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電阻電路Resistive Circuits

Chen-Ching Ting(丁振卿)

Mechanical Engineering, National Taipei University of Technology(國立台北科技大學機械系)

Homepage: http://cct.me.ntut.edu.tw/E-mail: [email protected]

October 16, 2014

Chen-Ching Ting (丁振卿) Mechanical Engineering, National Taipei University of Technology (國立台北科技大學機械系) Homepage: http://cct.me.ntut.edu.tw/ E-mail: [email protected]電阻電路Resistive Circuits October 16, 2014 1 / 60

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課程大綱

1 串聯與並聯電阻

2 對偶性

3 控制電源電路

4 線性與重疊定理

5 戴維寧與諾頓定理



參考文獻

A.B. Carlson, Circuits, Cengage Learning, 歐亞書局有限公司,ISBN-13: 978-981-2650-98-9, Chapter 2, 2005.

D. Halliday and R. Resnick, Fundamentals of Physics, John Wiley &Sons, Inc., 文景書局有限公司, 1986.

K.A. Charles and N.O.S. Matthew, Fundamentals of Electric Circuits,Mc Graw Hill, 東華書局, ISBN=978-1-259-07139-3, 2013.



串串串聯聯聯與與與並並並聯聯聯電電電阻阻阻



串聯電阻 I

串聯電阻(Series Resistance)：根據克希霍夫電流定律得知，流進節點的電流等於流出同一節點的電流，也就是串聯電路之流過各電阻的電流皆相同。

iser = i1 = i2 (1)

又根據克希霍夫電壓定律得知，迴路電壓之上升電壓會等於下降電壓，也就是所有串聯電阻的兩端電壓等於個別電阻的電壓總和。

vser = v1 + v2 (2)


串聯電阻 II

再根據歐姆定律可得：

v = Ri (3)

將式(3)代入式(2)得到：

Rser iser = R1i1 + R2i2 (4)

Rser = R1 + R2 (5)

另外，根據歐姆定律(v = Ri)，當電流為固定值時，即i=constant，則電壓與電阻成正比關係：

R ∝ v (6)


串聯電阻 III

也就是當串聯電阻電路之總電壓及所有電阻值為已知時，可透過電壓與電阻之正比關係式快速求得個別電阻之電壓：

R1v1

=Rservser

(7)

v1 =R1Rser

vser =R1

R1 + R2vser (8)

R2v2

=Rservser

(9)

v2 =R2Rser

vser =R2

R1 + R2vser (10)


串聯電阻 IV

當串聯N個電阻之電路時，其總串聯電阻(Rser )與個別電阻(RN)之電位(vN)分別為：

Rser = R1 + R2 + . . .+ RN (11)

vN =RNRser

vser =RN

R1 + R2 + . . .+ RNvser (12)

當所有電阻值皆為R時，則

Rser = NR (13)

vN =vserN

(14)

另外，調整電壓或電位的儀器稱為電位器(Potentiometer, pot)，其電路如下圖所示：


串聯電阻 V


串聯電阻VI

如上圖，將電阻值為RAB的電阻分成RAW與RWB，因為電阻一分為二屬串聯形式，根據克希霍夫電流定律，流通電阻的電流為固定值，再依據歐姆定律，得到電壓與電阻成正比關係：

vW =RAWRAB

Vs (15)

其中，Vs為整個電阻兩端的電壓。電位器又稱為可變電阻器(VariableResistor, VR)或簡稱可變電阻，是一種具有三個端子，其中有兩個固定接點與一個滑動接點，可經由滑動而改變滑動端與兩個固定端間電阻值的電子零件，可兼作音量與電源開關的功能。



課堂練習-音響聲音放大器 I

如上圖(a)所示，音響聲音放大器由4 kΩ的電位器所完成，其電源電壓vs(t)串聯一個1 kΩ電阻，透過放大器輸出電壓vout(t) = 100vin(t)，求解當vout(t) = 60vs(t)時的可變電阻大小？其中，假設電流並未流向放大器，也就是iW = 0。


課堂練習-音響聲音放大器 II

解解解答答答：：：由左圖(b)，根據克希霍夫電流定律，串聯迴路之電流為固定值；再由歐姆定律，電壓與電阻成正比關係：

vin(t) =RAW

1 kΩ + (4 kΩ− RAW + RAW )vs(t) =

RAW5 kΩ

vs(t) (16)

再由vout(t) = 100vin(t) = 60vs(t)得到vin(t) = 0.6vs(t)，因此，

RAW5 kΩ

= 0.6 (17)

RAW = 3 kΩ (18)


課堂練習-音響聲音放大器 III

最後檢查最大放大電壓。將可變電阻調到最大的4 kΩ得到：

vout(t) = 100vin(t) (19)

= 1004 kΩ

1 kΩ + 4 kΩvs(t) (20)

= 80vs(t) (21)

也就是說，此音響聲音放大器的最大輸出電壓為vout(t) = 80vs(t)。


並聯電阻 I

並聯電阻(Parallel Resistance)：根據克希霍夫電壓定律得知，迴路的電壓上升值會等於電壓下降值，也就是並聯電路之各電壓值皆相同。

vpar = v1 = v2 = . . . = vN (22)

又根據克希霍夫電流定律得知，流進節點的電流等於流出同一節點的電流，也就是流進並聯電阻前的節點電流等於通過並聯電阻的各電流之總和。

ipar = i1 + i2 + . . .+ iN (23)


並聯電阻 II

再根據歐姆與姆歐定律可得：

v = Ri (24)

i = Gv (25)


vparRpar

=v1R1

+v2R2

+ . . .+vNRN

(26)

1

Rpar=

1

R1+

1

R2+ . . .+

1

RN(27)


Gparvpar = G1v1 + G2v2 + . . .+ GNvN (28)

Gpar = G1 + G2 + . . .+ GN (29)


並聯電阻 III

另外，根據姆歐定律(i = Gv)，當電壓為固定值時，即v=constant，則電流與電導成正比關係：

i ∝ G (30)

也就是當並聯電阻電路之總電流及所有電導值為已知時，可透過電流與電導之正比關係式快速求得個別電阻之電流：

iN =GNGpar

ipar =GN

G1 + G2 + . . .+ GNipar (31)

兩個電阻(R1與R2)的並聯等價電阻：

Rpar = (1

R1+

1

R2)−1 =

R1R2R1 + R2

(32)

R1 =R2Rpar

R2 − Rpar; R2 =

R1RparR1 − Rpar

(33)

i1 =G1Gpar

i =RparR1

i =R2

R1 + R2i (34)


課堂練習-並聯電阻

如上左圖(a)所示，並聯電阻電路整理成右圖(b)的等價電路，當ix = 2 A時，求解Rx？另外，求解迴路電壓及整體電路之等價電阻？

解解解答答答：：：由上左圖(a)，根據克希霍夫電壓定律，並聯之電壓為固定值；再由歐姆定律，電流與電阻成反比關係：

1

12+

1

24+

1

8=

1

4(35)

ix =4

4 + Rx× 10 A = 2 A , Rx = 16 Ω (36)

所以，迴路電壓v為：

v = Rx ix = 32 V , Rpar =4× 164 + 16

= 3.2 Ω



課堂練習-電烤爐

如左圖所示，電烤爐可透過切換開關改變電阻大小，進而改變輸出功率，其中，R1 = 12 Ω、R2 =24 Ω、vs = 110 V，求解可能的輸出功率？

解解解答答答：：：由上圖所示，電阻器可透過三個端點進行調整，創造出並聯、串聯、單獨使用等四個變化。

1 並聯，將上兩個端點合併成一個端點：Rpar = (

1R1

+ 1R2 )−1 = 8 Ω；p = v

2s

Rpar= 1800 W

2 串聯，最底下的端點不使用：Rser = R1 + R2 = 36 Ω；p =

v2sRser

= 400 W

3 R1，最上面的端點不使用：R1 = 12 Ω；p =v2sR1

= 1200 W

4 R2，中間的端點不使用：R2 = 24 Ω；p =v2sR2

= 600 W



課堂練習-電阻梯

如左圖(a)所示，電阻串聯與並聯共存的電路，因為其電路圖看起來像平躺的梯子，因此稱為電阻梯(Resistive Ladder)，求解迴路電流i、電功率損耗p、電壓vx與vy？

解解解答答答：：：首先將電路整理成左圖(c)之等效電路以求出i及p： i = 40 V /8 kΩ = 5 mA (37)

p = 40 V × i = 200 mW (38)

接著重新展開電路到左圖(b)與(a)，根據克希霍夫電壓定律求得vx及vy：

vx = 40 V − 2 kΩ× 5 mA = 30 V (39)

vy =5

4 + 5 + 6vx = 10 V (40)



對對對偶偶偶性性性



對偶性 I

對偶性(Duality)：所謂電路的對偶性，簡單來說就是兩個不同電路間，個別以電流及電壓表達之數學方程式為相同，也就是其中一個電路以電流表達之數學方程式，若將電流改成電壓，則得到的數學方程式為另外一個電路，此兩個電路稱為電路的對偶性。若進一步分析電阻與電導，也會得到相同對應的數學方程式。

串聯：v = (R1 + R2 + . . .+ RN)i (41)

並聯：i = (G1 + G2 + . . .+ GN)v (42)


對偶性 II


課堂練習-對偶電路

如左圖(a)所示，請繪製圖(a)的對偶電路圖？

解解解答答答：：：對偶電路繪製原則是，電壓源與電流源互換、電阻與電導互換、串聯與並聯互換。根據圖(a)所示，對偶電路圖將會有一個12 A電流源、一個5 V電壓源、三個電導分別是2 S, 3 S, 8 S，接著，圖(a)電路左邊的串聯電阻改成並聯電導，得到圖(b)為可能的對偶電路圖，再進行檢查確認。

圖(a)：根據KCL與KVL得到

i1 =v2

8 Ω+ 5 A

v2 = 12 V − (2 Ω + 3 Ω)i1

圖(b)：根據KVL與KCL得到

v1 =i2

8 S+ 5 V

i2 = 12 A− (2 S + 3 S)v1



控控控制制制電電電源源源電電電路路路



控制電源 I

理想電源(Ideal Source)：指的是完全獨立的電源(Independent Source)，其電壓與電流不受其他電源影響。

控制電源(Controlled Source)：不同於理想電源，控制電源指的是相依電源(Dependent Source)，也就是其電壓與電流會受其他電源影響，控制電源一般以鑽石形狀符號表達。如：電壓放大器。


控制電源 II

控制電源一般分成四大類，即：

電壓受控制之電壓源(Voltage-controlled Voltage Source, VCVS)：為電壓受其他電源影響的電壓源，如下圖(a)所示，VCVS所提供之電壓vc受到另一電壓源vx的影響，其關係式：

vc = µvx (43)

其中，vx稱為控制變數、µ為電壓放大倍數。


控制電源 III

電流受控制之電流源(Current-controlled Current Source, CCCS)：為電流受其他電源影響的電流源，如下圖(b)所示，CCCS所提供之電流ic受到另一電流源ix的影響，其關係式：

ic = βix (44)

其中，ix稱為控制變數、µ為電流放大倍數。


控制電源 IV

電壓受控制之電流源(Voltage-controlled Current Source, VCCS)：為電壓受其他電源影響的電流源，如下圖(c)所示，VCCS所提供之電流ic受到另一電壓源vx的影響，其關係式：

ic = gmvx (45)

其中，vx稱為控制變數、gm稱為跨導(Trans-conductance)，即自電壓轉成電流。


控制電源 V

電流受控制之電壓源(Current-controlled Voltage Source, CCVS)：為電流受其他電源影響的電壓源，如下圖(d)所示，CCVS所提供之電壓vc受到另一電流源ix的影響，其關係式：

vc = rmix (46)

其中，ix稱為控制變數、rm稱為跨阻(Transresistance)，即自電流轉成電壓。


課堂練習-場效應電晶體放大器

左圖為使用場效應電晶體所製作的放大器電路圖，其中，gm = 5× 10−3 S = 5 mS稱為跨導(Trans-conductance)，求解輸出電壓vout與輸入電壓vin之關係式？

解解解答答答：：：根據KVL及串聯電阻求出上圖左迴路的電壓關係：

vg =5 Ω

1 Ω + 5 Ωvin =

5

6vin (47)

接著，由上圖及根據VCCS控制電源得到：

iout = −gmvg (48)

再根據歐姆定律分析上圖右迴路得到：

vout = 6 kΩ× iout = 6 kΩ× (−gmvg ) (49)

= 6 kΩ× [−5 mS × 56vin] = −25vin (50)

此種放大器稱為反相放大器(Inverting Amplifier)。Chen-Ching Ting (丁振卿) Mechanical Engineering, National Taipei University of Technology (國立台北科技大學機械系) Homepage: http://cct.me.ntut.edu.tw/ E-mail: [email protected]電阻電路Resistive Circuits October 16, 2014 30 / 60


課堂練習-VCVS分析

左圖(a)的電路包含一個VCVS電源在右迴路，而且vc = 3v2，求解i1與vs之關係式？

解解解答答答：：：先分析圖(a)的右迴路，將串聯電阻改成等價電阻，重新繪製電路圖如圖(b)所示，根據KVL：

v2 + 3v2 = 12i1 ⇒ v2 = 3i1 (51)

再分析圖(a)的左迴路，根據KVL：

vs − 4i = v2 = 3i1 (52)圖(a)上方中間的節點，根據KCL：

i = i1 +v26

= 1.5i1 (53)

vs = 4i + v2 = 4(1.5i1) + 3i1 = 9i1 (54)

i1 =vs

9 Ω(55)



廣泛的等價電阻

等價電阻(Equivalent Resistance)也可用在包含控制電源的負載電網(LoadNetwork)上，稱為廣泛的等價電阻(Generalized Equivalent Resistance)，如下圖(a)所示為負載電網，其中，負載電網的定義是：兩端點元件，其中包含控制電源與電阻。圖(b)為其廣泛的等價電阻。

求解負載電網的等價電阻時，也適用歐姆定律：

Req =v

i(56)



課堂練習-包含VCCS的等價電阻

左圖的負載電網包含一個VCCS控制電源與電阻，其中，VCCS控制電源的控制關係式ic = gmv，電流(i)方向自高電位到低電位，假設v > 0，求解等價電阻(Req)？

解解解答答答：：：分析圖上方節點，根據KCL及iR =vR、ic = gmv：

i = iR − ic =v

R− gmv =

1− gmRR

v (57)

Req =v

i=

R

1− gmR(58)



線線線性性性與與與重重重疊疊疊定定定理理理



線性元件電路

線性電路(Linear Circuit)指的是一電路中的元件都是線性元件，而且所連接的電源為理想電源。假設關係式：

y = f (x) (59)

其中，y隨著f(x)變動而改變，在線性電路中，f(x)必須是線性函數(LinearFunction)，線性函數具備等比特性(Proportionality Property)與重疊特性(Superposition Property)。

等比特性：以數學式子表達如下：

f (Kx) = Kf (x) (60)

其中，K為任意常數。

重疊特性：以數學式子表達如下：

f (xa + xb) = f (xa) + f (xb) (61)

將式(60)與(61)合併得到：

f (Kaxa + Kbxb) = Kaf (xa) + Kbf (xb) (62)

其中，Ka與Kb為任意常數。Chen-Ching Ting (丁振卿) Mechanical Engineering, National Taipei University of Technology (國立台北科技大學機械系) Homepage: http://cct.me.ntut.edu.tw/ E-mail: [email protected]電阻電路Resistive Circuits October 16, 2014 35 / 60


課堂練習-梯子電網分析 I

如左圖，電壓源的真實電壓v̂s = 72 V，請以等比原理計算真實的î、v̂2、î1？

解解解答答答：：：先分析圖的右迴路，假設i1 = 1 A，根據歐姆定律與KVL：

v1 = 12i1 = 12 V (63)

v2 + 3v2 = v1, v2 = 3 V (64)

圖上方中間的節點，根據KCL：

i2 =v26

= 0.5 A, i = i2 + i1 = 1.5 A (65)

再分析圖的左迴路，根據KVL：

v3 = 4i = 6 V , vs = v3 + v2 = 9 V (66)


課堂練習-梯子電網分析 II

求得等比常數K：

K =v̂svs

=72

9= 8 (67)

因此，

î = Ki = 12 A (68)

v̂2 = Kv2 = 24 V (69)

î1 = Ki1 = 8 A (70)

Req =v̂s

î=

vsi

= 6 Ω (71)


重疊定理

等比原理(Proportionality Principle)適用在僅包含一個理想電源的電網上，對於包含多個理想電源的電網，則需要用重疊定理(SuperpositionTheorem)來簡化電路問題。重疊定理：線性電路包含兩個或多個理想電源時，每個個別理想電源所造成的支狀電路之電流值的和等於整體電網的電流值。進行電網分析時，被抑制的電壓源(Suppressed VoltageSource)以短路電路取代(短路電路沒有電壓)；被抑制的電流源(Suppressed Current Source)以開路電路取代(開路電路沒有電流)。另外，當電網包含控制電源時，控制電源在分析過程中不可被抑制。



課堂練習-重疊定理 I

如左圖(a)，請以重疊定理求解電流i1？

解解解答答答：：：根據重疊定理，被抑制的電壓源(Suppressed Voltage Source)以短路電路取代；被抑制的電流源(Suppressed Current Source)以開路電路取代。如圖(b)，先討論僅有30 V電壓源的電路，將3 A與8 A電流源以開路電路取代，則：

i1−1 =30

6 + 4 + 2= 2.5 A (72)


課堂練習-重疊定理 II

如圖(c)，先討論僅有3 A電流源的電路，將30 V電壓源與8 A電流源分別以短路電路及開路電路取代，則：

i1−2 =4

(6 + 2) + 4× 3 = 1 A (73)

如圖(d)，先討論僅有8 A電流源的電路，將30 V電壓源與3 A電流源分別以短路電路及開路電路取代，則：

i1−3 =6

6 + (2 + 4)× (−8) = −4 A (74)

根據重疊定理：

i1 = i1−1 + i1−2 + i1−3 = 2.5 + 1− 4 = −0.5 A (75)


課堂練習-包含控制電源的重疊定理 I

如左圖(a)，請以重疊定理求解電流i1？

解解解答答答：：：線性電路的電源不包含控制電源，也就是說，控制電源在分析過程中不可被抑制。如圖(b)，使用重疊定理，先討論僅有30 V電壓源的電路，將3 A電流源以開路電路取代，分析右邊迴路，則：

ic = 8i1−1 (76)

圖(b)上方中間節點，根據KCL：

ic + i1−1 = 9i1−1 (77)

圖(b)外圍迴路，根據KVL：

30− 6(9i1−1)− (4 + 2)i1−1 = 0 (78)i1−1 = 0.5 A (79)


課堂練習-包含控制電源的重疊定理 II

圖(c)，先討論僅有3 A電流源的電路，將30 V電壓源以短路電路取代，分析圖(c)下方中間節點，根據KCL：

ic = 8i1−2 (80)

ic + i1−2 = 9i1−2 (81)

圖(c)下方外圍迴路，根據KVL：

6(9i1−2) + 4(i1−2 − 3) + 2i1−2 = 0 (82)i1−2 = 0.2 A (83)

根據重疊定理：

i1 = i1−1 + i1−2 = 0.5 + 0.2 = 0.7 A (84)


戴戴戴維維維寧寧寧與與與諾諾諾頓頓頓定定定理理理



戴維寧與諾頓定理 I

電源網(Source Network)，指的是兩個端點的電源，其中，電源網內的所有元件都是線性元件，而且必須包括至少一個理想電壓或獨立電源(Independent Source)，如果電源網內有控制電源，則控制電源的控制變數必須包括在電源網內。

當使用電錶直接量測電源網兩端點的電壓時，如同下圖(a)的狀況，所量測到的電壓稱為開路電壓(Open-Circuit Voltage, voc)，也就是電流為零(i = 0)的情況下量測。

voc ≈ v |i=0 (85)


戴維寧與諾頓定理 II

當使用電錶直接量測電源網兩端點的電流時，如同下圖(b)的狀況，所量測到的電流稱為短路電流(Short-Circuit Current, isc)，也就是電壓為零(v = 0)的情況下量測。

isc ≈ i |v=0 (86)

由開路電壓與短路電流所連成的直線之斜率為−Rt，Rt稱為戴維寧電阻(Thévenin Resistance)。


戴維寧與諾頓定理 III

戴維寧定理(Thévenin’s Theorem)：任何線性電阻電源網的兩端點電壓作用等同於電壓voc的理想電壓源與電阻Rt之串聯行為。下圖(a)為戴維寧的等價電源網。

v = voc − Rt i (87)

其中，voc、isc、Rt稱為戴維寧參數。


戴維寧與諾頓定理 IV

諾頓定理(Norton’s Theorem)：任何線性電阻電源網的兩端點電流作用等同於電流isc的理想電流源與電阻Rt之並聯行為。下圖(b)為諾頓的等價電源網。

i = isc −v

Rt(88)


戴維寧與諾頓定理 V

戴維寧與諾頓定理，簡單來說，其實就是根據歐姆定律探討電源網的輸出電流與電壓關係，前面提到，歐姆定律(v=Ri)如果用來探討通過電阻的i-v曲線，因為電阻值為固定(R=constant)，所以i-v曲線為斜率等於R的直線；歐姆定律(v=Ri)如果用來探討電源網的輸出i-v曲線，因為電源網的輸出電流與電壓會隨著電路所連接的電阻值變動而改變。戴維寧定理是以串聯電阻探討電壓源的i-v曲線；諾頓定理則是以並聯電阻探討電流源的i-v曲線。


課堂練習-戴維寧參數 I

如左圖(a)是一個反相電壓放大器，以PSpice電腦模擬軟體繪製i-v曲線，模擬外電路連接一可變電阻RL，求解戴維寧參數(voc、isc、Rt)？

解解解答答答：：：戴維寧電源網由線性元件及理想電源所組成，其i-v曲線為一條斜率−Rt的直線，而且通過i與v軸的截距分別是isc與voc，求解開路電壓(Open-CircuitVoltage, voc)時，必須設定外電路所連接的可變電阻值無限大(RL =∞)；求解短路電流(Short-Circuit Current, isc)時，必須設定外電路所連接的可變電阻值為零(RL = 0)。

進行電腦模擬時，因為程式無法設定RL =∞及RL = 0，因此將可變電阻值設定在RL = 0.5 Ω與RL = 50 Ω之間，畫出圖(b)的i-v曲線，由


課堂練習-戴維寧參數 II

圖(b)得到i-v曲線的兩個(i,v)極值為(-0.98, -0.491)與(-0.128, -6.395)，如此便可求出i-v曲線方程式(voc − Rt i = v)。

voc − Rt(−0.981) = −0.491 (89)voc − Rt(−0.128) = −6.395 (90)

得到：voc = −7.28 V、Rt = 6.92 Ω。再由

isc =vocRt

= −1.05 A (91)

圖(a)的電路之所以被稱為反相電壓放大器，因為電壓的絕對值變大，但是變成負值之故。


課堂練習-等價電源網 I

如左圖(a)，RL為可變電阻，透過調整可變電阻值(RL)大小改變電源網的輸出電壓與電流，求解輸出電壓v=24 V及輸出電流i=8 A時的RL電阻值大小？還有，分別伴隨的輸出電流與電壓？

解解解答答答：：：由圖(b)可解出電源網的開路電壓(voc)。此為串聯電阻求解個別電阻之端電壓問題：

voc =20

5 + 20× 50 = 40 V (92)

由圖(c)可解出電源網的短路電流(isc)，因為短路情形，沒有電流通過20 Ω電阻，即：

isc =50

5= 10 A (93)

戴維寧電阻值：Rt =vocisc

= 4 Ω (94)


課堂練習-等價電源網 II

將圖(a)左邊電源網改以戴維寧電源網形式表達成圖(d)，由圖(d)可解出輸出電壓v=24 V的情形，此為串聯電阻求解個別電阻之端電壓問題：

v =RL

4 + RL× 40 = 24 V , RL = 6 Ω (95)

將圖(a)左邊電源網改以諾頓電源網形式表達成圖(e)，由圖(e)可解出輸出電流i=8 A的情形，此為並聯電阻求解通過個別電阻之電流問題：

i =4

4 + RL× 10 = 8 A, RL = 1 Ω (96)

當RL = 6 Ω、v=24 V時，由圖(a)及KVL得到：

i1 =50− v

5= 5.2 A (97)

當RL = 1 Ω、i=8 A時，由圖(a)及KVL得到：

i1 =50− RL × i

5= 8.4 A (98)


戴維寧電阻

戴維寧電阻(Thévenin Resistance, Rt)定義為Rt =

vocisc。當抑制電壓源形成一個短路電路

之voc = 0，得到短路電流(isc)；當抑制電流源形成一個開路電路之isc = 0，得到開路電壓(voc)。因此，一個電源網的戴維寧電阻等於將此電源網中的所有理想電源抑制所得到的等價電阻。

一般來說，當電源網不含控制電源時，比較容易求得voc與isc，因此，戴維寧電阻可直接透過Rt =

vocisc求得。但是，當電源網包含控制電源

時，常常不容易求得voc或isc，對於這種情形，可以透過上圖將電源網中的理想電源抑制(Suppress)，並在輸出的兩端點連接一個測試電源(Test Source)，求得：

Rt =vtit

(99)



課堂練習-戴維寧參數 I

如左圖(a)，求解電源網的戴維寧參數(voc、isc、Rt)？

解解解答答答：：：首先，由於圖(a)電路不容易解出開路電壓(voc)，因此嘗試以圖(b)電路解出短路電流(isc)，因為短路情形，沒有電流通過40 kΩ電阻，分析圖(b)中間迴路，根據KVL：

vx − 5vx = v = 0, vx = 0 V (100)

所以ix = 0，分析圖(b)右上方節點，根據KCL：

isc = 3 mA (101)

由圖(c)，將電源網視為死電源網(Dead Source

Network)，也就是將電源網的理想電壓抑

制(Suppress)，並在電源網的輸出兩端點連接任

意一個測試電源(Test Source)，則由圖(c)左邊

迴路，根據KVL：


課堂練習-戴維寧參數 II

vx − 5vx = vt , vx = −0.25vt (102)

再根據歐姆定律及單位使用kΩ與mA可得：

ix =vx2

= −0.125vt (103)

分析圖(c)上方中間節點，根據KCL：

it = ix +vt40

= −0.125vt + 0.025vt = −0.1vt (104)

Rt =vtit

= −10 kΩ (105)

最後得到：

voc = Rt isc = −30 V (106)


電源轉換

戴維寧與諾頓電源網互為等價電源網，可相互替換，進行電源轉換(Source Conversion)以簡化電路。進一步推得如左圖所示，一電壓源(vs)串聯一電阻(Rs)之電源網與一電流源(is)並聯一電阻(Rs)之電源網可進行電源網互換。

分別檢查戴維寧與諾頓電源網之開路電壓與短路電流得到相同結果。

is =vsRs

(107)

vs = Rs is (108)

當電源網中包含控制電源時，直接把控制電源當成理想電源進行電源轉換。



課堂練習-電源轉換簡化電路

如左圖(a)，請以電源轉換簡化電路的方式求解v2？

解解解答答答：：：將圖(a)電路簡化成圖(b)電路，再將圖(b)中的三個並聯電阻合併成一個2 Ω電阻，接著分析上方中間節點，根據KCL：

v22

= 18− 0.25v2 (109)

v2 = 24 V (110)



課堂練習-電源轉換與戴維寧電源網

請將左圖(a)的電路透過電源轉換方式更改成戴維寧電源網？

解解解答答答：：：由圖(a) ⇒ (b)⇒ (c) ⇒ (d)⇒ (e)



結結結論論論



結論

電阻的連接方式分成串聯與並聯；對偶電路繪製原則是，電壓源與電流源互換、電阻與電導互換、串聯與並聯互換；電源分成理想電源與控制電源；等比原理適用在僅包含一個理想電源的電網上，對於包含多個理想電源的電網，則需要用重疊定理來簡化電路問題。重疊定理：線性電路包含兩個或多個理想電源時，每個個別理想電源所造成的支狀電路之電流值的和等於整體電網的電流值。進行電網分析時，被抑制的電壓源以短路電路取代(短路電路沒有電壓)；被抑制的電流源以開路電路取代(開路電路沒有電流)。另外，當電網包含控制電源時，控制電源在分析過程中不可被抑制。分析電路的i-v曲線分別是被動元件的歐姆定律與主動元件的戴維寧與諾頓定理。戴維寧與諾頓電源網互為等價電源網，可相互替換。



串聯與並聯電阻對偶性控制電源電路線性與重疊定理戴維寧與諾頓定理

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