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일반화된 Hoek-Brown 암반의 등가 Mohr-Coulomb 강도정수 산정법 고찰

임광옥1)·이연규

2)*

An Investigation on the Estimation Methods for the Equivalent Mohr-Coulomb Strength

Parameters of Generalized Hoek-Brown Rock Mass

Kwang-Ok Lim and Youn-Kyou Lee*

(Received 28 November 2016; Final version Received 21 December 2016; Accepted 16 February 2017)

Abstract : Many practical engineers are often accustomed to understanding the strength of the rock mass in terms of

friction angle and cohesion. Therefore, it is necessary to provide a resonable tool implementing the Generalized

Hoek-Brown (GHB) failure condition in the framework of the Mohr-Coulomb (M-C) criterion. In this study, the features

of Lee (2015) and Hoek et al. (2002) methods for calculating the equivalent friction angle and cohesion of GHB rock

masses were briefly reviewed. Subsequently, in order to compare the accuracy of the two methods, the ultimate bearing

capacity of strip footing resting on the M-C rock mass was assessed by performing the 2D FE analysis incorporating the

equivalent M-C strength constants from both approaches. The results show that Lee (2015)’s method, which exploits the

upper bound solution of ultimate bearing capacity, is superior to that of Hoek et al. (2002)’s approach.

Key words : Generalized Hoek-Brown criterion, Mohr-Coulomb criterion, Equivalent friction angle, Equivalent

cohesion, Ultimate bearing capacity

요 약 : 현장 암반공학 기술자는 암반의 강도를 마찰각과 점착력으로 표시하는 것에 익숙한 경우가 많다. 이에 따라

일반화된 Hoek-Brown (GHB) 파괴조건식을 Mohr-Coulomb (M-C) 파괴조건식 틀 안에서 활용할 수 있는 합리적인

방법의 개발 필요성이 제기되었다. 이 연구에서는 GHB 암반의 등가마찰각과 등가점착력을 계산하는 Lee (2015)의

방법과 Hoek et al. (2002) 방법의 특징을 간략히 소개하였다. 두 방법의 정확성을 비교 검토하기 위해 Lee (2015)와

Hoek et al. (2002)의 방법으로 산정한 등가 강도정수를 이용하여 M-C 암반의 줄기초 극한 지지력을 2차원 유한요소

해석을 통해 계산하였다. 해석결과 줄기초 극한지지력의 상계해를 활용하는 Lee (2015)의 방법이 Hoek et al. (2002)

의 방법에 비해 상대적으로 우수한 것으로 나타났다.

주요어 : 일반화된 혹-브라운식, 모어-쿨롬식, 등가마찰각, 등가점착력, 극한지지력

1) 군산대학교 대학원 해양산업공학과

2) 군산대학교 해양건설공학과

*Corresponding Author(이연규)

E-mail; [email protected]

Address; Dept. Coastal Construction Eng., Kunsan Nat.

Univ., 558 Daehak-ro, Gunsan, 54150, Republic of

Korea

ISSN 2288-0291(print)

ISSN 2288-2790(online)

한국자원공학회지 J. Korean Soc. Miner. Energy Resour. Eng.

Vol. 54, No. 1 (2017) pp. 1-10, https://doi.org/10.12972/ksmer.2017.54.1.001

서 론

암반굴착은 초기응력장(in‒situ stress field)을 교란시켜

굴착면 주변에 새로운 평형상태로 응력을 재배치시킨다.

이 과정에서 특정 지점의 응력집중이 한계값에 도달하면

균열이 발생, 전파되어 궁극적으로 암반구조물의 붕괴가

발생할 수 있다. 균열의 개시 여부는 이론적으로 응력의 함

수인 암반파괴조건식을 이용하여 판단할 수 있다. 그러므

로 암반구조물의 정확한 안정성 평가를 위해서는 적절한

암반파괴조건식을 선정하는 것이 선행되어야 한다.

암석이나 암반의 파괴강도를 예측하기 위해 사용되는 파

괴기준식으로 Hoek‒Brown (H‒B) 경험식(Hoek and Brown,

1980a,b; Hoek, 1983)과 Mohr‒Coulomb (M‒C)식이 많이

이용되고 있다. M‒C식에서는 구속압의 증가에 따른 파괴

강도 증가가 선형 관계식으로 표현되지만 H‒B식에서는 비

선형 관계식으로 표현된다. 실험실 삼축압축시험 결과에

의하면 암석시료의 파괴시 최소주응력()과 최대주응력

( )의 관계가 일반적으로 포물선 형태로 나타나므로 H‒B

식의 강도 예측성능이 M‒C식에 비해 우수한 것으로 평가

되고 있다. H‒B 파괴조건식은 본래 취성파괴가 주로 발생

하는 균질 등방성 경암 시험편에 대한 삼축압축시험 자료

를 바탕으로 개발되었으나 이후 여러 차례 개정과정을 통

연구논문

임광옥 · 이연규

한국자원공학회지

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해 연약 암반이나 이방성 절리암반에 대해서도 적용 가능

하도록 발전되었다. H‒B 파괴조건식의 개략적인 개발역

사는 Hoek and Marinos (2007)에 기술되어 있다. 국내에서

도 1980년대 후반 이후 H‒B 파괴기준식의 활용에 대한 연

구가 활성화되고 있는 추세이다(Jang and Yang, 1989; Lee,

2007).

H‒B 파괴조건식을 구성하는 강도정수를 추정하기 위해

Hoek et al. (1995)은 (Geological Strength Index) 지

수를 제안하였다. 이 지수는 현장암반의 불연속면 발달정

도와 불연속면의 상태를 수치로 표현한 것이며 0과 100 사

이의 값을 갖는다. 그러나 값을 이용하여 H‒B 강도정

수를 추정하는 초기의 방법에서는 =25를 경계로 강도

정수 와 의 추정식이 달라지는 불편함이 있었다. 이후 H‒

B 파괴조건식은 Hoek et al. (2002)에 의해 최신의 일반화

된 Hoek‒Brown (generalized Hoek‒Brown, GHB) 파괴조

건식으로 개정되었다. 2002년에 제안된 GHB 파괴조건식

에서는 값의 전 범위에 적용되는 강도정수 추정식들이

제안되었으며 암반의 교란정도를 반영하는 교란계수

(disturbance factor, D) 개념이 도입되었다.

그러나 GHB 파괴함수가 현장암반의 조건과 무결암의

강도를 결합하여 현장암반의 강도를 추정하는 실용적이고

체계적인 암반 파괴조건식임에도 불구하고 M‒C 파괴조건

식에 비해 사용의 빈도가 낮은 것이 현실이다. 이는 아직까

지 많은 암반공학 기술자들과 상업용 수치해석 프로그램들

이 암반의 강도를 M‒C 강도정수인 마찰각과 점착력으로

표현하고 있기 때문이다. 예를 들어 사면안정성 평가나 기

초의 지지력 산정과 같은 천부 암반구조물 해석의 주요 방

법론인 한계평형해석(limit equilibrium analysis)과 한계

해석(limit analysis)은 M‒C 파괴조건식을 이용하는 경우

가 많다(Chen, 2008; Lee, 2015). 이에 따라 GHB 파괴함수

를 M‒C식의 틀 안에서 활용하는 방법을 개발함으로써

GHB 파괴함수의 활용범위를 넓히기 위한 연구들이 시도

되고 있다(Sofianos and Halakatevakis, 2002; Yang and

Lin, 2004, 2010). 최근 Lee (2014b)와 Lee and Pietruszczak

(2016)은 GHB 파괴함수를 근사하는 비선형 Mohr 파괴포

락선을 해석적으로 표시하는 방법을 연구하였다.

GHB 암반의 등가마찰각( )과 등가점착력( )을 계산

하기 위해 Hoek et al. (2002)는 GHB 곡선과 M‒C 직선식

사이에 형성되는 상하 영역의 면적이 같아지는 조건을 적

용하였다. Lee (2015)는 Yang et al. (2004)와 Lee (2014b)

가 유도한 GHB 파괴조건식의 접선마찰각과 접선점착력

의 관계식을 줄기초(strip footing) 지지력의 상계해에 적용

한 후 상계해를 최소로 하는 접선마찰각을 수치해석적으로

구하고 이를 GHB 암반의 등가마찰각으로 추정하는 방법

을 제안하였다. 그러나 천부 GHB 암반의 M‒C 강도정수를

산정하는 Lee (2015)의 방법과 기존의 Heok et al. (2002)

방법의 상대적 우수성은 아직까지 검증되지 않았다.

이 연구에서는 줄기초 상계해의 최소화과정을 통해 GHB

암반의 등가 M‒C 강도정수를 산정하는 방법(Lee, 2015)과

GHB 곡선과 M‒C직선 사이의 면적 균형원리를 적용하여

등가 M‒C 강도정수를 산정하는 방법(Hoek et al., 2002)의

정량적 비교를 바탕으로 Lee (2015) 방법의 상대적 우수성

을 입증하고자 한다. 이와 더불어 관습적으로 사용되는 경

우가 많은 Hoek et al. (2002) 방법의 단점을 지적하고자 한

다. 이를 위하여 두 방법을 적용하여 계산한 등가마찰각 및

등가점착력을 이용한 유한요소해석에 의해 M‒C 암반의

줄기초의 지지력을 각각 계산한 후 이를 GHB 파괴함수를

직접 항복함수로 활용한 GHB 암반의 탄소성 해석결과와

비교하였다. 즉 GHB 항복함수를 직접 활용한 탄소성해석

에서 얻어진 지지력을 정해로 간주하고 두 방법의 정확성

을 비교 검토하였다. 줄기초 지지력의 정해 및 등가M‒C 강

도정수를 이용한 M‒C 암반의 지지력 계산을 위한 탄소성해석

은 범용 유한요소프로그램인 ABAQUS (Dassault Systemes,

2009)를 이용하여 수행하였다. ABAQUS에 내장되어 있지

않는 GHB 항복함수를 이용하여 지지력의 정해를 계산하기

위해 ABAQUS의 UMAT subroutine 기능을 활용하였다.

GHB 파괴함수의 접선마찰각‒접선점착력 관계식

가장 최신의 GHB 파괴함수(Hoek et al., 2002)에서 파괴

시 암반의 최대주응력()과 최소주응력()의 관계는 다

음 식 (1)과 같이 표시된다.

(1)

여기서 는 무결암의 일축압축강도이며 , , 는 GHB

암반의 강도정수로서 값을 이용하여 다음 식 (2)~(4)

과 같이 계산한다.

exp

(2)

exp

(3)

(4)

식 (2)에서 는 무결암의 강도정수로서 암석의 성인 및

조직(texture)에 따라 값이 결정된다(Hoek and Brown, 1997,


제54권 제1호

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Fig. 1. Mohr envelope of the GHB failure criterion and the

tangential M-C parameters (Lee, 2015).

Fig. 2. Evolution of tangential cohesion with the increment of

tangential friction angle.

Hoek et al., 1998). 식 (2)와 식 (3)의 D는 발파손상이나 응

력이완에 의한 암반의 교란정도를 나타내는 지수로서 교란

되지 않은 암반의 경우 0의 값을 가지며 심하게 교란된 암

반의 경우 1의 값을 갖는다.

GHB 파괴조건식을 파괴면에 작용하는 전단응력()과

수직응력()의 관계로 표시하면 Fig. 1과 같이 비선형

Mohr 파괴포락선 형태로 나타난다. Mohr원과 공통으로

접하는 파괴포락선 위의 한 점에서 접선을 가정할 때 이 접

선의 기울기 각을 접선마찰각()이라 하고 접선의 수직 절

편값을 접선점착력( )이라고 한다. 한편 GHB 파괴조건식

에서 인 경우Mohr 파괴포락선을 해석적으로 표시

할 있으며 그 유도 절차는 Ucar (1986)와 Lee (2014a)에서

소개되고 있다. 반면 ≠인 경우 명시적 Mohr 파괴포락

선 식은 아직까지는 유도되지 못하고 있으나 수치해석 방법

을 이용한다면 파괴포락선을 도시하는 것은 가능하다(Lee,

2015). 최근 Lee and Pietruszczak (2016)은 Taylor 전개를

활용하여 GHB 파괴함수의 Mohr 포락선을 근사적으로 표

현하는 방법을 제시하였다.

GHB 파괴조건식에 내포되어 있는 접선마찰각( )과 접

선점착력( )의 관계식이 Lee (2014b), Yang and Yin (2004,

2010)에 의해 유도되었으며 그 결과는 다음 식 (5)과 같다.

cos

sin

sin

tan

tan

sin

sin

sin

(5)

Fig. 2는 일 때 =20, 40, 60, 80, 100의 경우에 대

해 식 (5)를 도시한 것이다. 접선마찰각이 증가함에 따라 접선

점착력은 감소 후 다시 증가하는 경향을 보여준다. 감소구간은

파괴면에 작용하는 수직응력이 압축응력인 경우이며 반면에

증가하는 구간은 수직응력이 인장응력인 경우이다. 값이

증가할수록 즉, 암반이 양호할수록 접선점착력은 증가하며 점

착력이 최소일 때 마찰각 역시 소폭 증가함을 보여준다.

GHB 암반의 등가 M‒C 강도정수 산정

이 연구에서는 한계해석 상계정리(upper bound theorem)

를 적용하여 유도된 줄기초 지지력 추정식을 이용하여

GHB 암반의 등가마찰각을 산정하는 방법(Lee, 2015)과

Hoek et al. (2002)이 제안한 관계곡선 면적밸런스

법에 의한 등가마찰각 산정법의 정확성을 상호 비교하였

다. 각 산정법으로 계산된 M‒C 강도정수를 이용한 기초의

지지력을 GHB 파괴기준식을 직접 적용하여 수치해석적

으로 추정한 기초의 지지력과 비교하여 두 강도정수 산정

법의 신뢰성을 평가하였다. 다음은 두 M‒C 강도정수 산정

법의 특징을 간략히 설명한 것이다.

한계해석 상계정리를 이용한 줄기초 허용지지력 공식의

활용

한계해석 상계정리는 해석영역 내에서 운동학적으로 허

용 가능한 변위속도장(velocity field)을 가정하고 가상일

의 원리를 적용하여 파괴조건의 상한 값을 산정하는 방법

이다. 즉, 기초에 가해지는 외력에 의한 일률과 가정한 변위

속도장에 의해 암반 내에서 발생되는 내부에너지 소산율

(dissipation rate)이 같다는 조건을 적용하면 허용 지지력

의 상계값을 얻을 수 있다(Chen, 2008). 상계정리를 적용하

기 위해서는 해석영역에서 발생가능한 적절한 파괴 메카니

즘(failure mechanism)을 가정해야 하며 실제 파괴형상에 근

사한 메카니즘을 가정할수록 상계해는 정해에 가까워진다.

이 연구에서는 줄기초 허용지지력을 계산하기 위한 파괴



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Fig. 3. Prandtl failure mechanism.

Fig. 4. Relationships between the GHB and approximated

M-C criteria (Hoek et al., 2002).

메카니즘으로 Fig. 3과 같은 대칭형 프란틀(Prandtl) 메카

니즘(Chen, 2008)을 가정하였다. 그림에서 I 영역, II 영역,

기저부는 강체이며, III 영역은 하부경계가 대수나선형 곡

선인 변형체이다. 각 영역의 경계는 속도 불연속면이므로

이 경계를 따라 내부에너지 소산이 발생한다. 또한 변형체

영역 III은 그림과 같이 무수히 많은 삼각형으로 분할되어

있다고 가정할 수 있다. 이제 영역 III의 각 분할요소의 경계

면이 속도 불연속면이 되므로 각 경계면에서 발생하는 에

너지소산을 적분하여 영역 III에서 발생되는 전체 에너지

소산을 계산할 수 있다. 한편 각 불연속면에서 발생하는 변

형방향과 속도불연속면이 이루는 각도는 마찰각()과 같

아야 변위속도장의 적합성이 유지된다.

하중()의 작용으로 기초가 침하되는 속도를 라 할 때 외

력에 의한 일률 가 암반내 속도불연속면에서 발생하는 내

부에너지소산과 같아야 한다는 상계정리를 적용하면 다음 식

(6)과 같은 프란틀의 지지력 공식이 유도된다(Chen, 2008).

∙cot

tantan

(6)

여기서, 기초의 폭, 불연속면의 점착력이다. 이 공식

에 따르면 줄기초 지지력의 상계해는 마찰각과 점착력의

함수임을 알 수 있다. 한편 식 (6)의 유도과정에서는 암반의

자중이 고려되지 않았으며, 이러한 가정은 암반지지력 계

산과 같은 천부 암반구조물해석 과정에서 허용될 수 있을

것으로 판단된다.

이제 GHB 암반의 접선마찰각과 접선점착력의 관계식

(5)을 프란틀의 지지력 공식 (6)에 대입하면 GHB 암반에

설치된 줄기초 허용지지력의 상계해는 다음 식 (7)과 같이

마찰각의 함수로 표시될 수 있음을 발견할 수 있다.

cos

sin

sin

tan

tan

sin

sin

sin

×

cot

tan tan

(7)

그러므로 수치해석적 최적화 과정을 통해 를 최소로 하

는 마찰각 를 찾는다면 이를 줄기초가 위치하는 GHB 암

반의 등가마찰각( )으로 간주할 수 있으며, 이 등가마찰

각을 다시 식 (5)에 대입하면 대응되는 등가점착력( )을

계산할 수 있다(Lee, 2015). Yang et al. (2004)과 Yan and

Yin (2010)은 암반사면 안정성에 대한 상계해를 대상으로

이와 유사한 개념을 적용하여 GHB 암반의 등가마찰각과

등가점착력을 계산하였다.

GHB 파괴조건식 곡선과 M‒C식 사이의 면적균형을

고려하는 방법

선형 M‒C 파괴조건식이 암반의 강도 비선형성을 반영

하지 못한다는 결정적 단점이 있음에도 불구하고 산업현장

에서는 관습적으로 암반의 강도를 마찰각과 점착력으로 표

현하는 사례가 많다. 이러한 현실을 고려하여 가장 최근의

GHB 파괴조건식(Hoek et al., 2002)이 제안되는 과정에서

는 암반의 등가마찰각 및 등가점착력과 GHB 강도정수들

의 관계가 다음의 식 (8) 및 식 (9)과 같이 제안되었다.

sin

′

′

(8)


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Fig. 5. FE mesh used for the calculation of ultimate bearing

capacity.

′

′ ′

(9)

여기서, ′max이다.

식 (8)과 식 (9)은 최소주응력의 범위가 ′max

일 때 평면에서 GHB 곡선과 M‒C 직선 사이에 형성

되는 상부면적과 하부면적의 합이 동일하다는 조건에서 유

도된 결과이다(Fig. 4). 여기서 는 암반의 인장강도이다.

그러므로 이 식들은 최소주응력 범위 ′max에서

평균적인 마찰각과 점착력을 등가 M‒C 강도정수로 간주

하는 방법으로 이해할 수 있다.

식 (8)과 식 (9)를 이용하여 등가마찰각과 등가점착력을

계산하기 위해서는 최소주응력 범위의 상한값 ′max가 결

정되어야 한다. Hoek et al. (2002)는 터널과 사면해석의 경

우로 구분하여 ′max 를 결정하는 방법을 제안하고 있다.

터널의 경우 GHB 파괴조건식과 M‒C 파괴조건식을 적용

하여 수치해석으로 얻어진 각각의 특성곡선이나 지표침하

곡선이 근사하도록 ′max가 결정된다. 사면의 경우 두 파

괴조건식의 적용으로 계산된 Bishop의 원호파괴 형상과

파괴안전율이 근사하도록 ′max가 결정된다. 그러나 이

연구의 대상인 기초지지력 문제의 경우에 대해서는 ′max

를 결정하는 방법이 제시되어 있지 않다. 이에 따라 이 연구

에서는 Hoek and Brown (1997)이 GHB 암반의 평균적인

등가강도정수를 계산하기 위해 적용한 구속압 의 범위

( )를 참고하여 구속압의 상계값을 설정하

였다. 즉, 이 연구에서 가정한 의 상한값으로 ′max

가정하였다.

유한요소해석을 통한

M‒C 강도정수 산정법의 정확성 비교

앞서 설명한 두 가지 방법으로 산정된 등가마찰각과 등가

점착력을 적용하여 M‒C 항복조건식 기반의 2차원 평면변형

률 조건의 탄소성 유한요소해석을 실시하여 줄기초의 지지

력을 계산하였고, 그 결과를 GHB 파괴조건식을 직접 항복함

수로 활용한 유한요소해석 결과와 비교하였다. 탄소성해석

조건으로 탄성‒완전소성 거동과 상관유동법칙(associated

flow rule)을 가정하였다. 이 연구에서는 범용 유한요소코드

인 ABAQUS (Dassault systemes, 2009)가 활용되었다.

유한요소해석 모델

탄소성 유한요소해석에 사용된 모델은 Fig. 5와 같다. 모

델의 대칭성을 고려하여 우측 영역만을 해석모델로 설정하

였다. 줄기초 폭은 4 m로 가정하였으며(그림에 표시된 줄

기초 폭은 실제 폭의 1/2임) 모델의 가로와 세로 길이는 각

각 38 m, 28 m로 설정하였다. 모델 하부경계에서는 수평방

향과 수직방향의 변위를 구속하였고, 좌우 측면에서는 수

평변위만을 구속하였다. 해석영역을 총 2,700개의 4절점 4

각형 유한요소로 분할한 모습이다. 기초 바닥에 위치하는

절점들의 연직 하향변위를 기초하부의 암반이 항복할 때까

지 점진적으로 증가시키는 방법으로 극한지지력을 계산하였다.

ABAQUS 프로그램이 제공하는 탄소성해석 기능에는

M‒C 항복모델이 포함되어 있지만 GHB 항목모델은 제공

되지 않는다. 그러나 ABAQUS 프로그램에서 제공하는

UMAT 서브루틴 기능을 활용하면 사용자가 개발한 탄소

성 구성방정식을 포트란 코드로 작성하여 실행시키는 것이

가능하다. 이 연구에서는 Clausen and Damkilde (2008a,b)

이 개발한 GHB 항복함수 기반의 탄소성구성법칙을 UMAT

기능을 이용하여 실행시켰다.

수치해석의 입력자료

수치해석에 사용한 암반의 탄성계수는 Hoek et al. (2002)

에서 제시한 다음의 경험식 (10)을 활용하여 계산하였다.

⋅ (10)

식 (10)에서 무결암의 일축압축강도가 MPa인

경우 다음 식 (11)을 이용하여 탄성계수를 계산한다.

⋅ (11)



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Fig. 6. Variation of the contact pressure with the ertical

displacement at the base of the footing.

Table 1. Input data for ultimate contact pressure estimation of GHB rock mass

Rock quality (MPa) (GPa)

D=0 D=1

Very poor 8 20 20 0.8 0.4 0.3

Average 12 80 50 8.9 4.5 0.25

Very good 25 150 80 56.2 28.1 0.25

Table 2. Equivalent M‒C parameter values

D=0 D=1

Rock qualityHoek et al. (2002) Upper bound solution Hoek et al. (2002) Upper bound solution

(MPa) (MPa) (MPa) (MPa)

Very poor 0.503 19.788 0.161 33.716 0.136 5.564 0.0079 30.234

Average 4.21 32.069 5.72 30.197 2.161 18.368 1 29.364

Very good 15.351 47.205 67.71 29.903 11.979 41.269 33.74 29.710

이 연구에서는 암질의 상태를 3가지 경우 즉, 양호, 불량,

보통의 경우로 나누어 해석을 진행하였다. Table 1은 이 연

구에서 가정한 3가지 경우에 해당하는 무결암의 일축압축

강도( ), , , 탄성계수, 포아송비를 보여준다. 등가

M‒C 강도정수를 산정 결과에 암반의 교란계수가 미치는

영향을 살펴보기 위해 교란계수는 무교란(D=0)과 심한 교

란(D=1)의 2가지 경우를 가정하였다. Table 2는 Table 1의

자료를 이용하여 각각 Hoek et al. (2002)의 방법과 줄기초

지지력의 상계해를 활용한 Lee (2015)의 방법으로 계산된

등가 마찰각 및 등가점착력을 제시한 것이다. GHB 암반의

강도정수 , , 는 값의 함수이므로 식 (7)에 표현된

바와 같이 암질상태에 따라 줄기초 지지력의 상계값은 변

화한다. 그러므로 암반기초의 파괴시 암질상태에 따라 파

괴면에 작용하는 수직응력의 크기가 달라진다. 이에 따라

상계정리를 바탕으로 계산된 Table 2의 등가 강도정수들은

파괴면 형성에 직접 관련된 수직응력조건을 반영하고 있다.

해석결과 분석

Fig. 6은 GHB 암반의 경우 계산된 기초의 하향변위와 기

초바닥에서 발생하는 연직방향 수직응력 즉, 암반과 기초

접합부의 접지압(contact pressure)의 관계를 도시한 것이

다. 접지압과 기초 바닥면적의 곱을 지지력으로 간주할 수

있다. 하향변위의 증가에 따라 접지압이 서서히 증가하다

가 한계변위에 도달하면 이 후 접지압은 더 이상 증가하지

않는다. 한계변위 도달 시점을 암반기초의 항복 즉, 파괴시

점으로 간주할 수 있다. 이 연구에서는 최대 접지압을 줄기

초의 극한 지지압으로 간주하였다. 등가 M‒C 강도정수를

적용한 M‒C 암반의 극한 지지력도 동일한 방법으로 결정

하였다. Fig. 7은 GSI=20이고 D=1인 GHB 암반의 파괴시

점에서 기초 하부의 변형형상과 최대 소성전단변형률 분포

를 보여준다. 모델의 대칭성을 고려하여 기초의 우측 반단

면 만을 실제로 해석하였지만 그림에서는 우측 반단면 해

석결과의 거울상인 좌측 반단면을 함께 나타내었다. 기초

암반의 변형형태는 프란틀 파괴메카니즘에서 가정한 형태

와 유사한 모양임을 보여준다.

GHB 항복함수를 직접 적용하여 계산한 줄기초 극한 접

지압과 GHB 암반의 등가 M‒C 강도정수를 적용한 M‒C 암

반의 극한 접지압을 비교하여 Table 3과 Table 4에 제시하

였다. GHB 파괴조건식을 직접 적용한 접지압 해석결과를


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Fig. 7. Distribution of the maximum plastic shear strain at the instant of footing failure.

Table 3. Ultimate contact pressure based on GHB and equivalent M‒C criteria (D=0)

Rock quality (MPa) ‒ GHB (MPa), M‒C

Hoek et al. (2002) Upper bound solution

Very poor 3.4 7.5 (+121%) 6.8 (+101%)

Average 95.7 157.9 (+65%) 184.4 (+93%)

Very good 1077.7 3175.6 (+195%) 2130.3 (+90%)

Table 4. Ultimate contact pressure based on GHB and equivalent M‒C criteria (D=1)

Rock quality (MPa) ‒ GHB (MPa), M-C

Hoek et al. (2002) Upper bound solution

Very poor 0.16 0.92 (+469%) 0.25 (+55%)

Average 17.42 29.63 (+70%) 30.12 (+73%)

Very good 549.76 1086.79 (+98%) 1045.06 (+90%)

정해로 가정하였을 때 등가 M‒C 강도정수값을 적용한 M‒

C 암반의 극한 접지압은 정해의 경우보다 과대 평가된다는

것을 해석결과는 보여준다. 이러한 경향은 Merifield et al.

(2006)의 연구에서도 보고된 바 있다. 인 경우 정해에

비해 약 65 ~ 195% 과대평가되며, 인 경우 55 ~ 469%

까지 과대평가되는 것으로 나타났다. 상계정리를 이용하

여 등가 M‒C 강도정수를 추정하는 경우 교란계수의 증가

는 줄기초의 극한 지지력 예측성능을 향상시켰으나, 불량

암반과 보통 암반을 대상으로 한 Hoek et al. (2002)의 등가

M‒C 강도정수 추정법은 이와 반대의 경향을 보여 주었다.

대체로 상계정리를 바탕으로 등가 M‒C 강도정수를 계산

하는 방법이 Hoek et al. (2002)의 방법에 의해 M‒C 강도정

수를 산정하는 방법보다 극한 접지압을 과대평가하는 비율

이 낮은 것으로 나타났다. 즉, 천부 암반의 기초지지력 해석

의 경우 상계정리를 활용하여 GHB 암반의 등가 M‒C 강도

정수를 추정하는 Lee (2015)의 방법이 Hoek et al. (2002)

에서 제시된 등가 M‒C 강도정수 결정법보다 정해와의 오

차가 줄어드는 사실을 보여준다.

암질상태의 변화에 따른 등가 M‒C 강도정수 추정법의 정

확성을 분석한 결과 보통 암질의 경우에서 지지력 과대평가

비율이 65 ~ 93% 정도로 가장 신뢰성이 높은 것으로 나타났

다. 반면에 Hoek et al. (2002)의 등가 M‒C 강도정수 산정법

을 매우 불량한 암반(GSI=20, D=1)에 적용하여 M‒C 강도

정수를 산정하는 경우가 정해와 가장 큰 차이를 나타냈다.

Fig. 8는 불량 암반을 대상으로 GHB 파괴조건식과 등가

M‒C 강도정수로 표현한 M‒C 파괴조건식을 평면

에 함께 도시한 것이다. MPa이므로 이 연구에서 고

려하는 최소주응력()의 최대값은 5 MPa이다. Hoek et al.



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Fig. 8. GHB failure envelope and equivalent M‒C envelopes

for very poor quality rock.

Fig. 9. Influence of the disturbance factor D on the determi-

nation of equivalent M‒C strength parameters.

(2002)의 방법은 전체 최소주응력 범위에 대해 평균적인 M‒

C 강도정수가 산정된다는 것을 잘 보여준다. 반면에 상계

정리를 이용하는 방법은 MPa 부근에서 M‒C 직선

이 GHB 곡선과 접하고 있다. 이는 상계정리를 이용하는 방

법이 기초지지력을 정해에 근사시키는데 촛점이 맞추어져

있으므로 불량 암반의 경우에는 값이 작은 위치에서 M‒

C 직선이 GHB 곡선과 일치하게 되며 양호암반의 경우에

는 값이 큰 위치에서 M‒C 직선이 GHB 곡선과 일치하는

특징을 나타내기 때문이다. 교란계수(D)의 변화에 따른

GHB 곡선과 상계정리를 이용해 결정한 M‒C 직선의 관계를

보여주는 Fig. 9가 이러한 사실을 더 분명히 확인시켜준다. 여

기서 교란계수(D)의 증가는 암질이 불량해 짐을 의미한다.

교란계수의 증가함에 따라 GHB 곡선과 M‒C 직선의 접점은

값이 더 작은 곳에서 위치하고 있음을 그림은 잘 보여준다.

그러므로 Hoek et al. (2002)이 제안한 GHB 암반의 등가 M‒

C 강도정수 계산법은 의 범위 설정에 큰 영향을 받을 수 있

으나, 상계정리에 의한 등가 M‒C 결정방법에서는 의 범위

를 설정할 필요가 없고 대신 암반의 양호도가 등가 강도정수

결정에 직접적인 영향을 미친다는 사실을 잘 알 수 있다. 암반

기초가 위치하는 천부암반의 경우 최소주응력의 범위를 객관

적으로 설정하는 것이 매우 어렵다. 이러한 점을 고려할 때 줄

기초 지지력 상계해를 이용하여 GHB 암반의 등가 M‒C 강도

정수를 산정하는 방법이 Hoek et al. (2002)의 방법에 비해 상

대적으로 대표성이 우수한 천부암반의 등가 M‒C 강도정수

추정결과를 얻을 수 있다는 사실을 해석결과는 보여준다.

결 론

이 연구에서 천부 GHB 암반을 대상으로 한계해석법으

로 유도된 줄기초 극한 지지력의 상계해를 바탕으로 한 Lee

(2015)의 등가 M‒C 강도정수 계산법과 Hoek et al. (2002)

의 등가 M‒C 강도정수 추정 방법의 정확성을 2차원 유한

요소해석을 통해 비교 검증하였다. 비교 검증에서 정해는

GHB 파괴함수를 항복함수로 직접 활용하는 탄소성 구성

법칙을 ABAQUS 프로그램의 UMAT 서브루틴 기능으로

실행시켜 구한 값으로 가정하였다.

이 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다.

1. 등가 강도정수를 이용한 M‒C 암반의 줄기초 극한지지력

은 GHB 파괴조건을 직접 적용하여 계산한 극한지지력보

다 높은 값을 나타내었다. 즉, 등가 M‒C 강도정수를 활용

하여 GHB 암반의 강도를 평가하는 방법은 실제 암반의

강도를 과대 평가할 가능성이 있음을 보여 주었다. 그러므

로 GHB 강도정수에 대응되는 M‒C 강도정수를 추정한

후 이를 이용하여 암반구조물을 설계하는 경우 파괴안전

율 산정에 많은 주의가 필요함을 알 수 있었다. 이러한 결

과는 천부암반의 강도를 평가할 필요가 있을 때 가능한

GHB 파괴조건식을 직접 활용해야한다는 점을 말해준다.

2. 줄기초 극한지지력 상계해를 이용하여 등가 M‒C 강도

정수를 산정하는 경우 교란계수()가 증가함에 따라 지

지력이 과대평가되는 비율은 감소하는 경향을 나타내

었다. 3가지 암질 조건 중 가장 불량한 암질의 경우가 교

란계수 증가에 따른 지지력 과대평가 감소폭이 가장 크

게 나타났다. 반면 Hoek et al. (2002)의 방법으로 등가

M‒C 강도정수를 계산한 경우 교란계수 증가에 따라 양

호한 암질에서는 지지력 과대평가 비율이 감소하였으

나 보통 암질과 불량 암질에서는 과대평가 비율이 증가


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하는 것으로 나타났다.

3. Lee (2015)의 방법과 Hoek et al. (2002)의 방법을 활용

하여 천부 GHB 암반의 등가 M‒C 강도정수를 계산하였

을 때 상대적으로 Lee (2015)의 방법이 우수한 것으로

나타났다. Lee (2015)의 방법으로 계산한 M‒C식은 최

소주응력의 범위에 상관없이 암반의 양호도에 따라

GHB 파괴곡선과의 일치점이 변화는 것을 확인하였다.

암질이 불량할수록 두 파괴함수가 일치하는 최소주응

력값이 작아짐을 확인하였다. 이러한 사실은 암질이 불

량할수록 낮은 최소주응력 수준에서 등가 M‒C 강도정

수가 산정되어야함을 나타낸다.

사 사

이 논문은 2016년 정부(교육부)의 재원으로 한국연

구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사업임(NRF-

2016R1D1A1A09917357).

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이 연 규

1987년 서울대학교 공과대학 자원공학과

공학사

1989년 서울대학교 대학원 자원공학과 공

학석사

1994년 서울대학교 대학원 자원공학과 공

학박사

현재 군산대학교 해양건설공학과 교수

(E-mail; [email protected])

임 광 옥

2016년 군산대학교 해양과학대학 해양건

설공학과 공학사

현재 군산대학교 대학원 해양산업공학과 석사과정

(E-mail; [email protected])

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