Ejercicio de Interpolacion Segmentada
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JOSE ALFREDO AQUINO LOPEZ N° CTRL.: 13116074 POLINOMIO DE INTERPOLACION SEGMENTADA Interpolar los siguientes datos utilizando splines cúbicas: X -1 1 2 4 Y -1 1 5 -2 Solución. Nuevamente, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos: a 1 x 3 + b 1 x 2 +c 1 x+d 1 si x € [-1,1] a 2 x 3 + b 2 x 2 +c 2 x+d 2 si x € [1,2] s(x) a 3 x 3 + b 3 x 2 +c 3 x+d 3 si x € [2,4] Despues, hacemos que la spline pase por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: S(-1)=-1 implica que, −a 1 +b 1 −c 1 +d 1 S(-1)=1 implica que, a 1 +b 1 + c 1 +d 1 =1 a 2 +b 2 + c 2 +d 2 =1 S(2)= 5 implicaque, 8 a 2 +4 b 2 +2 c 2 +d 2 =5 8 a 3 +4 b 3 +2 c 3 +d 3 =5 Y finalmente 2 ) 4 ( s implica que, 64 a 3 +16 b 3 +4 c 3 +d 3 =− 2 64ª +16b +4c + d =-2 Enseguida, calculamos la primera derivada: 3 a 1 x 2 + 2 b 1 x ❑ +c 1 si x € [-1,1] S´(x)= 3 a 2 x 2 + 2 b 2 x ❑ +c 2 si x € [1,2] 3 a 3 x 2 + 2 b 3 x ❑ + c 3 si x € [2,4] Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de ) ( x s son 1 x y 2 x . Por lo tanto, para hacer que ) ( x s sea contínua, igualamos las
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JOSE ALFREDO AQUINO LOPEZ N CTRL.: 13116074POLINOMIO DE INTERPOLACION SEGMENTADAInterpolar los siguientes datos utilizando splines cbicas:X-1124
Y-115-2
Solucin.Nuevamente, definimos un polinomio cbico en cada uno de los intervalos: si x [-1,1] si x [1,2] s(x) si x [2,4]Despues, hacemos que la spline pase por los puntos dados en la tabla. As, tenemos que:S(-1)=-1 implica que, S(-1)=1 implica que,
S(2)= 5 implicaque,
Y finalmenteimplica que,
64 +16b +4c + d =-2
Enseguida, calculamos la primera derivada:
si x [-1,1] S(x)= si x [1,2] si x [2,4]
Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de son y . Por lo tanto, para hacer que sea contnua, igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos valores :
=
Ahora procedemos a calcular la segunda derivada:
si x [-1,1] S(x)= si x [1,2] si x [2,4]
Nuevamente, las posibles discontinuidades son X=1 X=2 Por lo tanto, para que S(X) sea contnua, se igualan las ecuaciones en ambos valores :
= ==
Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla. En estecaso,
S(-1)=0 -=0 = 0S(4)=0 = 0
Con esto tenemos un juego de doce ecuaciones vs. doce incgnitas: 8
Este sistema tiene la siguiente forma matricial:
Usando Mathematica, obtenemos la solucin :
Por lo tanto, la spline cbica es: + + x + si x [-1,1] S(X)= - + x+ si x [1,2] - + - si x [2,4]
