1. La Luna tiene una masa de 73:5(1021) kg, y lamasa terrestre es de 5:98(1024) kg. Si los centrosde ambas se encuentran a 384(106) m, determinela fuerza de atracción gravitacional entre amboscuerpos.

F = Gm1m2

r2

F = 66:73�10�12

� 73:5 �1021� 5:98 �1024�(384 (106))

2

F = 1:989 1� 1020N

2. Los diámetros de Marte y la Tierra son de 6775km y 12755 km, respectivamente. La masa deMarte es 0:107 veces la de la Tierra. Si un cuerpopesa 200N en la super�cie terrestre ¿cuál sería supeso en Marte? Asimismo, ¿cuál es la masa delcuerpo y la aceleración de la gravedad en Marte?

3. Determinar (sólo) la "atracción gravitacional"entre un hombre de 80 kg y una mujer de 50kg. La distancia entre los centros de masa deambos es de 0:5 m.

4. *El camión de equipaje A tiene una masa de 800kg y se le usa para jalar los carros de 300 kgcada uno. Determine la tensión en las unionesB y C si la fuerza de tracción F sobre el camiónes F = 480 N. ¿Cuál es la rapidez del tractorcuando t = 2 s, iniciando desde el reposo? Lasruedas de los carros tienen libertad absoluta pararodar. Ignore la masa de las ruedas.

XFx = max

480 = (2 (300) + 800) ax

ax =480

1400= 0:34286

5. El camión de equipaje A tiene una masa de 800kg y se le usa para jalar los carros de 300 kg cadauno. Si la fuerza de tracción F es de F = 480N, determine la aceleración inicial del camión.¿Cuál es la aceleración del tractor si de prontofalla la unión en C? Las ruedas de los carrosruedan con absoluta libertad. Ignore la masa delas ruedas.

6. Al utilizar un plano inclinado para retardarel movimiento de un objeto que cae y porlo tanto poder realizar observaciones más pre-cisas, Galileo pudo determinar de manera exper-imental que la distancia que recorre un objetoen caída libre es proporcional al cuadrado deltiempo necesario para realizar tal recorrido. De-muestre que si éste es el caso, es decir, s1t2,al determinar los tiempos tB ; tC y tD necesariospara que un bloque de masa m partiendo del re-poso en A se deslice hasta los puntos B, C y D,respectivamente. Ignore los efectos de la fricción.

7. El ensamble de combustible de un reactor nu-clear, con un peso de 500 kg, es levantado desdeel reposo en el centro del reactor nuclear uti-lizando el sistema de poleas que se ilustra. Si leeleva con una aceleración constante tal que s = 0cuando t = 0 y s = 2:5m cuando t = 1:5s. De-termine la tensión en el cable en A durante elmovimiento.

1

8. El ensamble de combustible de un reactor nu-clear, con un peso de 500 kg, es levantado desdeel reposo en el centro del reactor nuclear uti-lizando el sistema de poleas que se ilustra. Si lacarga sostenida por el cable no puede exceder 8kN, determine el menor tiempo posible necesariopara elevar el conjunto a s = 2:5 m. Asimismo,¿qué rapidez tiene cuando s = 2:5 m? Orig-inalmente, el conjunto se encuentra en reposocuando s = 0.

9. Un remolcador tira de un buque tanque cuyamasa es de 4:5 Gg, con una aceleración constantede 0:001 m/s2, utilizando un cable que forma unángulo de 15� con la popa del remolcador, comose observa en la �gura. Determine la fuerza delcable sobre la popa del buque tanque. No tomeen cuenta "la resistencia del agua.

10. Un remolcador tira de un buque tanque cuyamasa es de 4:5 Gg, con una aceleración constantede 0:001 m/s2, utilizando un cable que forma unángulo de 15� con la popa del remolcador, comose observa en la �gura. Determine la fuerza hor-izontal del agua sobre la hélice del remolcador,necesaria para lograr esto. La masa del remol-cador es de 50 Mg. También, ¿cuál es la fuerzadel cable sobre la popa del remolcador? No tome

en cuenta la resistencia del agua.

11. Durante un periodo de 30 segundos se trazala grá�ca de la rapidez de un automóvil de-portivo, de 3; 500 lb. Dibuje la variación de lafuerza de tracción F necesaria para provocar elmovimiento.

12. *Durante un periodo de 30 segundos se trazala grá�ca de la rapidez de un automóvil de-portivo, de 3; 500 lb. Determine la fuerza detracción F que actúa sobre el auto para provocarel movimiento en t = 5s y t = 20s.

13. El hombre pesa 180 lb y soporta un juego depesas de 100 lb. Si las eleva 2 pies y las mantieneen el aire en 1.5 s desde el reposo, determine lareacción de ambos pies sobre el piso durante ellevantamiento. Suponga que el movimiento se

2

realiza con una aceleración uniforme.

14. El muchacho, con un peso de 80 lb, cuelga enforma uniforme de la barra. Determine la fuerzaen cada uno de sus brazos en t = 2 s si la barrase desplaza hacia arriba con (a) una velocidadconstante de 3 pies/s y (b) una rapidez de v =(4t2) pies/s, donde t se expresa en segundos.

15. El juego acuático que se ilustra consiste en untrineo de 800lb que desde el reposo se deslizapor una pendiente hacia abajo. para llegar auna piscina. Si la resistencia a la fricción en lapendiente es Fr = 30 lb, y en la piscina duranteuna breve distancia Fr = 80 lb, determine larapidez con la que viaja el trineo cuando s = 5

pies.

16. *Cada uno de los dos bloques tiene una masam. El coe�ciente de fricción cinética en todaslas super�cies en contacto es �. Si se aplica unafuerza horizontal P al bloque inferior, determinela aceleración de dicho bloque en ambos. casos.

17. Un collarín liso C de 2 lb se ajusta con holgura ala barra horizontal. Si el resorte no se encuentraextendido cuando s = 0, determine la velocidaddel collarín cuando s = 1 pie si éste recibe unavelocidad horizontal inicial de 15 pies/s cuando

3

s = 0.

18. El conductor trata de remolcar la caja utilizandouna cuerda que posee una fuerza de tensión de200 lb. Si la caja se encuentra originalmente enreposo y tiene un peso de 500 lb, determine lamayor aceleración que puede experimentar si elcoe�ciente de fricción estática entre la caja y elcamino es �s = 0:4, y el coe�ciente de friccióncinética es �s = 0:3.

19. Una maleta de 40lb se desliza hacia abajo 20pies,partiendo del reposo, por una rampa lisa. De-termine el punto en donde toca el suelo en C.¿Cuánto tiempo requiere para ir de A a C?

20. *Resuelva el problema 13-19 si la maleta tieneuna velocidad inicial hacia abajo por la rampade VA = 10 pies/s y el coe�ciente de fricción

cinética a lo largo de la distancia AB es �k = 0:2.

Xfx = max

w sin 30� fr =40

32:2axX

fy = may

�w cos 30 +N =40

32:2ay = 0

N = 40 cos 30 � = 34:64lb

fr = �N = 0:2 (34:64) = 6:92lb

(40 sin 30� 6:92) 32:240

= ax = 10:52ft=s2

10:52

Z 20

0

ds =

Z v

10

vdv

10:52

Z 20

0

ds =

Z v

10

vdv

v = 22:821ft=s

a

Z t

0

dt =

Z v

10

dv

v = at+ 10

t =v � 10a

=22:821� 1010:52

= 1:2187s

::::falta;movimientodeunproyectil

21. Determine la aceleración del cilindro A de 5kg.Ignore la masa de las poleas y las cuerdas. Elbloque en B tiene una masa de 10kg. Suponga

4

que la super�cie en B es lisa.

Xfx = maxXfy = may

Bloque B

TB = 10ab

ab =TB10

sb + 2sc = lb

vb + 2vc = 0

ab + 2ac = 0

ac = �ab2

Bloque A

�49:5 + TA = 5ay

TA = 5ay + 49:5

sa + (sa � sc) = la

2sa � sc = la

2va � vc = 0

2aa � ac = 0

2aa ���ab2

�= 0

aa = �ab4

10ab = �54ab + 49:5

10ab +54ab � 49:5, Solution is: 4: 4

22. Determine la aceleración del cilindro A de 5 kg.Ignore la masa de las poleas y las cuerdas. Elbloque en B tiene una masa de 10 kg. El coe�-ciente de fricción cinética entre el bloque B y la

super�cie es �k = 0:1:

23. El tambor rotatorio D recoge el cable con unaaceleración de 5 m/s2. Determine la tensión enel cable si la caja suspendida tiene una masa de800 kg.

24. *Se aplica una fuerza F = 15 lb a la cuerda.Determinar la altitud a la que se eleva el bloqueA en 2 s desde el reposo. Ignore el peso de laspoleas y de la cuerda.

25. Determine la fuerza constante F que es precisoaplicar a la cuerda a �n de que el bloque A, de

5

30 lb, tenga una rapidez de l 12 pies/s cuando sedesplaza 3 pies hacia arriba a partir del reposo.Ignore el peso de las poleas y la cuerda.

26. En un instante determinado. el bloque A, de 10lb, se mueve hacia abajo con una rapidez de 6pies/s. Determine su rapidez 2 s después. Elbloque B tiene un peso de 4 lb y el coe�ciente defricción cinética entre éste y el plano horizontales de �k = 0:2.Ignore la masa de las poleas y de

la cuerda.

Bloque = BXFx = max

fr � T = maxXFy = may

�w +N = m (0)

N = w

fr = (0:2)N = (0:2) 4 = 0:8

0:8� T =4

32:2ax

T = 0:8� 4

32:2ax

Bloque = AXFy = may

�2T + w = may

�2T + 10 =10

32:2ay

ay =(32:2)

10

��2�0:8� 4

32:2ax

�+ 10

�ay = 0:8ax + 27:048

sB + 2sA = l

ax = �2ayay = 0:8 (�2ay) + 27:048ay = 10:403

ax = �2 (10:403) = 20:806

a

Z t

0

dt =

Z vA

v0

dv

vA = v0 + ayt = 26:8m=s

27. El bloque B, de 5 lb, está en reposo sobre unasuper�cie lisa. Determine su aceleración cuandoel bloque A, de 3 lb, es liberado del reposo. ¿Cuálsería la aceleración de B si el bloque A fuerasustituido por una fuerza vertical de 3 lb que

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actúa sobre la cuerda anexa?

28. *El vagón minero, de 400kg, es subido por unplano inclinado utilizando el cable y el motorM . Durante un breve tiempo, la fuerza en elcable es F = (3200t2)N, donde t se expresa ensegundos. Si el vagón tiene una velocidad inicialV1 = 2m/s cuando t = 0, determine la velocidadcuando t = 2s.

29. El vagón minero, de 400kg, es subido por unplano inclinado utilizando el cable y el motorM .Durante un breve tiempo, la fuerza en el cable esF = (3200t2) N, donde t se expresa en segundos.Si el vagón tiene una velocidad inicial V1 = 2m/scuando s = 0 y t = 0, determine la distancia quese mueve en el plano cuando t = 2s.(R 5:43)

Xfx = max

3200t2 � 8

17(400 (9:81)) = 400ax

ax =3200

400t2 � 8

17(9:81) = 8t2 � 4:6164Z t

0

�8t2 � 8

17(9:81)

�dt =

Z v

v0

dv

v = v0 � 4:616 5t+8

3t3Z t

0

�v0 � 4:616 5t+

8

3t3�dt =

Z s

0

ds

s = tv0 � s� 2:308 3t2 +2

3t4

s = (2) (2)� 2:308 3 (2)2 + 23(2)

4= 5:433 5

30. El collarín C de 2kg se desliza libre sobre la barralisa AB. Determine la aceleración del collarín Csi (a) la barra está �ja. (b)el collarín A, que está�jo en la barra AR, se mueve hacia abajo conuna velocidad constante sobre la barra vertical,y (c) el collarín A está sujeto a una aceleraciónhacia abajo de 2m/s2. En todos los casos, elcollarín se mueve sobre el plano.

31. El collarín C de 2kg se desliza libre sobre la barralisa AB. Determine la aceleración del collarínC si el collarín A, está sujeto a una aceleraciónhacia arriba de 4m/s2.

32. *La caja de 10kg descansa sobre un carro cuyo

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coe�ciente de fricción estática es de �s = 0:3 en-tre la caja y el carro. Determine el mayor ángulo� del plano de modo que la caja no se deslice so-bre el carro cuando éste recibe una aceleraciónde a = 6m/s2 hacia abajo.

33. Determine la fuerza normal que ejerce la caja A,de 10kg. sobre el carro liso si éste recibe unaaceleración de 2m/s2 hacia abajo por el planoinclinado. También. ¿cuál es la aceleración de lacaja? Establezca � = 30�.

34. La banda transportadora hace llegar cada cajade 12kg a la rampa en A de tal forma que larapidez de la caja es VA = 2:5m/s. dirigida ha-cia abajo sobre la rampa. Si el coe�ciente defricción cinética entre cada caja y la rampa es�k = 0:3, dermine la rapidez con la que cadacaja se desliza por la rampa B. Suponga que noexiste volcadura. Tome � = 30�.

35. La banda transportadora hace llegar cada cajade 12kg a la rampa en A de tal forma que larapidez de la caja es VA = 2:5 m/s, dirigida ha-cia abajo sobre la rampa. Si el coe�ciente defricción cinética entre cada caja y la rampa esde �k = 0:3, determine la inclinación mínima ede la rampa de modo que las cajas caigan en el

carro.

36. *La banda transportadora se desplaza a 4m/s. Siel coe�ciente de fricción estática entre la banday el paquete B de 10kg es �s = 0:2, determine elmínimo tiempo para detener la banda de maneraque el paquete no se deslice sobre la banda.

37. La banda transportadora se diseña para con-ducir paquetes de diversos pesos. Cada paquetede 10kg tiene un coe�ciente de fricción cinética�k = 0:15. Si la rapidez de la banda es de 5m/s,y se detiene súbitamente, determine la distanciaque se deslizará el paquete sobre la banda antesde llegar al reposo.

38. Determine la rapidez del collarín en el ejemplo13� 4 en el instante y = 1 m. Sugerencia: com-bine las ecuaciones (2), (3) y (4) para determi-nar a = f(y). Después sustituya en la ecuaciónvdv = ady e integre.

39. Cada uno de los bloques A y B tiene una masam. Determine la máxima fuerza horizontal Pque es posible aplicar a B de manera que A no

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se mueva en relación con B. Todas las super�ciesson lisas.

40. *Cada uno de los bloques A y B tiene una masam. Determine la máxima fuerza horizontal Pque es posible aplicar a B de manera que A nose deslice hacia arriba de B. El coe�ciente defricción estática entre A y B es �. Ignore lafricción entre B y C.

41. Un automóvil de masa m se desplaza lentamentecon una velocidad vo. Si el viento le opone unaresistencia al avance proporcional a su veloci-dad, es decir, FD = kv, determine la distancia ytiempo que recorrerá el automóvil antes de quesu velocidad sea de 0:5vo. Suponga que ningunaotra fuerza de fricción actúa sobre el automóvil.

42. Un paracaidista, con una masa m, cae al vaciocuando abre el paracaídas a una gran altitud. Sila resistencia atmosférica al avance es FD = kv2,donde k es constante, determine la velocidad quealcanza después de caer una distancia h. ¿Cuáles la velocidad en el momento del aterrizaje?Esta velocidad se conoce como velocidad termi-nal, la cual se calcula al permitir que la distanciade caída y �!1.

43. Un paracaidista, con una masa m, abre el para-caídas desde el reposo a una gran altitud. Sila resistencia atmosférica al avance es FD = kv,donde k es constante, determine la velocidad que

alcanza después de caer durante un tiempo t.¿Cuál es la velocidad en el momento del ater-rizaje? Esta velocidad se conoce como velocidadterminal, la cual se calcula al permitir que eltiempo de caída t �!1.

44. *Con un ángulo �0, se dispara una partícula demasa m con una velocidad Vo hacia el interiorde un líquido el cual desarrolla una resistenciaal avance F = �kv, donde k es una constante.Determine la rapidez terminal o máxima que al-canza la partícula.

45. Se dispara una partícula con masa m hacia elinterior de un líquido con una velocidad inicialvo y un ángulo �0. Si el líquido opone una re-sistencia al avance del proyectil proporcional asu velocidad, es decir, F = kv, donde k es unaconstante, determine las componentes x y y desu posición en cualquier instante. Además, ¿cuál

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es la distancia máxima, xmax que recorre?

Pfx = max

�kv cos � = max�k _x = max�Rk _x =

Rm�xP

fy = max�mg � kv sin � = may�mg � k _y = m�y

46. El peso del bloque A es de 8lb y el del B es de 6lb.Ambos se encuentran en reposo sobre una super-�cie que tiene un coe�ciente de fricción cinéticade �k = 0:2. Si el resorte tiene una rigidez dek = 20lb/pies y está comprimido 0:2pies, deter-mine la aceleración de cada bloque después dehaberlos soltado.

47. Cada una de las tres pacas tiene una masa de10kg. Si los coe�cientes de fricción cinética y

estática de cada super�cie en contacto son �s =0:3 y �k = 0:2, respectivamente, determine laaceleración de cada placa cuando se aplican lastres fuerzas horizontales.

48. *Determine el tiempo necesario para jalar de lacuerda en B hacia abajo 4pies, iniciando del re-poso, cuando se aplica una fuerza de 10lb a dichacuerda. El bloque A pesa 20lb. Ignore la masade las poleas y las cuerdas.

49. El bloque B descansa sobre una super�cie lisa.Si los coe�cientes de fricción estática y cinéticason �s = 0:4 y �k = 0:3. respectivamente, de-termine la aceleración de cada bloque si alguienempuja el bloque A en forma horizontal con una

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fuerza de (a) F = 6 lb, y (b) F = 50lb.

50. La caja B tiene una masa m y es liberada del re-poso cuando se encuentra en la parte más elevadadel carro A, que tiene una masam. Determine latensión necesaria en la cuerda CD para impedirque el carro se mueva cuando B se desliza haciaabajo. Ignore la fricción.

51. El bloque liso B, de tamaño despreciable, tieneuna masa m y descansa en el plano horizontal.Si la tabla AC empuja el bloque en un ángulo� con una aceleración constante 30, determinela velocidad y la distancia que recorre el bloquesobre la tabla como una función de tiempo t. Elbloque inicia del reposo cuando s = 0, t = 0.

52. *El cilindro B tiene una masa m y es levantadoutilizando el sistema de cuerdas y poleas que seilustra. Determine la magnitud de la fuerza Fcomo una función de la posición vertical y delbloque de tal forma que cuando se aplica F , elbloque se eleva con una aceleración constante aB .Ignore la masa de la cuerda y las poleas.

53. La masa del elevador E es de 500kg y la delcontrapeso en A es de 150kg. Si el motor pro-porciona una fuerza constante de 5kN sobre elcable en B, determinar la rapidez del elevadoren t = 3 s a partir del reposo. Ignorar la masa

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de las poleas y el cable.

54. El bloque A tiene una masa mA y se encuen-tra sobre la placa B, que tiene una masa mB .Ambos se encuentran en reposo sobre un resortecon una rigidez k y que a su vez está adheridoal suelo en el fondo de la placa. Determine ladistancia d que es preciso empujar hacia abajola placa desde la posición de equilibrio y luegosoltarla desde el reposo de modo que el bloquese separe. de la super�cie de la placa en el in-stante en que el resorte regresa a su posición nodeformada.

Coordenadas Normales yTangenciales

55. Determine la rapidez constante máxima con laque el piloto debe recorrer una curva verticalcuyo radio de curvatura es � = 800 m, demodo que experimente una aceleración máximaan = 8g = 78:5 m/s2. Si el piloto tiene unamasa de 70kg, determine la fuerza normal queejerce sobre el asiento del avión cuando éste seencuentra en el punto más bajo con esta rapidez.

an =v2

�

v =p78:5 (800) =

p62800:0 = 250:60(Soln.)X

Fn = man

�w +N = man

�689:7 +N = 70 (78:5)

N = 6184:7 (Soln.)

56. *En el instante � = 60�, el centro de masa Gdel niño tiene una rapidez hacia abajo Vo =15pies/s. Determine el aumento en la rapidezy la tensión en cada una de las dos cuerdas desoporte del columpio en ese instante. El niñotiene un peso de 60lb. Ignore el tamaño y lamasa del asiento y de las cuerdas.

57. En el instante � = 60�, el centro de masa Gdel niño está momentáneamente en reposo. De-termine la rapidez y la tensión en cada una de

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las dos cuerdas de soporte del columpio cuando� = 90�, El niño tiene un peso de 60 lb. Ignoreel tamaño y la masa del asiento y de las cuerdas.

58. 13-58. El aparato que se ilustra está diseñadopara producir la experiencia de ingravidez en elpasajero cuando llega al punto � = 90�, sobrela trayectoria. Si el pasajero tiene una masa de75kg, determine la rapidez máxima que deberátener cuando llegue a A de modo que no ejerceuna reacción normal sobre el asiento. La sillaestá conectada por un perno al marco BC demodo que el pasajero permanece siempre sen-tado con la cabeza hacia arriba. Durante elmovimiento su rapidez permanece constante.

59. El pasajero tiene una masa de 75kg y todo eltiempo permanece sentado con la cabeza haciaarriba. En el instante � = 30�, tiene una rapidezde 5m/s y un aumento en la misma de 2m/s2.Determine las fuerzas horizontal y vertical queejerce la silla sobre el pasajero para producir este

movimiento.

at = 2; an =v2

�=52

10= 2:5X

Ft = mat;

60. *La bola de demolición de 600kg está suspendidade una grúa por un cable cuya masa es despre-ciable. Si la bola tiene una rapidez v = 8m/s, enel instante en que se encuentra en el punto másbajo, � = 0�, determine la tensión en el cable eneste instante. Además, determine el ángulo � quedescribe en su oscilar la bola antes de detenerse.

13

XFn = man

T � 600 (9:81) = 600

�82

12

�T = 9086N (Soln.)XFt = mat

�600 (9:81) sin � = 600at

at = �9:81 sin �s = r�; s = 12�

ds = 12d�

atds = vdv

�9:81 (12)Z �

0

sin �d� =

Z v

8

vdv

�117:72 (� cos � + 1) =v2

2� 8

2

2

� = arccos

02

2 �82

2

117:72+ 1

!� = 43:2668 � (Soln.)

61. La bola de demolición de 600kg está suspendidade una grúa por un cable cuya masa es despre-ciable. Determine la rapidez de la bola cuandose encuentra en el punto más bajo (� = 0�) si seobserva que el cable oscila describiendo un án-gulo � = 30� cuando el movimiento se detienemomentáneamente. Calcule la tensión en el ca-ble en cada posición.

62. La lenteja del péndulo tiene una masa m y sele suelta desde el reposo cuando � = 0�. Deter-

mine la tensión en la cuerda como una funcióndel ángulo de descenso �. Ignore el tamaño de lalenteja.

63. La motocicleta acuática y su conductor tienenuna masa total de 350kg y un centro de masa enG. Si el conductor da un viraje cuyo radio decurvatura es � = 8 m y un ángulo de peralte de30�, mientras se desplaza con una rapidez con-stante v = 10m/s, determine la magnitud de lafuerza resultante del agua sobre la quilla. Ignoreel tamaño de la motocicleta y del conductor.

64. Si la cresta de la colina tiene un radio de cur-vatura � = 200pies, Determine la rapidez con-stante máxima a la que el automóvil puede de-splazarse sobre la colina sin despegarse de la su-per�cie del camino. Ignore el tamaño del au-tomóvil en el cálculo. El auto tiene un peso de

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3500lb.

XFn = man

3500 =3500

32:2

�v2

200

�v =

p200 (32:2) = 80:2ft=s(Soln.)

65. El hombre de 150lb yace contra un colchón parael cual el coe�ciente de fricción estática es �s =0:5. Determine las fuerzas resultantes normalesy friccionales que el colchón ejerce sobre él si,debido a la rotación en torno del eje z. tieneuna rapidez constante v = 20pies/s. Ignore eltamaño del hombre. Considere � = 60�.

66. El hombre de 150lb yace contra un colchón parael cual el coe�ciente de fricción estática es �s =0:5. Si el hombre gira en torno del eje z conuna rapidez constante v = 30pies/s, determine elángulo mínimo � del colchón en el que el hombre

comenzará a resbalarse.

67. Determine la rapidez constante de los pasajerosen el juego en el parque de diversiones si se ob-serva que los cables de soporte se dirigen ha-cia � = 30� con respecto de la vertical. Cadasilla, incluyendo el pasajero, tiene una masa de80kg. También, ¿cuáles son las componentesde la fuerza en las direcciones n, t y b que lasilla ejerce sobre un pasajero de 50kg durante elmovimiento?

68. *El avión que se desplaza a una rapidez con-stante de 50m/s, ejecuta un viraje horizontal,si el avión tiene un peralte en � = 15�, cuando

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el piloto experimenta sólo una fuerza normal so-bre el asiento del avión, Determine el radio decurvatura � del viraje.

69. Un motociclista en un circo monta su máquinadentro de una esfera hueca. Si el coe�ciente defricción estática entre las ruedas de la motoci-cleta y la esfera es de �s = 0:4, determine larapidez mínima a la que debe desplazarse si hade moverse por el muro cuando � = 90�. Lamasa de la motocicleta y del piloto es de 250kg.y el radio de curvatura al centro de gravedad es� = 20 pies. Ignore el tamaño de la motocicletaen el cálculo.

70. El paquete tiene un peso de 5lb y se desliza ha-cia abajo por un ducto. Cuando llega a la partecurva AB, se desplaza a 8pies/s (� = 0�). Si elducto es liso, determine la rapidez del paquetecuando alcanza el punto intermedio C (� = 30�)

y cuando alcanza el plano horizontal (� = 45�).Asimismo, calcule la fuerza normal sobre el pa-quete en C.

71. Se pide que los cartones que tienen una masa de5kg se desplacen sobre la línea de ensamble conuna rapidez constante de 8m/s. Determine el ra-dio mínimo de curvatura, �, para el transporta-dor, de modo que los cartones no se deslicen. Loscoe�cientes de fricción estática y cinética entreun cartón y la banda son �s = 0:7 y �k = 0:5,respectivamente.

72. *Al cruzar una esquina, un motociclista encuen-tra un leve peralte, o abultamiento, provocadopor el camino que intersecta. Si la cresta delperalte tiene un radio de curvatura � = 50pies,determine la rapidez máxima constante a la quepuede desplazarse si abandona la super�cie delcamino. En el cálculo, ignore el tamaño de lamotocicleta y del tripulante. Estos tienen un

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peso total de 450kg.

73. La niña, que tiene una masa de 25kg, se sientaen el borde del carrusel de modo que su cen-tro de masa G se encuentra a una distancia de1:5m del eje de rotación. Si el movimiento angu-lar de la plataforma se incrementa lentamente,de modo que sea posible ignorar la componentetangencial de aceleración de la niña, determinela rapidez máxima que puede alcanzar antes decomenzar a resbalarse hacia afuera del carrusel.El coe�ciente de fricción estática entre la niña yel carrusel es �s = 0:3.

74. El carrete de 2kg S tiene un ajuste �ojo con labarra inclinada cuyo coe�ciente de fricción es-

tática es �s = 0:2. Si el carrete se encuentraa 0:25m de A, determine la rapidez constante:mínima que debe alcanzar para que no se caigade la barra.

75. El carrete de 2kg S tiene un ajuste �ojo con labarra inclinada cuyo coe�ciente de fricción es-tática es �s = 0:2. Si el carrete se encuentra a0:25m de A, determine la rapidez constante máx-ima que puede alcanzar para que no se salga dela barra.

76. 13.76. El collarín tiene un peso de 5 lb y el re-sorte anexo posee una longitud, cuando no estáestirado, de 3pies. En el instante � = 30�, el col-larín tiene una rapidez v = 4pies/s, determine lafuerza normal sobre el collarín y la magnitud dela aceleración del mismo. Ignore la fricción.

77. El collarín tiene un peso de 5lb y el resorte anexoposee una longitud, cuando no está estirado, de3pies. Si el collarín se encuentra en una posi-ción sobre la barra de tal forma que � = 30�

y se le suelta a partir del reposo, determine laaceleración inicial del collarín y la fuerza normal

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sobre el mismo. Ignore la fricción.

78. ´pñ{El hombre tiene una masa de 80kg yse sienta a 3m de distancia del centro de laplataforma giratoria. Debido a la rotación, surapidez se incrementa desde el reposo por _v =0:4m/s2. Si el coe�ciente de fricción estáticaentre la ropa del hombre y la plataforma es de�s = 0:3, determine el tiempo necesario para quecomience a deslizarse hacia el borde.

79. El perno cilíndrico con peso de 2lb tiene libertadpara moverse dentro de los límites de un tuboliso. El resorte tiene una rigidez k = 14lb/piesy cuando no existe movimiento, la distanciad = 0:5pies. Determine la fuerza del resorte so-bre el perno cuando éste se encuentra en reposocon respecto del tubo. El perno se desplaza conuna rapidez constante de 15pies/s, a causa de la

rotación del tubo en tomo del eje vertical.

80. *Una cuerda elástica que tiene una longitud noestirada l, una rigidez k y una masa por unidadde longitud mo, se encuentra enrollada en tornode un tambor de radio r (2�r > l). Determinela rapidez de la cuerda, debida a la rotación deltambor, que le permitirá perder contacto conéste.

81. Calcular la masa del Sol, sabiendo que la dis-tancia entre éste y la Tierra es de 149:6(106)km.Sugerencia: use la Ecuación 13 � 1 para repre-sentar la fuerza gravitacional que actúa sobre laTierra.

82. El bloque tiene un peso de 2lb y presenta libertadpara moverse sobre la ranura lisa del disco gira-torio. El resorte tiene una rigidez de 2:5lb/piesy una longitud no estirada de 1:25pies Deter-mine la fuerza del resorte sobre el bloque y lacomponente tangencial de la fuerza que ejerce laranura sobre los lados del bloque, cuando éste

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se encuentra en reposo con respecto del disco yéste se desplaza con una rapidez constante de12pies/s.

83. El bloque de 2lb se suelta desde el reposo en A yse desliza sobre una super�cie cilíndrica lisa. Siel resorte anexo tiene una rigidez k = 2lb/pies,determine la longitud no estirada de tal maneraque no permita que el bloque se despegue de lasuper�cie hasta � = 60�.

84. *Si la bicicleta y el ciclista tienen un peso totalde 180lb, determine la fuerza normal resultanteque actúa sobre la bicicleta cuando se encuentraen el punto A mientras se desliza en movimientolibre a vA = 6pies/s. Asimismo, calcule el in-cremento en la rapidez del ciclista en este punto.Ignore la resistencia debida al viento y el tamaño

de la bicicleta y el ciclista.

85. El bloque B, de 2kg, tiene una velocidad vA =2m/s cuando llega al punto A. Determine larapidez v del bloque y la fuerza nonnal NB delplano sobre el bloque, como una función de e.Trace estos resultados como v contra � y NB con-tra � yespeci�que el ángulo en el cual la fuerzanormal es máxima. Ignore la fricción y el tamañodel bloque en el cálculo.

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Coordenadas Cilíndricas86. Una partícula, que tiene una masa de 2 kg,

se desplaza sobre una trayectoria tridimensionalde�nida por las ecuaciones r =

�10t2 + 3t

�m,

� =�0:1t3

�rad y z = (4t2 + 15t � 6)m, donde

t se expresa en segundos. Determine las compo-nentes r, � y z de la fuerza que la trayectoriaejerce sobre la partícula cuando t = 2s.

87. La trayectoria de movimiento de una partículade 5lb en el plano horizontal se describe en tér-minos de las coordenadas polares como r =(2t+ 10)pies y � =

�5t2 � 6t

�rad, donde t se

expresa en segundos. Determine la magnitudde la fuerza no equilibrada que actúa sobre lapartícula cuando t = 2s.

Datos

w = 5lb;m =5

32:2= 0:1552slug

r = 2t+ 10 = 14; � = 5t2 � 6tt = 2s

Fn = ?

r = 2t+ 10 = 14 � = 5t2 � 6t = 8_r = 2 = 2 _� = 10t� 6 = 14�r = 0 �� = 10

a =��r � r _�2

�ur +

�2 _r _� + r��

�u�

a =�0� 14

�142��ur + (2 (2) (14) + 14 (10))u�

a = (�2744)ur + (196)u�

jaj =

q(�2744)2 + (196)2 = 2750:99ft=s2X

Fn = man

Fn = 0:1552 (2750:99) = 426:95lb (Soln.)

88. *Una partícula, que tiene una masa de 1:5kg,se desplaza sobre una trayectoria tridimensionalque se de�ne por las ecuaciones r = (4 + 3t)m,� =

�r2 + 2

�rad y z = (6� t3)m, donde t se ex-

presa en segundos. Determine las componentesr, � y z de la fuerza que ejerce la trayectoriasobre la partícula cuando t = 2s.

89. El rastreador incorporado a un resorte AB tieneun peso de 0:75lb y se desplaza hacia adelante yhacia atrás a medida que su extremo se muevesobre la super�cie irregular de la leva, donde r =0:2pies y z = (0:1 sin �) pies. Si la leva gira conuna rapidez constante de 6rad/s, determine lafuerza en el extremo A del rastreador cuando � =90�. En esta posición, el resorte está comprimido0:4pies. Ignore la fricción del rodamiento en C.

r = 0:2; � = 90; _� = 6; �� = 0z = 0:1 sin �

_z = 0:1 cos � _�_z = :6 cos �

�z = �0:1 sin � _�2 + 0:1 cos ����z = �0:1 sin (�) (6)2 + 0:1 cos (�) (0)

�z = �3:6 sin (�)�z = z � z0

0:4 = 0:1 sin � � z0z0 = 0:1 sin � � 0:4 = 0:1� 0:4 = �0:3

�z = 0:1 sin � + 0:3PFz = maz = m�z

FA � 12 (0:1 sin � + 0:3) = 0:7532:2 (�3:6 sin �)

FA = 12 (0:4)� 3:6�0:7532:2

�FA = 4:71615

90. El rastreador incorporado a un resorte AB tieneun peso de 0:75lb y se desplaza hacia adelante yhacia atrás a medida que su extremo se muevesobre la super�cie irregular de la leva, donder = 0:2pies y z = (0:1 sin �)pies. Si la leva giracon una rapidez constante de 6rad/s, determinelas fuerzas máxima y mínima que ejerce el ras-treador sobre la leva si el resorte está comprim-

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ido 0:2pies cuando � = 90�.

91. Un niño tiene una masa de 40kg y se estádeslizando por un tobogán espiral con una rapi-dez constante de tal manera que su posición, me-dida a partir de la parte más elevada del ducto,tiene componentes r = 1:5m, � = (0:7t)rad yz = (�0:5t)m, donde t se expresa en segundos.Determine las componentes de la fuerza Fr F� yFz, que ejerce el tobogán sobre el muchacho enel instante t = 2s. Ignore el tamaño del niño.

92. *Un niño tiene una masa de 40kg y se estádeslizando por un tobogán espiral de tal formaque después de una revolución z = 2m su rapidezes 2m/s. Determine las componentes r,� y z dela fuerza que ejerce el tobogán sobre el muchachoen ese instante. Ignore el tamaño del niño.

93. Una partícula tiene una masa de 0:5kg y se en-cuentra con�nada a moverse en la ranura hor-izontal lisa debida a la rotación del brazo OA.

Determine la fuerza de la barra sobre la partículay la fuerza normal de la ranura sobre la partículacuando � = 30�, la barra gira con una velocidadangular constante � = 2rad/s. Suponga que lapartícula tiene contacto con sólo un lado de laranura en cualquier instante.

94. Resuelva el problema 13 � 93 si el brazo tieneuna aceleración angular de �� = 3rad/s cuando� = 2rad/s en � = 30�.

95. La barra OA gira en sentido opuesto a lasmanecillas del reloj con una rapidez angular con-stante � = 4rad/s. El collarín doble B estáconectádo por pernos de tal manera que uno deellos se desliza sobre la barra giratoria y el otrolo hace sobre la barra circular que describe laecuación r = (1:6 cos �)m. Si ambos collarinestienen una masa de 0:5kg, determine la fuerzaque ejerce la barra circular sobre uno de los col-larines y la que OA ejerce sobre el otro collarínen el instante � = 45�. El movimiento es sobreel plano horizontal.

96. *Resuelva el problema 13 � 95 como si el

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movimiento ocurriera sobre el plano vertical.

97. La partícula de 0:5lb es guiada sobre la trayec-toria circular utilizando la guía del brazo ranu-rado. Si el brazo tiene una velocidad angular _� =4rad/s y una aceleración angular �� = 8rad/s2 enel instante � = 30�, determine la fuerza de laguía sobre la partícula. El movimiento se realizasobre el plano horizontal.

98. Resuelva el problema 13 � 97 como si elmovimiento ocurriera sobre el plano vertical.

99. La partícula lisa tiene una masa de 80g. Estáunida a una cuerda elástica que se extiende deO a P y, debido al brazo ranurado de guía, semueve sobre la trayectoria circular horizontalr = (0:8 sin �)m. Si la cuerda tiene una rigidezk = 30N/m y una longitud no estirada de 0:25m,determine la fuerza de la guía sobre la partículacuando � = 60�. La guía tiene una velocidadangular constante _� = 5rad/s.

100. *Resuelva el problema 13 � 99 si �� = 2rad/s2

cuando _� = 5rad/s y � = 60�.

101. Durante un breve lapso, el carro de la montañarusa, de 250kg, se mueve por la pista en espiralcon una rapidez constante de tal manera que laposición medida desde la parte más alta de lapista tiene componentes r = 10m, � = (0:2t)rady z = �0:3tm, donde t se expresa en segundos.Determine las magnitudes de las componentes dela fuerza que la pista ejerce sobre el carro en lasdirecciones r, � y z en el instante t = 2s. Ignoreel tamaño del carro.

102. La bola tiene una masa de 2kg y un tamaño de-spreciable. Originalmente, se desplaza en tomode una trayectoria circular horizontal de radior0 = 0:5m tal que la rapidez angular de rotaciónes _� = 1rad/s. Si la cuerda ABC es recogida através del agujero con una rapidez constante de

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0:2m/s, determine la fuerza que ejerce la cuerdasobre la bola en el instante r = 0:25m. También,calcule la velocidad angular de la bola en este in-stante. Ignore los efectos de la fricción entre labola y el plano horizontal. Sugerencia: antesdemuestre que la ecuación de movimiento en ladirección � da como resultado ao = r� + 2r� =1rd(r2��)dt = 0 Cuando se integra, r2 _� = C, donde

la constante C se determina a partir de los datosdel problema.

103. El brazo OA guía la bola de 0:5lb por una trayec-toria circular vertical. Si el brazo tiene una ve-locidad angular � = 0:4rad/s y una aceleraciónangular �� = 0:8rad/s2 en el instante � = 30�, de-termine la fuerza del brazo sobre la bola. Ignorela fricción y el tamaño de la bola. Establezcarc = 0:4pie.

104. *La partícula de masa m es guiada sobre latrayectoria circular vertical de radio rc uti-lizando el brazoDA: Si el brazo tiene una veloci-dad angular constante �0, determine el ángulo �en el que la partícula comienza a despegarse de

la super�cie del semicilindro.

105. El collarín, que tiene un peso de 3lb, se deslizasobre la barra lisa situada sobre el plano hor-izontal y que tiene la forma de una parábolar = 4

1�cos � , donde � se expresa en radianes y ren pies. Si la rapidez angular del collarín es con-stante e igual a � = 4rad/s, determine la fuerzatangencial de retardo P necesaria para causarel movimiento y la fuerza normal que ejerce elcollarín sobre la barra en el instante � = 90�.

106. Resuelve el problema 13 � 105 si la trayectoriaparabólica (barra) se encuentra en el plano ver-tical.

107. El brazo gira con una rapidez de _� = 5rad/scuando �� = 12rad/s2 y � = 90�. Determinela fuerza normal que se debe ejercer F sobrela partícula de 0:5kg si ésta se encuentra des-tinada a desplazarse sobre la trayectoria ranu-rada de�nida por la espiral hiperbólica horizon-tal r� = 0:2m.

108. *Resuelva el problema 13� 107 si la trayectoria

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es vertical.

109. Un muchacho que se encuentra de pie en tierra�rme hace girar a la niña sentada en el trineo o"plato" redondo con una trayectoria circular deradio r0 = �m, de tal forma que la rapidez an-gular de rotación de la niña es �0 = 0:1rad/s. Siel cable que los une, OC, se recoge hacia aden-tro con una velocidad constante; _r = �0:5m/s,determine la tensión que ejerce sobre el trineoen el instante r = 2m. La masa total del trineoy la niña es de 50kg. Ignore el tamaño de és-tos y los efectos de la fricción entre el trineo yel hielo. Sugerencia: antes que nada, demuestreque la ecuación de movimiento en la dirección �da como resultado ae = r�+2; � = dldt(r2�) = 0.Cuando se integra, r2� = C, donde la constanteC se determina a partir de los datos del prob-lema.

110. Utilizando la presión del aire, se fuerza a la bolade 0:5kg a atravesar el tubo que se encuentra en

el plano horizontal, que tiene la forma de una es-piral logarítmica. Si la fuerza tangencial, debidaal aire que se ejerce sobre la bola es de 6N, de-termine el ritmo del incremento de la rapidez dela bola en el instante � = 7t

2 . ¿En qué direcciónactúa, medida a partir de la horizontal?

111. Resuelva el problema 13 � 110 si el tubo se en-cuentra en un plano vertical.

112. *El collarín tiene una masa de 2kg y viaja a lolargo de la barra lisa horizontal que se de�nepor la espiral equiangular r = (�e)m, donde �se expresa en radianes. Determine la fuerza tan-gencial F y la fuerza normal N que actúan so-bre el collarín cuando � = 45�, si la fuerza.Fmantiene un movimiento con una rapidez angu-lar constante � = 2rad/s.

113. El collarín tiene una masa de 2kg y viaja a lolargo de la barra lisa horizontal que se de�nepor la espiral equiangular r = (�e)m, donde �se expresa en radianes. Determine la fuerza tan-gencial F y la fuerza normal N que actúan so-bre el collarín cuando � = 90�, si la fuerza.Fmantiene un movimiento con una rapidez angu-

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lar constante _� = 2rad/s.

114. La barra en forma de horquilla se emplea paramover la partícula lisa de 2lb sobre la trayec-toria horizontal en la forma de caracol, r =(2 + cos �)pies. Si en todo momento � =0:5rad/s, determine la fuerza que ejerce la barrasobre la partícula en el instante � = 90�. Lahorquilla y la trayectoria hacen contacto con lapartícula en sólo un lado.

115. Resuelva el problema 13�114 en el instante � =60�.

116. La barra en forma de horquilla se emplea paramover la partícula lisa de 2lb sobre la trayec-toria horizontal en la forma de caracol, r =(2 + cos �)pies. Si � = (0:5r)rad, donde t se ex-presa en segundos, determine la fuerza que ejercela barra sobre la partícula en el instante t = 1s.La horquilla y la trayectoria hacen contacto con

la partícula en sólo un lado.

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Movimiento de Fuerza centraly Mecánica EspacialEn los problemas siguientes, suponga queel radio de la Tierra es 6378km, su masaes 5:976

�1024

�kg, la masa del Sol es

1:99�1030

�kg y la constante gravitacional

es G = 66:73�10�12

�m3/kg-s2

117. Si la órbita de un asteroide tiene una excentrici-dad de e = 0:056 en tomo del Sol, determine elperiapsis de la órbita. El apoapsis de la mismaes de 2:0

�109�km.

118. Un satélite se desplaza con una trayectoria elíp-tica cuya excentricidad es e = 0:25. Determinesu rapidez cuando se encuentra a las distanciasmáxima A y mínima B de la Tierra.

119. Se pone en órbita un satélite con una velocidadde 6km/s, paralela a la super�cie terrestre. De-termine la altitud adecuada del satélite encimade la Tierra de tal forma que la órbita permanez-can circular. ¿Qué le ocurrirá al satélite si su ve-locidad inicial es de sólo 5km/s cuando se colocatangencialmente en la órbita?

120. *Un satélite de comunicaciones será colocadoen una órbita circular ecuatorial en tomo de laTierra de tal forma que permanecerá siempresobre un punto de la super�cie terrestre. Estorequiere que el periodo sea de 24horas (aproxi-madamente); determine el radio de la órbita y lavelocidad del satélite.

121. Un cohete se desplaza en una órbita elíptica devuelo libre en tomo de la Tierra de tal manera

que e = 0:76 y su perigeo es de 9Mm, segúnse observa. Determine su rapidez cuando se en-cuentra en el punto B. También, determine eldecremento súbito en su rapidez que debe sufrirel cohete en A con objeto de recorrer una órbitacircular en torno de la Tierra.

122. Un asteroide se encuentra en una órbita elípticaen torno del Sol de tal forma que su periapsis esde 9:30

�109�km. Si la excentricidad de la órbita

es e = 0:073, determine el apoapsis de la órbita.

123. Se colocará un satélite en una órbita elíptica entomo de la Tierra, de tal forma que la altitudde la órbita será de 800km en el perigeo y de2400km en el apogeo. Determine la velocidadnecesaria del lanzamiento tangencial a la Tierraen el perigeo y el periodo de su órbita.

124. *Demuestre que la rapidez de un satélite lan-zado en una órbita circular en torno de la Tierraestá dada por la ecuación 13 � 25. Determinela rapidez de un satélite que se lanza paralelo ala super�cie terrestre de modo que se desplaceen una órbita circular a 800km de la super�cieterrestre.

125. La trayectoria elíptica de un satélite tiene unaexcentricidad e = 0:130. Si tiene una rapidez de15Mm/hr cuando se encuentra en el perigeo, P ,determine su rapidez cuando llega al apogeo, A.También, ¿a qué distancia de la super�cie de la

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Tierra está en A?

126. Se lanza un satélite con una velocidad inicialv0 = 2500mi/h, paralela a la super�cie ter-restre. Determine la altitud necesaria (o rangode altitudes) sobre la super�cie terrestre parael lanzarniento si la trayectoria de vuelo libreha de ser (a) circular, (b) parabólica, (c) elíp-tica y (d) hiperbólica. Tome G = 34:4

�109�(lb.

pies2/slug2, Me = 4O9(1~1slug, el radio ter-restre re = 3960mi, y 1mi= 5280pies.

127. El planeta Júpiter recorre una órbita elíptica entomo del Sol de tal forma que su excentricidad ese = 0:048. Si el periapsis entre Júpiter y el Soles r0 = 440(106)mi, determinar (a) la rapidezde Júpiter en el periapsis y (b) el apoapsis dela órbita. Tomar G = 34:4

�109�lb .pies2/slug2,

Ms = 197(1027)slug, 1mi= 5280pies.

128. *Demuestre la tercera ley del movimiento de Ke-pler. Sugerencia: use las ecuaciones 13 � 19,13� 28, 13� 29 y 13� 31.

129. Un cohete recorre una trayectoria elíptica A0Aen vuelo libre. El planeta tiene una masa de0:60 veces la de la Tierra. Si el cohete tieneel apoapsis y el periapsis que se ilustran en la�gura, determine la rapidez del cohete cuando

se encuentra en el punto A.

130. Un cohete se acopla con un satélite ubicado a18Mm sobre la super�cie terrestre. Si el satéliterecorre una órbita circular, determine la rapidezque súbitamente debe darse al cohete, relativaal satélite, de tal forma que se aleje de éste enuna trayectoria parabólica de vuelo libre comose ilustra.

131. Un satélite S recorre una órbita circular en tornode la Tierra. En el apogeo de su órbita, para la

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cual e = 0:58, se ubica un cohete. Determineel cambio súbito en la rapidez que debe ocurriren A para que el cohete pueda entrar a la órbitadel satélite mientras se encuentra en vuelo libresobre la trayectoria elíptica que se marca con unalínea punteada. Cuando llegue a B, determineal ajuste súbito en la rapidez que es preciso daral cohete para que mantenga una órbita circular.

132. *Un asteroide se encuentra en una órbita elípticaen torno del Sol de tal forma que su periapsis es9:30

�109�km. Si la excentricidad de la órbita es

e = 0:073, determine el apoapsis de la órbita.

133. El cohete que se ilustra se encuentra en una ór-bita circular a 6Mm sobre la super�cie terrestre.Es necesario que se desplace en otra órbita cir-cular que tiene una latitud de 14Mm. Para hac-erlo, se da al cohete un breve impulso en A demodo que recorra, en vuelo libre, la trayectoriaelíptica punteada desde la primera órbita hastala segunda. Determine la rapidez que debe al-canzar en A justo después del impulso, así comoel tiempo necesario para llegar a la órbita ex-terna sobre la trayectoria AA0. ¿Qué ajuste ensu rapidez es preciso hacer en A0 para mantener

la segunda órbita circular?

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