Ecuación de Bessel (1)

8/17/2019 Ecuación de Bessel (1)

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ECUACION DE

BESSEL

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Mecánica

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Ecuación de bessel y función debessel

La ecuación diferencial

´ ´ ´ 0

Se llama ecuación de Bessel de orden P con P≥0, la ecuación de Besseles una ecuación diferencial de segundo orden.

Ahora buscaremos las soluciones en serie de potencias alrededor del

punto 0 el cual es un punto singular regular; sea +∞= la primera solución. Calculando las derivadas se tiene:Y´= ( )+−∞= y Y´´= ( )( 1)+−∞= Ahora reemplazamos en la ecuación

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA- ECUACIONES DIFERENCIALES

Ing. CARLOS ROJAS SERNA

UNI FIM


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( )( 1)+− ( )+− ( )( 1)+− ( ) + 0∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

( )( 1)+ + ++∞

= + 0

∞

=

∞

=

∞

=

(( ))+ ++ 0∞

=

∞

=

Poniendo las x en una misma potencia.

(( ))+ −+ 0∞

=

∞

=

Poniendo los inicios iguales.

((1 ) )+ (( ))+ −+ 0∞

=

∞

=

((1 ) )+ (( )) −)+ 0∞

=

Aplicando el método de los coeficientes indeterminados

( ) 0 , (( 1 )) 0 ( 2 1 ) 0 (( )) − 0 De donde:

(+)−



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Para ( 2 1 ) 0, (2 1) 0 entoncesC1=0

Entonces + para todo valor de n≥2 Para n=2, (+) Para n=3, 0 Para n=4, 4 4 +4

.4(+)(+4)

Para n=5, 5

+5 0 Para n=6, 6 6 +6

.4.6 + +4 +6

Para n=7, 7 7 +7 0



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Luego la solución + (−)

! + + + ….(+∞=∞=

Donde es una constante arbitraria. En particular tomamos

(+) la solución anterior se transforma en la siguiente solución

particular.

(1)

2+ . ! 1 2 3 … ( )( 2) +

En forma simplificada queda en la forma:

1

1 1 (2)+∞

=



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La cual se denomina “Función de Bessel de orden P de primer tipo, y

denotaremos por −

+ ++ ()+∞=

OBSERVACIÓN: Casos PARTICULARES

1.)Si r=p=0 se tiene − (!) ()∞= 2.)Si r=m= entero no negativo, nos queda:

1

! … ! (2)

+∞

=

Ahora calculamos la segunda solución () en este caso debemos tener cuidadoen la solución () para dar la solución general de la ecuación de BESSEL



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1° caso. Si 2p ≠ de un entero y P>0 entonces estamos en laparte a) del teorema anterior por lo tanto una segunda solución se

obtiene sustituyendo P por –P es decir:

− 1

1 1 (2)

−∞

=

Luego la solución general de la ecuación de BESSEL de orden P es:

Y(x)= −

2°caso. Si p 0 se observa que y − son iguales



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3°caso. Cuando 2p es un entero y P es un entero. Lasegunda solución es − donde cos. − , y la solución general es:

Y(x)= OBSERVACIÓN

A la función cos. − se denomina funciones deBessel de segundo tipo.



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La ecuación diferencial de la forma:

´ ´ ´ 0

Se denomina “Ecuación paramétrica de Bessel” y la solución generales dado por:

Y(x)=



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Problema

01622

22 y x

dx

dy x

dx

yd x

Hallar la solución general de laecuación:

Identificamos que p=4, dado que2p=8 (entero) Estamos en el Caso III

xY c x J c y x 4241)(



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Problema

0

5

4´´´ y x y xyResolver porBesselSolución

064´´´2 y x xy y x

Hacemos el cambio de

variable

Multiplicamospor x

um y .3/1 3/1m x

2

3t m



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´´´2´´

´´

xuu y xuu y

xu y

Reemplazamos y = ux,y’, y’’

064´)(´´)´2(2 xu x xuu x xuu x

0)164(´´´2 u x xuu x

0)74(´2´´3 u x xu xu x



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0)164(´´´2 u x xuu x

Ahora reemplazamos

3

13/1

2

3m

t x

)2.()2.().( 32

2 mdt

du x

dt

du

dx

dt

dt

du

dx

du

dx

dt

dx

du

dt

d

dt

dt

dx

du

dx

d

dx

ud ).().(

2

2



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3

2

3

1

3

2

2

2

3

2

2.2.2..).2.(.)( mmdt

dum

dt

ud

dx

dt m

dt

du

dt

d

dx

dt

dx

du

dt

d

3

1

3

4

2

2

2

2

4.4. m

dt

dum

dt

ud

dx

ud

Reemplazando en laecuación 0)164(´´´2 u x xuu x

0)124(2.4.4. 32

3

1

3

1

3

4

2

2

3

2

umm

dt

dumm

dt

dum

dt

ud m



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0)1

2

4(244 2

22

umdt

du

mdt

du

mdt

ud

m

0)4

12(2

3

2

22 um

dt

dum

dt

ud m

Reemplazamos “m” 2

3t m

0)4

12

2

3(

2

3

2

3

2

32

22

u

t

dt

dut

dt

ud t



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0

4

12

4

9

4

9

4

92

22

u

t

dt

dut

dt

ud t

03

122

2

22

ut

dt

dut

dt

ud t

Nos queda P=1/3 , entonces 2P=2/3 (No esentero) Estamos en el Caso I

)()( 3/123/11)( t J ct J cu t

Pero

3/1

2

3

t x

y xu y



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Despejando “t” y reemplazando en y=ux

3

2

3

2 3

3/12

3

3/11)(

x

J c

x

J c x y x



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ProblemaResolver

092´32´´2

161

y xy y x

Solución

Hacemos el cambio devariable

xt 4 -> 4dx

dt

dt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy4.

2

2

2

2

2

2

164.4).4().(dt

yd

dt

yd

dx

dt

dt

dy

dt

d

dt

dt

dx

dy

dx

d

dx

yd



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092´44

32´´1621 y yt yt t t

Reemplazamos

06´2´´21

yty yt t t

Ecuación de Legendre para n=2

222

1 481)4(!2

3.21...00

!2

3.21 x xt y

Soluciones



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...35

655365

10243644

...)4(!7

8.6.4.1).1)(3()4(

!5

6.4.1).1()4(

!3

4.14

...!7

8.6.4.1).1)(3(

!5

6.4.1).1(

!3

4.1

7532

753

2

753

2

x x x x y

x x x x y

t t t t y

Solución general:

...

35

65536

5

1024

3

644481 7531

2

0 x x x xc xc y g



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Ecuaciones reducibles a la ecuación de

Bessel

Gran cantidad de ecuaciones son de la forma:

´´ ´ 0 …(2)

Donde , , , son constantes > 0 0 sereducen a una ecuación de Bessel mediante las siguientessustituciones:

−

,

Quedando:0

2 22

22

uvt

dt

dut

dt

ud t



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Donde:

α − , , , (−)−4 NOTA:

Cuando c=0 y m=0 la ecuación (2) es la de Cauchy-Euler. También pueden

usarse otras sustituciones apropiadas.



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FUNCION DE BESSEL:PROPIEDADES

Demostración de sus propiedades



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