130 buluruz.Eldeki deger 6 sd ve çift kuyruklu sınama için hesaplanant = 2,447 kritik t degerini astıgı için, X 2 ve X 3’e ait katsayıdegerlerinin aynı oldugu sıfır önsavı reddedilir.




Baglanımın Bütününün Anlamlılık SınamasıSınırlamalı En Küçük Kareler YöntemiChow Sınaması

Baglanımın Bütününün Anlamlılık Sınaması

Üçlü baglanım örnegine dönelim ve β2 ve β3’ün aynı andasıfır oldugunu öneren H0 : β2 = β3 = 0 önsavını ele alalım.

Bu sıfır önsavının sınanmasına, baglanıma iliskin “bütününanlamlılıgı” (overall significance) sınaması adı verilir.

Bu sınama tekil anlamlılık sınamalarından farklıdır.

Bunun nedeni sudur: β2 ve β3 gibi farklı katsayılar için tekilanlamlılık sınaması yaparken, her bir sınamanın farklı vebagımsız bir örnekleme dayandıgı varsayılır.

Diger yandan, verili bir örneklemde cov(β2, β3) = 0 geçerliolmayabilir. Diger bir deyisle, β2 ile β3 iliskili olabilirler.

Bu durumda, β2 ile β3’nın aynı anda [β2 ± tα/2öh(β2)] ve[β3 ± tα/2öh(β3)] aralıklarında bulunma olasılıgı (1 − α)2

degildir.






Anakütle kısmi baglanım katsayılarının aynı anda sıfıroldugu yönündeki ortak önsavı sınamak için varyansçözümlemesi yöntemi kullanılabilir:

∑y2

i = β2∑

yix2i + β3∑

yix3i +∑

ui2

TKT = BKT +KKT

Buna göre asagıdaki VARÇÖZ çizelgesini düzenleyebiliriz:Degisimin Kaynagı KT sd OKT (KT/sd)

Baglanımdan (BKT) β2P

yi x2i + β3P

yi x3i k − 1 β2P

yi x2i +β3P

yi x3ik−1

Kalıntılardan (KKT)P

ui2 n − k

P

ui2

n−k = σ2

Toplamlarından (TKT)P

y2i n − 1

Burada k , sabit terim ile birlikte tahmin edilen toplamanakütle katsayılarının sayısıdır.






Üçlü model için, hata teriminin normal dagıldıgı varsayımıve β2 = β3 = 0 sıfır önsavı altında su istatistik hesaplanır:

F =(β2

∑yix2i + β3

∑yix3i)/(k − 1)

∑ui

2/(n − k)=

BKT/sdKKT/sd

Yukarıda verilen degiskenin (k − 1) ve (n − k) sd ile Fdagılımına uydugu gösterilebilir.

Buna göre, hesaplanan F istatistiginin p degeri yeterinceküçükse H0 reddedilir.






Çocuk ölümleri örnegimize dönelim ve asagıdaki VARÇÖZçizelgesini olusturalım:

Degisimin Kaynagı KT sd OKT

Baglanım 257362,4 2 128681,2Kalıntılar 106315,6 61 1742,88

Toplam 363678 63

F degeri çizelgeden asagıdaki gibi hesaplanır:

F =128681,21742,88

= 73,8325

Yüzde 5 anlamlılık düzeyinde ve 2 ile 61 sd için kritik degerF0,05(2, 61) = 3,15’tir.

Hesaplanan F degeri anlamlı oldugu için H0 reddedilir.






Göstermis oldugumuz yöntemle hesaplanan F istatistigiçogu zaman yüksek çıkar.

Tüm baglanım katsayıları tek tek istatistiksel olarak anlamlıdegilken, F degerinin anlamlı çıkması olasıdır.

Bu durum açıklayıcı degiskenler kendi aralarında yüksekderecede ilinti gösteriyorsa karsımıza çıkabilir.

Sonuç olarak, F ve t sınama sonuçları yorumlanırkendikkatli olunmalıdır.





R2 ile F Arasındaki Iliski

Belirleme katsayısı R2 ile varyans çözümlemesindeki Fdegeri arasında yakın bir iliski vardır.

k degiskenli durumda ve H0 : β2 = β3 = . . . = βk = 0 sıfırönsavı altında su gösterilebilir:

F =n − kk − 1

BKTKKT

=n − kk − 1

BKTTKT − BKT

=n − kk − 1

BKT/TKT1 − (BKT/TKT)

=n − kk − 1

R2

1 − R2

Burada R2 = BKT/TKTtanımı kullanılmıstır.

Esitlige göre R2 ile F aynıyönde degisirler.

Tahmin edilen baglanımınbütün olarak anlamlılıgınınölçüsü olan F demek kiaynı zamanda H0 : R2 = 0sınamasına esdegerdir.





R2 ile F Arasındaki Iliski

F sınamasının R2 cinsinden gösterilmesinin üstün yanıhesaplama kolaylıgıdır. Tek gereken R2 degeridir.

VARÇÖZ çizelgesini R2 ile asagıdaki gibi düzenleyebiliriz:Degisimin Kaynagı KT sd OKT

Baglanım R2(P

y2i ) k − 1 R2(

P

y2i )/(k − 1)

Kalıntılar (1 − R2)(P

y2i ) n − k (1 − R2)(

P

y2i )/(n − k)

ToplamP

y2i n − 1





Bir Açıklayıcı Degiskenin Marjinal Katkısı

Bir açıklayıcı degiskenin marjinal katkısına bakmak için, X2

ve X3 gibi iki degiskeni modele sırayla ekleyelim.

Burada görmek istedigimiz, eklenen degiskenin KKT’yieskiye oranla ne ölçüde azalttıgıdır.

Çogu görgül çalısmada, çesitli olası X degiskenleri içindenKKT’yi çok azaltmayanları modele eklememek yeglenebilir.

Aynı sekilde KKT’yi önemli ölçüde azaltan, diger bir deyisleR2’yi “anlamlı” biçimde yükselten degiskenler de modeldençıkartılmak istenmez.

Bu yüzden bir X degiskeninin marjinal katkısı uygulamadaönemli bir konudur.






Ek bir açıklayıcı degiskenin KKT’yi anlamlı biçimde azaltıpazaltmadıgını bulmak için yine varyans çözümlemesindenyararlanılabilir.

Çocuk ölümleri örnegimize dönelim ve su ikili baglanımıtahmin edelim:

Yi = 157,4244 −0,0114X2i r2 = 0,1662t (15,9894) (−3,5156) r2 = 0,1528

Bulgular, kisi basına düsen gayrisafi milli hasılayı gösterenX2’nin Y ’yi anlamlı biçimde etkiledigini göstermektedir.






Ikili baglanıma ait VARÇÖZ çizelgesi asagıdaki gibidir:Degisimin Kaynagı KT sd OKT

Baglanım 60449,5 1 60449,5Kalıntılar 303229 62 4890,78

Toplam 363678 63 5772,67

Simdi, X3 yani kadınlarda okuryazarlık oranı degiskeninimodele eklemek istedigimizi varsayalım.Yeni baglanıma ait VARÇÖZ çizelgesi ise söyledir:

Degisimin Kaynagı KT sd OKT

Baglanım 257362 2 128681Kalıntılar 106316 61 1742,88

Toplam 363678 63 5772,67

KKT’deki (303229 − 106316 = 196913) birimlik azalısınistatistiksel olarak anlamlı olup olmadıgını bulmak istiyoruz.






X2’nin katkısı biliniyorken, X3’ün marjinal katkısı su sınamaistatistigi ile ölçülebilir:

F =Q3/sdQ4/sd

=(KKTeski − KKTyeni)/m

KKTyeni/(n − k)

m burada yeni modele eklenen degisken sayısını gösterir.

Elimizdeki örnek için F istatistigi su sekilde hesaplanır:

F =(303229 − 106316)/1

106316/61= 112,981

Bulunan istatistik anlamlıdır. Kadınlarda okuryazarlıkoranını eklemek KKT’yi anlamlı biçimde azaltmaktadır.






Eldeki F oranı R2 degerlerini kullanarak da bulunabilir:

F =(R2

yeni − R2eski)/m

(1 − R2yeni)/(n − k)

Örnegimiz için:

F =(0,7077 − 0,1662)/1

(1 − 0,7077)/61= 113,05

Bu da yuvarlama hataları dısında önceki deger ile aynıdır.





Yeni Bir Degisken Ne Zaman Eklenmeli?

Arastırmacılar çogu zaman aynı bagımlı degiskeni içerenama açıklayıcı degiskenleri farklı olan modeller arasındaseçim yapmak durumunda kalırlar.

Böyle durumlardaki genel egilim en yüksek R2’yi seçmekyönündedir.

Diger yandan, yeni eklenen bir degiskenin katsayısının tdegeri mutlak olarak 1’den büyük oldugu sürece R2 artar.

Diger bir deyisle yeni eklenen bir degiskene iliskin F (= t2)degeri 1’den büyükse, baglanım R2 degeri de yükselir.

Demek ki R2 degerini yükselttigi halde KKT’yi istatistikselolarak anlamlı ölçüde azaltmayan bir ek degiskenin modeleeklenmesi konusunda dikkatli olunmalıdır.





Sınırlamalı En Küçük Kareler Yöntemi

Iktisat kuramı zaman zaman belli bir baglanım modelindekikatsayılar için bir takım dogrusal sınırlamalar öngörebilir.Örnek olarak Cobb-Douglas üretim islevini ele alalım:

Yi = β1Xβ22i Xβ3

3i eui

Burada Y üretim, X2 emek girdisi, X3 de sermaye girdisidir.Modelin log-dogrusal biçimdeki gösterimi söyledir:

ln Yi = β′

1 + β2 ln X2i + β3 ln X3i + ui

Burada β′

1, ln β1’dir.Eger ölçege göre sabit getiri söz konusu ise, iktisat kuramıasagıdaki dogrusal sınırlamayı öngörür:

β2 + β3 = 1 (. . . devam)






β2 + β3 = 1 gibi bir dogrusal sınırlamanın geçerli olupolmadıgı, t sınaması yöntemi kullanılarak görülebilir.

Bunun için, önce model tahmin edilir ve H0 : β2 + β3 = 1önsavı bildik yolla sınanır:

t =(β2 + β3) − 1√

var(β2) + var(β3) + 2cov(β2β3)

Bulunan t degeri eger seçili anlamlılık düzeyindeki esik tdegerinden büyükse, H0 reddedilir.






t sınaması yaklasımı, “sınırlamasız” (unrestricted)baglanım bulunduktan sonra sınama yapmaya dayandıgıiçin yeglenmeyen bir yöntemdir.Daha dogru bir yaklasım “sınırlamalı en küçük kareler”(restricted least squares) yöntemidir.Bu yönteme göre, (β2 = 1− β3) denkleme en basta koyulurve “sınırlamalı” (restricted) model asagıdaki gibi türetilir:

ln Yi = β′

1 + (1 − β3) ln X2i + β3 ln X3i + ui

= β′

1 + ln X2i + β3(ln X3i − ln X2i) + ui

ln Yi − ln X2i = β′

1 + β3(ln X3i − ln X2i) + ui

ln(Yi/X2i) = β′

1 + β3 ln(X3i/X2i) + ui

Burada (X3i/X2i) sermaye/emek oranını, (Yi/X2i) iseçıktı/emek oranını gösteren önemli iktisadi büyüklüklerdir.






Tanımlanan sınırlamanın geçerli olup olmadıgı ikibaglanımın karsılastırılması ile bulunur:

F =(KKTs − KKTsz)/m

KKTsz/(n − k)=

(R2sz − R2

s )/m(1 − R2

sz)/(n − k)

m burada dogrusal sınırlama sayısını, sz ve s isesınırlamasız ve sınırlamalı baglanımları göstermektedir.

Dikkat: Sınırlamasız ve sınırlamalı modellerde bagımlıdegisken farklı ise, R2

sz ve R2s ’nin birlikte kullanılabilmesi

için gerekli dönüsümün yapılmıs olması önemlidir.






Örnek olarak, Tayvan tarım kesimi için Cobb-Douglasüretim modelini ölçege göre sabit getiri sınırlaması iletahmin edelim:

ln(Yi/X2i) = 1,7086 +0,61298 ln(X3i/X2i ) R2 = 0,7685öh (0,4159) (0,0933) R2 = 0,7507

Sınırlamasız model için R2 degeri, gerekli dönüstürmedensonra 0,8489 olarak bulunur ve su F istatistigi hesaplanır:

F =(R2

sz − R2s )/m

(1 − R2sz)/(n − k)

=(0,8489 − 0,7685)/1

(1 − 0,8489)/12= 6,385

F çizelgesinden, gözlenen degerin %5 düzeyinde anlamlıoldugu görülür ve H0 : β2 + β3 = 1 sıfır önsavı reddedilir.






Eger sınırlamanın geçerli olduguna karar verilmis olsaydı,sınırlamalı model için tahmin edilen 0,61298 degeri β3’ügösterdigi için β2 de 0,38702 olarak kolayca bulunurdu.Simdi de sınırlamasız baglanım bulgularına bir göz atalım:

dln Y i = −3,3384 +1,4988 ln X2i +0,4899 ln X3i R2 = 0,8890öh (2,4495) (0,5398) (0,1020) R2 = 0,8705

Yukarıda emek girdisi esnekliginin istatistiksel olarakanlamlı olmadıgı görülüyor.

Bu örnek, yalnızca tahmin edilen katsayılar ile yetinmeyipbiçimsel sınama da yapmanın daha iyi bir çözümleme içingerekliligini göstermesi bakımından önemlidir.





Genel F Sınaması

Bir açıklayıcı degiskenin marjinal katkısı bölümünde sözedilen “yeni” model aslında sınırlamasız modeldir. Bunagöre “eski” model de β3 = 0 varsayımı ile sınırlamalı olur.Aslında, baglanım bütününün anlamlılıgını sınamaya iliskinformüldeki payın BKT olmasının nedeni de buradaki “süpersınırlamalı” modelin KKT’sinin TKTsz = TKT olmasıdır.Ele almıs oldugumuz örneklerden de anlasılacagı gibi, Fsınaması yöntemi k degiskenli baglanım modelindeki manakütle katsayısının sınanması için genel bir yöntemdir.Örnek olarak:

H0 : β2 = β3

H0 : β3 + β4 + β5 = 3H0 : β3 = β4 = β5 = β6 = 0

gibi pek çok farklı önsav F sınaması ile sınanabilir.





Genel F Sınaması

Genel F sınamasının adımları asagıdaki gibi özetlenebilir:1 Birincisi genis sınırlamasız model ve digeri de daha dar

sınırlamalı model olmak üzere iki model vardır.2 Bunlardan ikincisi, birinciden bazı degiskenler çıkarılarak

ya da çesitli dogrusal sınırlamalar getirilerek elde edilir.3 Daha sonra; sınırlamasız ve sınırlamalı modeller verilere

yakıstırılır ve KKTsz ve KKTs toplamları ya da R2sz ve R2

sbelirleme katsayıları bulunur.

4 Eger bagımlı degiskenler farklıysa, R2sz ve R2

s kullanmakiçin bunları önce birbirleriyle uyumlandırmak gereklidir.

5 Sınırlamasız modelin sd’si (n − k), sınırlamalı modelinsd’si ise toplam kısıtlama sayısı m’dir.

6 Son olarak, formülü verilen F istatistigi hesaplanır ve budeger Fα(m, n − k)’den büyükse sıfır önsavı reddedilir.





Yapısal Kararlılıgın Sınanması

Eger model katsayıları zaman içerisinde sabit kalmayıpdegisime ugruyorlar ise bu duruma “yapısal degisim”(structural change) denir.

Yapısal degisime örnek neden olarak:2001 yılında dalgalı kur rejimine geçis,1999 yılı vergi yasası reformu,1990-1991 Körfez Savası,1973-1977 OPEC petrol ambargosu

gibi ulusal veya dısarıdan gelen etmenler gösterilebilir.

Yapısal degisim konusu özellikle zaman serileri içerenbaglanım modellerinde önemlidir.






Bir yapısal degisimin varlıgını görebilmeye örnek olarak,1970-1995 arası ABD ekonomisine iliskin su çizelgeyiinceleyelim:

Çizelge: Tasarruflar ve Harcanabilir Gelir (milyar $)

Gözlem Tasarruf Gelir Gözlem Tasarruf Gelir

1970 61,0 727,1 1983 167,0 2522,41971 68,6 790,2 1984 235,7 2810,01972 63,6 855,3 1985 206,2 3002,01973 89,6 965,0 1986 196,5 3187,61974 97,6 1054,2 1987 168,4 3363,11975 104,4 1159,2 1988 189,1 3640,81976 96,4 1273,0 1989 187,8 3894,51977 92,5 1401,4 1990 208,7 4166,81978 112,6 1580,1 1991 246,4 4343,71979 130,1 1769,5 1992 272,6 4613,71980 161,8 1973,3 1993 214,4 4790,21981 199,1 2200,2 1994 189,4 5021,71982 205,5 2347,3 1995 249,3 5320,8






ABD’de kisisel tasarruflar ve harcanabilir kisisel gelirarasındaki iliskiyi incelemek istiyor olalım.

Elimizde 1970 ve 1995 yılları arasını kapsayan bir SEKbaglanımını tahmin etmek için yeterli veriler bulunmaktadır.

Diger yandan, tasarruf ve gelir arasındaki iliskinin 26 yılboyunca degismedigini varsaymak fazla inandırıcı olmaz.

Örnek olarak 1982 yılında ABD’nin tarihindeki en ciddidurgunluklardan birini yasamıs oldugu bilinmektedir.

Buna dayanarak, 1982 sonrası dönemin yapısal olarakfarklı olup olmadıgını görmek istedigimizi varsayalım.






Yapısal kararlılıgı sınamak için örneklemi 1982 öncesi ve1982 sonrası olarak iki döneme ayırabiliriz.Böylece elimizde tahmin edilebilecek üç ayrı baglanım olur:1970-81 Dönemi: Yt = λ1 + λ2Xt + u1t (n1 = 12)1982-95 Dönemi: Yt = γ1 + γ2Xt + u2t (n2 = 14)1970-95 Dönemi: Yt = α1 + α2Xt + u3t (n3 = 12 + 14 = 26)

Yukarıdaki üçüncü baglanım, tüm gözlemleri kapsamaktave 1970-1995 aralıgı içinde yapısal bir degisim olmadıgınıvarsaymaktadır.

Öyleyse üçüncü model, λ1 = γ1 ve λ2 = γ2 kosullarındandolayı bir sınırlamalı model olarak düsünülebilir.






Üç baglanıma ait bulgular asagıdaki gibidir:Yi = 1,01612 0,08033Xt R2 = 0,9021t (0,08731) (9,602) KKT1 = 1785,032

Yi = 153,495 0,01486Xt R2 = 0,2072t (4,692) (1,771) KKT2 = 10005,22

Yi = 62,4227 0,03768Xt R2 = 0,7672t (4,892) (8,894) KKT3 = 23248,30

Sonuçlar, tasarruf ve gelir arasındaki iliskinin iki alt dönemiçin farklı oldugunu göstermektedir.

Burada üçüncü baglanımın uygun olmadıgı düsünülebilir.





Chow Sınaması

Yapısal degisimin varlıgını sınamak için kullanılabilecekyöntemlerden biri Chow sınamasıdır.

Bu sınama, bildigimiz F sınamasından farklı olmamaklabirlikte gelistiricisi Gregory Chow’un adıyla anılır.

Chow sınamasının gerisinde iki önemli varsayım vardır:

Varsayım 1: Birinci ve ikinci modellere ait hata terimleriaynı sabit varyans ile normal dagılmaktadırlar:

u1t ∼ N(0, σ2) ve u2t ∼ N(0, σ2)

Varsayım 2: u1t ve u2t aynı zamanda bagımsız dagılırlar.





Chow Sınaması

Verilen varsayımlar altında Chow sınaması söyle yapılır:1 Birinci modelden sd’si (n1 − k) olan KKT1 bulunur.2 Ikinci modelden sd’si (n2 − k) olan KKT2 bulunur.3 Iki baglanıma ait hata terimleri bagımsız kabul edildigi için,

KKTsz = KKT1 + KKT2 olarak hesaplanır.4 Tüm gözlemlerin kullanıldıgı 3. model tahmin edilir ve

KKT3 ya da KKTs bulunur.5 Yapısal degisim yoksa KKTs ve KKTsz istatistiksel olarak

farklı olmamalıdır. Sınamak için su istatistik hesaplanır:

F =(KKTs − KKTsz)/k

(KKTsz)/(n1 + n2 − 2k)∼ F[k ,(n1+n2−2k)]





Chow Sınaması

Örnegimize dönecek olursak F istatistigini söyle buluruz:

F =(23248,30 − 11790,252)/2

(11790,252)/(22)= 10,69

Gözlenen deger 2 ve 22 sd için yüzde 1 kritik F degeri olan5,72’den büyük oldugu için, H0 : λ1 = γ1, λ2 = γ2 reddedilir.

Demek ki Chow sınaması 1970-1995 arasındaki dönemdeABD’nin yapısal degisim geçirdigi savını desteklemektedir.





Chow Sınaması

Chow sınaması ile ilgili su noktalara dikkat edilmelidir:Chow sınaması, birden fazla yapısal degisimin varlıgınısınamak için genellenebilir.Örnek olarak, örneklemi üç ayrı döneme bölüp dört farklıbaglanım tahmini yapmak ve daha sonra KKTs’yi deKKT1 + KKT2 + KKT3 olarak hesaplamak olanaklıdır.Chow sınamasında “yapısal kırılma” (structural break)noktasının hangi dönemde yer aldıgının bilindigi varsayılır.Chow sınaması iki baglanımın farklı olup olmadıgını söylerancak farkın sabit terimden mi, Xt ’nin katsayısından mı, yada aynı anda her ikisinden mi kaynaklandıgını bildirmez.Yapısal degisimin kaynagının ne oldugunu anlamak içinkukla degiskenlere dayanan farklı bir yaklasım gereklidir.Ayrı dönemlere ait hata varyanslarının sabit olduguvarsayımının ayrıca sınanması gerekli olabilir.




MWD SınamasıDiger Bazı Sınama ve Konular

MWD Sınaması

Dogrusal ve log-dogrusal model arasında bir seçim yapmazorunlulugu, görgül çalısmalarda sık sık ortaya çıkar.

Böyle bir model seçimi için MacKinnon, White ve Davidson(1983) tarafından önerilen MWD sınaması kullanılabilir.

MWD sınaması su sıfır ve almasık önsavları içerir:

H0: Dogrusal modelH1: Log-dogrusal model





MWD Sınaması

MWD sınamasının adımları asagıdaki gibidir:1 Dogrusal model tahmin edilir ve Y bulunur.2 Log-dogrusal model tahmin edilir ve ln Y bulunur.3 Z1 = ln Y − ln Y degiskeni türetilir.4 Y ’nin X ’lere ve Z1’e göre baglanımı hesaplanır. Eger Z1’in

katsayısı bilindik t sınaması ile istatistiksel olarak anlamlıçıkarsa, H0 reddedilir.

5 Z2 = exp(ln Y ) − Y degiskeni türetilir.6 ln Y ’nin ln X ’lere ve Z2’ye göre baglanımı hesaplanır. Eger

Z2’nin katsayısı t sınaması ile anlamlı bulunursa, H1 savıreddedilir.





MWD Sınaması

Karmasık gibi görünse de MWD sınamasının mantıgı basittir:

Eger dogrusal model gerçekten dogru modelse, dördüncüadımda hesaplanan Z1 degeri anlamlı olmamalıdır.

Çünkü böyle bir durumda dogrusal modelin Y kestirimleri(karsılastırma yapabilmek için logları alındıktan sonra) ilelog-dogrusal modelin kestirimleri farklı çıkmamalıdır.

Aynı yorum H1 almasık önsavı için de geçerlidir.





MWD Sınaması

Örnek olarak 1971-1975 arası dönem için ABD’nin Detroitsehrindeki gül talebini ele alalım:

Dogrusal model: Yt = α1 + α2X2t + α3X3t + ut

Log-dogrusal model: ln Yt = β1 + β2 ln X2t + β3 ln X3t + vt

Burada:Y satılan düzine olarak gül miktarını,X2 ortalama toptan gül fiyatını,X3 ise ortalama toptan karanfil fiyatını göstermektedir.

Beklentiler α2 ile β2’nin eksi, α3 ve β3’ün ise artı degerliolması yönündedir.





MWD Sınaması

Baglanım bulguları asagıdaki gibidir:

bYt = 9734,2176 −3782,1956X2t +2815,2515X3t R2 = 0,77096t (3,3705) (−6,6069) (2,9712) F = 21,84

dln Y t = 9,2278 −1,7607 ln X2t +1,3398 ln X3t R2 = 0,7292t (16,2349) (−5,9044) (2,5407) F = 17,50

Görüldügü gibi hem dogrusal hem de log-dogrusal modelverilere iyi yakısmıstır.

Katsayılar beklenen isaretleri tasımaktadır ve t degerleride istatistiksel olarak anlamlıdır.





MWD Sınaması

Önce modelin dogrusal olup olmadıgını sınayalım:

bYt = 9727,5685 −3783,0623X2t +2817,7157X3t +85,2319Z1t

t (3,2178) (−6,337) (2,8366) (0,0207)

F = 13,44 R2 = 0,7707

Z1’in katsayısı anlamlı olmadıgına göre, modelin gerçektedogrusal oldugunu öne süren önsavı reddetmiyoruz.Simdi de gerçek modelin log-dogrusallıgını sınayalım:

dln Y t = 9,1486 −1,9699 ln X2t +1,5891 ln X3t −0,0013Z2t

t (17,0825) (−6,4189) (3,0728) (−1,6612)

F = 14,17 R2 = 0,7798

Z2’ye ait t degeri −1,6612’dir. Dolayısıyla log-dogrusallıkvarsayımı da %5 anlamlılık düzeyinde reddedilemez.Örnegin de gösterdigi gibi bazı durumlarda modellerin ikiside reddedilmeyebilmektedir.





Diger Bazı Sınamalar

Görüldügü gibi dogrusal baglanım modelleri çerçevesindeçesitli önsavları sınamak için t ve F sınamalarındanyararlanılabilmektedir.Dogrusal modellerin basit dünyasından çıkıldıgında isedogrusal ve dogrusal-dısı her modelde kullanılabilecekönsav sınamalarına gereksinim duyulur.Bu amaç için sıklıkla kullanılan üç yöntem “olabilirlik oranı”(likelihood ratio), “Lagrange çarpanı” (Lagrange multiplier)ve Wald sınamalarıdır.Bu üç sınama kavusmazsal olarak esdegerdir ve üçününde sınama istatistigi χ2 dagılımına uyar.Diger yandan, dogrusal modellerdeki her türlü sınama içinF yeterlidir ve OO, W ve LÇ’ye bakmaya gerek yoktur.Dolayısıyla bu sınama üçlüsünü simdilik ele almayacagız.





Çoklu Baglanımla Kestirim

Tahmin edilen bir baglanım islevi, belli bir X0 degerinekarsılık gelen Y ’yi kestirmek için kullanılabilir.

Iki farklı kestirim türü vardır: “Ortalama kestirimi” (meanprediction) ve “bireysel kestirim” (individual prediction).

Ortalama kestirimi, belli X0 degerlerine karsılık gelenE(Y |X0) kosullu olasılık degerinin kestirilmesini içerir.

Bireysel kestirim ise X0’ın karsılıgı olan tekil Y |X0 degerininkestirilmesi demektir.

Ortalama kestirimi, anakütle baglanım islevindeki noktanınkestirimidir ve varyansı bireysel kestirimden daha düsüktür.

Çoklu baglanımda kestirim degerlerinin varyans ve ölçünlühata formülleri karısık oldugu için bunları daha sonra dizeygösterimi ile ele alacagız.





Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev

Ödev

Kitaptan Bölüm 8 “Multiple Regression Analysis: The Problemof Inference” okunacak.

Önümüzdeki Ders

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi


ekonometri ders notları 9

Documents

Transcript of ekonometri ders notları 9