1

香港中學文憑考試

數學 延伸部分

單元一 (微積分與統計) 2015年11月

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內容簡介

考試形式

題目介紹

評卷參考

考生表現

答卷示例

一般建議

考試形式

3

考試時間 : 2小時30分鐘

本單元只考一卷

本卷分為兩部，全部題目均須作答

考生須具有必修部分及初中課程基礎部分與非基礎部分的知識

題目介紹 – 題 2

4

A 及 B 為兩事件。 假定 P(A) = 0.3 、 P(B) = 0.28

及 ，其中 及 分別為 A 及

B 的互補事件。

(a) 求 及 。

(b) A 與 B 是否互斥？ 試解釋你的答案。

6.0)|(P AB

需對條件概率有較深入認識

需理解兩事件互斥的定義

BA

)(P BA )(P BA

題目介紹 – 題 8

5

(a) 將 表為

的形式，其中 f(x) 及 g(x) 均為多項式。

(b) 求 。

需使用積法則及鏈式法則

需對多項式的定義有清晰認識

)1ln()1(d

d 26 xx

x)1ln()(g)(f

2 xxx

xxx d)1ln(25

題目介紹 – 題 10

6

每分鐘於戲院 A 購票的顧客人數可用平均值為 3.2 的泊松分佈模擬。 下表顯示一顧客於戲院 A 的購票數目的概率分佈：

購票數目 1 2 3 4 5 6 ≥ 7

概率 0.12 0.7 0.08 0.04 0.03 0.02 0.01

題目介紹 – 題 10 （續）

7

(a) 求在某一分鐘內戲院 A 有少於 4 名顧客購票的概 率。 (b) 求於戲院 A 第 8 名購票的顧客是第 3 名購買 2 張 門票的顧客的概率。 (c) 求在某一分鐘內戲院 A 恰有 3 名顧客購票且其中 每人均購買 2 張門票的概率。

需運用二項、幾何和泊松分佈

需使用概率乘法定律

題目介紹 – 題 10 （續）

8

(d) 求在某一分鐘內戲院 A 恰有 3 名顧客購票且他們 共購買 6 張門票的概率。 (e) 已知在某一分鐘內戲院 A 有少於 4 名顧客購票， 求他們共購買 6 張門票的概率。

需對排列與組合有較深入認識

需使用條件概率

題目介紹 – 題 12

9

在一實驗中，某液體的溫度（以 oC 為單位）可用下式模擬：

tba

S21

200

其中 a 及 b 均為常數，且 t 為自該實驗開始起計所經過的時數。

(a) 將 表為 t 的線性函數。

1

200ln

S

，

題目介紹 – 題 12 （續）

10

(b) 現知在 (a) 中所得的線性函數的圖像的垂直軸及 水平軸上的截距分別為 ln 4 及 4 。

(i) 求 a 及 b 。 (ii) 求 及 。 (iii) 描述 S 及 在該實驗開始後的首 48 小時 如何變化。 試解釋你的答案。

t

S

d

d

2

2

d

d

t

S

t

S

d

d

題目介紹 – 題 12 （續）

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需對指數函數的求導法有較深入認識

需使用商法則求函數的一階及二階

導數，並分析其變化

評卷參考 – 題 10

12

(a) 1M: 給四個情況

1M: 給泊松概率

1A: 給正確答案

(b) 1M: 給二項概率

1A: 給正確答案

(c) 1M: 給所需概率的正確數式

1A: 給正確答案

評卷參考 – 題 10 (續)

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(d) 1M: 給利用 (c)

1A: 給任何一項正確

1A: 給正確答案

(e) 1M: 給分子利用 (d)

1M: 給分母利用 (a)

1A: 給正確答案

評卷參考 – 題 12

14

(a) 1M: 給移項的過程

1A: 給正確答案

(b)(i) 1A: 給常數 a 的正確答案

1A: 給常數 b 的正確答案

(ii) 1M: 給

1A: 給一階導數的正確答案

tb

t2

d

d

評卷參考 – 題 12 (續)

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(b)(ii) 1M: 給商法則

1A: 給二階導數的正確答案

(iii) 1M: 給利用一階導數的正負值

1A: 給對 S 的正確結論 並顯示理由

1M: 給運用一階導數判別法

1A: 給正確的一階導數判別法

1A: 給對 的正確結論並顯示理由 t

S

d

d

考生表現

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級別 2014百分率 2015百分率

第5**級 2.7% 2.6%

第5*級或以上 10.7% 12.1%

第5級或以上 25.4% 30.8%

第4級或以上 51.2% 54.7%

第3級或以上 72.3% 73.5%

第2級或以上 87.4% 87.4%

第1級或以上 95.4% 95.1%

考生表現 – 題 2

17

在(a)，整體表現甚佳。大部分考生能

求得 的值，但少數考生未

能求得 的值。

)P( BA

)P( BA

考生表現 – 題 2 （續）

18

在(b)，整體表現平平。 很多考生混

淆了互斥事件與獨立事件，只有部分

考生能得出 來推論出 A

與 B 是互斥事件。

0)P( BA

考生表現 – 題 8

19

在(a)，整體表現良好。 很多考生能應用積法

則求得 ，但部分考生

未能掌握多項式的定義，因而誤以

而不是

作為答案。

)1ln()1(d

d 26 xxx

)1ln(61

2)1(

25

2

6

xxx

xx

)1ln(6)222(2535 xxxxx

考生表現 – 題 8 （續）

20

在(b)，整體表現平平。 很多考生選用

錯誤的代換來求 ，

又很多考生在求積分時，出現不小心

的計算錯誤。

x

x

xx d

1

2)1(

2

6

考生表現 – 題 10

21

在(a)，整體表現甚佳。少數考生遺漏了

題目所要求泊松概率之和的首項。

在(b)，整體表現甚佳。少數考生在所需

概率的形式上錯誤地多乘了不需要的泊

松概率。

考生表現 – 題 10 （續）

22

在(c)，整體表現甚佳。 少數考生誤以

而不是

作計算。

22.33

)7.0(!3

2.3

e 32.33

)7.0(!3

2.3

e

考生表現 – 題 10 （續）

23

在(d)，整體表現良好。部分考生未能正確數出

有多少個有關情況，例如錯誤地將 3 而不是

3! 乘以概率 (0.12)(0.7)(0.08) 。

在(e)，整體表現良好。部分考生未能察覺題目

要求的是一個條件概率，又部分考生未能在題

目所要求條件概率的分子乘上所需的泊松概率。

考生表現 – 題 12

24

在(a) ，整體表現甚佳。大部分考生能將

表為 t 的線性函數。

在(b)(i) ，整體表現甚佳。少數考生未能

利用線性函數的斜率來求得未知數 b。

1

200ln

S

考生表現 – 題 12 （續）

25

在(b)(ii) ，整體表現平平。 很多考生在

求導數 及 時，未能正確地

對 t 微分 2-0.5t 。

2

2

d

d

t

S

t

S

d

d

考生表現 – 題 12 （續）

26

在(b)(iii) ，整體表現甚差。 只有少數考

生能利用 的正負值來判定 S 的變

化。大部分考生未能正確地判定

正負值的轉變。

2

2

d

d

t

St

S

d

d

答卷示例

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http://www.hkeaa.edu.hk/tc/hkdse/hkdse_subj.html?A1&1&4

一般建議

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考生應注意下列各點：

在運算時加倍留心，以避免粗心大意的錯誤

加強理解互斥事件與獨立事件之間的不同處

加強理解多項式與一般數式之間的不同處

一般建議（續）

29

多做涉及根式的解方程練習

多做求 的練習，其中 a 及 b 均為常數

在處理自然對數時寫出「ln」而不是「In」

加倍留意題目所要求最終答案的準確度，必

須為中間步驟的數值保留足夠的準確度

tba

td

d

30

謝謝!