1

Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása – másként

Most megint egyik kedvenc témánkat vesszük elő. Bízunk benne, hogy az itt előforduló

ismétlések szükségesek, ámde nem feleslegesek. A más módon való megoldás mikéntje és

lényege így domborodik majd ki, szerintünk. Ehhez először is tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra

Itt egy közönséges láncgörbe - darabot ábrázoltunk. Ennek A és B pontjai közti ívének

hossza L, ennek vízszintes vetülete l, függőleges vetülete m hosszúságú. Az AB távolság

pedig d. Látható, hogy

( 1 )

A végérintők hajlása φA és φB . A láncgörbe paramétere a.

A feladat kiírása az alábbi.

Adott: l , m , L.

Keresett: φA , φB ; xA , yA ; xB , yB .

2

Az idevágó alapvető összefüggéseket már több korábbi dolgozatunkban is felírtuk. Ezek:

KD - 1.: Közönséges láncgörbe – alapvető összefüggések és tudnivalók;

KD - 2.: Rugalmas láncgörbe – alapvető összefüggések és tudnivalók, I. rész .

A láncgörbe egyenlete derékszögű koordinátákban:

( 2 )

Az érintő iránytangense ( 2 ) - ből:

( 3 )

( 3 ) - ból invertálással:

( 4 )

Felhasználva a szóban forgó hiperbolikus függvényekre vonatkozó

( 5 )

azonosságot, ( 2 ), ( 3 ) és ( 5 ) - tel:

( 6 )

innen:

( 7 )

Szintén ismert képlet az ívhosszra, K kezdőponttal:

( 8 )

Az 1. ábráról, ( 4 ) - gyel is:

tehát:

( 9 )

hasonlóan ( 7 ) - tel:

tehát:

3

( 10 )

Végül ( 8 ) - cal is:

tehát:

( 11 )

( 11 ) - ből:

( 12 )

Látjuk, hogy függvényeink mind tartalmazzák az a paramétert, ezért először ezt kell

meghatároznunk. Ha L, φA , φB ismert ( lenne ), akkor ( 12 ) - ből rögtön meghatározhat -

nánk azt. Itt azonban φA , φB keresett mennyiségek, meghatározásukhoz előbb a - t kell

előállítanunk, máshogyan.

A korábbiak miatt felírjuk még a következő képleteket is, ( 9 ), ( 10 ) és ( 12 ) - vel:

( 13 )

( 14 )

Ezek megfelelnek a KD - 2 ~ ben kapott kifejezéseknek, ha EA ∞.

A ( 13 ) és ( 14 ) egyenletekben most ismert l , m , L , keresett φA és φB . E két ismeretlen

meghatározásához éppen két darab egyenletünk van, ami elvileg elegendő is. Csakhogy ez

egy nemlineáris egyenletrendszer, melynek megoldása nem annyira egyszerű. A mi házi -

lagos megoldásunk során úgy járunk el, hogy a ( 13 ) + ( 14 ) egyenletrendszert átírjuk.

Ehhez ( 11 ) - ből:

( 15 )

majd ( 9 ), ( 10 ) és ( 15 ) - tel:

( 16 )

( 17 )

Még tovább alakítva:

4

( 16 / 1 )

( 17 / 1 )

Ha tehát a - t ismerjük, akkor ( 16 / 1 ) és / vagy ( 17 / 1 ) - ből kiszámítjuk tgφA - t, majd

( 15 ) - ből tgφB - t, ezután pedig ( 4 ) és ( 7 ) - tel a végpontok koordinátái:

( 18 )

. ( 19 )

Az a láncgörbe - paraméter meghatározásának képletét KD - 1 ~ ben részletesen

levezettük. Az eredmény: megoldandó a

( 20 )

( 21 )

( 22 )

egyenlet, melynek ξ0 megoldásával ( 21 ) - ből:

( 23 )

Ezután a ismeretében már a fentebb elmondottak szerint járhatunk el.

SZÁMPÉLDA

Adatok: l = 4 ( m ); m = 3 ( m ); d = 5 ( m ) ; L = 1,1 d = 5,5 ( m ) . ( A )

1. λ számítása: ( 22 ) és ( A ) - val:

( a )

2. A ( 20 ) egyenlet grafikus megoldása, ügyelve a megoldás ( 21 ) szerinti előjelére is

– 2. ábra:

( b )

3. Az a paraméter számítása, ( 23 ) szerint:

. ( c )

5

2. ábra

4. tgφA számítása ( 17 / 1 ), ( A ) és ( c ) szerint:

innen – 3. ábra:

( d )

5. tgφB számítása ( 15 ), ( A ), ( c ) és ( d ) szerint:

tehát:

( e )

6. A kötél rögzítési pontjai koordinátáinak számítása ( 18 ) és ( 19 ) szerint, ( c ), ( d ) és

( e ) - vel is:

6

3. ábra

( f )

( g )

( h )

( i )

A számpélda néhány eredményét a 4. ábrán jelenítettük meg.

Megjegyzések:

M1. Ez a dolgozat egy korábbi hiány pótlása: a már közel hét évvel ezelőtt írt KD - 2 ~

ben nem megmutatott eljárásra gondolunk, végtelen nagy húzómerevséget feltételezve.

7

4. ábra

M2. A ( 16 / 1 ) és ( 17 / 1 ) képletekkel kapcsolatban megemlítjük, hogy érdemesebb az

utóbbit használni meghatározására, mert amint azt a 3. ábrán is láthatjuk, ez egyetlen

megoldást ad, ellentétben ( 16 / 1 ) - gyel. Természetesen ezt a munkát is elvégeztük, majd

megállapítottuk, hogy melyik a kétféle egyenlet - megoldással kapott közös gyök.

Részletezve: ( 16 / 1 ), ( A ) és ( c ) szerint

Ennek megoldásai:

( j )

Ámde ( d ), ( e ) és ( j ) összehasonlításából:

( k )

8

5. ábra

6. ábra

A ( k ) összefüggések azt jelentik, hogy ( j ) mindkét adata értelmes, feladatunk szempont -

jából. Ugyanis ezek az A és B* végpontokkal bíró láncgörbére ( is ) vonatkoznak,

9

melynél a B* végpont a B pontnak az y tengelyre vett tükörképe. Ez a 4. ábrán az A pont -

tól balra elhelyezkedő görbeágat jelenti. Azonban feladatunk megoldása szempontjából

csak az az eredmény jöhet szóba, amely ugyanaz, ( 16 / 1 ) és ( 17 / 1 ) megoldása során is.

Ez pedig: ( d ) = ( k1 ).

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a ( k2 ) eredmény egy kiegészítő feladat megoldása; ugyanis

az AB ív L hossza és l vízszintes vetülete általában nem egyenlő az AB* ív L* hosszával

és l* vízszintes vetületével, ahogyan az a 4. ábráról is jól leolvasható, kivéve az A = K

esetet. Ezek szerint megállapíthatjuk, hogy tényleg ajánlott ( 17 / 1 ) megoldását választa -

ni. Azonban, mint láttuk, nem haszontalan a ( 16 / 1 ) megoldását is elvégezni, akár csak

ellenőrzés céljából is. Tudjuk, hogy minden ellenőrzési lehetőség kihasználandó.

M3. A ( 16 ) + ( 17 ) egyenletrendszert is tekinthetjük a feladat alapegyenleteinek, ahol a

keresett mennyiségek az a láncgörbe - paraméter és a tgφA végérintő - meredekség.

M4. Jelen írásunk címében szerepel, hogy másként. Már látjuk, hogy ez inkább csak kicsit

másként. Ugyanis a ( 13 ) + ( 14 ) paraméteres egyenletrendszer megoldásához itt is fel -

használtuk a szokásos eljárást, mely a ( 20 ) egyenlet megoldásán át vezet. Igaz, az itteni

megoldási módot máshol még nem láttuk, emlékeink szerint.

M5. Némiképpen meglepő lehet az a tény, hogy az L = 1,1 d összefüggéssel adott ívhossz

esetében az A pontbeli végérintő már negatív hajlású. Bizony, a kötél érzékeny „műszer”.

M6. Láttuk, hogy a számpélda megoldása numerikus segítség nélkül nem igazán lehetsé -

ges. Ez itt a Graph ingyenes szoftver volt. Nem árt figyelni arra is, hogy hogyan érdemes

igazodni a Graph lehetőségeihez, az egyenletek numerikus megoldása során.

M7. Visszatekintve az elvégzettekre: azt gondoljuk, nem mondható el, hogy igazából

megoldottuk volna azt a problémát, amit a ( 13 ) + ( 14 ) nemlineáris egyenletrendszer

közvetlen megoldása jelent.

Gyanítjuk, hogy ez nagyságrendekkel fejlettebb numerikus matematikai segítséget feltéte -

lez, az itteniekhez képest.

Azt viszont elmondhatjuk, hogy találtunk egy „öszvér - megoldást”, melynek segítségével

jó eséllyel vállalkozhatunk a közönséges láncgörbe - feladatok némiképpen újszerűnek

ható megoldására. Ne feledjük, hogy egy bevált megoldási mód már eddig is rendelkezé -

sünkre állt – ld.: KD - 1.! Használjuk ezeket ügyesen, kreatívan!

10

M8. Már említettük, hogy az itteniek a KD - 2 ~ ben felírt, a rugalmas láncgörbére vonat -

kozó nemlineáris egyenletrendszer speciális esetei, ha a kötél húzómerevsége tart a végte -

lenhez.

Ha az itteni ( 13 ) + ( 14 ) nemlineáris egyenletrendszert közvetlenül meg tudnánk oldani,

akkor a KD - 2 ~ ben felírt nemlineáris egyenletrendszerrel is meg tudnánk azt tenni.

Gyanítjuk, hogy ott is alkalmazható lenne az itt bevezetett „öszvér - megoldás”, minthogy

KD - 3 ~ ban levezettük az itteni ( 20 ) kulcsegyenlet ottani, általánosabb megfelelőjét is.

Ehhez lásd még:

KD - 3: Rugalmas láncgörbe – alapvető összefüggések és tudnivalók, II. rész!

M9. Megint eszembe jut néhai matematika - professzorunk ( Dr. Moór Arthur ) mondása:

„Tisztelt Kollégák! Ha nem boldogulnak vele, forduljanak szakemberhez!”

Nos, a vázolt matematikai nehézségek áthidalásának egy módja lehet az itt is, hogy alkal -

mazott matematikus segítségét vesszük igénybe. Ez valószínűleg nem lesz olcsó mulatság.

Így aztán ismét csak örülhetünk, ha rendelkezünk valamilyen / bármilyen megoldási mód -

dal, mint amilyenek az itt közöltek is. Vagy ki tudja…

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2017. 06. 06.