Effets thermiques dans les cavités passives Patrice Hello LAL-Orsay
-
Upload
pearlie-kyrie -
Category
Documents
-
view
38 -
download
0
description
Transcript of Effets thermiques dans les cavités passives Patrice Hello LAL-Orsay
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 1
Effets thermiques dans les cavités passives
Patrice HelloLAL-Orsay
Gradients de température dans les miroirs
Lentilles thermiques
Déformation thermoélastique des surfaces réfléchissantes
Dynamique (non linéaire) dans les cavités
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 2
• Cavités haute finesse et/ou éclairées par un laser haute puissance
• Miroirs de bonne qualité (faibles taux d’absorption)
• Cavités sous vide
• Diamètres miroirs >> diamètres des faisceaux
Pertes essentiellement radiatives(typiquement le cas de cavités suspendues comme dans Virgo)
+ faisceaux sous incidence normale et bien centrés (symétrie axiale)
Hypothèses
Cavités passives pour des besoins de métrologie ou assimilés
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 3
Effets thermiques dans un miroir sous vide
Faisceau laser (puissance P et taille )
2 sources d’absorption :
• absorption dans le(s) coating(s)coefficient d’absorption global
• absorption dans le substratcoefficient d’absorption linéique
substrat coating
Enceinte à température T0
Miroir rayon a et longueur h
z
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 4
Champ de température
Equation de la chaleur : ITKt
TC
: masse volumique du miroir (Silice)C : capacité calorifiqueK : conductivité thermiqueI(t,r,z) : intensité traversant le miroir
Absorption faible => I très faiblement atténuée dans le miroir => I(t,r) .
Conditions aux limites :
Pertes par radiation : flux
40
4 TTF
TTT 0 TT 0avec TTF 304Linéarisation
Dans la suite TT
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 5
Champ de température
Equation de la chaleur : ITKt
TC
Conditions aux limites :
),,(4),,( 30 zatTTzat
r
TK
)2/,,(4)2/,,( 30 hatTThrt
z
TK
)2/,,(4)2/,,()2/,,( 30 hatTThrtIhrt
z
TK
Méthode : superposition solution stationnaire et solution transitoire
T trT
sources
et superposition solutions pour absorption dans le substrat et absorption dans le coating
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 6
Champ de température stationnaire
Equation de la chaleur : ITK
Solution de l’équation homogène sous la forme :0 T
)( ),( 0 rkJeBeAzrT mm
zkm
zkm
mm
Les conditions aux limites sur les faces en z = +/-h déterminent Am et Bm
La condition aux limites sur le bord en r =a détermine les km , m =akm est le mième zéro de:
)( )( 0r1 xJxxJ
avec KaT /4 30r constante radiative réduite
Absorption dans le substrat : ajouter une solution particulière à ITK
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 7
Champ de température stationnaire
I(r) peut aussi se développer sur les J0 (série de Dini)
)( )( 0 rkJprI mm
m
a
mmrm
mm rdrrkJrI
Jap
0
020
222
2
)()()(
12
avec
Par exemple pour un faisceau TEM00 incident de puissance P et de col :
)/2exp(2
)( 222
rP
rI
8/exp)(
22
20
222
2
m
mrm
mm k
Ja
Pp
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 8
Champ de température stationnaireAbsorption dans le coating
Solution
)( )()(
)()(),( 0
2/222
2/)(
rkJee
ee
K
apzrT m
hk
mhk
rmrm
zkrm
zhkrmm m
m
mm
Proportionnel à la puissance absorbée
Carte de températurepour 1 W absorbé dans le coatingd’un miroir Virgo.(SiO2, a=h=10 cm, P=1W, =2 cm)
1max K.W.13~ T
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 9
Champ de température stationnaireAbsorption dans le substrat
Solution
)( )()(
1),( 0
)2/()2/(
2 rkJe
ee
Kk
pzrT m
mhk
rmrm
zhkzhk
r
m
m
m
mm
Carte de températurepour 1 W absorbé dans le substratd’un miroir Virgo(SiO2, a=h=10 cm, Ph=1W , =2 cm)
Proportionnel à la puissance absorbée
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 10
Solution transitoire
Equation de la chaleur : ITKt
TC
),,(),(),,( zrtTzrTzrtT tr
solution de l’équation de la chaleur avec conditions aux limiteshomogènes => série de Fourier-Dini
)( )/sin()/cos(),,( 0,
rkJazvBeazuAezrtT mmp
ppmt
ppmt
trpmpm
a
uhu r 2
cot
a
vhv r 2
tan
22
2
22
2et mppmmppm v
Ca
Ku
Ca
K
Constante de temps caractéristique : s. cm10
102
24
2
a
K
Catc
Avec up et vp p-ième zéros de
Et aussi :
(Silice)
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 11
Solution transitoire
)()/cos( 1)2/cos()2/sin(4
),,(
0,
222 rkJazueu
ahu
u
ahu
kc
p
Kh
a
zrtT
mpmp
t
mp
pr
p
p
mp
m pm
ahu
ahuc
p
pp /
)/sin(1avec
Exemple de la solution complète pour échauffement dans le substrat :
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 12
Aberrations résultantes
2 effets :
• lentille thermique due au gradient d’indice n(t,r,z) dans le miroir
• déformation surfaces (changement de courbure)
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 13
La marche obéit à l’équation eikonale
Lentille thermique
),,(),,( 0 zrtTdT
dnnzrtn
Gradient d’indice au premier ordre :
n0 étant l’indice à la température T0.
22 nS
),,(),,( 0 zrtDznzrtS
),,( zrtTdT
dn
z
D
2/
2/
),,(),(h
h
dzzrtTdT
dnrtD
D’où
OPD :
Proportionnel à la puissance absorbée
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 14
Lentille thermique
1 W absorbé dans le coating 1W absorbé dans le substrat(exemple d’un miroir Virgo)
Profil non parabolique !
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 15
Déformée thermoélastique
Tenseur des contraintes suit les équations d’équilibre :
Il est relié au tenseur des déformations E
Qui lui-même est relié au vecteur déplacement u :
2
2
t
u
rzrrrrrzrr
2
2
t
u
rzrzrzzzrz
Déformation de la surface :
rrrr EET 2
EET 2
zzzz EET 2
rzrz E 2 zzrr EEEE avec
r
u
z
uE
z
uE
r
uE
r
uE zr
rzz
zzrr
rr 2
1et , ,
)2/,,( hzrtuz z
et coef. de Lamé module de contrainte thermique = (3+2) où = coef.de dilatation therm.
=0(on néglige la propagationDes ondes acoustiques !)
=0
+ conditions aux limites 0)2/,()2/,(),(),( hrhrzaza rzzzrzrr
)1)(21/( E
)1(2/ E
Relation avec module d’Young et le coef. de Poisson :
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 16
Déformée thermoélastique
Recherche solution sous la forme de séries de Dini :
mmmr
mmmz
rkJztVzrtu
rkJztUzrtu
)(),(),,(
)(),(),,(
1
0
Les coef. de Fourier-Dini Um et Vm s’obtiennent à partir de ceux du champde température
Résultat final : Um(t, -h/2) !
NB : en général on n’arrive pas à annuler les 6 contraintes sur les bords.En particulierTraitement spécial (correction de Saint-Venant) qui consiste à fitter et à soustraire la partie affine.
0),( zarz),( zarz
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 17
Déformée thermoélastique
Exemple de déformation stationnaire obtenue pour 1 W absorbé dans le coating d’un miroir Virgo
Flèche ~0.1 m/W
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 18
Et dans une cavité ?
Couplage dynamique et non linéaire entre puissance circulant dans la cavitéet les aberrations thermiques
Absorption dans les substrats
Absorption dans les coatings
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 19
Simulation optique+thermique
Aberrations thermiques quasi-statiques / temps caractéristiques optiques
Code de propagation pour l’optique•Faisceaux quasi gaussiens•Approximation paraxiale•Propagation par FFT (ou transformée de Hankel)•Aberrations thermiques dans les opérateurs de transmission/réflexion des miroirs
)),()1(exp( yxfniktT
)),(2exp( yxiknfirRg )),(2exp( yxikfirRd
n
1 2
)2/,,(2
),(22
hrtuR
yxyxf z
Exemple du miroir plan-sphérique avec aberration thermique
Exemple du miroir plan-sphérique parfait R
yxyxf
2),(
22
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 20
Simulation optique+thermique
Propagation / résolution de l’équation d’Helmholtz 0)( 2 Ak
)0,,(.)(2
exp)exp(),,( 221 yxAFqpk
LiikLFLyxA
dxdyyxAeqpFA qypxi ),(),]([ )(Où F est la transformée de Fourier 2D : et F-1 la transformée inverse.
A1 A2
A4 A3Aref
Ain
Atr
T1,R1g,R1d T2,R2
22
141
34
223
12
4111
)(
)(
ATA
ARATA
ALPA
ARA
ALPA
ARATA
tr
ingref
din
et on itère …
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 21
Simulation optique+thermique
Prise en compte des effets thermiques
Evolution quasi-statique des aberrations thermiques.Evaluation tous les t , pas de temps >> temps optiques => cavité est toujours à résonance (bande passante asservissements 1/ t !).
Pas « n », t=tn =nt : )( )/sin()/cos( ),( 0,
)()( rkJazvAazuSzrT mmp
pn
pmpn
pmn
C’est la condition initiale pour l’équation de la chaleur à résoudre entre tn et tn+1 avec despuissances lumineuses circulant supposées constantes sur ce pas de temps
Récurrence : )()1(
)()1(
1
1n
pmt
pmtn
pm
npm
tpm
tnpm
AeaeA
SeseSpmpm
pmpm
Où les spm et apm sont les coefficients de Fourier-Dini de la solution stationnaire déjà étudiée.
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 22
Simulation optique+thermique
Exemple cavité Virgo, L =3 km, puissance incidente ~1 kW et Finesse ~ 50
Absorption dans le coatingdu miroir d’entrée
Absorption dans le substratdu miroir d’entrée
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 23
Compensation thermique
Si les effets thermiques deviennent gênants, il y a toujours moyen de les atténuer au moins en partie
Minimiser les gradients thermiques => chauffer les parties froides des optiques
Faisceau(x) auxiliaire(s)
Poptimal
P = Poptimal
P < Poptimal
P > Poptimal
2
00)(
00 2)()(1losses rdrrAerA rik
Puissance absorbée sur le pourtour du miroir
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 24
Conclusion
La modélisation poussée des effets thermiques dans une cavité passive est possible !
Champ de température Lentille thermique Déformations thermo-élastiques
… mais à condition de vérifier quelques hypothèses plus ou moins générales.
Dans le cas contraire (géométrie plus compliquée …), il ne reste que les méthodes par éléments finis…
Si les effets thermiques sont gênants, on peut les atténuer en diminuant lesgradients de température, i.e. en chauffant les parties a priori froides des miroirs.
Journées cavités passives
2-3 avril 2009 25
Quelques références
Aberrations thermiquesA. Cutolo et al., Opt. Acta 27, 1105 (1980)PH & J.-Y. Vinet, J.Phys. 51, 1267 (1990)PH & J.-Y. Vinet, J.Phys. 51, 2243 (1990)
Code de propagation dans les cavités passivesE.A Sziklas & A.E. Siegman, Appl. Opt. 14, 1874 (1975)A.E. Siegman Opt. Lett. 1, 13 (1977)JYV et al., J. Phys. I 2, 1287 (1992)JYV & PH, J. Mod. Opt. 40, 1981 (1993)
Effets thermiques dans les cavités VirgoPH & JYV, J. Phys I 3, 717 (1993)PH & JYV Phys. Lett. A 178, 351 (1993)
Compensation des effets thermiquesPH, Eur. Phys. J. D 15, 373 (2001)